直线与方程 | 自在学

直线与方程

一条直线有三种看法：在几何里，它是笔直延伸的图形；在函数里，它常常是一条一次函数图像；在代数里，它是一组满足同一个一次方程的点。本章要把这三种看法接起来。

学习直线方程时，不必先把点斜式、斜截式、两点式、一般式背成四个孤立公式。更好的问题是：题目给了什么信息？这个信息最自然地写成哪一种方程？当你能回答这个问题，直线方程就从“公式仓库”变成了“翻译工具”。

同一坐标系中上升直线的倾斜角、横向变化、纵向变化与斜率公式示意图。

倾斜角、横向变化、纵向变化和斜率描述的是同一条直线的方向。

斜率先是变化率

在平面直角坐标系中，直线的倾斜程度可以用倾斜角表示。倾斜角是直线从正 $x$ 轴方向逆时针转到自身方向所形成的角，通常记作 $\theta$ ，取值范围是 $0\leq \theta<\pi$ 。

当直线不是竖直线时，倾斜角和斜率之间有一个直接关系：

k=\tan\theta

如果直线上有两个不同点 $P_1(x_1,y_1)$ 、 $P_2(x_2,y_2)$ ，且，那么斜率也可以写成：

k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

这个式子不是只用于算数值。它表达的意思是：当 $x$ 增加一段， $y$ 按固定比例变化。换句话说，斜率就是这条直线的变化率。

斜率带有“单位”的意义。如果横轴表示时间，纵轴表示距离，那么斜率表示单位时间内距离变化多少；如果横轴表示商品数量，纵轴表示总费用，那么斜率表示每增加一件商品，总费用增加多少。几何里的“陡不陡”和函数里的“变得快不快”，在这里是同一件事。

四个并排小坐标系展示正斜率、负斜率、零斜率和不存在斜率

斜率的符号和是否存在，直接对应直线向右观察时的变化状态。

斜率有四种需要分清的状态。 $k>0$ 时，向右看直线上升； $k<0$ 时，向右看直线下降； $k=0$ 时，直线水平；竖直线的横向变化为 $0$ ，斜率不存在。

“斜率不存在”不是“斜率等于 0”。水平线的斜率等于 $0$ ，方程可以写成 $y=b$ ；竖直线没有斜率，方程写成 $x=a$ 。这两个特殊情形会反复影响后面的方程形式、平行垂直判断和距离计算。

方程形式由已知信息决定

直线方程的不同形式，本质上是在保存不同的已知信息。会选形式，比会背形式更重要。

四种直线方程形式与对应已知信息的匹配图：一点加斜率、斜率加纵截距、两点、代数整理或距离计算分别对应点斜式、斜截式、两点式、一般式。

先看已知信息，再选方程形式。

点斜式：已知一点和斜率

如果直线经过点 $(x_0,y_0)$ ，斜率为 $k$ ，那么直线上任意点 $(x,y)$ 与这个已知点连成的斜率也应当是 $k$ ：

\frac{y-y_0}{x-x_0}=k

整理后得到点斜式：

y-y_0=k(x-x_0)

点斜式最适合“已知一点和斜率”的题目。它保留了题目给出的信息，代入快，也不急着展开。

斜截式：已知斜率和纵截距

如果直线斜率为 $k$ ，且与 $y$ 轴交于 $(0,b)$ ，把点斜式中的已知点取为 $(0,b)$ ，就得到：

y=kx+b

这里的 $b$ 是纵截距，表示直线在 $y$ 轴上的交点纵坐标。一次函数 $y=kx+b$ 其实就是直线的斜截式。

两点式：已知两个点

如果直线经过两个不同点 $(x_1,y_1)$ 、 $(x_2,y_2)$ ，并且这两个点不在同一条竖直线上，可以先用两点求斜率，再写点斜式。合在一起就是两点式：

\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}

两点式的直观意思是：未知点 $(x,y)$ 与第一个已知点形成的“纵向变化比横向变化”，必须和两个已知点之间的变化比例相同。

一般式：适合统一整理和距离计算

所有直线都可以写成一般式：

Ax+By+C=0

其中 $A$ 、 $B$ 不能同时为 $0$ 。一般式的优点是统一：它可以表示斜率存在的直线，也可以表示竖直线。后面判断点到直线距离、直线与圆的位置关系时，一般式尤其方便。

已知信息	适合形式	使用提醒
一点和斜率	点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$	竖直线不能用斜率表示
斜率和纵截距	斜截式 $y = k x + b$

例题：由一点和斜率写方程

已知直线经过点 $P(2,-1)$ ，斜率为 $\frac{3}{2}$ 。求这条直线的方程，并写成一般式。

点 P(2,-1) 与斜率为 3/2 的直线示意图，橙色阶梯表示右移2、上升3，旁边列出点斜式和一般式方程。

题目给出“一点 + 斜率”，所以先用点斜式。把 $x_0=2$ 、 $y_0=-1$ 、代入，得到。

同一条直线可以有多种等价写法。点斜式更能看出“经过哪个点、斜率是多少”，一般式更便于后续代入、联立和距离计算。形式变了，直线没有变。

平行和垂直是在比较方向

两条直线的位置关系，先看方向。如果两条非竖直直线的斜率相同，它们方向相同；如果它们不是同一条直线，就互相平行。

l_1\parallel l_2 \quad \Longleftrightarrow \quad k_1=k_2

当两条非竖直直线互相垂直时，它们的斜率互为负倒数：

l_1\perp l_2 \quad \Longleftrightarrow \quad k_1k_2=-1

平行直线与垂直直线的斜率关系示意图

平行直线斜率相同；垂直直线的斜率乘积为 $-1$ 。

使用 $k_1=k_2$ 和 $k_1k_2=-1$ 时，要先确认斜率都存在。两条竖直线也平行，但不能说它们“斜率相同”；一条竖直线和一条水平线互相垂直，但也不能用来算。

例题：判断平行或垂直

判断下面两组直线的位置关系。

l_1:2x-3y+1=0,\quad l_2:4x-6y+5=0

l_3:3x+2y-7=0,\quad l_4:2x-3y+1=0

先把 $l_1$ 和 $l_2$ 化成斜截式。由 $2x-3y+1=0$ 得；由得。

如果两条直线已经写成一般式，也可以直接比较系数。比如 $2x-3y+1=0$ 和 $4x-6y+2=0$ 的三个系数成同一比例，它们其实是同一条直线；而 $2x-3y+1=0$ 和只有、的系数成比例，常数项不按同一比例变化，所以是平行而不重合。

距离公式来自垂线段

点到直线的距离，不是从点随便连到直线上的某个点的长度，而是所有连线中最短的那一条。几何上，这条最短线段一定垂直于直线。

一般式 $Ax+By+C=0$ 在这里特别有用。向量 $(A,B)$ 与这条直线垂直，因此它指向直线的法线方向。点代入 $Ax+By+C$ 后得到的数，可以理解为点相对于直线沿法线方向的“带符号偏离量”。除以法向量长度，就得到真正的距离。

一般式直线、法向量与点到直线距离示意图

点到直线的距离沿垂直方向测量，一般式中的 $(A,B)$ 给出这个垂直方向。

点 $P(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离为：

d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

公式中的绝对值保证距离非负，分母 $\sqrt{A^2+B^2}$ 则把法向量的长度归一化。也正因为这样，距离公式要求直线先写成一般式。

例题：求点到直线的距离并解释意义

求点 $P(3,-1)$ 到直线 $3x-4y-8=0$ 的距离，并说明这个距离表示什么。

直线已经是一般式，其中 $A=3$ 、 $B=-4$ 、 $C=-8$ 。点的坐标是 $x_{0} =$ 、。

点到直线距离公式会在后面反复出现。例如判断直线与圆的位置关系时，可以比较圆心到直线的距离和半径；研究圆锥曲线时，也会不断遇到“点到点的距离”和“点到直线的距离”之间的关系。

小结与练习

本章的核心不是记住更多方程，而是把直线的几何方向、函数变化率和代数方程统一起来。

斜率 $k$ 描述直线方向，也描述单位变化率。
点斜式适合“一点 + 斜率”，斜截式适合“斜率 + 纵截距”，两点式适合“两点”，一般式适合统一整理和距离计算。
非竖直直线平行时斜率相同，垂直时斜率乘积为 $-1$ 。
点到直线的距离是最短垂线段，公式需要把直线写成一般式。

下面几题建议先独立完成，再展开答案核对。

过点 $A(-1,2)$ ，斜率为 $-2$ 的直线方程是什么？请写出点斜式和一般式。

过点 $B(1,3)$ 和 $C(5,-1)$ 的直线方程是什么？

判断直线 $4x+2y-1=0$ 与 $x-2y+3=0$ 是否垂直。

求点 $Q(-1,4)$ 到直线 $5x+12y-7=0$ 的距离。

求过点 $(2,0)$ 且垂直于直线 $3x-y+6=0$ 的直线方程。

y=kx+b

3

x_0=3

y=-\frac{1}{3}(x-2)