曲线分析：凹凸性、二阶导数与图像草图

一条曲线在某个点附近上升，并不说明它接下来会继续“越来越快”地上升。两辆车此刻都在向前开，速度也一样；一辆正在加速，另一辆正在松油门，它们几秒后的距离会明显不同。

函数图像也是这样。一阶导数告诉我们函数值在上升还是下降，二阶导数告诉我们这个上升或下降的速度在怎样改变。把这两层信息合起来，我们就能从公式、符号表或导数图像中读出更完整的图像轮廓。

图：同一个函数可以从高度、斜率、斜率变化三层同时观察。

一个具体问题

假设某段时间内，平台的用户数仍在增加。只看“用户数增加”这句话，我们无法判断情况到底是好是坏：新增速度可能越来越快，也可能越来越慢。

如果用函数 $f(t)$ 表示用户总数，那么 $f'(t)$ 表示瞬时增长速度。若 $f'(t)>0$，用户数在增加；若 $f'(t)$ 还在继续变大，增长速度本身也在增加。后一句需要看 $f''(t)$。

这就是二阶导数的核心用途：它不只问“函数往哪走”，还问“它走的趋势正在怎样弯”。

二阶导数

若函数 $f$ 可导，导函数 $f'$ 本身也是一个函数。若 $f'$ 也可导，就把 $f'$ 的导数称为 的二阶导数，记作 。

也可以写成莱布尼茨记号：

一阶导数描述 $f$ 的变化率，二阶导数描述变化率的变化率。换句话说，$f''$ 是在读 $f'$ 的升降。

图：二阶导数在运动问题中对应加速度。

凹凸性的直觉

凹向上可以理解为“斜率从左到右逐渐增大”。这时切线会越来越陡，或者从很负的斜率变成较小的负斜率，再变成正斜率。即使函数正在下降，只要下降得越来越慢，也可能是凹向上。

凹向下可以理解为“斜率从左到右逐渐减小”。这时函数可能仍在上升，但上升速度越来越慢；也可能正在下降，并且下降得越来越快。

图：凹凸性看的是斜率如何变化，不是单纯看函数在升还是降。

用二阶导数判断凹凸性：

拐点

曲线从凹向上变为凹向下，或从凹向下变为凹向上时，发生改变的点叫拐点。更准确地说，若 $f$ 在 $x=c$ 连续，并且 $c$ 两侧的凹凸性发生改变，那么点 $(c,f(c))$ 是拐点。

二阶导数为零或不存在的点，是寻找拐点时的候选点。它们只是候选点，不自动成为拐点。

图：$f''(0)=0$ 不足以保证拐点，关键是凹凸性是否真的改变。

例如 $f(x)=x^4$，有

虽然 $f''(0)=0$，但 $x=0$ 两侧都有 $f''(x)>0$，曲线始终凹向上，所以 不是拐点。

用导数信息画图像草图

曲线草图不是追求每个像素都准确，而是把函数的重要结构画对：上升下降、极值、凹向、拐点，以及必要的截距或渐近线。

一个稳定的分析流程是：

图：符号表不是答案本身，它是画出函数大致形状的中间地图。

例题：由公式完成完整草图

设

分析它的单调性、凹凸性、极值和拐点，并画出大致图像。

从导数图像推断原函数

有时题目不给 $f(x)$，只给 $f'(x)$ 的图像。这时仍然可以读出很多信息：

• $f'(x)>0$：$f$ 递增。
• $f'(x)<0$： 递减。

图：导数图像的零点对应原函数的极值候选，导数图像的升降对应原函数的凹凸。

例题：只看导数也能画出轮廓

已知某函数的导数为

不先求 $f(x)$ 的具体表达式，判断 $f$ 的单调性、凹凸性、极值和拐点。

如果愿意验证，可以对 $f'$ 积分得到某个原函数：

常数 $C$ 只会把图像整体上下平移，不会改变单调性、凹凸性、极值点的横坐标或拐点的横坐标。

应用：加速度也是二阶导数

设物体位置为 $s(t)$。速度和加速度分别为：

如果 $v(t)>0$ 且 $a(t)>0$，物体向正方向运动，并且越来越快。如果 $v(t)>0$ 但 $a(t)<0$，物体仍向正方向运动，但速度在变小。

这和曲线凹凸性完全对应：位置图像凹向上时，速度在增加；位置图像凹向下时，速度在减少。二阶导数把“弯曲方向”和“速度变化”连在了一起。

练习

练习一

设 $f(x)=x^3-3x$。求函数的单调区间、局部极值、凹凸区间和拐点。

练习二

解释为什么 $f(x)=x^4$ 在 $x=0$ 处不是拐点，即使 $f''(0)=0$。

练习三

某函数的导数图像满足：$f'(x)<0$ 在 $(-\infty,-3)$ 和 $(1,\infty)$ 上成立，$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ 在 上成立；并且 在 和 上递增，在 上递减。判断 的极值类型和凹凸区间。

练习四

设位置函数为

求速度和加速度，并判断在 $t=1$ 与 $t=5$ 时物体速度大小是在增加还是减少。

练习五

已知

根据一阶和二阶导数信息，描述 $f$ 的草图特征。

小结

这一章的读图线索可以压缩成三句话。$f'$ 的正负看 $f$ 的升降；$f''$ 的正负看 $f$ 的凹凸；拐点要看凹凸性是否改变，而不只是看 $f''$ 是否等于零。

当一阶导数和二阶导数一起出现时，不要急着画曲线。先把它们各自的符号和变化整理到同一条数轴上，再把极值、拐点和关键函数值落到坐标平面里。这样画出的草图通常不会偏离函数的主要形状。

因此临界点为 $x=-\sqrt{2}$、$x=0$、$x=\sqrt{2}$。

所以 $f$ 先递减，再递增，再递减。

所以 $f$ 在 $(-\infty,-1)$ 和 $(1,\infty)$ 上递增，在 $(-1,1)$ 上递减。$x=-1$ 处从增到减，是局部最大值，$f(-1)=2$；$x=1$ 处从减到增，是局部最小值，$f(1)=-2$。

再求二阶导数：

因此 $x<0$ 时凹向下，$x>0$ 时凹向上，拐点为 $(0,0)$。

当 $t=1$ 时，$v(1)=9>0$，$a(1)=-12<0$，物体向正方向运动但速度大小在减少。当 $t=5$ 时，$v(5)=9>0$，$a(5)=12>0$，物体向正方向运动且速度大小在增加。

再看二阶导数：

所以 $x<2$ 时凹向下，$x>2$ 时凹向上，$x=2$ 是拐点的横坐标。草图应先上升并凹向下，在 $x=0$ 附近转为下降，经过 $x=2$ 改变凹凸性，最后在 $x=4$ 处转为上升。