直角三角形三角比

上一章把三角函数放进单位圆：角转到哪里，圆上的点就给出 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$。这一章把同一套想法拉回到最常见的测量图形里：直角三角形。

直角三角形中的三角比回答一个朴素问题：如果一个锐角已经确定，那么和它相对、相邻的边会按什么比例出现？答案不是某个具体长度，而是一组由角决定的比值。三角函数正是这些比值的名字。

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先把边叫对

直角三角形有一条边最特殊：它正对直角，也是三条边中最长的一条，叫 斜边。另外两条边叫直角边。

讨论三角比时，还必须先选定一个锐角，比如图中的 $\theta$。相对于这个角：

• 离 $\theta$ 最远、正对着它的直角边叫 对边；
• 和 $\theta$ 挨在一起、但不是斜边的直角边叫 邻边；
• 正对直角的最长边叫 斜边。

图：对边和邻边都要相对于选定的锐角来说；换一个锐角，这两个名字会互换。

如果一个直角三角形的另一个锐角是 $\phi$，那么原来相对于 $\theta$ 的对边，会变成相对于 $\phi$ 的邻边；原来的邻边，会变成相对于 $\phi$ 的对边。很多计算错误都不是公式错，而是一开始看错了“对谁而言”。

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角固定，比例也固定

先不要急着背 $\sin$、$\cos$、$\tan$。三角比能成立，靠的是一个更早学过的事实：相似三角形的对应边成比例。

想象有许多个直角三角形，它们都有同一个锐角 $\theta$。因为它们都有一个直角，又有一个相同的锐角，所以第三个角也相同。这些三角形两两相似。

图：角 $\theta$ 不变时，三角形可以整体放大或缩小，但对应边的比值保持不变。

这就说明，角 $\theta$ 固定时，下列比值不随三角形大小改变：

$$\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$$ $$\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$$ $$\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$

例如 $3$-$4$-$5$ 直角三角形放大 $2$ 倍，变成 $6$-$8$-$10$。每条边都变长了，但

$$\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$$ $$\frac{4}{5}=\frac{8}{10}$$ $$\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$$

这些比值没有变。三角函数记录的就是这种“角决定比例”的稳定关系。

下面的缩放器可以同时改变角和斜边长度。只拖动斜边时，三条边都会变；只要角不变，三个比值会保持不变。

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正弦、余弦、正切

现在给这三个稳定比值取名字。对直角三角形中的锐角 $\theta$，定义：

$$\sin\theta=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$$ $$\cos\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$$ $$\tan\theta=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$

图：三个三角比都围绕同一个角 $\theta$ 来读，先定角，再定边。

这三个名字各有常见用途。$\sin\theta$ 比较对边和斜边，常用于“斜着的长度已知，求竖直高度”；$\cos\theta$ 比较邻边和斜边，常用于“斜着的长度已知，求水平投影”；$\tan\theta$ 比较对边和邻边，常用于“水平距离已知，求高度”。

例题：从边长读出三角比

一个直角三角形中，相对于角 $\theta$，对边长 $8$，邻边长 $15$，斜边长 $17$。求 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 和 $\tan\theta$。

如果题目换成同一个三角形里的另一个锐角，答案会改变。因为对那个角来说，$8$ 和 $15$ 的“对边、邻边”身份会互换。

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用三角比求边长

三角比最常见的用途是求未知边长。做题时先问两个问题：

1. 已知边和未知边分别是对边、邻边还是斜边？
2. 哪个三角比刚好包含这两条边？

例题：斜边已知，求高度和水平距离

一架长 $12\text{ m}$ 的梯子靠在墙上，梯子与地面的夹角是 $68^\circ$。梯子顶端离地面多高？梯脚离墙多远？

这个例子里，斜边同一个长度 $12$ 同时参与两个比值。正弦拿它去求竖直方向，余弦拿它去求水平方向。

例题：水平距离已知，求高度

从某点到旗杆底部的水平距离是 $40\text{ m}$，看向旗杆顶端的仰角是 $36^\circ$。若忽略眼高，旗杆大约多高？

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和单位圆接上

上一章说过，在单位圆上，圆上一点的横坐标是 $\cos\theta$，纵坐标是 $\sin\theta$。这和直角三角形定义并不矛盾。

把单位圆第一象限里的点向 $x$ 轴作垂线，就得到一个直角三角形。它的斜边是单位圆半径，长度为 $1$。

图：当斜边为 $1$ 时，邻边长度就是 $\cos\theta$，对边长度就是 $\sin\theta$。

因为斜边是 $1$，所以

$$\sin\theta=\frac{\text{对边}}{1}=\text{对边}$$ $$\cos\theta=\frac{\text{邻边}}{1}=\text{邻边}$$

这就是单位圆坐标定义和直角三角形比值定义的连接。第一象限里，单位圆上的三角形把“边长比”直接变成了坐标长度。

正切也能接上单位圆：

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

在第一象限里，它就是“纵坐标和横坐标的比”，也就是这个直角三角形的对边除以邻边。

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仰角、俯角与测高

现实测量中，我们很少能直接量到高楼、树木或山坡的高度。三角比的做法是：量一段水平距离，再量视线和水平线之间的角。

仰角 是从水平线向上看目标时形成的角。俯角 是从水平线向下看目标时形成的角。两者都从水平线量起，不从竖直线量起。

图：仰角和俯角都依赖水平线。两条水平线平行时，俯角常常能转化为三角形里的仰角。

如果观察者眼睛离地高度是 $e$，水平距离是 $d$，仰角是 $\theta$，目标顶端高度是 $H$，那么视线形成的直角三角形给出

$$\tan\theta=\frac{H-e}{d}$$

所以

$$H=e+d\tan\theta$$

下面的模拟器可以改变水平距离、仰角和眼高，观察为什么测高问题通常使用正切。

例题：带眼高的测高

某人站在离建筑底部 $35\text{ m}$ 的地方，眼睛离地 $1.6\text{ m}$，测得看向建筑顶部的仰角为 $42^\circ$。求建筑高度。

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坡度、坡角与正切

道路、屋顶和山坡常用 坡度 描述陡峭程度。坡度比较的是竖直上升量和水平距离：

$$\text{坡度}=\frac{\text{上升量}}{\text{水平距离}}$$

如果写成百分数，就得到百分坡度：

$$\text{百分坡度}=\frac{\text{上升量}}{\text{水平距离}}\times 100\%$$

图：坡度用上升量除以水平距离，不是除以坡面本身的长度。

如果坡面和水平线的夹角是 $\theta$，那么

$$\tan\theta=\frac{\text{上升量}}{\text{水平距离}}$$

也就是说，坡度正是坡角的正切值。知道坡度可以反求坡角；知道坡角也可以求百分坡度。

下面的转换器把百分坡度、坡度小数和坡角放在同一张直角三角形里比较。

例题：百分坡度和角度不是一回事

一段路的百分坡度是 $8\%$。求它的坡角大约是多少。

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选择哪个比值

三角比应用题通常不难在计算，而难在建模。可以按下面的顺序处理：

本章只在直角三角形中使用三角比。后面学习特殊角、参考角和单位圆时，这些比值会被扩展到更大范围的角；再往后，正弦、余弦和正切会成为真正的周期函数。

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练习

基础判断

1. 判断下列说法是否正确：直角三角形的斜边总是最长边。

显示答案

正确。斜边正对直角，是直角三角形中最长的一条边。

2. 判断下列说法是否正确：某条直角边一旦叫“对边”，在同一个三角形里就永远叫对边。

显示答案

不正确。对边是相对于选定锐角来说的。换成另一个锐角，这条边可能变成邻边。

三角比计算

3. 在一个直角三角形中，相对于角 $\theta$，对边为 $5$，邻边为 $12$，斜边为 $13$。求 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 和 $\tan\theta$。

显示答案

$\sin\theta=\frac{5}{13}$，$\cos\theta=\frac{12}{13}$，。

4. 一个直角三角形与上题相似，但三条边放大为 $10$、$24$、$26$。对应角的三个三角比会改变吗？

显示答案

不会改变。$\frac{10}{26}=\frac{5}{13}$，$\frac{24}{26}=\frac{12}{13}$，。相似放大改变长度，不改变对应边的比值。

求边长

5. 一个直角三角形中，$\theta=37^\circ$，邻边长 $20$。求对边长，结果保留一位小数。

显示答案

对边和邻边对应正切：$\tan37^\circ=\frac{x}{20}$，所以 $x=20\tan37^\circ\approx 15.1$。

6. 一架 $10\text{ m}$ 的梯子与地面成 $70^\circ$。梯子顶端离地面大约多高？

显示答案

梯子是斜边，高度是对边，所以 $\sin70^\circ=\frac{h}{10}$。因此 $h=10\sin70^\circ\approx 9.4\text{ m}$。

7. 一个斜坡的坡角是 $30^\circ$，需要上升 $5\text{ m}$。水平距离大约需要多少米？

显示答案

上升量是对边，水平距离是邻边。$\tan30^\circ=\frac{5}{d}$，所以 $d=\frac{5}{\tan30^\circ}\approx 8.7\text{ m}$。

测量应用

8. 观察者眼高 $1.5\text{ m}$，距离树底 $25\text{ m}$，测得仰角 $50^\circ$。树高大约是多少？

显示答案

先求树顶比眼睛高出的部分：$25\tan50^\circ\approx 29.8$。再加眼高，树高约为 $31.3\text{ m}$。

9. 从塔顶看地面目标的俯角是 $18^\circ$，塔高 $60\text{ m}$。目标到塔底的水平距离大约是多少？

显示答案

俯角等于地面目标处对应的仰角。$\tan18^\circ=\frac{60}{d}$，所以 $d=\frac{60}{\tan18^\circ}\approx 184.7\text{ m}$。

10. 一条路的百分坡度为 $12\%$。求坡角大约是多少。

显示答案

百分坡度 $12\%$ 对应坡度小数 $0.12$。因此 $\tan\theta=0.12$，$\theta=\arctan(0.12)\approx 6.8^\circ$。

11. 单位圆第一象限中某点的坐标是 $(0.6,0.8)$。它对应角 $\theta$ 的 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 和 $\tan\theta$ 分别是多少？

显示答案

单位圆上 $\cos\theta$ 是横坐标，$\sin\theta$ 是纵坐标，所以 $\cos\theta=0.6$，$\sin\theta=0.8$。因此 $\tan\theta=\frac{0.8}{0.6}=\frac{4}{3}$。