三角、指数与对数函数的导数 | 微积分 I：极限、导数与积分 | 自在学

三角、指数与对数函数的导数

多项式适合描述局部弯曲，却不擅长表达周期运动和按比例增长。弹簧往复、声波振动常由三角函数描述；余额按比例增长、药物按比例衰减常由指数函数描述；当我们要反过来问“增长到这个量需要多久”，对数函数便出现了。

这些函数的导数公式不是孤立表格。正弦和余弦的导数来自小角度极限，指数函数的导数取决于底数，对数导数来自反函数关系。把动机连起来，公式会更容易记，也更容易在复合函数中使用。

三角函数求导必须使用弧度

先看

\frac{d}{dx}\sin x

按定义，

\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}

用和角公式展开：

\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}

整理为

\sin x\frac{\cos h-1}{h} +\cos x\frac{\sin h}{h}

当 $h\to0$ 时，

\frac{\sin h}{h}\to1, \qquad \frac{\cos h-1}{h}\to0

所以

\frac{d}{dx}\sin x=\cos x

同理可得

\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x

正弦曲线斜率与余弦曲线对应的中文图

这些极限只有在角度用弧度表示时才是 $1$ 。若 $x$ 用角度制， $\sin x$ 的导数会多出 $\pi/180$ 。微积分默认三角函数输入使用弧度，除非题目特别说明。

从图像理解符号

正弦曲线在 $x=0$ 处向上穿过横轴，斜率为 $1$ ，而 $\cos0=1$ ；在 $x=\pi/2$ 达到峰顶，斜率为 $0$ ，而 $\cos$ ；在向下穿过横轴，斜率为。整条斜率曲线正好是余弦。

余弦曲线在 $0$ 处位于峰顶，斜率为 $0$ ；随后下降，所以导数为负。这解释了为什么公式里有负号。

六个三角函数的导数

基本公式为

(\sin x)'=\cos x, \qquad (\cos x)'=-\sin x

把正切写成 $\sin x/\cos x$ ，使用商法则：

(\tan x)' =\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x} =\sec^2x

其余公式是

(\cot x)'=-\csc^2x

(\sec x)'=\sec x\tan x

(\csc x)'=-\csc x\cot x

每个公式都只在原函数有定义的地方使用。例如正切和正割要排除 $\cos x=0$ 的点。

复合三角函数别漏链式因子

求

y=\sin(3x^2-1)

外层正弦求导得到余弦，内层保持原样，再乘内层导数：

y'=6x\cos(3x^2-1)

求

g(x)=\tan^4x

它表示 $(\tan x)^4$ ，所以

g'(x)=4\tan^3x\sec^2x

高阶导数形成循环

正弦连续求导会按四步循环：

\sin x\to\cos x\to-\sin x\to-\cos x\to\sin x

因此高阶导数不必反复从头算，只需看求导次数除以 $4$ 的余数。

例如求 $d^{2026}(\sin x)/dx^{2026}$ 。因为 $2026$ 除以 $4$ 余 $2$ ，结果与二阶导数相同，即 $-\sin x$ 。这种周期性也说明正弦、余弦在反复微分后仍留在同一个函数族中。

周期运动中的速度与加速度

设质点位置为

s(t)=A\cos(\omega t+\varphi)

$A$ 是振幅， $\omega$ 控制振动快慢， $\varphi$ 决定初始相位。速度为

v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)

加速度为

a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi)

也就是

a(t)=-\omega^2s(t)

加速度总与位移方向相反：物体偏到一侧时，恢复作用把它拉回平衡位置。

例题：读出最大速度

若

s(t)=0.08\cos(5t)

位置单位为米，则

v(t)=-0.4\sin(5t)

因为 $|\sin(5t)|\le1$ ，最大速率为 $0.4$ 米/秒。这里链式因子 $5$ 决定了振动越快，速度振幅越大。

指数函数的斜率为什么与自身成比例

对 $f(x)=a^x$ ，差商可写成

\frac{a^{x+h}-a^x}{h} =a^x\frac{a^h-1}{h}

当 $h\to0$ 时，后一个因子的极限只由底数 $a$ 决定。这个常数正是 $\ln a$ ，所以

\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a

特别地，底数 $e$ 被选成使这个常数等于 $1$ 的底数，因此

\frac{d}{dx}e^x=e^x

自然指数函数的函数值和瞬时增长率处处相等。

不同底数指数函数增长与衰减的中文图

当 $a>1$ 时， $\ln a>0$ ，指数函数递增；当 $0<a<1$ 时， $\ln a<0$ ，指数函数递减。导数符号与图像方向完全一致。

指数复合函数

链式法则给出

\frac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}g'(x)

\frac{d}{dx}a^{g(x)}=a^{g(x)}\ln a\,g'(x)

例如

\frac{d}{dx}e^{-2x^2}=e^{-2x^2}(-4x)

指数部分不会按幂法则把指数“搬下来”。它仍然保留完整的指数函数，再乘指数本身的导数。

按当前量成比例变化

若某个量 $P(t)$ 满足

P'(t)=kP(t)

那么一个基本模型是

P(t)=P_0e^{kt}

$k>0$ 表示增长， $k<0$ 表示衰减。这里的关键不是“指数长得快”，而是每一刻的变化率都等于当前量的固定比例。

例题：比较绝对增长与相对增长

设

P(t)=500e^{0.03t}

则

P'(t)=15e^{0.03t}=0.03P(t)

在 $t=0$ 时，瞬时增长率为 $15$ ；在 $t=10$ 时，瞬时增长率更大，因为当前总量已经增加。但相对增长率

\frac{P'(t)}{P(t)}=0.03

始终不变。

倍增时间与半衰期

若 $P(t)=P_0e^{kt}$ 且 $k>0$ ，倍增时间 $T$ 满足

P_0e^{kT}=2P_0

约去 $P_0$ 并取对数：

T=\frac{\ln2}{k}

若 $k<0$ ，半衰期满足 $P(T)=P_0/2$ ，所以

T=\frac{\ln(1/2)}{k}=\frac{\ln2}{|k|}

这两个时间都与初始量无关，只由相对增长或衰减常数决定。

例题：从两次测量反求参数

某量按 $P(t)=P_0e^{kt}$ 变化，已知 $P(0)=80$ 、 $P (6$ 。先由初值知，再代入第二次测量：

120=80e^{6k}

所以

k=\frac{1}{6}\ln\frac32

瞬时变化率为 $P'(t)=kP(t)$ 。模型参数不是凭空给定，也可以从观测数据反求。

对数函数的导数来自反函数

$y=\ln x$ 与 $x=e^y$ 互为反函数。对

x=e^y

两边关于 $x$ 求导：

1=e^y\frac{dy}{dx}

由于 $e^y=x$ ，得到

\frac{d}{dx}\ln x=\frac1x

这个公式要求 $x>0$ 。更常用的绝对值形式是

\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac1x \qquad(x\ne0)

自然对数斜率为倒数的中文图

一般底数的对数满足

\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}

所以

\frac{d}{dx}\log_a x=\frac{1}{x\ln a}

对数复合函数

若 $g(x)>0$ ，

\frac{d}{dx}\ln g(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}

若使用 $\ln|g(x)|$ ，则在 $g(x)\ne0$ 的区间上同样成立。

例如

\frac{d}{dx}\ln(x^2+4) =\frac{2x}{x^2+4}

而

\frac{d}{dx}\ln|3x-1| =\frac{3}{3x-1}

定义域要排除 $x=1/3$ 。

反函数导数与反三角函数

若 $f$ 在相应区间可逆且 $f'(f^{-1}(x))\ne0$ ，则

(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

图像上，函数与反函数关于 $y=x$ 对称，对应切线斜率互为倒数。

这个公式可以从恒等式

f(f^{-1}(x))=x

得到。两边求导并使用链式法则：

f'(f^{-1}(x))(f^{-1})'(x)=1

再除以 $f'(f^{-1}(x))$ 即可。条件中要求这个导数不为 $0$ ，因为水平切线经过反射后会变成竖直切线，倒数不再是有限数。

由这个关系可得常用反三角导数：

\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \qquad(|x|<1)

\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}

\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec}x =\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \qquad(|x|>1)

例题：反正弦与链式法则

求

y=\arcsin(2x-1)

有

y'=\frac{2}{\sqrt{1-(2x-1)^2}}

原函数要求 $-1\le2x-1\le1$ ，即 $0\le x\le1$ ；导数为有限实数时还需 $0<x<1$ 。

例题：用反函数斜率求数值

设 $f(2)=7$ 且 $f'(2)=5$ 。因为 $f^{-1}(7)=2$ ，所以

(f^{-1})'(7)=\frac{1}{f'(2)}=\frac15

求反函数在某点的导数时，不必先求出完整的反函数公式；只要找到对应输入并知道原函数在那里的斜率即可。

对数求导处理“底数和指数都在变”

幂法则处理 $x^n$ ，指数法则处理 $a^x$ 。若函数是

y=x^x

底数和指数都含 $x$ ，两条公式都不能直接套。先取自然对数：

\ln y=x\ln x

两边求导：

\frac{y'}{y}=\ln x+1

再乘回 $y=x^x$ ：

y'=x^x(\ln x+1)

乘积、商和幂的混合表达式

对

y=\frac{(x^2+1)^3\sqrt{x-1}}{e^{2x}}

直接用多次乘积、商与链式法则也能做，但对数能把乘法变加法：

\ln y=3\ln(x^2+1)+\frac12\ln(x-1)-2x

求导得到

\frac{y'}{y} =\frac{6x}{x^2+1}+\frac{1}{2(x-1)}-2

所以

y'=\frac{(x^2+1)^3\sqrt{x-1}}{e^{2x}} \left[ \frac{6x}{x^2+1}+\frac{1}{2(x-1)}-2 \right]

这类写法要求先注意原函数定义域；上式按实数函数讨论时需要 $x>1$ 。

常见错误

三角函数用角度制却直接套弧度公式。
把 $(\cos x)'$ 写成 $\sin x$ ，漏掉负号。
把 $(e^{g(x)})'$ 写成。

这一章看似增加了很多公式，实际仍沿用上一章的结构识别：先判断最外层是和、积、商还是复合，再选择对应法则；三角、指数、对数与反函数公式只是新的“基本零件”。下一章用这些导数研究单调性和最值时，重点会从“怎样求导”转向“导数的符号在告诉我们什么”。

练习

求 $y=3\sin x-2\cos x$ 的导数。

求 $f(x)=\sec(4x)$ 的导数。

求 $g(x)=e^{x^3-2x}$ 的导数。

求 $h(x)=5^{2x+1}$ 的导数。

求 $y=\ln|x^2-9|$ 的导数并说明定义域。

求 $y=\arctan(x^2)$ 的导数。

求 $y=(x+2)^{x}$ 的导数，按实数函数讨论 $x>-2$ 。

若 $P(t)=1200e^{-0.08t}$ ，求 $P'(t)$ 并解释符号。

某指数增长模型的相对增长率为每小时 $0.05$ ，求倍增时间。

已知可逆函数 $f(3)=10$ 、 $f'(3)=-4$ ，求 $(f^{-1})'(10)$ 。

求 $y=\ln(\sin x)$ 的导数，并给出适用条件。

(

π

/

2

)

=

0

\cos(\pi/2)=0

)

=

120

P(6)=120