双曲线：两处距离的“差”怎样画出两支曲线

椭圆可以用两颗图钉和一根绳画出来：笔尖把绳绷紧，两个距离的和不变。双曲线也有一套很像的画法，只是要多一把能绕图钉转动的尺子。

把尺子的一端固定在焦点 $F_1$，让它能转动；把一根比尺子短的绳，一端系在尺子另一头，另一端固定在焦点 $F_2$。用笔尖 $P$ 把绳压在尺边并始终绷紧，再转动尺子。尺长减去绳长不会变，而这个固定差恰好会变成 $PF_1-PF_2$。笔尖走出的，就是双曲线的一支。把尺子和绳子的固定端对调，再画一次，另一支就出来了。

这个动作很值得记住：椭圆是在管距离和，双曲线是在管距离差。“和不变”把点拢成一圈；“差不变”则把点分到两个焦点外侧，长成向两边伸展的两支。

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距离差为什么要加绝对值

设两个焦点为 $F_1,F_2$，动点为 $P$。如果 $P$ 到两焦点的距离差的绝对值始终等于正数 $2a$，那么 $$ 的轨迹就是双曲线：

$$\left|PF_1-PF_2\right|=2a$$

这里的 $PF_1,PF_2$ 都表示线段长度，所以它们本身非负。外层绝对值不是装饰，它把两种相反的减法合在了同一个定义里。

把焦点放在 $x$ 轴上，令

$$F_1(-c,0),\qquad F_2(c,0)$$

那么焦距为 $F_1F_2=2c$。右支上的点离右焦点 $F_2$ 更近，因此满足

$$PF_1-PF_2=2a$$

左支上的点离左焦点 $F_1$ 更近，因此满足

$$PF_2-PF_1=2a$$

两支的减法方向相反，绝对值把它们统一成一句话。若一开始只写 $PF_1-PF_2=2a$，你得到的只有右支，不是整条双曲线。

为什么必须有 $0<a<c$

三角形两边之差的绝对值不会超过第三边，所以任意点 $P$ 都有

$$\left|PF_1-PF_2\right|\leq F_1F_2=2c$$

要得到通常的双曲线，必须让

$$0<2a<2c$$

也就是 $0<a<c$。三个边界情况分别是：

• $2a=0$ 时，轨迹是两焦点连线的垂直平分线；
• $2a=2c$ 时，轨迹退化成焦点连线外侧的两条射线；
• $2a>2c$ 时，任何点都做不到，轨迹为空。

下面的交互里，焦点固定在 $(-c,0)$ 和 $(c,0)$。拖动点 $P$，观察两条焦半径和它们的距离差；再点“左支示例”和“右支示例”，你会看到同一个 $2a$ 怎样对应两种减法顺序。

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把距离差翻译成标准方程

我们先推焦点在 $x$ 轴上的情形。仍取

$$F_1(-c,0),\qquad F_2(c,0)$$

设 $P(x,y)$ 在右支上。右支满足 $PF_1-PF_2=2a$，把两段距离写成坐标形式：

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$$

根号看起来多，其实处理顺序很固定：先孤立一个根号，平方；再孤立剩下的根号，再平方。

这就是中心在原点、焦点在 $x$ 轴上的双曲线标准方程。参数关系也随之确定：

$$c^2=a^2+b^2$$

两次平方会不会多出点

平方会忘掉正负号，所以不能推到标准式就停。由标准方程可得

$$y^2=b^2\left(\frac{x^2}{a^2}-1\right)$$

因此曲线上必有 $|x|\geq a$。对右支 $x\geq a$，两条焦半径可以化成

$$PF_1=ex+a,\qquad PF_2=ex-a$$

其中 $e=\frac{c}{a}$。它们的差确实是 $2a$。对左支 $x\leq -a$，两条距离的顺序对调，绝对值仍然是 $2a$。这样回查后，标准方程和原来的绝对值定义才真正对上。

纵向双曲线

若焦点放在 $y$ 轴上，坐标交换后得到

$$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$$

它沿 $y$ 轴向上、向下开口。判断方向时只看哪一个平方项为正：

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$a,b,c,e$ 分别在图上管什么

以横向双曲线为例：

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

“虚轴”里的“虚”很容易让人误会。它不是说 $b$ 是虚数，而是因为令 $x=0$ 时会得到 $y^2=-b^2$，虚轴端点 $(0,\pm b)$ 不在实数曲线上。我们仍然画出这两个点，是为了和 一起搭出中心矩形。

双曲线里也不适合说“长轴、短轴”。$a$ 和 $b$ 没有固定的大小关系；它们分别属于实轴和虚轴，这两个名字更准确。

离心率一定大于 $1$，因为 $c>a$。把 $c=ae$ 代入参数关系，还可以得到

$$\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$$

这说明离心率不是孤零零的比值，它也决定渐近线的斜率。固定 $a$ 时，$e$ 越大，$b/a$ 越大，两条渐近线越陡。

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渐近线为什么只是“越来越近”

画横向双曲线时，可以先画宽为 $2a$、高为 $2b$ 的中心矩形。矩形两条对角线延长后就是渐近线：

$$y=\pm\frac{b}{a}x$$

“靠近”不能只凭草图感觉。取右上支，由标准方程解出

$$y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2},\qquad x\geq a$$

同一横坐标处，上方渐近线的纵坐标是 $\frac{b}{a}x$。两者的纵向差为

$$\frac{b}{a}x-\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$$

把根式差有理化：

$$\frac{b}{a}\left(x-\sqrt{x^2-a^2}\right) =\frac{ab}{x+\sqrt{x^2-a^2}}$$

当 $x$ 越来越大，分母不断变大，这个差趋近于 $0$。但只要 $x$ 还是有限数，分子 $ab$ 为正，这个差就仍然大于 $0$。所以曲线会无限贴近渐近线，却不会在有限位置与它相交。

直接把 $y=\frac{b}{a}x$ 代回双曲线方程，也会得到左边为 $0$，不可能等于 $1$。这再次说明渐近线不是边界、不是轨道，也不是曲线最终要碰到的“终点”。

纵向双曲线

$$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$$

的渐近线则是

$$y=\pm\frac{a}{b}x$$

一个方便的检查法，是把标准方程右边的 $1$ 暂时换成 $0$，再把二次式分解成两条直线。这个做法能快速找方向，但“为什么趋近”仍然来自上面的差趋近于 $0$。

下面的交互可以调节 $a,b$ 和开口方向。请特别观察：顶点、焦点和中心矩形都在移动，但渐近线始终穿过中心矩形的对角线。

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中心不在原点时，先把坐标搬过去

如果双曲线中心是 $(h,k)$，可以把 $x-h$、$y-k$ 看成“从中心重新量起”的坐标。横向双曲线写成

$$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$$

它的顶点、焦点和渐近线是

$$(h\pm a,k),\qquad (h\pm c,k)$$ $$y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)$$

纵向双曲线写成

$$\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1$$

对应有

$$(h,k\pm a),\qquad (h,k\pm c)$$ $$y-k=\pm\frac{a}{b}(x-h)$$

你会发现，平移没有改变 $a,b,c$ 的关系，也没有改变双曲线的形状；它只是把中心和整套图形一起搬到了 $(h,k)$。

例题：从一般式找中心和全部几何量

把方程

$$9x^2-16y^2-54x-64y-127=0$$

化成标准式，并求中心、顶点、焦点、离心率和渐近线。

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从焦点和准线再看一次双曲线

距离差定义用两个焦点。双曲线还有另一种等价说法：一个点到某个焦点的距离，与它到一条对应准线的距离之比保持为 $e$，而且 $e>1$。

对横向双曲线

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

两条准线是

$$x=\pm\frac{a}{e}=\pm\frac{a^2}{c}$$

以右支为例，右焦点是 $F_2(c,0)$，对应右准线

$$x=\frac{a}{e}$$

前面已经得到右支上的焦半径

$$PF_2=ex-a=e\left(x-\frac{a}{e}\right)$$

而 $x-\frac{a}{e}$ 正是点 $P$ 到这条竖直准线的距离。因此

$$\frac{PF_2}{d\left(P,\,x=\frac{a}{e}\right)}=e$$

左支与左焦点、左准线同理。这里一定要“同侧配对”：右支配右焦点和右准线，左支配左焦点和左准线。

中心平移到 $(h,k)$ 后，横向双曲线的准线也跟着平移为

$$x=h\pm\frac{a}{e}$$

纵向双曲线的准线则是

$$y=k\pm\frac{a}{e}$$

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直线与双曲线会有几个交点

求直线和双曲线的交点，核心动作只有一个：把直线方程代入双曲线，最后看得到的一元方程有几个实根。

对横向双曲线

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

把非竖直直线 $y=mx+n$ 代入并清去分母，得到

$$(b^2-a^2m^2)x^2-2a^2mnx-a^2(n^2+b^2)=0$$

当 $b^2-a^2m^2\neq0$ 时，这是关于 $x$ 的二次方程：

• 判别式大于 $0$，直线与双曲线有两个不同交点；
• 判别式等于 $0$，两个交点重合，直线是切线；
• 判别式小于 $0$，没有实交点。

这里的判别式可以整理成

$$\Delta=4a^2b^2\left(n^2+b^2-a^2m^2\right)$$

平行于渐近线是一个特殊情况

若 $m=\pm\frac{b}{a}$，二次项会消失，代入后不再是通常的二次方程。此时：

• 若 $n\neq0$，直线平行于一条渐近线，通常只有一个有限交点；
• 若 $n=0$，这条直线就是渐近线，没有有限交点。

所以不能在二次项已经为 $0$ 时，还机械地拿二次方程判别式分类。

竖直直线 $x=t$ 也要单独代入。对横向双曲线，$|t|>a$ 时有两个交点，$|t|=a$ 时经过一个顶点，$|t|<a$ 时没有交点。

例题：求一条过中心直线的交点

求直线

$$y=\frac12x$$

与双曲线

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$$

的交点。

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切线方程从哪里来

对标准双曲线

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

在曲线上一点 $P(x_0,y_0)$ 处求导：

$$\frac{2x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0$$

当 $y_0\neq0$ 时，切线斜率为

$$m=\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$$

把点斜式整理后，会得到一个很对称的切线方程：

$$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$$

这个式子在顶点也能直接用。比如 $P(a,0)$ 处，它变成 $x=a$，正是右顶点的竖直切线。

例题：过曲线上一点写切线

求双曲线

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$$

在点 $P\left(5,\frac83\right)$ 处的切线。

如果题目给的是切线斜率 $m$，可设切线为 $y=mx+n$。在 $|m|>\frac{b}{a}$ 时，令交点方程判别式为 ，得到

$$n^2=a^2m^2-b^2$$

于是同一允许斜率通常对应两条平行切线：

$$y=mx\pm\sqrt{a^2m^2-b^2}$$

当 $|m|=\frac{b}{a}$ 时，根号虽然变成 $0$，所得直线却是渐近线，不是有限点处的切线；顶点处的竖直切线也不在 $y=mx+n$ 这种写法里。这两个特殊情况要单独处理。

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用时间差把位置限制在双曲线上

假设两个基站 $A,B$ 都接收到同一设备发出的同一个信号。信号传播速度为 $v$，到达时间差为 $\Delta t$，那么设备到两个基站的距离差满足

$$\left|d_A-d_B\right|=v\left|\Delta t\right|$$

只要时间差固定，右边就是常数，设备就被限制在一条以两个基站为焦点的双曲线上。

一对基站通常只能把位置缩小到一条双曲线；换一对基站再测一次，轨迹的交点才可能给出位置。这个模型也解释了为什么定义里要保留两支：只知道时间差的绝对值时，我们还不知道设备更靠近哪个基站。若测量系统保留了时间差的正负，就能判断是哪一个基站先收到信号，从而选定对应的一支。

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一套不容易混的解题顺序

遇到双曲线题，可以按下面的顺序做，不用在公式之间来回猜：

1. 先化成右边为 $1$ 的标准式；若有一次项，先配方找中心。
2. 看正项在哪个轴，确定开口方向和实轴方向。
3. 从实轴项分母读 $a^2$，从负项分母读 $b^2$。
4. 用 $c^2=a^2+b^2$ 求焦点，用 求离心率。

练习一：从标准式读图

求双曲线

$$\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$$

的顶点、焦点、渐近线、离心率和通径长。

显示答案

正项在 $x$ 轴，所以左右开口。$a=5$，$b=3$，由 $c^2=a^2+b^2$ 得 。顶点为 ，焦点为 ，渐近线为 ，离心率为 ，通径长为 。

练习二：平移后的双曲线

求双曲线

$$\frac{(y-1)^2}{4}-\frac{(x+3)^2}{12}=1$$

的中心、顶点、焦点、渐近线和准线。

显示答案

正项是 $y$ 项，所以双曲线上下开口，中心为 $(-3,1)$。$a=2$，$b=2\sqrt3$，，所以 ，。顶点为 ，焦点为 。渐近线为 ，准线为 ，也就是 和 。

练习三：用焦点和准线求方程

一条横向双曲线中心在原点，右焦点为 $(5,0)$，对应右准线为 $x=\frac95$。求标准方程。

显示答案

这里 $c=5$，而右准线是 $x=\frac{a^2}{c}$，所以 $\frac{a^2}{5}=\frac95$，得到 。再用 ，标准方程为 。离心率是 ，也可检查 。

练习四：判断交点个数

不必求出交点坐标，判断直线 $y=2x+1$ 与双曲线

$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$$

有几个实交点。

显示答案

这里 $a=3$、$b=2$、$m=2$、$n=1$。判别式的符号由 $n^2+b^2-a^2m^2$ 决定：，所以没有实交点。也可以直接代入得到一个判别式小于 的二次方程。

练习五：写出切线

求双曲线

$$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$$

在点 $(8,3\sqrt3)$ 处的切线。

显示答案

先验点：$\frac{64}{16}-\frac{27}{9}=4-3=1$，点在曲线上。代入切线公式 ，得到 。两边乘以 ，可写成 。

最后把整页压成一句话：距离差决定两支，正项决定方向，$a,b$ 决定形状，$c$ 决定焦点，渐近线告诉你远处往哪里走。只要这条线索不断，定义、方程和图形就不会散开。