直线与方程：把方向和位置写成代数

想象你站在一张铺着方格的城市地图前。地图上标了两个路口 $A$ 和 $B$，你要回答三个很实际的问题：这条路朝哪个方向？它经过哪些位置？另一个路口离这条路有多远？

在图上，这些问题靠眼睛还能大致判断；一旦坐标变复杂，光看图就不够了。解析几何的做法很直接：先把“向右走了多少、向上走了多少”记成数，再把所有符合这个变化规律的点写成方程。

这页我们不把点斜式、斜截式、两点式背成几张互不相干的卡片。我们从同一个动作出发：在直线上任选两点，比较横向变化和纵向变化。斜率、直线方程、平行垂直和距离公式，都会从这个动作里长出来。

斜率：每向右走一步，竖直方向变多少

在直线上取两个不同的点 $P_1(x_1,y_1)$ 和 $P_2(x_2,y_2)$。从 $P_1$ 走到 $P_2$，横向变化和纵向变化分别是

如果 $\Delta x\ne 0$，我们把“纵向变化除以横向变化”叫作这条直线的斜率：

这不是一个为了考试硬造出来的分数。比如 $k=\frac{3}{2}$，意思就是：沿着直线向右走 $2$ 个单位，纵坐标会上升 $3$ 个单位。若 $k=-\frac{3}{2}$，同样向右走 个单位，纵坐标会下降 个单位。

你也可以把这两个变化看成一只直角三角形的两条直角边。于是两点间的距离就是斜边：

斜率和两点距离其实在读同一只三角形：距离关心斜边有多长，斜率关心两条直角边的比值。无论两个点落在哪个象限，坐标差可能变号，但平方后的距离和同次序相除的斜率仍然保持正确。

斜率的四种状态

从左向右看一条直线，斜率会出现四种状态：

• $k>0$：直线向右上升；
• $k<0$：直线向右下降；
• $k=0$：直线水平，纵坐标不变；
• $x_1=x_2$：直线竖直，，斜率不存在。

这里最容易混淆的是最后两种。水平线“向右走得动，只是不升不降”，所以变化率是 $0$；竖直线根本没有横向步长，分母是 $0$，所以不能给它一个斜率值。

同样从左向右看，直线的升降状态决定斜率的符号；竖直线的横向变化为零，所以斜率不存在。

倾斜角是在量同一个方向

若从正 $x$ 轴逆时针转到直线的向右方向，得到倾斜角 $\theta$，通常取

只要直线不竖直，斜率就是这个角的正切：

所以“图像陡不陡”“函数变化快不快”“倾斜角有多大”说的是同一件事，只是观察角度不同。竖直线对应 $\theta=\frac{\pi}{2}$，此时正切没有定义，正好对应斜率不存在。

在实验板里先固定 $b$，只移动 $k$，你会看到直线绕着纵截距点转动；再固定 $k$，只移动 $b$，整条直线会保持方向不变地上下平移。这已经暗示了直线需要两类信息：一类决定方向，一类决定位置。

一条直线为什么需要两个条件

只知道“经过点 $P(2,1)$”还不够，因为穿过这个点的直线有无数条；只知道“斜率是 $\frac12$”也不够，因为坐标平面里有无数条彼此平行的直线都具有这个斜率。

把“一点”和“一个方向”放在一起，直线才会被唯一确定。

假设直线经过已知点 $P_0(x_0,y_0)$，斜率为 $k$。直线上任意另一个点 $P(x,y)$ 与 连起来，方向都没有变，因此

为了避免在 $x=x_0$ 时出现临时的分母，我们直接交叉相乘，得到点斜式：

这个方程做了两件事。第一，它保证已知点在直线上：代入 $(x_0,y_0)$ 后两边都是 $0$。第二，它保证其他点与已知点之间的纵横变化比都是 $k$。

例题：从“右移 2、上升 3”写出方程

一条直线经过 $P(2,-1)$，沿直线向右走 $2$ 个单位会向上走 $3$ 个单位。求这条直线的方程，并整理成一般式。

方程形式由题目给的信息决定

直线的几种常见方程不是几条不同的直线理论。它们只是把同一条直线里最方便使用的信息留在表面。

点斜式：已知一点和斜率

它最适合直接代入“一点 + 斜率”，也最适合写过某点的平行线或垂线。使用条件是斜率存在。

斜截式：已知斜率和纵截距

若直线与 $y$ 轴交于 $(0,b)$，把这个点代入点斜式，就得到

$k$ 决定方向，$b$ 决定直线在哪里穿过 $y$ 轴。固定 $k$ 改变 $b$，得到的是一族平行线。

斜截式不能表示竖直线。原因不是形式不够漂亮，而是竖直线上同一个 $x$ 会对应许多个 $y$，它本来就不能写成 $y$ 关于 $x$ 的函数。

两点式：已知两个不同的点

若直线经过不同的两点 $P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$，最稳妥的写法是

它来自“未知点与已知点形成的方向，和两个已知点之间的方向相同”。这版没有分式，所以水平线和竖直线也能直接处理。

只有在 $x_1\ne x_2$ 且 $y_1\ne y_2$ 时，才适合把它写成常见的分式形式：

如果 $x_1=x_2$，两点式会化成 $x=x_1$；如果 $$，它会化成 。若两个点完全重合，信息只相当于“给了一个点”，不能确定唯一直线。

截距式：已知两个非零轴截距

若直线分别在 $x$ 轴、$y$ 轴上截得点 $(a,0)$ 和 $(0,b)$，且 $a\ne0$、，把这两点代入两点式可得

截距是带符号的坐标，不是永远为正的长度。例如 $a=-3$ 表示直线从 $x$ 轴负半轴上的 $(-3,0)$ 经过。

若直线经过原点，两个轴截距会同时挤到 $0$，这时截距式不适用；改用点斜式或一般式即可。

一般式：把所有直线放进同一个框架

其中 $A$、$B$ 不能同时为 $0$。这个限制不能省：若 $A=B=0$，式子只剩 $C=0$，它要么让整个平面都满足，要么一个点也不满足，不会是一条直线。

一般式最大的好处是连竖直线也能表示，而且方向信息可以直接从系数读出来：

• 法向量可以取 $\boldsymbol n=(A,B)$，它垂直于直线；
• 方向向量可以取 $\boldsymbol v=(B,-A)$，它沿着直线；
• 当 $B\ne0$ 时，斜率为 ；

法线式：直接保存到原点的垂直距离

若从原点向直线作垂线，垂线长度为 $p\geq0$，这条垂线与正 $x$ 轴的夹角为 $\alpha$，那么直线可以写成

式子左边是在把点 $(x,y)$ 投影到单位法向量 $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ 上。直线上的所有点，在这个法线方向上的投影都等于 $p$。

从一般式出发，先除以 $\sqrt{A^2+B^2}$，再选择整体正负号使右边非负，就能得到法线式。这也是点到直线距离公式的直接入口。

例题：两点给出的竟然是竖直线

求经过 $A(3,-2)$ 和 $B(3,5)$ 的直线方程。

平行、垂直和夹角都是在比较方向

两条直线的位置关系，先看它们朝哪个方向。斜率能比较方向，一般式的系数也能比较方向；后一种方法不会被竖直线卡住。

设

它们的法向量分别是 $(A_1,B_1)$ 和 $(A_2,B_2)$。

平行：两个法向量方向相同

两条直线平行或重合的条件是

这表示两个法向量成比例。若连常数项也按同一比例变化，两条方程表示同一条直线；若只有 $A,B$ 成比例而常数项不成同一比例，它们才是两条不同的平行线。

当两条直线都不是竖直线时，这个条件等价于

垂直：两个方向转过了直角

两条直线垂直的条件可以直接写成

因为左边是两个法向量的点积。法向量互相垂直时，两条直线的方向也互相垂直。

若两条斜率都存在，这个条件等价于

也就是斜率互为负倒数。

夹角：斜率的差要除以方向修正

若两条直线的斜率都存在，它们所成的锐角或直角记作 $\varphi$，则

当 $1+k_1k_2=0$ 时，分母为 $0$，说明 $\varphi=\frac{\pi}{2}$，两条直线垂直。

例题：不化成斜截式也能判断

判断下面两组直线的位置关系：

过一点作平行线或垂线

已知直线 $l:Ax+By+C=0$ 和点 $P_0(x_0,y_0)$，过 的平行线保留原来的法向量：

过 $P_0$ 的垂线可以把原直线的方向向量当作新法向量：

这两条写法对水平线、斜线和竖直线都有效，比“先求斜率，再取负倒数”更稳。

求交点：把两个几何条件同时满足

直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的交点，必须同时在两条直线上。所以求交点并没有新的神秘公式，本质上就是解二元一次方程组：

消元前可以先看

• 若 $D\ne0$，两个方向不同，方程组有唯一解，两条直线相交；
• 若 $D=0$ 且两式所有系数成比例，两条直线重合，有无数个公共点；
• 若 $D=0$ 但常数项比例对不上，两条直线平行，没有公共点。

综合例题：先找交点，再过交点作垂线

直线 $l$ 经过

与

的交点，并且垂直于 $l_3:2x+y-1=0$。求 $l$ 的方程。

点到直线的距离来自垂线投影

假设你站在点 $P$，面前是一条笔直的公路。你可以朝公路上任意位置走，但最短路线一定是垂直走过去。斜着走会多出一个沿公路方向的分量，不可能更短。

这就是“点到直线的距离”：从点向直线作垂线，垂线段的长度就是距离。

设点为 $P(x_0,y_0)$，直线为

法向量 $\boldsymbol n=(A,B)$ 已经告诉我们垂线朝哪个方向，但它的长度是

从直线上任选一点 $Q(x_Q,y_Q)$。向量 $\overrightarrow{QP}$ 在法线方向上的有向投影为

因为 $Q$ 在直线上，$Ax_Q+By_Q+C=0$，所以分子可以化成 $A{x}_{}$。距离只取长度，不保留方向，于是得到

这段推导解释了公式里的两个看似多余的部分：绝对值负责让距离非负，分母负责把法向量缩成单位长度。若把整条直线方程乘以 $5$，分子和分母都会乘以 $5$，最后距离不变。

例题：距离为 1，垂足在哪里

求点 $P(3,-1)$ 到直线 $3x-4y-8=0$ 的距离，并求垂足 $H$。

两条平行线之间的距离

若两条平行线已经写成完全相同的 $A,B$：

那么它们之间的距离是

如果两条方程的 $A,B$ 只是成比例，必须先把它们化成相同的 $A,B$ 再使用这个公式。例如 $2x-3y+1=0$ 与 $4x-6y+5=0$ 平行，但不能直接拿 和 相减；应先把第二式除以 。

一套不容易漏特殊情形的解题顺序

遇到直线题时，可以按下面的顺序走。它比一上来搜索公式更稳。

1. 先把已知信息翻成几何条件。 是两个点，还是一点和方向？是过交点，还是要求平行、垂直或等距？
2. 立刻检查竖直线。 两点横坐标相同、一般式中 $B=0$，都在提醒你不要计算斜率。
3. 选择保留已知信息的形式。 一点加方向用点斜式；两点用无分式两点式；距离和系数比较用一般式。
4. 代数整理放在最后。 先写出结构清楚的式子，再按题目要求化成整系数一般式。
5. 至少做一次回代或方向检查。 已知点是否满足方程？平行线的法向量是否成比例？垂直线的法向量点积是否为 $0$？距离是否非负？

练习

下面每题都附了解析。建议先在纸上写出“已知什么、先检查什么”，再展开答案。

练习 1：一点和斜率

过点 $A(-1,2)$，斜率为 $-2$ 的直线方程是什么？请写出点斜式和一般式。

练习 2：两点与水平线

求经过 $B(-3,4)$ 和 $C(5,4)$ 的直线方程。

练习 3：两点与竖直线

求经过 $D(-2,1)$ 和 $E(-2,7)$ 的直线方程，并说明为什么不能使用斜截式。

练习 4：截距式

一条直线在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距分别为 $-6$ 和 $3$。写出截距式与一般式。

练习 5：平行还是重合

判断直线 $6x-9y+3=0$ 与 $2x-3y+1=0$ 的位置关系。

练习 6：过一点作垂线

求过点 $(2,0)$ 且垂直于直线 $3x-y+6=0$ 的直线方程。

练习 7：点到直线的距离

求点 $Q(-1,4)$ 到直线 $5x+12y-7=0$ 的距离。

练习 8：两条平行线的距离

求平行线 $3x+4y-10=0$ 与 $6x+8y+5=0$ 之间的距离。

把 $(-1,2)$ 代入得到 $-2+2=0$，并且从 $y=-2x$ 可读出斜率确实是 $-2$。

检查两个交点：令 $y=0$ 得 $x=-6$；令 $x=0$ 得 $y=3$。

代入 $A,B$ 得 $-(x-2)-3y=0$，整理为

两条直线的法向量分别是 $(3,-1)$ 和 $(1,3)$，点积为 $3-3=0$，所以它们垂直。

分子为 $|-5+48-7|=36$，分母为 $13$，所以

现在两条直线的 $A,B$ 都是 $3,4$，所以距离为

若直接用原式的常数项 $-10$ 和 $5$ 相减，会忽略两条方程缩放不同，得到错误结果。