圆锥曲线总览：同一个圆锥，四种截法

先拿一张纸卷成圆锥，再把两个一模一样的圆锥尖对尖粘起来。现在想象手里有一把很薄的刀：横着切、斜着切、沿着锥面切，得到的边线会完全不同。

横着切是一只圆；稍微斜一点，圆被“拉长”成椭圆；刀面斜到恰好顺着锥面的一条直线走，闭合的边线打开成抛物线；再把刀立陡一点，让它同时碰到上下两半圆锥，截线就分成双曲线的两支。

这就是“圆锥曲线”这个名字的来历。不过，只看刀怎么切还不够。把截线平放到纸上以后，我们还需要一套不依赖圆锥的说法，才能量长度、建坐标、写方程。那套说法只用三个对象：焦点、准线和离心率。

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先把双圆锥和截平面看清楚

圆锥面可以想成一条直线绕着一条与它相交的轴线旋转得到的曲面。那条旋转轴叫轴线；锥面上从顶点向外延伸的每一条直线叫母线。

把母线向顶点另一侧继续延长，就得到上下两叶相接的双圆锥。这里说“两叶”，指的是顶点上方和下方两部分曲面，不是两个实心漏斗。圆锥曲线是平面与这个曲面的交线。下面的讨论都默认截平面不经过顶点；一旦穿过顶点，截线会退化。

一把刀为什么能切出四种形状

先看最容易想象的两种。

• 截平面垂直于轴线，也就是平行于圆锥的圆形底面，截线是圆。
• 截平面斜着穿过一叶圆锥，四周都能重新绕回来，截线是椭圆。

继续把截平面立陡，关键时刻出现在它与一条母线平行的时候。此时截线刚好失去闭合的一端：平面不会再从锥面的另一侧绕回来，而是沿一个方向不断伸远，于是得到抛物线。

再陡一点，截平面会同时碰到双圆锥的上下两叶。两叶彼此只在顶点相接，而截平面又不经过顶点，所以截线自然分成互不相连的两支，这就是双曲线。

用角度做一次准确判别

设母线与底面所成的锐角为 $\theta$，截平面与底面所成的锐角为 $\varphi$，并且截平面不经过顶点。把“刀有多陡”写成角度后，分类就很清楚了。

圆其实是椭圆的最对称情形。空间切割时，我们习惯把它单独列出来，因为“平行底面”这一下很特别；进入离心率和标准方程以后，圆又会自然回到椭圆家族里。

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截线拿到纸上：先看形状，再找不变量

如果把四条截线从圆锥上取下来，平放在坐标纸上，最先看到的是“闭合还是开放”。

这张表适合第一眼认图，却还不是定义。一个随手画出的 U 形未必是抛物线，一个被压扁的圆也未必满足椭圆的距离条件。解析几何真正关心的是：曲线上每一个点都共同保持什么量不变？

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空间里的截线为什么会冒出焦点

“平面截圆锥”和“到焦点、准线的距离关系”看起来像两套互不相干的定义。把一个恰好贴住圆锥面和截平面的球塞进圆锥里，两套说法就连上了。

斜截一叶得到椭圆时，截平面两侧可以各放一个这样的内切球。两个球与截平面的切点，就是椭圆的两个焦点。取截线上任一点 $P$，从 $P$ 向同一个球引出的两条切线段等长；把这条等长关系分别用在两个球上，$PF_1+PF_2$ 会变成圆锥母线上一段固定长度，所以距离和不随 $P$ 改变。

截平面同时穿过两叶时，两个内切球分处顶点两侧。同样的切线段等长关系不再给出“和”，而是给出 $|PF_1-PF_2|$ 为常数，于是出现双曲线的距离差。

抛物线只需要一个内切球。球与截平面的切点给出焦点；球与圆锥相切的圆所在平面再与截平面相交，给出一条准线。切线段等长最后变成 $PF=d(P,l)$。所以焦点不是后来硬塞进截线里的标记，它本来就藏在圆锥、截平面和内切球的相切关系中。

这页不展开完整空间证明，但要记住结论：截面定义负责告诉我们曲线从哪里来，距离定义负责让我们在平面上画它、算它。

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三个能动手做的画法

圆锥曲线适合先画后算，因为每一类曲线背后都有一个可以动手复现的动作：椭圆守住距离和，抛物线守住相等的两段距离，双曲线守住距离差。

拉绳子画椭圆

在纸上钉两个图钉 $F_1,F_2$，用一根闭合细绳套住它们。笔尖 $P$ 把绳子撑紧后移动，绳子在笔尖两侧的长度就是 $PF_1$ 与 。绳长没有变，所以笔尖始终满足

$$PF_1+PF_2=2a$$

画一整圈，得到椭圆。这个动作也解释了为什么椭圆必须有

$$2a>F_1F_2$$

绳长若正好等于两个图钉的间距，笔尖只能在线段 $F_1F_2$ 上活动，椭圆退化成一条线段；绳长更短，连两个图钉都套不住，轨迹为空。

找等距点画抛物线

纸上固定一个点 $F$，再画一条不过 $F$ 的直线 $l$。在 $l$ 上任选一点 $H$，过 $H$ 作垂线；再作线段 $FH$ 的垂直平分线。两条线的交点记作 $$，那么

$$PF=PH$$

而 $PH$ 正好是 $P$ 到直线 $l$ 的垂直距离。换几个不同的 $H$ 重复作图，所有 $P$ 连起来就是抛物线。$F$ 叫焦点，$l$ 叫准线。

你也可以把这件事想成一场“等距离追踪”：点 $P$ 每向焦点靠近一点，也必须向准线靠近同样多；它沿对称轴走到焦点和准线的正中间时，来到抛物线的顶点。

用尺和绳画双曲线

双曲线守住的不是距离和，而是距离差。把直尺一端固定在焦点 $F_2$，让它能绕 $F_2$ 转动；把一根比直尺短的绳子一端系在尺的另一端，另一端固定在 $F_1$。用笔尖 $P$ 把绳子贴着直尺绷紧，转动直尺，笔尖会画出双曲线的一支。

原因藏在“尺长减绳长”里：尺长和绳长都固定，它们的差会转化成 $P$ 到两个焦点的距离差，因此

$$|PF_1-PF_2|=2a$$

交换直尺和绳子的固定端，可以画出另一支。要得到非退化双曲线，常数必须满足

$$0<2a<F_1F_2$$

如果常数等于 $0$，轨迹是线段 $F_1F_2$ 的垂直平分线；如果常数等于焦点间距，轨迹退化成焦点外侧的两条射线；如果常数大于焦点间距，三角不等式告诉我们根本没有这样的点。

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一条公式把椭圆、抛物线、双曲线放在一起

两焦点定义很适合画椭圆和双曲线，焦点—准线定义则更统一。

在平面上固定一点 $F$ 和一条不过 $F$ 的直线 $l$。取动点 $P$，从 $P$ 向 $l$ 作垂线，垂足为 $H$。如果比值

$$e=\frac{PF}{PH}=\frac{PF}{d(P,l)}$$

始终是同一个正常数，那么 $P$ 的轨迹是一条非退化圆锥曲线。$F$ 是焦点，$l$ 是与它对应的准线，$e$ 是离心率。

这里的 $PH$ 必须是垂直距离。拿 $P$ 随便连到准线上的另一个点，线段会变长，比值也就失去定义的意义。

椭圆和双曲线各有两个焦点，也各有两条准线。使用这个定义时，要把一个焦点与它对应的那条准线配成一组；抛物线只有一个焦点和一条准线。

离心率怎样决定类型

• $0<e<1$：焦点距离始终小于准线距离，轨迹会收回来，形成椭圆。
• $e=1$：两段距离始终相等，轨迹处在闭合与分开的分界上，是抛物线。
• $e>1$：焦点距离始终大于准线距离，轨迹分成两支，是双曲线。

离心率描述的是形状，不是尺寸。两条椭圆可以大小相差十倍，却有相同的离心率；把整张图按同一比例放大，焦点距离与准线距离一起变大，它们的比值不会变。

下面的探究器固定焦点和准线，只改变 $e$。拖动时先看曲线是否闭合，再看 $e=1$ 两侧发生了什么。

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从距离比推到二次方程

统一定义不只负责分类，它还能解释为什么三类曲线都和二次方程有关。

把准线取为 $y$ 轴，也就是 $x=0$；把焦点放在 $F(p,0)$，其中 $p>0$。点 $P(x,y)$ 到准线的距离是 。定义给出

$$PF=e\,d(P,l)$$

代入距离公式：

$$\sqrt{(x-p)^2+y^2}=e|x|$$

两边都表示非负距离，可以平方：

$$(x-p)^2+y^2=e^2x^2$$

整理后得到

$$(1-e^2)x^2+y^2-2px+p^2=0$$

决定图形的关键就是 $x^2$ 前面的系数 $1-e^2$。

• 当 $0<e<1$ 时，$1-e^2>0$，两个平方项同号，配方后得到椭圆。
• 当 $e=1$ 时，$$ 项恰好消失，只剩一个变量的平方，得到抛物线。

这也回答了“为什么圆锥曲线总是二次曲线”：几何条件里出现的是距离，距离公式带平方根；把两个非负距离的比例关系平方并整理，最高次数正好是二次。

例题：同一焦点和准线，只改离心率

固定焦点 $F(1,0)$ 和准线 $x=-1$。曲线上点 $P(x,y)$ 满足

$$\sqrt{(x-1)^2+y^2}=e|x+1|$$

分别判断 $e=\frac12$、$e=1$、$e=2$ 时的曲线，并把方程整理出来。

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四种常见标准方程是一张地图

后面几章会逐一推导标准方程。这里先把它们放在一起，建立“方程—形状—焦点”的对应关系。

圆

$$x^2+y^2=r^2$$

圆心在原点，半径为 $r$。它也可以写成 $\frac{x^2}{r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1$，所以是长、短半轴相等的椭圆，离心率为 。

椭圆

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \qquad (a>b>0)$$

焦点在 $(\pm c,0)$，其中

$$c^2=a^2-b^2,\qquad e=\frac ca<1$$

$b$ 越接近 $a$，两个焦点越靠近中心，椭圆越接近圆；$b$ 越小，椭圆越扁，$e$ 越接近 $1$。

抛物线

$$y^2=4px \qquad (p>0)$$

顶点在原点，焦点是 $(p,0)$，准线是 $x=-p$，离心率始终为 $1$。焦点与准线关于顶点对称，所以顶点恰好在它们正中间。

双曲线

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \qquad (a>0,\ b>0)$$

焦点在 $(\pm c,0)$，其中

$$c^2=a^2+b^2,\qquad e=\frac ca>1$$

与椭圆相比，最显眼的代数变化是两个平方项之间的加号变成减号。这个符号让曲线无法闭合，并产生两支。两条渐近线

$$y=\pm\frac ba x$$

描述了两支向远处延伸时越来越接近的方向。

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两类退化情况别混在一起

“退化”不是算错了，而是某个边界条件让曲线缩成了更简单的点或直线。

截平面经过圆锥顶点

前面的角度分类默认截平面不经过顶点。若它刚好经过顶点：

• 原本的椭圆截面缩成一个点，也就是圆锥顶点。
• 原本的抛物线截面变成一条母线。
• 原本的双曲线截面变成两条相交的母线。

所以图中只要看见截平面穿过顶点，就不能再把截线称为普通椭圆、抛物线或双曲线。

焦点落在准线上

统一定义也有自己的退化边界。若焦点就在准线上，把它们放成 $F(0,0)$ 与 $x=0$，则

$$\sqrt{x^2+y^2}=e|x|$$

平方后是

$$(1-e^2)x^2+y^2=0$$

于是 $0<e<1$ 时只剩原点；$e=1$ 时得到直线 $y=0$；$e>1$ 时得到两条相交直线 $$。这和空间里“截平面经过顶点”出现的点、直线、相交直线正好呼应。

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自测练习

1. 一个截平面不经过顶点，只截双圆锥的一叶，并且与一条母线平行。截线是什么？

显示答案

截线是抛物线。与母线平行是关键条件；只说“斜截一叶”还不能排除椭圆。

2. 一个截平面比母线更陡，同时切到双圆锥的上下两叶。为什么截线一定有两支？

显示答案

上下两叶只在顶点相接，而截平面不经过顶点。平面在两叶上留下的交线无法连接，所以形成彼此分离的两支，也就是双曲线。

3. 某曲线上任一点到焦点的距离，恒为它到对应准线距离的 $0.8$ 倍。曲线是哪一类？

显示答案

离心率 $e=0.8$，满足 $0<e<1$，因此是椭圆。这个数决定类型和形状倾向，不直接决定椭圆有多大。

4. 判断对错：只要一条曲线有两个焦点，它就是椭圆。

显示答案

错误。椭圆和双曲线都有两个焦点。椭圆保持到两焦点的距离和不变，双曲线保持距离差的绝对值不变；椭圆闭合，双曲线有两支。

5. 两个焦点相距 $10$，某轨迹满足 $|PF_1-PF_2|=12$。它是双曲线吗？

显示答案

不是，而且轨迹为空。任意点到两焦点的距离差绝对值都不会超过焦点间距，所以不可能达到 $12>10$。

6. 截平面经过圆锥顶点，并处在原本应产生双曲线的方向上。截线是什么？

显示答案

它退化成两条相交的母线，不是普通双曲线。非退化双曲线的两支不会在顶点相交。

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带着两条线索进入后面的章节

这一页需要留下两条线索。

第一条是空间线索：截平面由平到陡，圆变成椭圆，在与母线平行时成为抛物线，再继续变陡便切出双曲线的两支。

第二条是距离线索：椭圆守住距离和，抛物线守住焦点距与准线距相等，双曲线守住距离差；焦点—准线比值 $e$ 又把三者统一成 $e<1$、$e=1$、$e>1$。

下一章从拉绳子的动作出发研究椭圆。到那时，标准方程里的根号、平方与参数不再是凭空出现的符号，它们只是在把“到两个焦点的距离和不变”翻译成代数语言。