圆与方程

拿一支圆规，把针脚扎在纸上，铅笔脚张开一段固定距离，然后转一圈。针脚没有动，铅笔尖一直在动，但铅笔尖到针脚的距离从头到尾都没变。纸上留下的那一圈轨迹，就是圆。

这件事看起来只是画图，实际上已经把圆最核心的条件说完了：一个动点到某个定点的距离始终等于同一个正数。定点是圆心，固定距离是半径。解析几何接下来要做的，只是给针脚和铅笔尖标上坐标，再把“距离不变”翻译成方程。

针脚固定、张角不变，铅笔尖的运动轨迹就是圆。

把距离动作翻译成标准方程

设圆心是 $C(a,b)$，半径是 $r$，并约定 $r>0$。圆上任意一点记作 $P(x,y)$。

圆规告诉我们，点 $P$ 能留在圆周上，当且仅当 $CP=r$。两点距离公式把这句话写成：

两边平方，得到圆的标准方程：

标准方程不是要硬背的新公式，它只是勾股定理给“半径不变”换了一种写法。

为什么左边恰好是两个平方相加？从 $C$ 向右或向左走到 $P$ 的正下方，水平变化量是 $x-a$；再竖直走到 $P$，竖直变化量是 $y-b$。这两段直角边和半径 $CP$ 组成直角三角形，所以勾股定理给出：

这一步还说明了方程和圆不是单向关系。圆上的点一定满足方程；反过来，只要一个实数点满足方程，它到 $C$ 的距离就是 $r$，所以它一定在圆上。方程没有多收点，也没有漏掉点。

两个常见的特殊位置

如果圆心就在原点，那么 $a=b=0$，标准方程变成：

如果把原点选在圆周上，并把圆心放在 $x$ 轴正半轴上，圆心就是 $(r,0)$。这时：

展开后得到：

这个式子没有常数项，不是巧合。因为圆经过原点，把 $(0,0)$ 代入方程必须成立，常数项自然只能是 $0$。

例题：从圆心和半径出发

已知圆心为 $C(-2,3)$，半径为 $5$。写出圆的方程，并判断点 $A(1,7)$ 是否在圆上。

从方程读回圆

看到标准式时，可以把它想成一张圆规的设置单：两个括号告诉你针脚扎在哪里，右边告诉你圆规张开多大。

例如：

应该读成：

所以圆心是 $(-2,3)$，半径是 $4$。括号里的符号看起来和圆心坐标相反，是因为标准式记录的是“动点坐标减圆心坐标”。

知道圆心和半径以后，画草图不必从许多散点开始。先标圆心，再标出上、下、左、右四个端点：

最后用平滑曲线把它们连成圆。这四个点也立刻给出圆在两个坐标方向上的范围：

点在圆内、圆上还是圆外

把一个点 $Q(h,k)$ 放到圆附近，判断它的位置，其实是在比较 $CQ$ 和 $r$。为了少开一次平方根，我们直接比较距离的平方：

也可以把所有量移到一边，记成：

$S<0$、$S=0$、$S>0$ 分别对应圆内、圆上、圆外。这个“代入以后看正负”的办法，后面判断切线长度时还会出现。

例题：一次判断三个点

对圆

判断 $P(2,1)$、$Q(5,-1)$、$R(6,-1)$ 的位置。

一般式藏住了圆心

标准式适合读图，但方程一展开，圆心和半径就藏起来了。比如：

它看不出两个平方括号，却仍然是一个圆。把圆心找回来，需要用配方法把零散的一次项重新塞回完全平方。

先记住一个小动作：

也就是“取一次项系数的一半，再平方”。对 $x$ 做一次，对 $y$ 再做一次，标准式就会重新出现。

一般方程怎样变回标准方程

把二次项系数已经化成 $1$ 的一般式写成：

分组、移项并配方：

于是圆心是：

半径平方是：

这里必须看 $R^2$ 的正负：

一个二次方程要表示圆，除了最后得到正的半径平方，还要先有正确的“骨架”：$x^2$ 和 $y^2$ 的系数相同，并且没有 $xy$ 项。若共同系数不是 $1$，先把整个方程除以它，再配方。若二次项系数不相等，或出现 $xy$ 项，它通常属于后面要学的其他圆锥曲线，而不是圆。

例题：配方时每一边都要补

把方程

化成标准式，并写出圆心和半径。

例题：三个点能不能定出一个圆

三个不共线的点能唯一确定一个圆。原因很直观：圆心必须同时落在三条弦的垂直平分线上；取两条弦，它们的垂直平分线会交在唯一的圆心。用坐标做题时，可以直接把三个点代入一般式。

求经过 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(0,6)$ 的圆。

用最短距离判断直线与圆

想象一把直尺从圆的下方慢慢向上推。起初直尺碰不到圆；继续推，它刚好擦到圆周一个点；再推一点，直尺穿进圆里，从圆周的一边进、另一边出。

这三个画面分别是相离、相切、相交。真正控制变化的量，是圆心到直线的最短距离 $d$。

从圆心向直线作垂线，比较这段最短距离和半径，就能数出公共点。

设圆心为 $C(a,b)$，半径为 $r$，直线的一般式为：

这里把常数写成 $C_0$，是为了不和圆心字母 $C$ 混淆。圆心到直线的距离为：

于是：

为什么只比较这两个长度就够了？因为 $d$ 是圆心到整条直线的最短距离。

• 如果连最近的点都在半径以外，直线不可能碰到圆。
• 如果最近的点恰好离圆心一个半径，它就是唯一的接触点；这时半径与切线垂直。
• 如果最近的点已经进入圆内，直线沿两个方向继续延伸时会各穿出圆周一次，所以有两个交点。

这套方法也照顾了竖直线和水平线。比如直线 $x=t$ 到圆心 $(a,b)$ 的距离就是 $|a-t|$；直线 $y=t$ 到圆心的距离就是 $\mathrm{\mid }b-t$。不需要斜率，也不会遇到“竖直线斜率不存在”的麻烦。

例题：同一个圆，直线只移动一点点

圆为：

依次判断直线 $x=4$、$x=6$、$x=7$ 与圆的位置关系。

联立方程能把交点找出来

距离法擅长快速回答“有几个交点”，但如果题目还要交点坐标，就要把直线方程和圆方程联立。

把直线代入圆，通常会得到一个一元二次方程：

这里的 $u$ 可能是 $x$，也可能是 $y$。它的实根个数就是公共点个数：

距离法和判别式法不是两套互不相干的口诀。它们在看同一个事实：直线离圆心太远、刚好一个半径、或已经穿过半径范围。一个从图形测距离，一个从方程数实根。

例题：判断并求出两个交点

求直线

与圆

的交点。

一套稳定的解题顺序

圆的题目看起来变化很多，实际动作很固定。先看题目给的是图形信息还是展开方程，再决定从哪边进入。

1. 给圆心和半径：直接写标准式，暂时不要展开。
2. 给一般式：先统一二次项系数，再分别对 $x$、$y$ 配方，最后检查半径平方是否为正。
3. 判断点的位置：把点代入距离平方，和 $r^2$ 比较。
4. 判断直线与圆：把直线写成一般式，算圆心到直线的距离 $d$，和 $r$ 比较。
5. 还要求交点：在判断之后联立，解出坐标并回代检查。

有时题目给的是一条直径的两个端点 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$。这时先把几何信息拆开：圆心是线段 的中点，半径是 长度的一半。也就是：

得到这两个量后，再回到标准方程。这样比先设一长串未知系数更贴近题目给出的图形。

练习与自检

下面的题目按“写标准式—配方—判位置—判交点—由条件定圆”的顺序递进。先在纸上完成，再展开核对。

练习一：写标准方程

圆心为 $(-3,2)$，直径为 $8$。写出圆的标准方程。

练习二：从一般式读圆

把方程

化为标准式，并写出圆心和半径。

练习三：识别退化情形

方程

表示一个真实的圆吗？

练习四：判断点的位置

点 $P(4,1)$ 在圆

的内部、圆上还是外部？

练习五：判断直线与圆

判断直线

与圆

的位置关系。

练习六：判断相切并找切点

判断直线 $y=4$ 与圆

是否相切；如果相切，求切点。

练习七：由直径端点定圆

一条直径的两个端点是 $A(-1,2)$、$B(5,6)$。求圆的标准方程。

做到这里，你应该能在三个画面之间来回切换：圆规转一圈，是“到圆心的距离不变”；坐标系里写下来，是标准方程；一条直线靠近圆时，则变成圆心到直线的距离和半径的比较。后面的椭圆、双曲线和抛物线会继续沿用这条路：先找到图形的距离条件，再让方程把它说清楚。

移项、配方：

所以圆心是 $(-2,3)$，半径是 $5$。

因为 $\frac{22}{5}>2$，所以直线与圆相离，没有公共点。

直径长度为：

所以半径是 $\sqrt{13}$，圆的标准方程为：