一般二次方程：坐标轴没顺着曲线摆时，怎样把它认出来

先想象一张透明方格纸，上面已经画好一条椭圆。你把方格纸轻轻转了一个角度，椭圆本身没动，可它相对于横轴、纵轴变“斜”了；再把坐标原点挪到别处，同一条曲线的方程里又多出一串一次项。

这就是一般二次方程看起来复杂的原因：曲线未必难，可能只是坐标轴没有顺着它摆。

我们这一页要做的，不是背一张分类表，而是把坐标轴重新摆好。平移负责把原点送到中心或顶点，旋转负责让坐标轴贴着曲线的主轴。做完这两步，藏在系数里的圆、椭圆、抛物线和双曲线就会重新露出来。

先把六个系数认准

本页统一把二元二次方程写成

其中 $A$、$B$、$C$ 不能全为 $0$。六个系数的分工可以先这样理解：

• $Ax^2+Bxy+Cy^2$ 是二次部分，它决定曲线的大类、主轴方向和弯曲方式。
• $Dx+Ey$ 是一次部分，它通常说明中心或顶点没有落在原点。
• 会和前面各项一起决定曲线的大小、是否退化，以及有没有实点。

还有一个实用检查：把整条方程乘以任意非零常数，图形不会变，分类也不会变。因此读系数前，可以先把分数消掉或约去公因数，但不能只改某一项。

平移：先把中心或顶点挪到手边

假设我们把新原点放在旧坐标中的 $(h,k)$，新坐标记为 $(u,v)$。同一个点在两套坐标中的关系是

这句话很容易在正负号上出错。你可以用新原点自己检查：当 $(u,v)=(0,0)$ 时，旧坐标应当正好是 $(h,k)$，所以必须是“加 $h$、加 $k$”。

把它代入一般二次方程，二次部分仍然是

而一次项变成

这件事很关键：平移能改变一次项和常数项，却不会改变 $A$、$B$、$C$。 所以后面用二次部分判断大类时，不必担心曲线被移到了哪里。

有中心的曲线，怎样直接找中心

如果能选出 $(h,k)$，让两个一次项同时消失，那么新原点就是曲线的中心。于是要解

这个二元一次方程组的系数行列式是

当 $B^2-4AC\ne 0$ 时，行列式不为 $0$，中心 $(h,k)$ 唯一。圆、椭圆和双曲线的正常情形都属于这一类。

当 $B^2-4AC=0$ 时，方程组不再保证有唯一解。正常抛物线没有中心；某些退化方程可能没有中心，也可能有一整条中心。这里不要硬套“求中心公式”，应先旋转，把唯一的平方方向找出来。

例题：没有交叉项时，配方就是在做平移

把方程

化为标准形式，并读出图形信息。

下面的交互把“分组—配方—归一化—判断”拆开了。切换三个例题时，尤其留意括号外的系数怎样影响补回去的常数。

只有一个平方项时，找的是顶点

例如

只对 $y$ 配方：

所以

这是顶点为 $(1,-3)$、向右开口的抛物线。抛物线没有唯一中心，因此这里应当读“顶点、开口方向、焦准距”，不要继续追问中心在哪里。

旋转：交叉项为什么会出现

假设一条曲线在自己的主轴坐标 $(u,v)$ 中很整齐：

现在把主轴相对原来的 $x$ 轴转过角 $\theta$。两套坐标满足

把这两个式子平方再代回去，$xy$ 项的系数会变成

这就把交叉项的来历讲透了：当两个主方向的弯曲程度不同，而且坐标轴又没有顺着主轴摆时，$u^2$、$v^2$ 展开后就会混出 $xy$。

圆是一个特殊例外。圆的两个方向完全一样，也就是 $\lambda_1=\lambda_2$，所以无论怎样旋转，交叉项都会相互抵消。看到 $Bxy$ 时，我们通常会怀疑曲线“斜了”；看不到 $Bxy$，却不能反过来断定曲线一定没有旋转，因为也可能碰巧转了 $$，或者它本来就是圆。

原坐标轴与曲线主轴错开后，同一条椭圆会在方程中出现 $Bxy$。

怎样选旋转角把交叉项消掉

为了把一般方程转到新坐标 $(u,v)$，我们采用

代入后，新方程中 $uv$ 的系数是

让它等于 $0$，就得到

当 $B\ne 0$ 时，也常写成

如果 $A=C$ 且 $B\ne 0$，分母为 $0$，不要说“公式失效”。这时 $\cos 2\theta=0$，可以取 $$ 或 。更稳妥的计算写法是

旋转角并不唯一。把 $\theta$ 再加 $90^\circ$，只是交换新坐标轴的名字，曲线没有改变。

例题：平移加旋转，把斜椭圆摆正

研究方程

为什么 $B^2-4AC$ 能先判大类

旋转消掉交叉项后，二次部分会变成

其中

这两个数就是曲线在两条互相垂直的主方向上的二次系数。它们满足

于是

现在分类规则就不需要硬背了：

判别式看的是二次部分，只负责把方程送进一个大类。

平移不改变 $A$、$B$、$C$，旋转又不改变 $\lambda_1\lambda_2$，所以 $B^2-4AC$ 的符号不会因为换了一套直角坐标而改变。这正是它适合做“第一眼分类器”的原因。

一个常见误会：算出负数，不等于已经证明有椭圆

下面三条方程的 $A=1$、$B=0$、$C=1$ 完全相同，因此都有

但它们的实图形完全不同：

是一条圆；

只有一个点 $(0,0)$；

没有任何实点。

差别不在二次部分，而在常数项和标准形式的右端。因此，判别式只判大类，不能单独负责“有没有完整曲线”这件事。

退化和无实点，要分开检查

把一般二次方程写成齐次矩阵形式：

记中间的矩阵为 $H$。严格的代数退化条件是

如果不想每次写三阶行列式，也可以检查等价的标量：

这个条件成立时，二次曲线会降成一次因式的组合，或者在实平面里只剩点、直线等边界图形。

不过，“退化”和“没有实点”不是同一句话。例如 $x^2+y^2+1=0$ 没有实点，但它的 $\det H\ne0$，严格说它是没有实图形的非退化二次曲线。做实数范围内的题时，我们要同时问两个问题：

1. $\det H$ 是否为 $0$，也就是方程有没有代数退化；
2. 化成标准形式后，平方项能不能真的满足等式，也就是有没有实点。

标准形式的最后一步，必须把退化与实点情况一起说清楚。

三个大类各自怎样走到边界

椭圆类

平移、旋转后若得到

并且 $\lambda_1$、$\lambda_2$ 同号，那么：

• $K$ 与它们同号时，是实椭圆；
• $K=0$ 时，只剩中心一个点；
• $K$ 与它们异号时，没有实点。

双曲线类

若 $\lambda_1$、$\lambda_2$ 异号，那么 $K\ne0$ 时是双曲线；$K$ 时

可以分解成两条相交直线。

抛物线类

若一个主方向的二次系数为 $0$，旋转后会出现类似

的式子。这里 $q$ 是沿“没有平方的方向”的一次项系数。

• $q\ne0$ 时，可以继续平移成 $u^2=4av$，得到正常抛物线；
• $q=0$ 时，方程只剩关于 $$ 的一元二次式，可能给出两条平行直线、一条重合直线，或者没有实点。

这也解释了为什么 $B^2-4AC=0$ 只能说“抛物线类”，不能直接把答案写成“抛物线”。

焦点—准线视角，把三个大类重新串起来

方程分类看上去像在研究系数，其实它和圆锥曲线的几何定义正好对得上。

设定点 $F=(p,0)$，定直线是 $x=0$。点 $P=(x,y)$ 到焦点的距离，等于它到准线距离的 $e$ 倍：

两边平方后得到

这里

所以

于是判别式的三种符号，正好对应离心率的三种范围：

• $0<e<1$ 时，判别式小于 $0$，是椭圆类；
• $e=1$ 时，判别式等于 $0$，是抛物线类；
• $e>1$ 时，判别式大于 ，是双曲线类。

这不是巧合。判别式在代数里比较两个主方向，离心率在几何里比较“到焦点”和“到准线”的距离，两种语言说的是同一组曲线。

一套不容易漏条件的识别流程

说到底，识别一般二次方程就是三次“摆正”：先用判别式摆正判断顺序，再用平移和旋转摆正坐标轴，最后用标准形式摆正对退化条件的理解。

自练

基础识别

1. 将 $4x^2+9y^2-16x+18y-11=0$ 化为标准形式，并指出中心与半轴长。
2. 将 $x^2-6x$ 化为标准形式，并指出顶点与开口方向。

判别式的边界

下面四条方程都有 $B^2-4AC=0$。分别判断它们的实图形。

1. $y^2-4x=0$
2. $y^2-1=0$
3. $y^2=0$

我们把 $y$ 组外面的 $4$ 留在外面，这样括号里的二次项系数是 $1$，配方不容易乱。

中心满足

解得 $(h,k)=(1,1)$。

再逐项读出六个系数。没有出现的项，系数是 $0$。

所以

它是中心为 $(2,-1)$ 的椭圆，横向半轴长为 $3$，纵向半轴长为 $2$。

第 2 题：

它是顶点为 $(3,1)$、向上开口的抛物线。

第 3 题：

继续因式分解：

所以它不是正常双曲线，而是两条相交直线 $y=-x$ 与 $y=x+2$。

第 3 条表示重合的直线 $y=0$，也可以理解为同一条直线出现两次。

第 4 条要求 $y^2=-1$，在实数范围内没有点。

这四个答案再次说明：判别式等于 $0$ 只能判断“抛物线类”，最终形状还要看一次项、常数项和标准形式。