抛物线：先看见“等距”，再写下方程

在纸上点一个焦点 $F$，再画一条不经过它的直线 $l$。现在别急着想 $y=ax^2+bx+c$，先做一个折纸动作：在 $l$ 上任选一点 $H$，把纸折到 $F$ 与 $H$ 正好重合，再把纸展开。换一个 $H$，再折一次。折痕越来越多，它们会慢慢托出一条弯曲的轮廓，那就是抛物线。

这里有个容易忽略的细节：整条折痕并不是抛物线，许多折痕共同包住的那条曲线才是。某条折痕与曲线相切于 $P$ 时，折叠让 $F$ 与 $H$ 重合，所以折痕上的 $P$ 满足 $PF=PH$。如果 $PH$ 又垂直于直线 ，那么 正是 到 的距离。于是，一个折纸动作把抛物线最核心的规则摆在了眼前：

动点到一个定点的距离，始终等于它到一条定直线的垂直距离。

不用方程，也能把抛物线画出来

折纸是在“连续地画”。如果手边只有直尺和圆规，也可以一个点一个点地找。

设焦点为 $F$，准线为 $l$。先从 $F$ 向准线作垂线，垂足记作 $D$。线段 $FD$ 的中点 $V$ 同时到 $F$ 和 $$ 等距，所以 就是顶点；直线 就是轴线。

接下来，取 $r\geq FV$，在焦点这一侧画一条与 $l$ 平行的直线，让它到 $l$ 的距离为 $r$；再以 $F$ 为圆心、$r$ 为半径画圆。平行线与圆的交点 $P,Q$ 都满足：

而 $P,Q$ 所在的平行线到准线的距离也正好是 $r$，因此 $P,Q$ 都在抛物线上。换几个不同的 $r$，就能得到一串关于轴线成对出现的点。顺着这些点画一条光滑曲线，抛物线就出来了。

这个作图还顺手解释了三个特征：

• 曲线关于轴线对称，因为每次找到的 $P,Q$ 都成对出现。
• 顶点是离准线最近的曲线上一点，也正好夹在焦点与准线之间。
• 曲线只向焦点所在的一侧打开，准线那一侧没有曲线。

所以，“开口朝哪边”不是背图背出来的。焦点在哪一侧，抛物线就朝哪一侧打开。

把等距规则翻译成标准方程

先把坐标系摆得最省事：顶点放在原点，轴线取作 $y$ 轴，焦点放在上方。设顶点到焦点的距离为 $p$，其中 $p>0$，那么：

取抛物线上任意一点 $P(x,y)$。它到焦点的距离是：

从 $P$ 向准线作垂线，垂足记作 $H$。因为这条抛物线向上开口，所以 $y\geq 0$，点到准线的距离是：

现在把“两个距离相等”直接写出来：

两边都是非负数，可以平方：

展开以后，$y^2$ 和 $p^2$ 会在两边抵消：

于是只剩下：

这就是顶点在原点、开口向上的抛物线标准方程。看上去突然冒出的 $4$，其实来自平方展开后的 $2py$ 与 $-2py$，两者相差 $4py$。

反过来也没有偷偷混进增根。由 $x^2=4py$ 和 $p>0$ 可知 $y\geq0$，所以 $y+p>0$；把方程代回距离式，两边确实都等于同一个非负数。

如果顶点从原点平移到 $(h,k)$，只需把 $x,y$ 分别换成 $x-h,y-k$：

方程的外形变了，背后的动作没变：还是在比较点到焦点和到准线的距离。

四个方向，其实是同一张图在转身

先用 $d>0$ 表示顶点到焦点的实际距离。这样，四个开口方向可以明明白白地写成四种标准式：

这张表不用硬背，可以按两个问题现推：

1. 哪个变量被平方？$(x-h)^2$ 表示轴线竖直，$(y-k)^2$ 表示轴线水平。
2. 线性方向上的系数是正还是负？正号朝坐标正方向开，负号朝坐标负方向开。

计算时，人们常把方向也塞进参数 $p$ 的正负号里。于是四行可以压成两行：

这里 $p\ne0$ 是有向距离。第一式中，$p>0$ 向上、$p<0$ 向下；第二式中，$p>0$ 向右、 向左。顶点到焦点的实际距离始终是 。

通径把 $p$ 和 $4p$ 同时画出来

过焦点作一条垂直于轴线的弦，这条弦叫通径。以竖直轴线为例，焦点所在高度是 $y=k+p$。代回标准式：

所以两个端点到轴线的水平距离都是 $2\lvert p\rvert$，整条通径长度为：

这正好说明 $p$ 与 $4p$ 各自负责什么：$\lvert p\rvert$ 是顶点到焦点的距离，$4\lvert p\rvert$ 是通径长度。

为什么 $\lvert p\rvert$ 越大，开口越宽

看开口向上的情形。在离顶点轴向距离 $t$ 的高度，也就是 $y-k=t$ 处，标准式给出：

固定同一个 $t$，$p$ 越大，左右半宽 $2\sqrt{pt}$ 越大，所以图像越宽、更平缓。$p$ 越小，曲线越快贴近轴线，看起来就越窄、更陡。

已知焦点和准线，方程怎么写

已知焦点 $F(2,3)$，准线为 $y=-1$，求抛物线方程。

这类题最稳的顺序是：准线定轴向，焦点和准线定顶点，焦点相对顶点的位置定 $p$ 的符号。一上来套公式，反而容易把顶点误认成焦点。

已知标准式，反过来读图形

再看：

$y$ 的差被平方，所以轴线水平。把 $x+3$ 看成 $x-(-3)$，顶点是 $(-3,1)$。令 $4p=-16$，得到 。于是：

也就是说，抛物线向左开口，轴线是 $y=1$，焦点为 $(-7,1)$，准线为 $x=1$，通径长 $16$。

二次函数怎样接到焦点和准线

熟悉的二次函数是：

它看起来没有焦点、准线和 $p$。配一次方，就能把这些信息找回来：

括号里加上再减去 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$：

令：

就得到顶点式：

把它改写成圆锥曲线标准式：

再与 $(x-h)^2=4p(y-k)$ 对比，马上得到：

这条关系把两套说法接在了一起：$a$ 的符号与 $p$ 的符号相同，都决定向上还是向下；$\lvert a\rvert$ 越大，$\lvert p\rvert$ 越小，图像越窄。前面说“$\lvert p\rvert$ 越大越宽”，这里说“$\lvert a\rvert$ 越大越窄”，两句话并不打架，因为 $$ 与 互为四倍倒数。

下面的交互可以调节 $a,b,c$。先看配方怎样移动顶点，再看 $p=\frac{1}{4a}$ 怎样把焦点和准线放到顶点两侧。

配方例题

把：

写成顶点式，并求顶点、焦点和准线。

如果方程写成 $x=ay^2+by+c$，做法完全相同，只是 $x,y$ 的角色互换，得到的是向左或向右开口的抛物线。

切线为什么会带来反射性质

把抛物线转到向右开口，取最简标准式：

设切点为 $P(x_1,y_1)$。先看 $y_1\ne0$ 的情形。对方程求导：

所以切线斜率为：

用点斜式写切线：

两边乘 $y_1$，再利用 $y_1^2=4px_1$ 化简：

这个公式连顶点也包括在内：顶点 $(0,0)$ 代入后得到 $x=0$，正是顶点处的竖直切线。

如果只知道切线斜率 $m\ne0$，还可以把切线写成：

这时切点为：

公式告诉我们“怎么算”，焦点—准线定义则告诉我们“为什么会反射”。从切点 $P$ 向准线作垂线，垂足记为 $C$。这里焦点是 $F(p,0)$，准线是 $x=-p$，所以 $C=(-p,y_1)$。按定义有 ，于是 在线段 的垂直平分线上。

再比较两条直线的斜率。$FC$ 的斜率为：

而切线斜率为 $\frac{2p}{y_1}$，两者乘积是 $-1$。切线既经过 $P$，又垂直于 $FC$，因此它正是 的垂直平分线。

这意味着切线与 $PF$、$PC$ 所成的角相等。又因为 $PC$ 垂直准线，也就平行于抛物线轴线，于是得到：

抛物面天线、车灯反射杯和探照灯用的是三维抛物面。平面图里这条抛物线，是抛物面经过轴线的截面；截面上的等角性质绕轴旋转一圈，就变成了整个反射面的聚焦或准直效果。

切线例题

求抛物线 $y^2=12x$ 在点 $(3,6)$ 处的切线。

这里 $4p=12$，所以 $p=3$。代入切线公式：

化简得到：

也可以先求导得到 $m=\frac{6}{6}=1$，再用点斜式写成 $y-6=x-3$。两条路得到同一条直线。

以焦点为极点，极坐标式怎么来

极坐标最适合描述“从焦点往某个方向看，走多远会碰到曲线”。仍看向右开口的抛物线：

现在把焦点 $F$ 当作极点，把向右的轴线方向当作极轴。若曲线上一点 $P$ 的极坐标为 $(\rho,\theta)$，那么换回原来的直角坐标时：

$P$ 到焦点的距离就是 $\rho$。它到准线 $x=-p$ 的距离是：

令两段距离相等：

整理得到：

几个特殊角能帮你检查公式有没有写反：

• $\theta=0$ 时分母为 $0$，表示沿开口方向要走到无穷远，才会“追上”不断张开的曲线。
• $\theta=\pi$ 时 $\rho=p$，从焦点向左走 $p$ 个单位正好到顶点。
• $\theta$ 或 时 ，到达通径的两个端点。

做题时，用这条路线对账

抛物线题目看起来很多，其实都在反复做同一件事：把几何位置与方程参数一一对上。

如果题目还给了一条直线，就把直线方程代入抛物线方程。得到两个不同实根时有两个交点，重根时直线相切，没有实根时没有交点。所谓“相切”，在代数里就是交点方程的判别式等于 $0$。

自测练习

焦点和准线反求方程

1. 已知焦点 $F(0,4)$，准线为 $y=-4$，求抛物线方程和通径长度。

从标准式读完整信息

2. 对抛物线 $(y+2)^2=20(x-1)$，求顶点、轴线、焦点、准线、开口方向和通径端点。

3. 对抛物线 $(x+1)^2=-12(y-2)$，求顶点、焦点、准线、开口方向和通径长度。

配方与二次函数

4. 将 $x^2-6x-8y+17=0$ 化成标准式，并求顶点、焦点和准线。

5. 将 $y=-\frac14x^2+x+2$ 配方，并求顶点、焦点和准线。

切线与反射

6. 求抛物线 $y^2=12x$ 在点 $(3,6)$ 处的切线，并说明从焦点射到该点的光线反射后朝哪个方向传播。

7. 与抛物线 $y^2=8x$ 相切且斜率为 $2$ 的直线是什么？切点在哪里？

极坐标

8. 对抛物线 $y^2=8x$，以焦点为极点、向右为极轴。当 $\theta=\frac{2\pi}{3}$ 时，求 $\rho$，并把该点换回直角坐标。

离开这页时，不妨只记住最初那张折纸图：焦点是一个点，准线是一条线，动点到它们的距离始终相等。标准方程、通径、切线反射和极坐标式，都是这一个等距动作在不同坐标语言里的写法。

通径长度为 $4\lvert p\rvert=16$。

轴线是 $y=-2$。通径经过焦点并垂直于轴线，所以它在直线 $x=6$ 上；两个端点离轴线各 $2\lvert p\rvert=10$，因此端点是 $(6,8)$ 与 $(6,-12)$。

通径长度为：

所以顶点是 $(3,1)$，$4p=8$，得到 $p=2$。焦点和准线分别是：

顶点是 $(2,3)$，$a=-\frac14$，因此：

焦点是 $(2,2)$，准线是 $y=4$。

所以切线为：

这条抛物线向右开口，轴线是 $x$ 轴。根据等角反射性质，从焦点射到 $(3,6)$ 的光线反射后会沿水平方向向右传播，也就是平行于轴线并朝开口方向射出。

代入 $m=2,p=2$：

切点坐标为：

代回原方程检查：$2^2=8\cdot\frac12=4$，成立。

当 $\theta=\frac{2\pi}{3}$ 时，$\cos\theta=-\frac12$，因此：

焦点是 $(2,0)$。换回原直角坐标：

检查可得 $y^2=\frac{16}{3}$，而 $8x=\frac{16}{3}$，点确实在抛物线上。