坐标法：给图形装上一套可计算的地址

拿一张方格纸，在上面随手点一个点。只说“它在右上方”，别人很难把这个点一模一样地画出来；但如果你说“从原点向右走 $3$ 格，再向上走 $2$ 格”，位置就被钉死了。

坐标法就是从这个动作开始的：先给点一个地址，再把长度、平行、垂直、对称这些几何关系翻译成数和方程。图形还是那张图，只是我们终于能对它做计算了。

这一页会把坐标法最常用的几件工具一次讲透：怎样读点和描点，怎样算两点距离，怎样找中点与分点，怎样把“点在运动”写成轨迹方程，以及怎样选一个让计算省力的坐标系。

坐标法到底在做什么

纯几何里，我们会说“两点一样远”“这条线段被平分”“这个点沿着一条线运动”。这些话很有画面感，却不方便直接计算。坐标法做的，是给每句话配上一句代数翻译：

• “点在什么位置”翻译成一个有顺序的数对；
• “两点相距多远”翻译成横向差、纵向差和勾股定理；
• “点把线段按某个比例分开”翻译成坐标的加权平均；
• “动点始终满足某个条件”翻译成含有 $x$、$y$ 的方程。

你可以把这个过程理解成一次来回翻译：先从图形走到方程，借代数完成计算，再从方程走回图形，说明结果究竟表示哪个点、哪条线或哪一种位置关系。

点的坐标：先横后纵

在纸上画两条互相垂直的数轴。横着的一条叫 $x$ 轴，向右是正方向；竖着的一条叫 $y$ 轴，向上是正方向。两轴的交点叫原点，记作 $O(0,0)$。这样得到的就是平面直角坐标系。

现在看点 $P(3,-2)$。从原点出发，先沿 $x$ 轴向右走 $3$ 个单位，再沿与 $y$ 轴平行的方向向下走 $2$ 个单位，就会到达 $P$。括号里的第一个数管左右，叫横坐标；第二个数管上下，叫纵坐标。

所以点的坐标一定写成：

顺序不能换。$P(3,-2)$ 和 $Q(-2,3)$ 用到同样两个数字，却是两个完全不同的位置。

四个象限怎样认

两条坐标轴把平面分成四块。象限从右上角开始，沿逆时针方向编号：第一、第二、第三、第四象限。

符号规律不必死背。沿横轴向右是正、向左是负；沿纵向向上是正、向下是负。先判断左右，再判断上下，符号自然就出来了：

• 第一象限：$(+,+)$；
• 第二象限：$(-,+)$；
• 第三象限：$(-,-)$；
• 第四象限：$(+,-)$。

还要留意坐标轴上的点：

• 点在 $x$ 轴上，纵坐标一定是 $0$，形如 $(a,0)$；
• 点在 $y$ 轴上，横坐标一定是 $0$，形如 $(0,b)$；
• 原点的两个坐标都是 $$；

下面可以直接拖动点。特意把点移到四个象限、两条坐标轴和原点上，看坐标符号怎样跟着位置改变。

描点与读点是相反动作

给出坐标找位置，叫描点。比如描出 $A(-4,3)$，动作是“向左 $4$ 格、向上 $3$ 格”。

看着图读出坐标，则要从点分别向两轴作平行投影：先在 $x$ 轴上读横坐标，再在 $y$ 轴上读纵坐标。一个是“地址找地点”，一个是“地点查地址”，顺序始终都是先横后纵。

两点距离：把斜线补成直角三角形

两点落在同一条水平线上时，距离是横坐标差的绝对值；落在同一条竖直线上时，距离是纵坐标差的绝对值。真正需要想一下的，是一条斜着的线段。

设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$。从 水平走到与 同一条竖线上，再竖直走到 ，就补出了一个直角三角形。

两条直角边的实际长度分别是：

斜边就是 $AB$。由勾股定理：

绝对值平方与原数平方相同，因此可以写成：

距离取非负值，所以：

为什么点跨到别的象限，公式仍然成立

假如 $x_2-x_1$ 或 $y_2-y_1$ 是负数，它表示的是带方向的坐标变化，而不是负长度。平方以后方向被消去，留下的正是直角边长度的平方。因此这个公式不要求两个点在第一象限，也不要求 一定在 的右上方。

交换 $A$、$B$ 的次序也没有影响，因为：

如果其中一个点是原点 $O(0,0)$，公式会变成：

这就是点 $P(x,y)$ 到原点的距离。

例题：从坐标判断三角形类型

已知 $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(2,4)$，判断三角形 $ABC$ 的边长关系和角的类型。

中点与分点：把“分成几份”写进坐标

在一条数轴上，$2$ 和 $8$ 的中点是 $5$，因为 $5$ 是两数的平均数。平面里的中点没有更神秘：横坐标单独取平均，纵坐标也单独取平均。

设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，中点为 。那么：

为什么可以分别平均？从 $A$ 到 $B$ 的横向变化是 $x_2-x_1$，走一半就是 $(x_2-x_1)/2$。因此中点横坐标为：

纵坐标完全一样：

例题：由中点反求另一个端点

已知线段 $AB$ 的中点是 $M(3,-1)$，端点 $A(-2,5)$，求另一个端点 $B$。

内分点公式：中点只是最对称的一种分法

现在不从中间切。设点 $R$ 在线段 $AB$ 内部，并且：

其中 $m>0$、$n>0$。整条线段一共被看成 $m+n$ 份，$R$ 从 $A$ 出发走了其中的 $m$ 份，所以它走过全程的比例是：

从 $A$ 到 $B$ 的坐标变化是 $(x_2-x_1,y_2-y_1)$，走其中的 ，便得到：

分别整理两个坐标：

这个公式的权重看起来像“交叉放置”：靠近 $B$ 的那一端，$B$ 的坐标权重是 $m$。其实原因很简单——$AR$ 越长，$R$ 就越靠近 $B$。

当 $m=n$ 时，分点公式就退化成中点公式。

例题：按给定比例找分点

点 $R$ 在线段 $AB$ 上，$A(1,-2)$、$B(9,6)$，并且 $AR:RB=3:1$。求 的坐标。

如果分点在线段延长线上，可以仍用参数式 $R=A+t(B-A)$。此时 $t<0$ 或 $t>1$。若外分点满足 $AR:RB=m:n$，其中 、 且 ，整理参数式可得：

这里的减号正是在提醒我们：点不在线段内部。若 $m=n$，直线上不存在到 $A$、$B$ 距离相等的有限外分点。初学时先用参数 $t$ 判断点在 $A$ 的外侧还是 $B$ 的外侧，通常比只背公式更可靠。

轨迹与方程：让一个点动起来

在纸上固定两个点 $A$、$B$，让笔尖 $P$ 一边移动，一边始终保持 $PA=PB$。你不是在找某一个点，而是在找所有符合条件的位置。笔尖能走过的整套位置，叫这个动点的轨迹。

坐标法会把“所有符合条件的位置”压缩成一个方程。设动点为 $P(x,y)$，方程限制了 $x$、$y$ 怎样一起变化；每一组满足方程的实数坐标，对应轨迹上的一个点。

方程和轨迹必须双向对得上

要说某个方程就是一条轨迹的方程，需要同时守住两件事：

1. 轨迹上的每一个点，其坐标都满足这个方程；
2. 每一组满足方程的实数坐标，都确实给出轨迹上的点。

只证明第一条，方程可能偷偷多装进一些不该有的点；只证明第二条，又可能漏掉原本应该在轨迹上的点。尤其遇到平方、开方、约分时，要回头检查是否产生增根或丢掉特殊位置。

例题：到两个定点距离相等的点在哪里

已知 $A(-2,0)$、$B(4,0)$。动点 $P(x,y)$ 始终满足 $PA=PB$，求它的轨迹方程，并说明轨迹是什么。

这个例子也说明了坐标法为什么省力：几何里“垂直平分线上的点到两端等距”与它的逆命题，在坐标里都藏在同一次展开和化简中。

判断一个点是否在轨迹上

如果已经知道轨迹方程，判断某点是否在上面，只要代入坐标。

例如点 $(3,4)$ 是否在轨迹 $x^2+y^2=25$ 上？代入得到：

等式成立，所以点在轨迹上。点 $(2,4)$ 代入得到 $20\ne25$，因此不在轨迹上。

这里的判断不是“看着像在圆上”，而是检查这个点的地址是否满足轨迹规定的代数条件。

怎样选一个不添乱的坐标系

同一张图可以放进无数个坐标系，几何关系不会变，但方程的长短会差很多。建系之前先停一下，看看图里有没有中点、对称轴、垂足、圆心或一条特别重要的直线。

以底边长为 $2a$、高为 $h$ 的等腰三角形为例。把底边中点设为原点，底边放在 $x$ 轴上，对称轴放在 $y$ 轴上，三个顶点可以直接写成：

“底边被平分”被写成了两个相反数，“高与底边垂直”被写成了两条坐标轴，“顶点在对称轴上”被写成了横坐标为 $0$。图形的关键条件已经提前装进坐标里。

于是两条腰的长度立刻得到：

下面的交互展示同一个等腰三角形在三种建系方式下的坐标和距离式。切换原点位置，观察几何图形没变时，代数表达怎样变长或变短。

选择坐标系时，可以按下面的顺序找位置：

• 有对称中心，优先把它放在原点；
• 有对称轴，优先让它与某条坐标轴重合；
• 有重要线段，优先让它落在 $x$ 轴或 $y$ 轴上；
• 有中点、垂足、圆心，尽量让这些点的坐标出现 $0$、相反数或简单参数。

例题：用建系把等腰三角形算简单

一个等腰三角形的底边长为 $8$，高为 $3$，求两条腰的长度。

一套可以反复使用的解题流程

碰到“用坐标法证明或计算”的问题，可以照着下面五步走。真正决定计算是否清爽的，往往是前两步。

容易踩的坑

把横纵顺序读反

$(2,-5)$ 与 $(-5,2)$ 不是同一个点。写坐标、读坐标、代入公式，都坚持先横后纵。

把横坐标和纵坐标混着相减

距离公式中的两个差必须来自同一方向：

写成 $(x_2-y_1)^2+(y_2-x_1)^2$ 没有对应的直角三角形，也就没有清楚的几何意义。

负坐标相减时漏括号

从 $-3$ 到 $5$ 的横向变化是：

不是 $5-3$。先把坐标完整代入括号，再做减法，能避开大多数符号错误。

把坐标差当成距离

$x_2-x_1$ 可以是负数，它带着方向；距离是长度，只能是 $0$ 或正数。公式最后取算术平方根，正是为了得到非负距离。

分点比例写反

$AR:RB=m:n$ 表示从 $A$ 到 $R$ 走了全程的 $m/(m+n)$。先画出 、、 的顺序，再算比例，不要只凭口诀塞权重。

只推方程，不检查轨迹

从几何条件推出方程只是走完一半。平方可能带来增根，约分可能漏掉使分母为零的情形。最后至少要问一句：方程的每一个实数解，是否都对应原来的几何位置？

自测

练习一：坐标与象限

点 $P(-4,3)$ 在哪个象限？从原点出发，可以怎样定位这个点？

练习二：距离与中点

已知 $A(1,-2)$、$B(7,6)$，求 $AB$ 的长度和中点坐标。

练习三：按比例分点

点 $R$ 在线段 $AB$ 上，$A(-3,1)$、$B(7,6)$，且 $AR:RB=2:3$。求 的坐标。

练习四：判断三角形

已知 $A(-2,1)$、$B(2,5)$、$C(6,1)$，判断三角形 $ABC$ 的类型。

练习五：由距离条件找轨迹

动点 $P(x,y)$ 到原点的距离恒为 $5$。写出轨迹方程，并判断点 $(3,-4)$ 是否在轨迹上。

练习六：选择坐标系

一个矩形的长为 $2a$、宽为 $2b$。若要让四个顶点的坐标最对称，可以怎样建系并设点？

把这一页真正带走

坐标法最值得记住的不是一串公式，而是几个可以重复使用的动作：给点写地址，把斜线补成直角三角形，把分点看成从起点走了全程的某个比例，把动点条件写成方程，再把计算结果翻译回图形。

后面遇到直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线，我们做的仍然是这套动作。曲线会越来越复杂，但坐标法的起点一直很朴素：先把图形放稳，再让数替我们计算。

中点的两个坐标分别取平均：

长度答案是非负数 $10$，中点答案是有序数对 $(4,2)$，两者的几何意义不同。

用内分点公式核对：

因为 $AB^2=BC^2$，所以 $AB=BC$；又因为：

所以三角形 $ABC$ 是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形。

这表示以原点为圆心、半径为 $5$ 的圆。把 $(3,-4)$ 代入：

等式成立，所以点 $(3,-4)$ 在这条轨迹上。

这种设法直接写出了中心对称：每个顶点关于原点的对称点，只需把两个坐标同时变号。