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直线与圆锥曲线的位置关系 | 自在学

直线与圆锥曲线：把一次相遇翻译成方程的根

想象坐标纸上已经画好一条椭圆。现在拿一把直尺，先放在椭圆外面，再保持方向不变，一点点往椭圆上推。

一开始，直尺和椭圆完全碰不到；继续推，它会在某一刻刚好擦到椭圆；再往里一点，直线便穿过椭圆，留下两个交点。几何上看到的是“相离、相切、相交”，代数上发生的则是“没有实根、出现重根、分成两个不同实根”。

这就是本章的主线：先把直线放进曲线方程，再看消元后那个一元方程的根。

把直线平行推向椭圆时，依次出现相离、相切和相交。

交点为什么会变成一元方程的根

交点没有什么神秘的。一个点如果真是直线与曲线的交点，它就必须同时满足两边的方程。

假设圆锥曲线写成

F(x,y)=0

一条非竖直直线写成

y=kx+b

把直线中的 $y$ 代进曲线，得到

F(x,kx+b)=0

这已经是只含 $x$ 的方程了。每求出一个实数根 $x_i$ ，再算

y_i=kx_i+b

就得到一个交点 $(x_i,y_i)$ 。反过来也一样：任何真实交点的横坐标都必须是这个消元方程的根。

所以，对非竖直直线来说，根和交点是一一对应的。两个不同实根就是两个不同交点，重根表示两个交点的位置重合了。

用参数式把竖直线也装进来

$y=kx+b$ 漏掉了竖直线。更稳的写法是给直线一个起点和一个方向：

x=x_0+ut,\qquad y=y_0+vt

其中 $(u,v)\ne(0,0)$ 。参数 $t$ 每取一个实数，就在直线上得到一个点。

$(u,v)=(1,k)$ 时，它是普通斜率为 $k$ 的直线。
$(u,v)=(0,1)$ 时，不动，它就是竖直线。

把参数式代入 $F(x,y)=0$ 后，只需求 $t$ 。因为方向向量不为零，不同的 $t$ 不会给出同一个点，所以“实数 $t$ 的个数”就是“有限交点的个数”。

遇到竖直线 $x=c$ 时，也可以不写参数式，直接把 $x=c$ 代进曲线，改为求 $y$ 。真正需要记住的不是固定格式，而是：选一个不会漏线、也不会漏点的消元方式。

判别式怎样读出几何位置

直线代入非退化圆锥曲线后，通常得到一元二次方程

At^2+Bt+C=0

其中 $t$ 可以是参数，也可以是消元后留下的 $x$ 或 $y$ 。先确认 $A\ne0$ ，再计算

\Delta=B^2-4AC

这时根与几何图像有准确的对应：

判别式	一元二次方程	直线与光滑圆锥曲线
$\Delta>0$	两个不同实根	两个不同交点，直线割过曲线
$\Delta=0$	一个二重实根	一个切点，直线与曲线相切
$\Delta<0$	没有实根	没有实交点

为什么 $\Delta=0$ 会对应相切？还是回到“推直线”的画面。相交时原本有两个交点；直线逐渐靠近临界位置，两个交点沿曲线靠拢，最后压到同一点。消元方程里的两个不同根，也就在这一刻合成了一个二重根。

例题：先判断，再把根还原成交点

判断直线

y=x+1

与椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

有几个交点，并求出交点坐标。

把 $y=x+1$ 代入椭圆。这里没有开方、约分或含未知数的分母，代入本身不会制造增根。

\frac{x^2}{9}+\frac{(x+1)^2}{4}=1

先看次数：一个交点不一定是相切

判别式很好用，但它不能先于方程的次数。若参数让二次项系数变成 $0$ ，原方程已经退化成一次方程，此时再把 $A=0$ 塞进二次方程判别式，就失去了意义。

消元后应当按下面的顺序判断：

消元结果	结论
$A\ne0$	才使用 $\Delta=B^2-4AC$
$A=0$ 且

抛物线：平行于轴的直线只交一次

看向右开口的抛物线

y^2=4px,\qquad p>0

把直线 $y=kx+b$ 代入，得到

k^2x^2+(2kb-4p)x+b^2=0

当 $k\ne0$ 时，它确实是二次方程，可以用判别式判断两个交点、重合切点或没有交点。

可当 $k=0$ 时，直线变成 $y=b$ ，与抛物线的轴平行。上式随即退化为

-4px+b^2=0

所以只有一个普通根

x=\frac{b^2}{4p}

交点是

\left(\frac{b^2}{4p},b\right)

这条水平线是从抛物线的一侧穿进去的，不是“擦一下就走”，因此它不是切线。抛物线在这个点的切线另有方向。

双曲线：平行于渐近线也可能只交一次

再看双曲线

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

它的两条渐近线斜率是 $\pm\frac ba$ 。取一条与正斜率渐近线平行的直线

y=\frac ba x+c

代入双曲线后， $x^2$ 项恰好抵消：

-\frac{2c}{ab}x-\frac{c^2}{b^2}=1

当 $c\ne0$ 时，这只是一次方程，所以直线有一个有限交点，却不是切线。可以把它理解成：原本可能出现的另一个交点沿着双曲线分支跑向了无穷远。

当 $c=0$ 时，这条线本身就是渐近线，代入后得到矛盾式，所以没有有限交点。

抛物线的轴平行线和双曲线的渐近线平行线都可能只有一个有限交点，但它们不是切线。

“只有一个交点”是计数结果，“相切”还包含接触方式。只有在消元结果确实是二次方程，并且这个唯一交点对应二重根时，才能直接用 $\Delta=0$ 判断相切。

相切就是把两个交点压成一个重根

现在把开头的动作算一遍。固定直线斜率为 $1$ ，让截距 $b$ 改变：

y=x+b

问它在什么位置与椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

相切。

把直线代入椭圆：

\frac{x^2}{9}+\frac{(x+b)^2}{4}=1

下面的实验固定椭圆，允许你调节非竖直直线的斜率和截距。它使用的二次项系数始终大于 $0$ ，所以面板中的判别式不会遇到退化。竖直线仍需用 $x=c$ 单独处理。

弦长其实是两个根之间的距离

直线与圆锥曲线有两个不同交点 $A$ 、 $B$ 时，线段 $AB$ 就是这条直线截出的弦。

先用参数式

x=x_0+ut,\qquad y=y_0+vt

若两个交点对应参数 $t_1,t_2$ ，那么

A-B=((t_1-t_2)u,(t_1-t_2)v)

于是弦长为

|AB|=\sqrt{u^2+v^2}\,|t_1-t_2|

若消元方程是

At^2+Bt+C=0,\qquad A\ne0,\quad \Delta>0

由根与系数的关系，

|t_1-t_2|=\frac{\sqrt\Delta}{|A|}

所以参数式下有一个很干净的弦长公式：

|AB|=\sqrt{u^2+v^2}\,\frac{\sqrt\Delta}{|A|}

如果直线写成 $y=kx+b$ ，可以直接把 $t$ 看成 $x$ ，方向向量取 $(1,k)$ ，于是

|AB|=\sqrt{1+k^2}\,|x_1-x_2|

再用

x_1+x_2=-\frac BA,\qquad x_1x_2=\frac CA

就能在不逐个求根的情况下算出

|x_1-x_2| =\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}

例题：用根的间距求弦长

椭圆

\frac{x^2}{4}+y^2=1

被直线 $y=x$ 截得弦 $AB$ ，求 $|AB|$ 。

代入 $y=x$ ：

\frac{x^2}{4}+x^2=1

若直线是 $x=c$ ，两个交点有同一个横坐标，不能使用 $\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 。这时直接求两个纵坐标，弦长就是；或者使用方向向量的参数式，公式会自动给出同一结果。

弦中点会排成一条直径

弦长看两个根的差，中点看两个根的和。这个区别很有用。

设椭圆为

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

弦端点为 $A(x_1,y_1)$ 、 $B(x_2,y_2)$ ，中点为

M(x_0,y_0)

其中

x_1+x_2=2x_0,\qquad y_1+y_2=2y_0

把 $A$ 、 $B$ 分别代入椭圆方程，再让两式相减：

\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0

分解平方差：

\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2} +\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0

如果弦的方向向量为 $(u,v)$ ，那么端点坐标差与 $(u,v)$ 平行。约去两端点之间那个非零的比例因子后，得到最安全的中点关系：

\frac{ux_0}{a^2}+\frac{vy_0}{b^2}=0

它没有斜率分母，所以竖直弦也能直接使用。

椭圆中一组平行弦的中点落在同一条过中心的直径上。

若弦非竖直，方向取 $(1,k)$ ，上式变成

\frac{x_0}{a^2}+\frac{ky_0}{b^2}=0

当 $y_0\ne0$ 时，才可以继续除以 $y_0$ ：

k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}

对于一组斜率固定为 $k$ 的平行弦，它们的中点都满足同一个一次方程，所以会排在一条经过椭圆中心的直线上。这条中点轨迹叫作这组弦对应的直径。

三个不能被除法藏掉的特殊位置

若 $y_0=0$ 且 $x_0\ne0$ ，有限斜率公式不能用。安全式迫使 $u=0$ ，所以弦应是竖直线。

\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}<1

等号表示中点已经落到椭圆上，只剩切点重合的退化情形；大于 $1$ 时不存在这样的实弦。

例题：已知中点，找弦所在直线

椭圆

\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1

有一条弦以 $M(2,1)$ 为中点，求弦所在直线。

先检查中点位置：

\frac{2^2}{16}+\frac{1^2}{9}=\frac{13}{36}<1

下面的实验只调节非竖直弦 $y=kx+b$ 。当中点的 $y_0$ 过小，面板会停止计算含 $y_0$ 的分式；当直线相切或相离时，也不会把退化线段误报成普通弦。

同一个中点思路怎样延伸到另外两类曲线

对双曲线

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

同样做“两点代入再相减”，得到

\frac{ux_0}{a^2}-\frac{vy_0}{b^2}=0

固定方向的弦，其中点仍落在一条过中心的直线上，只是负号变了。这也解释了为什么椭圆的一对共轭方向斜率异号，而双曲线相应方向的斜率同号。

对抛物线 $y^2=4px$ ，两点相减后得到

vy_0=2pu

若弦斜率为 $k\ne0$ ，可以取 $(u,v)=(1,k)$ ，于是

y_0=\frac{2p}{k}

也就是说，同方向抛物线弦的中点排在一条平行于抛物线轴的直线上。若 $k=0$ ，这个关系无法成立，正好对应前面看到的事实：平行于轴的直线只有一个交点，截不出一条有两个端点的弦。

过外点作切线：先别漏掉竖直线

“过一个点作圆锥曲线的切线”通常分两步：写出过该点的直线族，再让交点方程出现重根。

对椭圆

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

给定点 $P(h,q)$ ，可以先算

S=\frac{h^2}{a^2}+\frac{q^2}{b^2}

$S>1$ ：点在椭圆外，恰好能作两条实切线。
$S=1$ ：点就在椭圆上，只有该点处的一条切线。
$S<1$ ：点在椭圆内，不能作实切线。

这个预判能帮我们检查最终切线条数，但真正计算时仍要处理直线族是否漏掉了竖直线。

例题：求过椭圆外一点的两条切线

求过点 $P(5,0)$ 且与椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

相切的直线方程。

先判断点的位置：

\frac{5^2}{9}+\frac{0^2}{4}=\frac{25}{9}>1

过定点设直线时，最稳的习惯是先单独检查 $x=h$ ，再设 $y-q=k(x-h)$ 。若直接从点斜式开始，恰好为竖直线的答案会被整个漏掉。

定义域、分母和回代要在最后对账

直线与圆锥曲线的题常常不是思路难，而是某一步变形悄悄改变了解集。下面几项要逐一对账。

清分母前先看分母能不能为零

标准式中的 $a^2,b^2$ 本来就要求 $a\ne0,b\ne0$ ，乘以这些固定非零常数不会增根。

但若直线写成截距式

\frac{x}{r}+\frac{y}{s}=1

就已经默认 $r\ne0,s\ne0$ 。若 $r$ 、 $s$ 含待求参数，令分母为零的参数值必须在清分母前单独处理，不能乘过去以后假装它从未存在。

开方表示曲线时别忘了定义域和正负支

例如把椭圆写成

y=\pm b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}

必须同时保留正、负两支，并要求

-a\le x\le a

若只取正号，就只剩上半个椭圆。交点计数最好直接使用原来的二次方程，能少一次开方，也不容易漏支。

平方可能带来增根

若联立过程中把

\sqrt{g(t)}=h(t)

两边平方，除了要求 $g(t)\ge0$ ，原式还要求 $h(t)\ge0$ 。平方后的根必须回到平方前的式子检验。

二次项系数含参数时，先拆出 $A=0$

一个含参数的式子写成

A(\lambda)t^2+B(\lambda)t+C(\lambda)=0

不能只算一个含 $\lambda$ 的判别式就结束。先解 $A(\lambda)=0$ 并单独检查退化情形；剩下 $A(\lambda)\ne0$ 的范围，才由判别式分类。

最后把坐标代回原方程

交点坐标至少要满足原直线和原曲线。回代能同时发现符号抄错、分母漏检、平方增根和坐标还原错误。参数题还要把结果放回题目要求的范围，例如“有两个不同交点”要求严格的 $\Delta>0$ ，不能把 $\Delta=0$ 的切点混进来。

练习：把图像和方程对上

竖直线与椭圆

直线 $x=2$ 与椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

有几个交点？求出交点。

一个交点但不是切线

直线 $y=3$ 与抛物线

y^2=8x

有几个交点？它是切线吗？

与渐近线平行的直线

双曲线

\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1

与直线

y=\frac23x+1

有几个有限交点？

已知中点找椭圆弦

椭圆

\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1

的一条弦以 $M(1,1)$ 为中点，求弦所在直线。

过外点作切线

求过点 $P(0,3)$ 且与椭圆

\frac{x^2}{4}+y^2=1