极限思想：变化过程中的逼近

微积分一上来不问“这个数等于多少”，而是先问“它正在往哪里去”。这和以前的代数很不一样。代数常把一个确定的输入代进公式，再算出一个确定的输出；极限研究的却是一个过程：输入越来越靠近某处时，输出能不能稳定地靠近同一个目标。

这个过程不是故意绕远。瞬时速度、曲线在一点的斜率、曲边图形的面积，都不能只靠一次代入得到。它们共同需要一种办法：先做可以计算的近似，再让近似越来越精细。极限就是把“越来越精细”说清楚的语言。

数列可以无限靠近目标，而不必在某一项真正取到目标。

先从一个会动的数开始

考虑数列

把 $n=1,2,5,10,100$ 依次代入，得到 $0,0.5,0.8,0.9,0.99$。这些数始终小于 $1$，却在不断向 $1$ 靠近。我们写成

这里的“$n\to\infty$”不是把无穷大当成一个可以代入的数，而是说：只要继续取更大的 $n$，$a_n$ 与 $1$ 的距离就能变得任意小。

例如，若希望误差小于 $0.01$，只要 $n>100$；若希望误差小于 $0.0001$，只要 $n>10000$。目标越严格，我们就把 $n$ 取得越大。

函数极限看的是点附近

对函数来说，记号

读作“当 $x$ 趋近 $a$ 时，$f(x)$ 趋近 $L$”。我们盯着的是 $a$ 附近的函数值，不是 $a$ 这一点本身。

看一个典型例子：

在 $x=2$ 时，原式没有定义。但当 $x\ne2$ 时，

所以 $x$ 从两边靠近 $2$ 时，$f(x)$ 都靠近 $4$：

这正好把极限与函数值分开了。$f(2)$ 不存在，并不妨碍附近的趋势非常稳定。

表格只是观察窗口

我们可以用表格估计极限：

表格能帮助我们猜出目标，但有限多行数据不能替代证明。真正的极限说的是所有“足够靠近”的输入，而不是表里碰巧列出的几个数。

图像、表格和代数各自负责什么

第一次接触极限时，我们常从图像或表格入手，因为它们能把“逼近”直接摆在眼前。但三种观察方式各有边界：

• 图像擅长显示左右趋势、孔洞、跳跃和渐近线，但屏幕分辨率可能把很小的振荡或缺口藏起来。
• 表格擅长比较不同距离下的函数值，但选点太少、只取一侧或数值舍入，都可能造成误判。
• 代数变形能解释趋势为什么成立，却要建立在定义域和等价变形正确的基础上。

因此，一个可靠的判断常常是“图像提出猜想，表格检查方向，代数给出理由”。如果题目只要求估计，图表可以够用；如果要求证明，就需要极限法则、夹逼或精确定义。

例题：同一个极限，点值可以随便改

设

当 $x$ 靠近 $2$ 且 $x\ne2$ 时，使用的始终是 $x^2+1$，所以

但 $h(2)=-100$。如果把 $h(2)$ 改成 $0$、$8$，甚至让它没有定义，极限仍然是 $5$。这不是说函数值不重要，而是说“点值”和“极限”回答的是两个不同问题。下一章后的连续性，会专门要求它们相等。

左边和右边必须对得上

从 $a$ 左侧靠近时的趋势叫左极限：

从右侧靠近时的趋势叫右极限：

二侧极限存在的条件非常直接：左右两边必须看见同一个目标。

如果左边靠近 $1$，右边靠近 $3$，函数在 $x=0$ 取什么值都救不了二侧极限。问题出在两条趋近路线给出了不同答案。

例题：先拆两边再判断

设

求 $\lim_{x\to1}g(x)$。

注意题目没有给出 $g(1)$。这不影响判断，因为二侧趋势已经无法对齐。

“不存在”有几种不同原因

极限不存在不只意味着“左右不相等”。常见情况有三类。

1. 左极限与右极限是不同的有限数，图像发生跳跃。
2. 函数值在靠近某点时无限增大或无限减小，不能靠近有限数。
3. 函数在点附近持续振荡，始终不能稳定下来，例如 $\sin(1/x)$ 在 $x\to0$ 时越振越快。

若

意思是从右侧靠近 $a$ 时，$f(x)$ 可以超过任意给定的正数。这里的 $+\infty$ 描述“没有上界地增长”，不是一个普通函数值。

例题：无穷极限也要分左右

考虑

当 $x$ 从右边靠近 $1$ 时，$x-1$ 是越来越小的正数，所以函数值越来越大：

当 $x$ 从左边靠近 $1$ 时，分母是越来越接近 $0$ 的负数，所以

两侧方向相反，因此不能把二侧极限写成 $+\infty$。直线 $x=1$ 是竖直渐近线，但“有竖直渐近线”和“二侧都趋向同一个无穷方向”也不是一回事。

振荡为什么不能靠“取更多点”解决

看 $\sin(1/x)$。当 $x$ 靠近 $0$ 时，$1/x$ 变得很大，正弦函数在 $-1$ 与 $1$ 之间来回摆动得越来越快。无论把观察范围缩得多小，里面都能找到函数值接近 $1$ 的点，也能找到接近 的点。

这说明问题不是表格还不够密，而是输出根本没有单一目标。若乘上一个会趋近 $0$ 的因子，例如 $x\sin(1/x)$，振荡幅度才会被压小；下一节会用夹逼定理把这件事算清楚。

输入走向无穷时看远处趋势

记号

表示当 $x$ 取得越来越大时，$f(x)$ 靠近 $L$。例如

因为 $5/x$ 会越来越接近 $0$。若函数在远处靠近水平线 $y=L$，这条直线就是水平渐近线。

有限点附近的极限与无穷远处的极限问法相同：输入按规定方向移动，输出有没有稳定目标。不同之处只在于，一个把镜头对准某个点附近，一个把镜头拉向图像远处。

精确定义在控制什么

直觉上说“越来越近”已经很有用，但数学还要回答：多近才算近？

若

那么对任意 $\varepsilon>0$，都能找到一个 $\delta>0$，使得只要

就一定有

$\varepsilon$ 是你对输出误差提出的要求，$\delta$ 是我们为输入找到的安全范围。先由别人任意指定多小的 $\varepsilon$，我们仍能找出可行的 $\delta$，这才说明输出确实被稳定地控制在 $L$ 附近。

例题：线性函数的误差控制

证明当 $x\to2$ 时，$3x+1\to7$。

因为

若想让输出误差小于 $\varepsilon$，只要让

所以可以选 $\delta=\varepsilon/3$。这不是为了把每个极限都算得很繁琐，而是让“足够靠近”有了可检查的含义。

例题：二次函数需要先限制范围

证明

我们要控制

其中 $|x-2|$ 正是输入距离，但 $|x+2|$ 也会变化。先额外要求 $|x-2|<1$，便有 $1<x<3$，于是 。这样

若再要求 $|x-2|<\varepsilon/5$，输出误差就小于 $\varepsilon$。所以可以选

这里的“先把 $x$ 限制在一个方便范围，再按 $\varepsilon$ 收紧”是处理非线性函数时很常见的思路。

为什么条件里要排除 $x=a$

精确定义写的是 $0<|x-a|<\delta$，中间多了一个 $0<$。它明确排除 $x=a$，因为极限研究的是删去目标点后的附近行为。若不排除目标点，任何 $f(a)\ne L$ 的孔洞型函数都会被错误地判为没有极限。

这也解释了为什么极限可以帮助我们研究原式未定义的位置：定义从一开始就没有要求函数在目标点取值。

极限怎样通向导数和积分

极限会在后面以两种面貌回来。

第一种是把两点之间的平均斜率推到一点附近：

当 $h\to0$，割线斜率若稳定下来，就得到切线斜率和瞬时变化率，也就是导数。

第二种是把区间切成越来越细的小段，把小矩形面积相加：

当分割越来越细，和若稳定下来，就得到定积分。

切线问题的近似链条

曲线上只有一个点时，无法直接形成斜率。我们先保留第二个点，得到割线斜率；再让第二个点沿曲线靠近目标点。每一个阶段都能算出一个普通斜率，而极限负责判断这串斜率有没有稳定结果。

这个结果若存在，就不只是一条几何切线的斜率。若横轴是时间、纵轴是位置，它就是瞬时速度；若纵轴是成本，它可以解释为边际成本。后面我们会把同一个差商反复用于不同语境。

面积问题的近似链条

曲边区域不能直接套矩形公式，我们就先切成有限个小区间，用矩形面积相加。分得越细，每个矩形顶端与曲线的偏差通常越小。极限负责回答：当最大分段宽度趋近 $0$ 时，这些和是否靠向唯一结果。

因此，极限不是只服务于“某一点附近”。它还可以控制一整串越来越精细的有限近似，这正是积分的起点。

常见误区

• 把 $x\to a$ 写成“令 $x=a$”。趋近允许 $x$ 不等于 $a$。
• 只看一侧就宣布二侧极限存在。左右必须分别检查。
• 看到函数在点上无定义，就断言极限不存在。孔洞常常不破坏极限。
• 把 $\infty$ 当普通数参与代入。它描述无界过程。
• 用几行表格当成证明。表格给线索，代数或定义给结论。

练习

1. 判断 $\lim_{x\to3}(2x-5)$。

2. 已知 $\lim_{x\to4^-}f(x)=2$，$\lim_{x\to4^+}f(x)=2$，但 。求 。

3. 判断 $\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}$ 是否存在。

4. 用误差语言解释 $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$。

5. 某物体的位置为 $s(t)=t^2+2t$。写出从 $t=1$ 到 $t=1+h$ 的平均速度，并求 时的极限。

6. 说明 $\lim_{x\to2}f(x)=5$ 能否推出 $f(2)=5$。

7. 分别写出 $f(x)=1/(x+3)^2$ 在 $x\to-3^-$ 与 $x\to -3^{}$ 时的趋势。

8. 对极限 $\lim_{x\to1}(2x^2+1)=3$，若要求输出误差小于 $0.01$，试给出一个足够小的输入范围。答案不要求最优。

所以当 $h\to0$ 时，它趋近 $4$。

所以只要 $|x-1|<0.01/6$，输出误差就小于 $0.01$。可以取 $\delta=1/600$。