微积分综合建模

一杯刚倒出的热饮、一只正在进出水的水箱、一家店的定价方案，看起来不是同一种问题。微积分处理它们时，动作却很相似：先把现实问题翻译成函数，再用极限理解局部变化，用导数判断变化方向和最优点，用积分把变化率累积回总量。

到这里，本课程前面的工具不再分开出现。极限告诉我们“在很近的地方会怎样”，导数告诉我们“此刻正在怎样变”，积分告诉我们“一段时间总共变了多少”。建模的难点，往往不是公式本身，而是把公式和问题中的单位、变量、条件重新对齐。

从一个具体问题开始

想象一个实验水箱。水不断流入，也不断流出。刚开始水箱里有 40 升水，实验持续 10 分钟。流入速率和流出速率都随时间变化：

这里 $t$ 的单位是分钟，$i(t)$ 和 $o(t)$ 的单位都是升/分钟。我们可能会问：

• 10 分钟后水箱里有多少水？
• 水量什么时候最多？
• 这个模型是否一直合理？
• 如果只看某一瞬间的速率，能不能判断总量？

这些问题会同时用到导数和积分。水量函数记作 $A(t)$，那么净变化率是

水量本身则由初始值和累计变化给出：

这就是综合建模最常用的一句话：如果已知“变化率”，就用积分恢复“总量”；如果已知“总量函数”，就用导数读出“瞬时变化率”。

建模流程

一个可交付的微积分模型，至少要走完六步。

单位先过一遍

单位检查很像给模型过安检。它不能保证答案一定正确，但能快速拦住很多不合理的式子。

导数和积分的单位变化，常常直接暴露建模方向是否弄反。

注意第一行：温度函数 $T(t)$ 的积分单位是“摄氏度·分钟”，通常不直接表示温度变化。真正表示温度变化的是 $\int_a^b T'(t)\,dt$，因为 $T^{\mathrm{\prime }}(t)$ 的单位是摄氏度/分钟，乘上分钟后才回到摄氏度。

例题：热饮降温中的函数、导数和积分

一杯热饮倒出后，室温约为 $24^\circ\text{C}$。在前 30 分钟内，温度可以用下面的模型近似：

其中 $t$ 的单位是分钟，$T(t)$ 的单位是摄氏度。回答以下问题：

1. 长时间以后温度接近多少？
2. 第 10 分钟时温度下降得多快？
3. 前 20 分钟温度总共变化了多少？
4. 用线性近似估计第 11 分钟温度，并判断误差大小。

同一个温度模型里，函数值、切线斜率和变化率积分分别回答不同问题。

例题：水箱水量的累计和最大值

回到开头的水箱。初始水量为 $A(0)=40$ 升，流入和流出速率分别为

其中 $0\le t\le 10$。求水量函数，并判断水量什么时候最多。

净速率为正时水量增加，净速率为负时水量减少；最大水量出现在符号改变的位置或端点。

例题：利润最大化和边际解释

一家店销售某种商品。若销售量为 $q$ 件，单价模型为

成本模型为

其中 $0\le q\le 500$，价格和成本单位都是元。求最大利润、对应销量和单价。

利润最大化不是只看收入，也不是只看成本，而是看收入与成本的差。

相关变化率：先找几何关系，再对时间求导

有些题不给出一个现成的 $y=f(x)$，而是告诉你几个量同时随时间变化：圆的半径在增大，影子的长度也在变，梯子的两端分别在移动。麻烦在于，题目问的是“此刻某个量变得多快”，但我们通常只知道另一个量的变化率。

这类问题的共同解法不是先代数字，而是先写出各变量在每个时刻都成立的关系，再把整条关系对时间 $t$ 求导。链式法则会自动把几何量转成变化率。

假设一名身高 $1.8$ 米的人从一盏高 $6$ 米的路灯下向外走，人的速度为 $1.5$ 米/秒。记人到灯柱的距离为 $x(t)$，影长为 $y(t)$。求人离灯柱 10 米时，影子的尖端移动多快。

由两个相似三角形可得

先把它整理成更容易求导的形式：

现在对时间求导：

已知 $dx/dt=1.5$，因此

影子尖端到灯柱的距离是 $x+y$，所以它的速度是

这里“人离灯柱 10 米”其实不影响答案，因为相似三角形让 $y$ 与 $x$ 保持固定比例。若几何关系是 $x^2+y^2=L^2$ 这类非线性关系，具体时刻的 $$ 数值就会进入最终答案。

再看一个更短的例子。圆形水渍的半径以 $0.3$ 米/分钟的速度扩大。面积 $A=\pi r^2$，所以

当 $r=4$ 米时，

单位是平方米/分钟。半径以恒定速度增加，并不代表面积也以恒定速度增加；圆越大，同样增加一圈薄边带来的面积就越多。

指数模型：变化率与现有数量成比例

线性模型假设“每单位时间增加同样多”，指数模型则假设“每单位时间按现有数量的固定比例变化”。若数量记作 $Q(t)$，这个假设写成微分关系就是

$k>0$ 表示增长，$k<0$ 表示衰减。因为 $e^{kt}$ 的导数正好是 $ke^{kt}$，满足初始值 的模型为

假设培养皿中最初有 500 个细胞，在实验早期可以近似认为其连续相对增长率为每小时 $8\%$。模型是

六小时后的数量约为

此刻的增长速度不是 $0.08$ 个/小时，而是

即第 6 小时附近大约每小时增加 65 个细胞。若问翻倍时间，就令 $Q(t)=2Q_0$：

这个翻倍时间与初始数量无关，只由比例常数 $k$ 决定。对衰减模型，把同样的推理用于半衰期即可；例如 $k<0$ 时，半衰期为

指数模型不会自动知道资源有限。细胞、人口或资金在短期内可能近似按比例增长，但把 $500e^{0.08t}$ 外推到很久以后，会预测无上限增长。模型算得出来，不等于假设仍然成立；建模答案必须同时说明时间范围和环境条件。

误差和近似

模型不是现实本身。它只是在指定范围内，用可计算的函数抓住主要关系。微积分提供的近似通常是局部的，尤其是线性近似。

切线近似在切点附近可靠，离开切点越远，误差通常越需要重新估计。

若 $f$ 在 $a$ 附近可导，且 $\Delta x$ 很小，则

也可以写成

这里的极限思想藏在“很小”两个字里。真正支撑近似的是：当 $\Delta x\to 0$ 时，曲线在局部越来越像切线。离开 $a$ 越远，就越不能只靠一个导数判断。

相对误差常用来判断误差是否可以接受：

常见误区

综合题最容易出错的地方集中在几个动作上。

首先是把变化率当成总量。流量 $r(t)$ 的单位是升/分钟，它不能直接回答“总共多少升”。要得到总量，需要在时间区间上积分。

其次是最大值只找 $f'(x)=0$，却忘了端点。实际问题几乎总有范围，端点常常代表“什么都不做”“做到上限”这类真实方案。

再次是忽略符号。速度积分得到的是位移，可能为负；总路程要积分速度的绝对值。温度变化为负，表示下降，不是“算错了”。

最后是把模型外推得太远。线性近似适合近处，指数衰减模型适合假设成立的环境，利润二次模型只适合给定市场范围。越过范围后，函数仍能算，解释却可能已经失效。

练习

1. 热饮温度模型为 $T(t)=20+70e^{-0.1t}$，$t$ 的单位是分钟。求 $\lim_{t\to\infty}T(t)$，求 ，并计算前 10 分钟温度总变化量。

2. 某水箱初始有 30 升水，净变化率为 $A'(t)=4+t-0.5t^2$，$0\le t\le 4$。写出 ，并判断最大水量。

3. 某商品价格模型为 $p(q)=80-0.1q$，成本模型为 $C(q)=500+20q+0.02q^2$，。求利润最大时的销量和最大利润。

4. 一个物体沿直线运动，速度为 $v(t)=3t-12$ 米/秒，$0\le t\le 6$，初始位置 $s(0)=5$ 米。求 $$ 和总路程。

5. 正方形边长测得为 12 厘米，测量误差约为 $\pm 0.05$ 厘米。用微分估计面积误差和相对误差。

6. 判断说法是否正确：如果一个利润模型满足 $P'(q)=0$，那么这个 $q$ 一定给出最大利润。

7. 一个球形气球的半径以 $2$ 厘米/秒的速度增大。球的体积为 $V=\frac43\pi r^3$。当半径为 5 厘米时，体积增加得多快？

8. 某种药物在体内的量可近似为 $M(t)=120e^{-0.18t}$ 毫克，$t$ 的单位是小时。求初始量、第 4 小时的瞬时变化率和半衰期，并解释负号。

收束

这门课从极限开始，是为了给“越来越靠近”一套可靠语言；进入导数，是为了把平均变化率推到一个瞬间；学习积分，是为了把无数微小变化重新累积成总量。微积分基本定理又把导数与积分接回彼此。综合建模不是在最后额外加一种公式，而是把这整条链条放回一个真实问题中。

一个完整答案通常不止一个数。它应该说明变量是什么、函数代表什么、单位是否匹配、最优点是否经过端点检查、总变化量来自哪段积分、近似误差能否接受，还应指出模型在哪个范围内值得相信。做到这些，微积分就不只是计算规则，而是一套把变化看清、把累积算准、把结论说完整的工作方法。

这说明模型预测热饮会逐渐接近室温，而不是无限下降。

它的单位是升/分钟。这个函数不是水量，而是水量变化得有多快。

利润等于收入减成本：

单位是摄氏度/分钟。前 10 分钟总变化量为

温度约下降 $44.25^\circ\text{C}$。

所以

令 $A'(t)=0$，得到 $t=4$ 或 $t=-2$。在区间 $[0,4]$ 内，净变化率到 $t=4$ 才降为 $0$，水量一直增加，因此最大值在 $t=4$：

最大水量约为 $43.33$ 升。

导数为

令 $P'(q)=0$ 得 $q=250$。因为 $P''(q)=-0.24<0$，且端点利润分别为 $P(0)=-500$、$P(400)=4300$，所以最大利润在 $q=250$：

最大利润为 7000 元。

所以

速度在 $t=4$ 时变号。总路程为

因此终点位置为 $-13$ 米，总路程为 30 米。

面积误差约为 $1.2$ 平方厘米。面积约为 $144$ 平方厘米，所以相对误差约为

也就是约 $0.83\%$。

代入 $r=5$ 和 $dr/dt=2$：

体积此刻以 $200\pi$ 立方厘米/秒的速度增加。

所以

单位是毫克/小时，负号表示药物量正在减少。半衰期满足 $e^{-0.18t}=1/2$：