椭圆：先拉紧一根绳子，再来看方程

先别急着记 $a$、$b$、$c$ 分别是什么。找两枚图钉，钉在纸上的 $F_1$、$F_2$ 两点；再用一根定长细绳连住它们，用笔尖 $P$ 把绳子绷紧。笔尖不断移动，但始终不让绳子松下来，纸上慢慢出现的就是一条椭圆。

两枚图钉是焦点，笔尖所在的动点 $P$ 始终把两段绳子拉紧。

这个动作里已经藏着椭圆的全部起点：$P$ 到两枚图钉的距离会变，但两段距离加起来，永远是同一根绳的长度。后面标准方程里那些根号，说到底，只是在把这个画面翻译成代数。

绳子不变长，距离和就不变

设平面内有两个不同的定点 $F_1$、$F_2$，动点 $P$ 满足

并且

那么 $P$ 的轨迹就是椭圆。$F_1$、$F_2$ 叫焦点，$|PF_1|$ 和 叫动点的两条焦半径。我们再把两焦点的距离写成

于是，$a$ 是那个固定距离和的一半，$c$ 是两焦点距离的一半。条件 $2a>2c$ 也就是 $a>c$。

为什么必须严格大于？三角形两边之和不小于第三边，所以对任意 $P$ 都有

如果 $2a=2c$，取等只能发生在 $P$ 落于线段 $F_1F_2$ 上时，轨迹会压成一条线段；如果 $2a<2c$，连一个符合条件的点都找不到。只有 时，绳子才有足够的余量向两侧张开，画出真正的椭圆。

下面的交互里，你可以改变 $a$、$c$ 和点 $P$ 的位置。两条焦半径各自在变，它们的和却一直对得上 $2a$。

根号从哪里来，又是怎样消失的

要把拉绳动作写成方程，坐标系最好摆得对称一点。把两个焦点放在 $x$ 轴上，中点放在原点：

设动点是 $P(x,y)$。距离公式把两段绳长写成

代回“距离和等于 $2a$”，得到

根号并不是凭空冒出来的，它们就是两次勾股定理。接下来的目标也很明确：通过平方把根号逐个去掉。

先让一个根号单独站在一边

把到 $F_1$ 的距离留在左边：

两边平方：

两边都有 $y^2$，可以消掉。而

所以整理后变成

除以 $4a$，可以把剩下的那个根号完全隔离出来：

这一步很有用。它不只是为了继续化简，还告诉我们：椭圆上的点向右移动时，它到右焦点 $F_2$ 的距离会按照 $a-(c/a)x$ 线性减小。

再平方一次

对上式两边平方：

把两边展开：

两边的 $-2cx$ 正好抵消。乘以 $a^2$ 清除分母，再把同类项放在一起：

因为 $a>c$，所以 $a^2-c^2>0$。给这个反复出现的正数取一个更好用的名字：

原式就成了

最后除以 $a^2b^2$，得到

这就是中心在原点、焦点在 $x$ 轴上的椭圆标准方程。

大分母放在谁下面，长轴就朝哪里

椭圆有横着放和竖着放两种标准位置。判断方向时，不要死记“$x^2$ 下面一定是 $a^2$”。$a$ 表示长半轴，所以 $a^2$ 一定是较大的分母；这个大分母跟着谁，长轴就在谁的方向上。

较大的分母给出长轴方向，焦点也一定落在长轴上。

两种情形都满足

以横轴椭圆为例，方程中只出现 $x^2$、$y^2$，把 $x$ 或 $y$ 换成相反数，等式不变。所以它关于 $x$ 轴、$y$ 轴和原点都对称。又因为两个平方项都非负，每一项都不会超过 ，于是

这就是为什么 $(\pm a,0)$ 是水平方向的最远点，$(0,\pm b)$ 是竖直方向的最远点。长轴长是 $2a$，短轴长是 $2b$。

椭圆移走了，只需要追着中心走

标准方程把中心放在原点，只是为了省事。如果整个椭圆向右移 $h$、向上移 $k$，原来的坐标 $(x,y)$ 要改成相对于新中心的位移量 $(x-h,y-k)$。

长轴水平时，方程是

长轴竖直时，方程是

两种情形的中心都是 $(h,k)$。其余元素也很直接：先在原点椭圆上写出顶点、短轴端点和焦点，再给每个坐标都加上 $(h,k)$。

例题：从平移方程读出整张图

已知

先看平方括号：$x-2=x-h$，$y+1=y-(-1)$，所以中心是 $(2,-1)$。大分母 在 下面，长轴水平。然后

因此长轴顶点是 $(-3,-1)$、$(7,-1)$，短轴端点是 $(2,-4)$、$(2,2)$，焦点是 $(-2,$、。

如果展开方程，你会看到一次项；它们不表示图形变成了别的东西，只是中心不在原点。配方的作用，就是把藏在一次项里的 $(h,k)$ 重新找出来。

$a$、$b$、$c$、$e$ 不是四个互不相干的数

一旦知道 $a$、$b$、$c$ 中的两个，第三个就被 $a^2=b^2+c^2$ 确定了。

把这四个量放回图上，它们各自的作用很清楚：

• $a$ 是长半轴，同时也是距离和 $2a$ 的一半。
• $b$ 是短半轴，控制椭圆横向之外的张开程度。
• $c$ 是中心到一个焦点的距离，两焦点的距离是 $2c$。
• $e$ 是离心率，定义为

因为椭圆要满足 $0\le c<a$，所以

离心率的意思可以直接从“焦点离中心有多远”来理解。在 $a$ 保持不变时，$e$ 越大，$c=ae$ 越大，焦点越靠近顶点；同时

会越小，椭圆看起来就越扁。

$a$ 不变时，$c$ 增大和 $b$ 减小是同一件事的两面。

当 $e=0$ 时，$c=0$、$a=b$，两个焦点在中心重合，方程变成圆。它可以看作椭圆的特殊情形。当 $e$ 越来越接近 $1$ 时，$b$ 越来越接近 ，图形逼近长轴所在的线段； 本身已经不是这里所说的非退化椭圆。

两个常用的派生量

椭圆可以看成把半径为 $1$ 的圆水平拉伸 $a$ 倍、竖直拉伸 $b$ 倍得到的图形。面积也随之放大 $ab$ 倍，所以

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径。对横轴椭圆，在 $x=c$ 代入标准方程，得

因此整条通径长为

它把“焦点位置”和“椭圆在焦点附近有多宽”连在了一起。

把点代进左边，就知道它在里面还是外面

对中心在 $(h,k)$、长轴水平的椭圆，记

那么

• $S=1$ 时，点在椭圆上；
• $S<1$ 时，点在椭圆内；
• $S>1$ 时，点在椭圆外。

这不只是一条代入规则。从中心出发，沿同一个方向把点的位移量缩小 $t$ 倍，$S$ 会变成 $t^2S$。因此 $S<1$ 表示还没走到边界，$S>1$ 表示已经越过边界。

例题：三个点，三种位置

对椭圆

判断 $P(3,16/5)$、$Q(3,2)$、$R(6,0)$ 的位置。

对 $P$，

所以 $P$ 在椭圆上。对 $Q$，

所以 $Q$ 在椭圆内。对 $R$，

所以 $R$ 在椭圆外。

下面的交互把“读方程”和“判断点的位置”放在一起。改变长轴方向、$a$、$b$ 和点 $P$，顶点、焦点、离心率和代入结果会同步变化。

用一个角度把椭圆上的点全部走一遍

解方程时，我们常把椭圆看成一个被压扁的圆。先画一个半径为 $a$ 的辅助圆，从原点作一条与 $x$ 轴夹角为 $\varphi$ 的半径。圆上点的坐标是

保留横坐标，把纵坐标按 $b/a$ 压缩，就落到椭圆上：

如果长轴在 $y$ 轴上，把两个缩放量交换，得到 $x=b\cos\varphi$、$y=a\sin\varphi$。中心平移到 $(h,k)$ 后，横轴椭圆则写成

代入标准方程，

所以 $\varphi$ 从 $0$ 走到 $2\pi$ 时，点 $(x,y)$ 正好把整条椭圆走一圈。这个 $\varphi$ 叫偏心角。

例题：用参数造出一个椭圆上的点

对椭圆

有 $a=5$、$b=3$。取 $\varphi=\pi/3$，则

因此

一定在椭圆上。这种写法的好处是不用先猜 $x$，再开根号求 $y$；一个角度就会自动给出一个合法点。

从两个焦点，走向“焦点与准线”的统一定义

回到横轴椭圆。下面先假设 $0<e<1$；当 $e=0$ 时图形是圆，焦点与中心重合，没有这里所说的有限准线。前面在推方程时，已经得到点 $P(x,y)$ 到右焦点 $F_2(c,0)$ 的距离：

在右侧放一条竖直直线

因为椭圆上 $x\le a<a/e$，所以 $P$ 到这条直线的距离是

乘以 $e$：

也就是

这条直线叫与右焦点对应的准线。左焦点 $F_1(-c,0)$ 对应的准线是 $x=-a/e$。于是横轴椭圆的两条准线是

长轴在 $y$ 轴上时，相同的关系变成

这样，椭圆又可以说成：平面内到一个定点的距离，与到一条定直线的距离之比，恒等于一个小于 $1$ 的常数 $e$。这里的定点是焦点，定直线是准线。

它和“两焦点距离和不变”并不矛盾，而是在用另一种方式描述同一条曲线。这个版本还能把椭圆、抛物线和双曲线放到同一套语言里：$e<1$ 得到椭圆，$e=1$ 得到抛物线，$e>1$ 得到双曲线。

切线为什么会把一个焦点的光送到另一个焦点

设 $P(x_1,y_1)$ 是椭圆

上的点。在 $P$ 点的切线方程是

你可以把它理解成一个很好记的替换：标准方程里的 $x^2$ 换成 $xx_1$，$y^2$ 换成 $yy_1$。但更稳妥的理由是，函数

在 $P$ 点的法向量与

同方向。让切线上的位移 $(x-x_1,y-y_1)$ 与这个法向量垂直，整理后就得到上面的切线式。

如果 $y_1\ne0$，切线斜率是

顶点 $(\pm a,0)$ 不能直接套这个斜率式，那里的切线分别是竖直直线 $x=\pm a$。

焦点角平分的直觉

椭圆是距离和 $|PF_1|+|PF_2|$ 的等值线。在 $P$ 点，从 $F_1$ 指向 的单位向量，与从 指向 的单位向量相加，给出距离和增长最快的方向。两个等长向量的和正好指向它们的角平分线，而等值线的切线要与这个方向垂直。

所以，椭圆在 $P$ 点的法线平分两条焦半径所成的内角。换成光线的说法：从 $F_1$ 射向 $P$ 的光线，与法线的入射角，正好等于反射线与法线的反射角；反射线因此会经过 $F_2$。

法线平分两条焦半径的内角，于是反射路径从一个焦点走向另一个焦点。

这个性质解释了为什么椭圆形回音廊的一个焦点附近发出的声音，会在另一个焦点附近汇聚。实际建筑会受到三维形状、材料吸声和多次反射的影响，但二维椭圆反射是这个模型的核心。

例题：先验点，再写切线

求椭圆

在点 $P(3,16/5)$ 处的切线。

先代入检查：

所以 $P$ 确实在椭圆上。然后使用切线式：

化简得

这条切线的斜率是 $-3/5$，法线斜率是 $5/3$。从任一焦点连到 $P$，再以法线为对称轴反射，路径都会朝另一个焦点去。

已知斜率时怎么找切线

对标准椭圆，斜率为 $m$ 的切线可写成

为什么有正负两条？把 $y=mx+q$ 代入椭圆会得到一个关于 $x$ 的二次方程。直线与椭圆相切时，两个交点合并为一个，判别式必须是 $0$；解出来正好是 $q^2=a^2m^2+b^2$。椭圆的中心对称性保证了同一个斜率通常有上、下两条平行切线。

三类典型题，把几何条件翻译成参数

已知焦点和长轴

已知椭圆的焦点是 $(-3,0)$、$(3,0)$，长轴长为 $10$，求标准方程。

已知方程，要读出几何元素

已知

先除以 $400$，不要在一般式上硬猜：

大分母 $25$ 在 $x^2$ 下，所以长轴水平。有

于是长轴长 $10$，短轴长 $8$，顶点 $(\pm5,0)$，短轴端点 $(0,\pm4)$，焦点 $(\pm3,0)$，离心率

已知建模尺寸

一个椭圆形拱门的水平宽度是 $20$ 米，以完整椭圆截面计算，竖直高度是 $12$ 米。把截面中心当作原点，则 $a=10$、$b=6$，方程是

若要求距中心水平 $8$ 米处的半高，代入 $x=8$：

解得 $y^2=12.96$。取上半部，得 $y=3.6$ 米。这类题的关键是先问清楚“宽和高是整条轴，还是半轴”，再把尺寸除以 $2$。

练习

1. 椭圆的焦点为 $(0,\pm4)$，长轴长为 $10$。求它的标准方程。

2. 已知

求中心、长短轴长、顶点、焦点、离心率和两条准线。

3. 对椭圆

判断 $(2,1)$、$(4,0)$、$(0,3)$ 的位置。

4. 对椭圆

取偏心角 $\varphi=2\pi/3$。求对应点 $P$ 的坐标，并求它到两焦点的距离。

5. 求椭圆 $x^2/25+y^2/16=1$ 在 $P(3,16/5)$ 处的切线和法线方程。

6. 某椭圆的长半轴和短半轴都是 $6$。它的焦点在哪里？离心率是多少？

7. 椭圆 $x^2/36+y^2/20=1$ 的通径长是多少？

回到那根绳子

现在再看开头的拉绳动作，后面的结构就不会散。绳长给出 $2a$，图钉的间距给出 $2c$，短半轴由 $b^2=a^2-c^2$ 自动补出；大分母决定长轴方向，$$ 说明焦点离中心有多远。

偏心角让我们沿椭圆行走，准线把它放进三种圆锥曲线的统一定义，而切线处的角平分性质，又把代数方程送回了真正的光线和声音路径。整章始终在说同一件事：一个看得见的动作，怎样被翻译成可以计算、可以验算的方程。

长轴长 $14$，短轴长 $6$。顶点是 $(-8,2)$、$(6,2)$，焦点是 $(-1-2\sqrt{10},2)$、$(-1+2\sqrt{10},2)$。离心率是 $2\sqrt{10}/7$，准线是

到右焦点的距离是

到左焦点的距离是 $2a-7=3$，两者之和仍是 $10$。

也可用 $c=4$ 验算：代入 $x=4$ 得 $y=\pm10/3$，上下交点的距离正是 $20/3$。