参数方程与极坐标中的圆锥曲线

前面写椭圆、抛物线和双曲线时，我们一直在回答一个问题：哪些点在曲线上？ 参数方程和极坐标换了两个更有画面感的问题。

参数方程像请来一位导演，把时间 $t$ 写进剧本：点从哪里出发，往哪边走，走到什么时候停，一段路会不会重复走。极坐标则像站在焦点处报位置：先说朝哪个方向看，再说沿这个方向走多远。

这两种写法都能描述圆锥曲线，但它们保留下来的信息并不一样。学这一页时，别只盯着最后化出的方程。我们还要一直追问：参数取什么范围？点往哪边走？同一处会经过几次？极坐标里的负半径又把点送到了哪条射线上？

给 $t$ 一个时刻，就得到一个位置；让 $t$ 连续变化，运动点留下的痕迹才是曲线。

让时间 t 来指挥运动点

参数方程的一般形式是

给定一个 $t$，横坐标和纵坐标会同时确定，于是平面上出现一个点 $P(t)$。当 $t$ 沿着规定区间连续变化，$P(t)$ 就沿轨迹移动。

先看最熟悉的圆。圆心为 $(h,k)$、半径为 $R$，可以写成

$t=0$ 时，点在圆的最右端 $(h+R,k)$。让 $t$ 稍微增大，$\sin t$ 先变成正数，点便向右上方移动，所以方向是逆时针。到 $t=2\pi$ 时，点回到起点。区间两端给出的是同一个几何点，但运动过程刚好完成一圈。

起点、方向和覆盖次数都藏在相位里

把圆或椭圆写得更一般一些：

先把括号里的整体记成

$u$ 才是真正控制运动进度的“相位”。读这种参数方程时，可以按下面四步检查。

1. 起点由区间左端 $t=t_0$ 对应的 $u_0=\omega t_0+\varphi$ 决定。

那么整条椭圆会被完整描出 $n$ 次。若 $|\Delta u|$ 不是 $2\pi$ 的整数倍，就会先走若干整圈，再多走一段。

相位还给出了运动快慢。对上面的椭圆求变化率，有

所以 $|\omega|$ 越大，同一段 $t$ 内扫过的圈数越多。不过当 $a\ne b$ 时，即使 $u$ 匀速增加，点沿椭圆弧线前进的实际速度也不是处处相同。

例题：完整读出一段椭圆运动

已知

说明椭圆的中心、起点、运动方向和描迹次数，并求 $t=\frac{\pi}{4}$ 时的位置。

椭圆参数来自辅助圆

椭圆的参数式

并不是碰巧凑出一个三角恒等式。可以先在半径为 $a$ 的辅助圆上取点

再把它的纵坐标按比例 $\frac{b}{a}$ 压缩。横坐标不动，纵坐标从 $a\sin t$ 变成 $b\sin t$，得到的点

就在椭圆上。让辅助圆半径转一周，$P$ 也沿椭圆走一周。

这里的 $t$ 叫椭圆的偏心角。它是辅助圆圆心角，不一定等于从椭圆中心看向 $P$ 的实际方向角。

例如

当 $t=\frac{\pi}{4}$ 时，

若把中心到 $P$ 的方向角记作 $\alpha$，那么

因此 $\alpha$ 不是 $\frac{\pi}{4}$。圆上恰好有 $a=b$，压缩消失，偏心角才与圆心方向角重合。

消去参数会把运动剧本压成一张路线图

从

出发，可以写成

代入 $\cos^2t+\sin^2t=1$，得到

这个直角坐标方程准确保留了椭圆的形状，却没有告诉我们点如何走。下面三组参数方程消参后完全相同：

三段不同的运动剧本，最后都可能压成同一个椭圆方程。

消参时至少要回头补查五件事：

• 参数区间实际覆盖哪一段曲线；
• 起点和终点分别在哪里；
• $t$ 增大时沿什么方向运动；
• 同一点是否被重复经过；
• 参数变化是否均匀，途中有没有停顿或速度改变。

还有一个更隐蔽的问题：消参得到的方程有时只是参数轨迹的必要条件，未必自动保留范围。

例如

直接代入可得 $x=y^2$。但 $t\ge0$ 同时说明 $y\ge0$，所以真正描出的只是抛物线 $x=y^2$ 的上半支。若只写 ，就把原来没有走到的 部分也添进来了。

例题：消参以后把范围补回来

已知

求对应的直角坐标关系，并说明真正描出的部分。

极坐标从极点报距离和方向

极坐标选一个固定点 $O$ 作极点，再选一条从 $O$ 出发的射线作极轴。点 $P$ 的位置由两个数描述：从极轴转到 $OP$ 的角 $\theta$，以及沿这个方向走的有向长度 $r$。

当极点就是直角坐标原点、极轴就是 $x$ 轴正向时，转换关系是

反过来有

只写 $\tan\theta=\frac{y}{x}$ 还不够，因为正切不能区分相差 $\pi$ 的两个方向。实际确定 $\theta$ 时，还要结合点所在象限。

极点和平常的原点不重合时

极坐标不要求极点一定放在直角坐标原点。若极点是 $(h,k)$，极轴又比 $x$ 轴正向逆时针转过 $\alpha$，那么从极轴量出的角是 $\theta$，从 $x$ 轴量出的实际方向就是 $\theta+\alpha$。转换式变成

极轴仍与 $x$ 轴平行时，$\alpha=0$，于是

这几条式子表达的是同一个动作：先把观察点搬到 $(h,k)$，再把方向基准转过 $\alpha$。圆锥曲线的极坐标式之所以能把焦点放在核心位置，正是因为我们可以把极点直接搬到焦点，而不必让它迁就原来的坐标原点。

同一个点有很多组极坐标

在只允许 $r\ge0$ 时，角度每多转一整圈，点的位置不变：

若允许 $r<0$，负号的意思不是“距离小于零”，而是沿角 $\theta$ 的反方向走 $|r|$。因此

例如同一个点可以写成

极点本身更特殊：只要 $r=0$，$\theta$ 取任何值都落在同一个点。

这会直接影响描迹次数。比如

表示圆心为 $(R,0)$、半径为 $R$ 的圆。代回直角坐标可得

但若让 $\theta$ 从 $0$ 走到 $2\pi$，这个圆会被描两次；取 $-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ 才刚好描一遍。极坐标方程也必须连同角度范围一起读。

把焦点放在极点，三类圆锥曲线写成一条公式

圆锥曲线的焦点—准线定义说的是：曲线上点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离，与它到一条固定准线的距离之比恒为 $e$。

把焦点 $F$ 放在极点后，几何距离 $PF$ 就是 $|r|$；在暂时取 $r\ge0$ 的那一段上，它就是 $r$。于是极坐标天然适合这一定义：$\theta$ 报方向，$$ 报从焦点出发的有向长度。

焦点放在极点以后，焦点—准线定义几乎可以直接翻译成极坐标方程。

从右侧准线推导统一形式

设准线在焦点右侧，方程为 $x=d$，其中 $d>0$ 是焦点到准线的距离。先看与焦点同侧、满足 $r\ge0$ 的点。因为

点到准线的距离是

把“到焦点的距离等于 $e$ 倍的准线距离”写出来：

整理得到

若把

记作一个长度参数，公式更紧凑：

$\ell$ 也是圆锥曲线的半通径。换一条准线，只要看它位于焦点的哪一侧，就能写出四种形式。

可以用一句话记符号：准线在哪个正方向，就在分母里用加号；准线在哪个负方向，就用减号。 这句话默认极轴沿 $x$ 轴正向，$\theta$ 逆时针为正。

分母为什么能分出椭圆、抛物线和双曲线

统一式的关键不在分子，而在

或

因为正弦、余弦都在 $[-1,1]$ 内变化，$e$ 与 $1$ 的大小关系会决定分母能不能变成零。

$0<e<1$：分母始终为正

无论选正号还是负号，都有

所以每个方向都有有限的正半径，曲线会闭合，得到椭圆。让 $\theta$ 从 $0$ 增加到 $2\pi$，一般会把椭圆描一遍，区间两端落在同一点。

$e=1$：分母在一个方向变成零

以

为例，$\theta=\pi$ 时分母为零。曲线上没有“半径等于无穷”的普通点；准确说，是当方向逼近 $\pi$ 时，点会越走越远。闭合轨迹就在这个边界处打开，得到抛物线。

$e>1$：分母有两个零点，还会改变符号

以

为例，分母为零需要

当 $e>1$ 时，这个条件在一周内有两个方向。点沿这两个方向附近跑向无穷，它们给出双曲线的渐近方向。穿过这些方向后分母变号，$r$ 也变成负数；负半径把点放到反向射线上，从而把另一支也纳入同一个方程。

若课程或计算器规定 $r\ge0$，就不能直接保留分母为负的角度，而要把角度区间拆开，分别描述双曲线的两支。这不是曲线少了一支，而是坐标约定变了。

三个方程把边界看清楚

例题：椭圆

判断

表示哪类圆锥曲线，并求离心率与焦点到准线的距离。

例题：抛物线

对方程

有 $e=1$、$d=4$，所以它是抛物线，准线在焦点下方：

当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时，分母为零，说明曲线沿向上的方向无限伸展。反方向 $\theta=\frac{3\pi}{2}$ 时，

得到顶点 $(0,-2)$。焦点在 $(0,0)$，准线在 $y=-4$，顶点正好位于二者中间。

例题：双曲线与负半径

对方程

可以读出 $e=2$、$ed=6$，于是 $d=3$，准线为 $x=-3$。分母为零时

所以两个渐近方向是

再看 $\theta=0$：

负半径表示点不在正 $x$ 轴的 $6$ 处，而在反向射线上的 $(-6,0)$。这正是双曲线另一支上的点，也说明为什么读双曲线极坐标式时不能把负 $r$ 当成“无效答案”随手删掉。

选择哪一种方程，要看问题在问什么

一个实用习惯是：先用最贴近题意的语言建模，再根据计算需要转换。问运动过程，就先保留参数；问焦点轨道，就把焦点放在极点；问交点或整体代数性质，再转成直角坐标。转换不是终点，信息有没有在转换中被压掉，才是最后一项检查。

练习

1. 参数方程

描出什么曲线？方向和覆盖次数怎样？

2. 消去参数并说明范围：

3. 写出与 $\left(3,-\frac{\pi}{4}\right)$ 表示同一点的两组极坐标，其中一组半径为正，另一组半径为负。

4. 判断方程表示哪类圆锥曲线，并写出准线：

收束成两幅画面

参数方程要记住“点沿轨迹走”。$t$ 是导演，相位决定起点、方向、范围和覆盖次数；消去参数只留下路线，运动剧本要另外保存。

极坐标要记住“从焦点报距离和方向”。同一点可以有多组极坐标，负半径会把点翻到反向射线上。焦点放在极点、准线距离为 $d$ 时，圆锥曲线统一写成

或

分母是否始终为正、恰好能到零、还是穿过零改变符号，分别对应椭圆、抛物线和双曲线。这样一来，$e<1$、$e=1$、$e>1$ 就不再是要硬背的分类，而是分母行为画出来的三种结果。

相位 $u=3t$ 随 $t$ 增大，所以方向是逆时针。$t$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 时，$u$ 从 $0$ 到 $6\pi$，完整扫过三圈，因此同一条椭圆被描三次。

中满足 $y\le-2$ 的下半支，而不是整条抛物线。

曲线是双曲线。又因为 $ed=2$，所以

分母是 $1+e\sin\theta$，准线在焦点上方：