基本积分方法 | 微积分 I：极限、导数与积分 | 自在学

基本积分方法

微积分基本定理把定积分变成“先找原函数，再算端点差”。新的困难也随之出现：被积函数稍微换个样子，我们怎样认出它是哪个求导公式反过来？

Calculus I 的积分工具箱先抓住三件事：直接反用基本导数表；用换元法反用链式法则；认出指数、对数和反三角函数导数留下的标准结构。更复杂的分部积分、三角积分和部分分式会留到 Calculus II 系统学习。

常见直接积分表，列出幂函数、指数函数、三角函数、常数倍法则和和差法则的积分公式，并强调最后加 C。 — 常见直接积分表：从导数表倒着看，整理基本积分公式与线性法则。

不定积分是一族函数

若 $F'(x)=f(x)$ ，我们说 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。 $f(x)$ 的不定积分记作：

\int f(x)\,dx=F(x)+C

这里的 $C$ 是任意常数。它不是装饰，因为同一个导函数可能来自无穷多个只差常数的函数。例如：

\frac{d}{dx}(x^2)=2x

\frac{d}{dx}(x^2+7)=2x

\frac{d}{dx}(x^2-100)=2x

所以：

\int 2x\,dx=x^2+C

不定积分的答案通常是一族函数，而不是一个单独函数。只有题目给出初始条件，例如 $F(0)=5$ ，我们才可以把 $C$ 算成具体数值。

直接积分的核心是把常见导数表倒过来看。最常用的规则包括：

\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\ne -1)

\int \frac{1}{x}\,dx=\ln |x|+C

\int e^x\,dx=e^x+C

\int \cos x\,dx=\sin x+C

\int \sin x\,dx=-\cos x+C

常数倍和加减可以拆开：

\int \bigl(af(x)+bg(x)\bigr)\,dx=a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx

积分没有普通意义下的“乘积法则”和“商法则”。不能把 $\int f(x)g(x)\,dx$ 直接拆成两个积分的乘积，也不能把商的积分写成两个积分的商。遇到乘积或分式，先整理代数形式，再观察能不能逐项套表或通过换元恢复链式法则；若仍不匹配，往往说明它需要 Calculus II 的新工具，而不是硬套本章公式。

例题：直接积分一组常见项

计算：

\int \left(6x^5-\frac{4}{x}+3\cos x-2e^x\right)\,dx

先把积分按加减拆开，并把常数因子留在每一项前面。这样可以分别处理幂函数、对数、三角函数和指数函数。

对 $6x^5$ 使用幂函数积分公式，得到 $x^6$ 。对使用，得到。

这类题的检查很直接：把结果求导，应该回到原来的被积函数。

例题：用初始条件确定常数

一辆车的速度为 $v(t)=3t^2-4t+1$ ，位置函数满足 $s(0)=5$ 。求 $s(t)$ 。

位置函数的导数是速度，所以先写成不定积分：

s(t)=\int (3t^2-4t+1)\,dt

换元法是链式法则倒过来

有些积分看起来不能直接套表，但里面藏着“外层函数”和“内层函数”。例如：

\int 2x\cos(x^2+1)\,dx

这里的 $x^2+1$ 是内层函数，它的导数是 $2x$ 。这正好对应链式法则：

\frac{d}{dx}F(g(x))=F'(g(x))g'(x)

把这条规则倒过来看，就得到换元法的基本想法：

\int F'(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C

链式法则反向识别对照图，展示正向求导与反向积分结构，并用颜色标出内层 g(x) 与内层导数 g'(x)。 — 看见复合函数和内层导数：从链式法则到换元积分的反向识别。

换元法用一个临时变量把内层函数改名。若令 $u=g(x)$ ，且 $du=g'(x)\,dx$ ，那么：

\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du

换元法的五步流程图，展示从找内层 u 到换回 x 并加 C 的积分换元步骤。 — 以 ∫2x cos(x²+1) dx 为例，说明换元法中先把内层函数记作 u，再全部换成 u 积分，最后换回 x 并加 C。

换元的关键不是把某一块改成 $u$ 就结束，而是让整个积分都只剩下 $u$ 和 $du$ 。

换元后最常见的错误是混用变量：式子里一部分已经写成 $u$ ，另一部分还留着 $x$ 。如果是不定积分，要么全部换成 $u$ 后积分，再换回 $x$ ；要么暂时不要换元。

例题：识别内层导数

计算：

\int 2x\cos(x^2+1)\,dx

观察复合函数 $\cos(x^2+1)$ 的内层是 $x^2+1$ 。它的导数是，正好在积分中出现。

答案是：

\int 2x\cos(x^2+1)\,dx=\sin(x^2+1)+C

例题：差一个常数也可以换元

计算：

\int 3(3x+2)^4\,dx

内层函数是 $3x+2$ ，它的导数是 $3$ ，正好与积分前面的系数匹配。

令 $u=3x+2$ ，则。原积分变成：

如果前面的系数不是完全匹配，也常常只差一个常数。例如：

\int e^{5x}\,dx

令 $u=5x$ ，则 $du=5\,dx$ ，所以 $dx=\frac{1}{5}du$ ：

\int e^{5x}\,dx=\frac{1}{5}\int e^u\,du=\frac{1}{5}e^{5x}+C

换元法不是为了制造新符号，而是为了把一个复合函数积分变回熟悉的积分表。选 $u$ 时，优先看括号里、指数里、根号里、三角函数里面的表达式。

指数与对数结构

自然指数函数求导后仍是自身，因此

\int e^x\,dx=e^x+C

一般底数满足

\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C \qquad(a>0,\ a\ne1)

对数结构来自

(\ln|x|)'=\frac1x

所以

\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C

绝对值不能随意删除。若积分只在 $x>0$ 的区间讨论，可以写 $\ln x$ ；若定义域包含负数区间， $\ln|x|$ 才能统一表达原函数。

例题：指数中的线性函数

计算

\int 7e^{3x-2}\,dx

令 $u=3x-2$ ，则 $du=3\,dx$ ：

\int 7e^{3x-2}\,dx =\frac73\int e^u\,du =\frac73e^{3x-2}+C

求导检查时，指数的内层导数 $3$ 会与前面的 $1/3$ 抵消。

例题：分母的导数在分子

计算

\int\frac{2x+5}{x^2+5x+9}\,dx

分母导数正好是 $2x+5$ 。令

u=x^2+5x+9

则 $du=(2x+5)\,dx$ ，所以

\int\frac{2x+5}{x^2+5x+9}\,dx =\int\frac1u\,du =\ln|u|+C

由于 $x^2+5x+9$ 的判别式小于 $0$ 且开口向上，它始终为正，也可写成

\ln(x^2+5x+9)+C

反三角函数留下的积分模板

反正切的导数给出

\int\frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C

反正弦的导数给出

\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin x+C

带参数的常用形式是

\int\frac{1}{a^2+x^2}\,dx =\frac1a\arctan\frac{x}{a}+C \qquad(a>0)

\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx =\arcsin\frac{x}{a}+C \qquad(a>0)

这些公式最容易在系数上出错。可靠做法是把分母或根式整理成标准形，再通过换元确认外面的常数。

例题：反正切形式

计算

\int\frac{1}{x^2+16}\,dx

这里 $a=4$ ，所以

\int\frac{1}{x^2+16}\,dx =\frac14\arctan\frac{x}{4}+C

求导验证：

\frac14\cdot\frac{1}{1+(x/4)^2}\cdot\frac14 =\frac{1}{x^2+16}

例题：先换元再识别反正弦

计算

\int\frac{3}{\sqrt{25-9x^2}}\,dx

令 $u=3x$ ，则 $du=3\,dx$ ：

\int\frac{du}{\sqrt{25-u^2}} =\arcsin\frac{u}{5}+C

换回去得到

\arcsin\frac{3x}{5}+C

定积分换元时有两条完整路线

计算定积分

\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx

时，可以换元后仍把 $u$ 换回 $x$ ，再使用原来的上下限；也可以在换元时把上下限一并改成 $u$ 的值：

\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx =\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du

两条路线都正确，但不能把新变量 $u$ 与旧上下限混在一起。

例题：直接更换上下限

计算

\int_0^1 2x(x^2+3)^4\,dx

令 $u=x^2+3$ ，则 $du=2x\,dx$ 。当 $x=0$ 时 $u = 3$ ；当时。所以

\int_0^1 2x(x^2+3)^4\,dx =\int_3^4u^4\,du =\left.\frac{u^5}{5}\right|_3^4 =\frac{4^5-3^5}{5}

答案中没有 $+C$ ，因为这是定积分。

先选方法，再检查答案

积分题最容易让人焦虑的地方，是“方法很多，我该先试哪一个”。在本章范围内，不需要凭感觉乱试，可以按下面的次序检查：

先整理。 展开简单乘积、拆开和差、把根式写成分数指数，并把常数因子提出去。许多看似陌生的积分，整理后就是幂函数积分。
再看能否直接套表。 幂函数、 $1/x$ 、指数函数、基本三角函数和两类反三角模板，都有现成的原函数。
寻找复合结构。 圈出括号、指数、根号或三角函数里的“内层”，再看它的导数是否出现在旁边。若只差一个非零常数，就把常数补出来。
检查分母与分子。 若分子正好是分母的导数，通常会得到对数；若分母能整理成 $a^2+x^2$ ，通常会得到反正切。
定积分换元时同步处理上下限。 要么一直保留 $x$ 的上下限并在积分后换回 $x$ ，要么一开始把端点也改成的值。不要把两条路线拼在一起。

例如

\int\frac{6x}{3x^2+7}\,dx

不是看到分式就要做长除法。分母 $3x^2+7$ 的导数正好是 $6x$ ，于是直接令 $u=3x^2+7$ ：

\int\frac{6x}{3x^2+7}\,dx =\int\frac1u\,du =\ln(3x^2+7)+C

再看

\int\frac{6x+1}{3x^2+7}\,dx

这里分子并不完全等于分母导数。把它拆成

\int\frac{6x}{3x^2+7}\,dx +\int\frac{1}{3x^2+7}\,dx

第一项是对数结构，第二项整理成反正切模板：

\int\frac{1}{3x^2+7}\,dx =\frac1{\sqrt{21}}\arctan\left(x\sqrt{\frac37}\right)+C

所以原积分为

\ln(3x^2+7) +\frac1{\sqrt{21}}\arctan\left(x\sqrt{\frac37}\right)+C

这个例子说明，“先整理再识别”往往比盲目寻找新公式更有效。

无论用哪种方法，最后都可以用求导检查。若你算出：

\int f(x)\,dx=G(x)+C

那么必须满足：

G'(x)=f(x)

积分入门阶段，最可靠的习惯是“每题都能说出自己在反用哪条求导规则”。直接积分反用基本导数表，换元法反用链式法则；写完答案后再求导一次，系数、符号和内层导数的错误通常会立刻暴露。

练习

计算：

\int (4x^3-6x+5)\,dx

计算：

\int \left(\frac{2}{x}+3e^x-\sin x\right)\,dx

用换元法计算：

\int 6x(x^2+4)^5\,dx

用换元法计算：

\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx

计算：

\int\frac{1}{x^2+9}\,dx

判断下面计算错在哪里，并改正：

\int x\cos(x^2)\,dx=\sin(x^2)+C

计算定积分：

\int_0^1 2xe^{x^2}\,dx

计算并用求导检查：

\int\frac{2}{\sqrt{9-4x^2}}\,dx

u=3