正切函数与其他三角函数

正弦和余弦来自单位圆上一点的两个坐标：横坐标是 $\cos x$，纵坐标是 $\sin x$。正切不是新的坐标，它是这两个坐标的比值。

这个小小的比值会带来和正弦、余弦完全不同的图像。正弦、余弦总在 $-1$ 到 $1$ 之间摆动，正切却会冲向很大的正数或负数，并在某些位置断开。理解这一点，不需要先背图像，只要认真看分母 $\cos x$ 什么时候变成 $0$。

本章会把正切、余割、正割、余切都放回正弦和余弦的关系网中。重点不是多记四个名字，而是看清：每一个定义都带着限制条件。

从正弦和余弦得到正切

在单位圆上，角 $x$ 对应的点可以写成

当 $\cos x\ne 0$ 时，正切定义为

这就是正切和正弦、余弦之间最基本的 商关系。分子来自纵坐标，分母来自横坐标。

图：正切可以看作单位圆上点的纵坐标与横坐标之比。

这条定义也和直角三角形里的正切一致。在第一象限里，$\sin x$ 是对边除以斜边，$\cos x$ 是邻边除以斜边，所以

单位圆只是把这个比值扩展到了任意实数角。只要横坐标不是 $0$，就可以计算正切。

下面的实验可以拖动角度，直接观察 $\sin x$、$\cos x$ 和 $\tan x$ 的数值怎样一起变化。

例题：用商关系求正切

求 $\tan \frac{5\pi}{6}$。

这个结果的符号也可以从象限判断。第二象限中正弦为正、余弦为负，所以正切为负。

分母趋近 0 时会发生什么

正切的定义里有一个不能忽略的条件：

单位圆上横坐标为 $0$ 的位置在竖直轴上，也就是

其中 $k$ 是整数。在这些角上，$\cos x=0$，所以 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ 没有定义。

图：当 $x$ 接近 $\frac{\pi}{2}$ 时，$\sin x$ 接近 $1$，而 $\cos x$ 趋近 ，比值会急剧变大。

这里要区分两件事。

第一，$x=\frac{\pi}{2}$ 时正切 没有值。不能说 $\tan \frac{\pi}{2}$ 等于无穷大，因为无穷大不是一个普通实数值。

第二，当 $x$ 越来越接近 $\frac{\pi}{2}$ 但还没有等于它时，分母 $\cos x$ 的绝对值越来越小，分子 $\sin x$ 接近 $1$。一个接近 的数除以一个非常小的数，结果会变得非常大，符号取决于分母从哪一侧接近 。

例如在 $\frac{\pi}{2}$ 左侧，$\cos x>0$，所以 $\tan x$ 趋向很大的正数；在 $\frac{\pi}{2}$ 右侧，，所以 趋向很小的负数。

因此，正切函数的定义域是

也可以读作：所有实数角，除了 $\frac{\pi}{2}$ 再加上任意整数倍 $\pi$ 的位置。

正切图像的关键结构

标准正切函数 $y=\tan x$ 的一支图像通常画在

这个区间内。两端是竖直渐近线，中间经过原点。

图：正切函数一支图像的原点是零点，$x=-\frac{\pi}{2}$ 与 $x=\frac{\pi}{2}$ 是竖直渐近线。

正切图像有几条基本特征。

零点

正切等于 $0$，意味着

分式等于 $0$ 时，分子为 $0$ 且分母不为 $0$。所以正切的零点来自

也就是

其中 $k$ 是整数。

竖直渐近线

正切无定义的位置来自

所以竖直渐近线在

其中 $k$ 是整数。

值域

在 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 之间，$y=\tan x$ 从很小的负数一路增加，经过 ，再变成很大的正数。它没有最大值，也没有最小值。

因此正切函数的值域是全体实数：

这也说明正切图像没有振幅。振幅是正弦、余弦这类上下有界的波形才有的概念。

例题：找零点和渐近线

在区间 $[-2\pi,2\pi]$ 内，找出 $y=\tan x$ 的零点和竖直渐近线。

正切为什么以 π 为周期

正弦和余弦的周期都是 $2\pi$。正切也来自它们，但正切的周期是 $\pi$。

原因在商关系里。把角增加 $\pi$，单位圆上的点会转到圆的对面：

两个坐标都变号，但它们的比值不变：

图：相隔 $\pi$ 的终边在同一直线上，斜率不变，因此正切值相同。

所以正切函数每隔 $\pi$ 就重复一次。它的零点每隔 $\pi$ 出现一次，渐近线也每隔 $\pi$ 出现一次。

其他三角函数来自倒数关系

除了 $\sin$、$\cos$、$\tan$，常见三角函数还有三个：余割、正割、余切。它们都可以由正弦、余弦、正切写出来。

图：正弦、余弦与正切、余切、正割、余割之间的商关系和倒数关系。

这三个函数的名字容易让人觉得它们很陌生，其实它们主要是在问“某个基础函数的倒数是多少”。倒数一出现，限制条件也跟着出现：分母不能为 $0$。

定义域和图像直觉

把每个函数的分母单独看出来，就能判断它在哪里无定义。

其中 $k$ 都表示整数。

图：倒数三角函数的定义域限制都来自分母不能为 $0$。

正割和余割的值域也和正弦、余弦不同。因为 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的绝对值最大是 $1$，它们的倒数不会落在 $-1$ 到 $1$ 之间的开区间里。也就是说，$\sec x$ 和 $\csc x$ 的值满足

余切 $\cot x$ 和正切一样，值域是全体实数，周期也是 $\pi$。

例题：判断函数是否有定义

判断下列值是否有定义：$\sec \frac{\pi}{2}$、$\csc \pi$、$\cot \frac{\pi}{2}$。

限制条件比公式更早检查

三角函数计算里，一个常见错误是先化简，再忘记原式的限制条件。例如看到

有人会直接写成

因为 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$。这个变形在 $\cos x\ne 0$ 时是对的，但原式 本来就要求 有定义，也就是 。

所以它和 $\sin x$ 的函数并不完全相同。$\sin x$ 在所有实数上有定义，而原式在

处没有定义。

可以按下面的顺序检查：

1. 先把 $\tan x$、$\cot x$、$\sec x$、$\csc x$ 写成 $\sin x$ 和 $\cos x$。
2. 标出每一个分母。
3. 写下所有分母不为 的条件。

例题：化简但保留限制

化简

并写出原式的限制条件。

小结

正切函数的核心是商关系：

它的定义域要排除所有让 $\cos x=0$ 的角：

这些位置正是正切图像的竖直渐近线。正切的零点来自 $\sin x=0$，所以零点在 $x=k\pi$。由于 $\sin(x+\pi)$ 和 $\cos(x+\pi)$ 同时变号，正切的周期是 。

其他三个常见函数也不神秘：

它们的定义域限制都来自同一句话：分母不能为 $0$。

练习

1. 写出 $y=\tan x$ 的定义域、零点和竖直渐近线。

2. 不用计算器，求 $\tan \frac{7\pi}{4}$。

3. 判断 $\sec \pi$、$\csc \frac{3\pi}{2}$、$\cot \pi$ 是否有定义，并求出有定义的值。

4. 说明为什么 $\tan(x+\pi)=\tan x$，并指出这和正切周期有什么关系。

5. 化简 $\sec x\cos x$，并说明原式的限制条件。

这说明正切每隔 $\pi$ 重复一次，因此基本周期是 $\pi$。

但原式要求 $\sec x$ 有定义，所以必须有 $\cos x\ne 0$。化简后的 $1$ 在所有实数上有定义，原式不是。