积分的概念：从面积到累积量

一辆车的速度一直在变，“速度乘时间”看起来忽然不能直接用了，因为整段路程里没有一个固定速度可以代入。积分的处理方式很朴素：先把时间切成许多短段，让每一段短到速度几乎不变。

这样，小段位移大约是：

\text{小段位移}\approx \text{这一小段的速度}\times \text{这一小段的时间}

把小段位移全部相加，就得到总位移的近似。切得越细，局部的常量近似越可靠。定积分把“切割、近似、求和、取极限”压缩进一个符号，但四个动作一个也没有消失。

黎曼矩形数量从 4 个、8 个到 16 个增加时，曲线下方面积近似逐渐贴近曲线的示意图 — 曲线下方的近似累积：矩形数量越多，黎曼和越接近真实面积。

从一块块小矩形开始

先看一个面积问题。假设我们想知道函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上方、横轴上方围成的面积，但曲线不是直线，不能直接套矩形、三角形或梯形公式。

一个朴素办法是把区间 $[a,b]$ 平均分成 $n$ 段，每段宽度都是：

\Delta x=\frac{b-a}{n}

在每个小区间里选一个代表点，记作 $x_i^\ast$ 。用这个点的函数值 $f(x_i^\ast)$ 当作小矩形的高，那么第 $i$ 个小矩形的面积近似为：

f(x_i^\ast)\Delta x

把这些小矩形的面积加起来，得到：

\sum_{i=1}^{n}f(x_i^\ast)\Delta x

这个和叫做黎曼和。它不是神秘的新对象，只是许多个“高 × 宽”的总和。

黎曼和的重点不在“矩形长得像面积图”，而在每一项都有单位意义。如果 $f(x)$ 表示速度， $f(x_i^\ast)\Delta x$ 就表示小段位移；如果 $f(x)$ 表示流量， $f(x_i^\ast)\Delta x$ 就表示小段体积。积分要累积的，是这些小段量。

下面这个交互可以拖动矩形数量。先选少量矩形，再逐渐增加，观察矩形和怎样贴近曲线下方的区域。

定积分的定义

如果函数在区间上足够规整，当小区间越来越窄时，黎曼和会趋近同一个确定的数。这个数就是定积分。

\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^\ast)\Delta x

这个公式可以读成：从 $a$ 到 $b$ ，把 $f(x)$ 对很小的宽度 $dx$ 所产生的小量不断相加。

积分符号拆解图，标注上下限、被积函数、dx 和累积结果 — 积分符号 $\int_a^b f(x)\,dx$ 的组成部分拆解。

符号中的每一部分都有意思：

$\int$ 来自“求和”的想法，可以看作一个被拉长的求和符号。
$a$ 和 $b$ 是累积开始和结束的位置，叫积分下限和积分上限。
$f(x)$ 是被积函数，告诉我们每一点的高度、速度、流量或变化率。
$dx$ 提醒我们正在沿着 $x$ 的方向，把一小段一小段的量加起来。

定积分和不定积分不是同一件事。定积分 $\int_a^b f(x)\,dx$ 的结果是一个数；不定积分 $\int f(x)\,dx$ 表示一族原函数。后面学习微积分基本定理时，它们会被连接起来，但在本章先把定积分理解成“累积出来的数”。

什么样的函数可以积分

若黎曼和的极限存在，而且不依赖每个小区间里怎样选择代表点，就说函数在 $[a,b]$ 上可积。

闭区间上的连续函数一定可积；只有有限个跳跃点的有界函数通常也可积。无界函数或振荡过于剧烈的函数需要更谨慎的定义，不能只看一张面积图就默认积分存在。

这里“可积”讨论的是整个区间。某一个点的函数值被改动，通常不会改变黎曼积分，因为单个点不会贡献有宽度的面积；但若函数在整段区间内无界，问题就完全不同。

定积分的基本性质

线性性质允许我们拆开和与常数倍：

\int_a^b[cf(x)+g(x)]\,dx =c\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx

区间可以在中间点 $c$ 处分开：

\int_a^b f(x)\,dx =\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx

交换上下限会改变方向：

\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx

同一点到同一点没有区间宽度：

\int_a^a f(x)\,dx=0

若在整个区间上 $f(x)\le g(x)$ ，那么

\int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx

这些性质都可以从“许多小贡献相加”理解。逐点更大的函数，在同向、同区间累积后不会得到更小的总和。

对称区间上的奇偶函数

若 $f$ 为奇函数，左右贡献正负抵消：

\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0

若 $f$ 为偶函数，左右贡献相同：

\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx

使用前必须同时满足“函数有对应奇偶性”和“积分区间关于原点对称”。

面积只是其中一种语言

当 $f(x)\ge 0$ 时， $f(x)\Delta x$ 可以解释成小矩形面积，所以定积分等于曲线下方的面积。这是最直观的图像。

但这个图像容易带来一个误会：以为积分永远只是在求几何面积。实际上，面积图常常只是帮助我们看懂“累积”的工具。

积分作为累积量的多场景对照，展示流量累积成体积、速度累积成位移、增长率累积成总变化量 — 积分把一段时间内的变化率累积为对应的总量变化。

如果 $r(t)$ 表示水流入水箱的速度，单位是升/分钟，那么：

\int_0^{10} r(t)\,dt

表示 0 到 10 分钟流入的水量，单位是升。

如果 $v(t)$ 表示直线运动的速度，单位是米/秒，那么：

\int_0^6 v(t)\,dt

表示 0 到 6 秒的位移，单位是米。

如果 $P'(t)$ 表示人口数量的变化率，单位是人/年，那么：

\int_2^8 P'(t)\,dt

表示第 2 年到第 8 年人口数量的总变化，单位是人。

判断一个积分的含义时，可以先做单位检查：被积函数的单位乘以 $dx$ 的单位，得到的就是积分结果的单位。这个方法比只盯着“面积”更可靠。

速度图像下的面积

速度乘以时间得到位移。若速度变化，就把时间切成小段，每段用近似速度乘以小段时间，再把这些小段位移相加。

速度-时间图像下方阴影面积表示位移，并用窄条展示小段位移 — 速度-时间图像下的面积表示位移，是速度随时间累积的结果。

如果 $v(t)$ 始终为正，速度-时间图像下方的面积就是位移，也等于路程。如果速度有正有负，定积分给的是带方向的位移，路程需要把每一段的大小相加。

下面的交互让你拖动终点时间 $T$ 。随着 $T$ 增大，阴影面积增长，位移也在累积。

例题：用速度图像求位移

一辆小车在 $0$ 到 $6$ 秒内的速度可以用直线函数近似表示：

v(t)=2+0.5t

其中 $t$ 的单位是秒， $v(t)$ 的单位是米/秒。求这 6 秒内小车的位移。

先把问题翻译成积分。速度对时间的累积就是位移，所以要求的是：

\int_0^6 (2+0.5t)\,dt

不用求原函数，也可以从图像看出面积。 $v(t)=2+0.5t$ 是一条直线，在 $t=0$ 时速度为 $2$ ，在 $t=6$ 时速度为 $5$ 。速度-时间图像下方是一个梯形。

梯形的两条平行边长度分别是 $2$ 和 $5$ ，高是时间长度 $6$ ，所以面积为：

\frac{2+5}{2}\cdot 6=21

面积的单位不是“平方米”，而是 $(\text{米}/\text{秒})\cdot \text{秒}=\text{米}$ 。因此这段时间内的位移是 $21$ 米。

这个例题里，图形面积和实际位移是同一个数，但解释语言不同。图上看是面积，情境里看是速度的累积。

用矩形和估计曲线下方面积

当函数不是直线时，常见做法是用有限个矩形先估计。这里的估计不是最终答案，而是理解定积分的入口。

例题：左端点、右端点和中点估计

用 4 个等宽小区间估计函数：

f(x)=1+\frac{1}{2}x^2

在区间 $[0,4]$ 上曲线下方的面积。分别计算左端点和、右端点和、中点和。

区间长度是 $4-0=4$ ，分成 4 段，所以每段宽度为：

\Delta x=\frac{4-0}{4}=1

左端点是 $0,1,2,3$ 。对应函数值为：

f(0)=1,\quad f(1)=1.5,\quad f(2)=3,\quad f(3)=5.5

左端点矩形和是：

L_4=(1+1.5+3+5.5)\cdot 1=11

右端点是 $1,2,3,4$ 。对应函数值为：

f(1)=1.5,\quad f(2)=3,\quad f(3)=5.5,\quad f(4)=9

右端点矩形和是：

R_4=(1.5+3+5.5+9)\cdot 1=19

中点是 $0.5,1.5,2.5,3.5$ 。对应函数值为：

f(0.5)=1.125,\quad f(1.5)=2.125,\quad f(2.5)=4.125,\quad f(3.5)=7.125

中点矩形和是：

M_4=(1.125+2.125+4.125+7.125)\cdot 1=14.5

因为这个函数在 $[0,4]$ 上递增，左端点矩形通常偏低，右端点矩形通常偏高。中点和没有保证一定最准确，但在这个例子里比左右端点估计更平衡。

左端点和右端点矩形和误差对比图，递增曲线下左端点矩形低估、右端点矩形高估 — 递增函数上，左端点矩形和通常偏低，右端点矩形和通常偏高，阴影区域表示估计误差。

黎曼和可以用左端点、右端点、中点，也可以用小区间里的其他点。只要分割越来越细，对于连续函数，这些合理选择会趋近同一个定积分。

正负面积和净变化

如果函数图像落到横轴下方，小矩形的“高度”就是负数。对应的乘积 $f(x_i^\ast)\Delta x$ 也为负。定积分会把上方的正贡献和下方的负贡献相加，得到净变化。

正负面积与净变化示意图，曲线在区间 a 到 b 内上方暖色区域表示正贡献，下方冷色区域表示负贡献 — 定积分用带符号面积表示净变化：上方为正贡献，下方为负贡献。

这点在运动问题里很关键。速度为正表示向正方向运动，速度为负表示向反方向运动。定积分会保留方向，所以它给的是位移，不一定是路程。

例题：位移和路程不同

某物体沿直线运动，速度如下：

$0$ 到 $3$ 秒，速度为 $6$ 米/秒。
$3$ 到 $6$ 秒，速度为 $-4$ 米/秒。

求 $0$ 到 $6$ 秒内的位移和路程。

先算位移。前 3 秒向正方向走：

6\cdot 3=18

后 3 秒向反方向走：

(-4)\cdot 3=-12

位移是带符号累积，所以：

18+(-12)=6

物体最后在出发点正方向 $6$ 米处。

路程不看方向，只看实际走过的长度。后 3 秒虽然速度为负，但路程贡献是 $12$ 米，所以总路程为：

18+12=30

不要把“定积分”和“总面积”混在一起。 $\int_a^b f(x)\,dx$ 是带符号的净面积；如果要几何上的总面积，或者运动中的总路程，通常需要把横轴下方的部分也按正面积相加。

用积分定义平均值

不断变化的函数没有一个固定高度，但可以问：哪一个常数高度，在同样宽度上形成的矩形面积，等于原函数的净累积？

这个高度就是函数在 $[a,b]$ 上的平均值：

f_{\mathrm{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx

公式可以读成“总累积除以区间长度”。如果 $f$ 是速度，它给出平均速度；如果 $f$ 是温度，它给出按时间平均的温度。

例如

f(x)=x^2\quad\text{在 }[0,3]

的平均值为

\frac13\int_0^3x^2\,dx=\frac13\cdot9=3

这个计算使用了下一章会正式说明的原函数方法。几何上，它表示高度为 $3$ 、宽度为 $3$ 的矩形，与曲线 $y=x^2$ 在区间上的面积相同。

读懂积分符号的三个问题

遇到一个定积分，不要急着算。先问三个问题。

累积的是什么

看被积函数 $f(x)$ 的含义。它可能是高度、速度、流量、增长率、成本率，也可能只是一个抽象函数。

沿着什么变量累积

看 $dx$ 、 $dt$ 或其他微分符号。 $dt$ 表示沿时间累积， $dx$ 表示沿位置或横坐标累积。变量不同，单位也不同。

从哪里累积到哪里

看积分下限和上限。 $\int_2^7$ 表示从 2 累积到 7，不是“随便取两个数”。在实际问题里，它们常常对应开始时间和结束时间、起点和终点。

一个有意义的定积分通常能被读成一句话：在某个区间里，把某种局部量或变化率不断相加，得到一个总量或净变化。

小结

本章只做一件事：把定积分从“曲线下面积”扩展成“连续累积”。

黎曼和把区间切成小段，用有限个矩形做近似。定积分是这些近似和在分割越来越细时趋近的数。当函数为正，它可以表示曲线下方面积；当函数有正有负，它表示带符号的净面积。在实际问题里，定积分更常见的语言是位移、体积、总变化量、总成本或其他累积量。

下一章会看到，定积分不仅有直觉定义，还有高效计算方法。微积分基本定理会说明：为什么“变化率的累积”可以通过原函数来计算。

练习

水以变化的流量 $r(t)$ 流入水箱， $r(t)$ 的单位是升/分钟。解释下面积分的含义和单位：

\int_0^{15}r(t)\,dt

用右端点矩形和估计 $f(x)=x^2$ 在 $[0,3]$ 上曲线下方的面积。把区间分成 3 等份。

某物体速度如下： $0$ 到 $2$ 秒速度为 $3$ 米/秒， $2$ 到 $4$ 秒速度为 $5$ 米/秒， $4$ 到 $5$ 秒速度为 $-2$ 米/秒。求位移和路程。

对一个在 $[a,b]$ 上递增且始终为正的函数，用相同数量的等宽小区间做估计。左端点和与右端点和通常哪个偏低，哪个偏高？

把下面的极限写成定积分。这里 $x_i^\ast$ 是区间 $[0,4]$ 中第 $i$ 个小区间里的代表点， $\Delta x=\frac{4}{n}$ 。

\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}(2+x_i^\ast)\Delta x

某函数在区间内位于横轴上方的面积为 $7$ ，位于横轴下方的面积为 $3$ 。求定积分的值和总面积。