积分的概念：从面积到累积量

一辆车的速度不断变化。前 1 秒慢一些，后 1 秒快一些，如果只用“速度 × 时间”这一条小学公式，好像没有一个固定速度可以直接代入。

但我们可以把时间切成很多很短的小段。在每一小段里，速度变化不大，就暂时把它看成常数。这样，小段位移大约是：

把所有小段位移加起来，就得到整段时间里的总位移。切得越细，这个估计越可靠。定积分就是把这种“切割、近似、相加、取极限”的想法写成一个简洁的数学符号。

从一块块小矩形开始

先看一个面积问题。假设我们想知道函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上方、横轴上方围成的面积，但曲线不是直线，不能直接套矩形、三角形或梯形公式。

一个朴素办法是把区间 $[a,b]$ 平均分成 $n$ 段，每段宽度都是：

在每个小区间里选一个代表点，记作 $x_i^\ast$。用这个点的函数值 $f(x_i^\ast)$ 当作小矩形的高，那么第 $i$ 个小矩形的面积近似为：

把这些小矩形的面积加起来，得到：

这个和叫做黎曼和。它不是神秘的新对象，只是许多个“高 × 宽”的总和。

下面这个交互可以拖动矩形数量。先选少量矩形，再逐渐增加，观察矩形和怎样贴近曲线下方的区域。

定积分的定义

如果函数在区间上足够规整，当小区间越来越窄时，黎曼和会趋近同一个确定的数。这个数就是定积分。

这个公式可以读成：从 $a$ 到 $b$，把 $f(x)$ 对很小的宽度 $dx$ 所产生的小量不断相加。

符号中的每一部分都有意思：

• $\int$ 来自“求和”的想法，可以看作一个被拉长的求和符号。
• $a$ 和 $b$ 是累积开始和结束的位置，叫积分下限和积分上限。
• $f(x)$ 是被积函数，告诉我们每一点的高度、速度、流量或变化率。
• $dx$ 提醒我们正在沿着 $x$ 的方向，把一小段一小段的量加起来。

面积只是其中一种语言

当 $f(x)\ge 0$ 时，$f(x)\Delta x$ 可以解释成小矩形面积，所以定积分等于曲线下方的面积。这是最直观的图像。

但这个图像容易带来一个误会：以为积分永远只是在求几何面积。实际上，面积图常常只是帮助我们看懂“累积”的工具。

如果 $r(t)$ 表示水流入水箱的速度，单位是升/分钟，那么：

表示 0 到 10 分钟流入的水量，单位是升。

如果 $v(t)$ 表示直线运动的速度，单位是米/秒，那么：

表示 0 到 6 秒的位移，单位是米。

如果 $P'(t)$ 表示人口数量的变化率，单位是人/年，那么：

表示第 2 年到第 8 年人口数量的总变化，单位是人。

速度图像下的面积

速度乘以时间得到位移。若速度变化，就把时间切成小段，每段用近似速度乘以小段时间，再把这些小段位移相加。

如果 $v(t)$ 始终为正，速度-时间图像下方的面积就是位移，也等于路程。如果速度有正有负，定积分给的是带方向的位移，路程需要把每一段的大小相加。

下面的交互让你拖动终点时间 $T$。随着 $T$ 增大，阴影面积增长，位移也在累积。

例题：用速度图像求位移

一辆小车在 $0$ 到 $6$ 秒内的速度可以用直线函数近似表示：

其中 $t$ 的单位是秒，$v(t)$ 的单位是米/秒。求这 6 秒内小车的位移。

这个例题里，图形面积和实际位移是同一个数，但解释语言不同。图上看是面积，情境里看是速度的累积。

用矩形和估计曲线下方面积

当函数不是直线时，常见做法是用有限个矩形先估计。这里的估计不是最终答案，而是理解定积分的入口。

例题：左端点、右端点和中点估计

用 4 个等宽小区间估计函数：

在区间 $[0,4]$ 上曲线下方的面积。分别计算左端点和、右端点和、中点和。

正负面积和净变化

如果函数图像落到横轴下方，小矩形的“高度”就是负数。对应的乘积 $f(x_i^\ast)\Delta x$ 也为负。定积分会把上方的正贡献和下方的负贡献相加，得到净变化。

这点在运动问题里很关键。速度为正表示向正方向运动，速度为负表示向反方向运动。定积分会保留方向，所以它给的是位移，不一定是路程。

例题：位移和路程不同

某物体沿直线运动，速度如下：

• $0$ 到 $3$ 秒，速度为 $6$ 米/秒。
• $3$ 到 $6$ 秒，速度为 $-4$ 米/秒。

求 $0$ 到 $6$ 秒内的位移和路程。

读懂积分符号的三个问题

遇到一个定积分，不要急着算。先问三个问题。

累积的是什么

看被积函数 $f(x)$ 的含义。它可能是高度、速度、流量、增长率、成本率，也可能只是一个抽象函数。

沿着什么变量累积

看 $dx$、$dt$ 或其他微分符号。$dt$ 表示沿时间累积，$dx$ 表示沿位置或横坐标累积。变量不同，单位也不同。

从哪里累积到哪里

看积分下限和上限。$\int_2^7$ 表示从 2 累积到 7，不是“随便取两个数”。在实际问题里，它们常常对应开始时间和结束时间、起点和终点。

小结

本章只做一件事：把定积分从“曲线下面积”扩展成“连续累积”。

黎曼和把区间切成小段，用有限个矩形做近似。定积分是这些近似和在分割越来越细时趋近的数。当函数为正，它可以表示曲线下方面积；当函数有正有负，它表示带符号的净面积。在实际问题里，定积分更常见的语言是位移、体积、总变化量、总成本或其他累积量。

下一章会看到，定积分不仅有直觉定义，还有高效计算方法。微积分基本定理会说明：为什么“变化率的累积”可以通过原函数来计算。

练习

1. 水以变化的流量 $r(t)$ 流入水箱，$r(t)$ 的单位是升/分钟。解释下面积分的含义和单位：

2. 用右端点矩形和估计 $f(x)=x^2$ 在 $[0,3]$ 上曲线下方的面积。把区间分成 3 等份。

3. 某物体速度如下：$0$ 到 $2$ 秒速度为 $3$ 米/秒，$2$ 到 $4$ 秒速度为 $5$ 米/秒，$4$ 到 $5$ 秒速度为 $$ 米/秒。求位移和路程。

4. 对一个在 $[a,b]$ 上递增且始终为正的函数，用相同数量的等宽小区间做估计。左端点和与右端点和通常哪个偏低，哪个偏高？

5. 把下面的极限写成定积分。这里 $x_i^\ast$ 是区间 $[0,4]$ 中第 $i$ 个小区间里的代表点，$\Delta x=\frac{4}{n}$。

6. 某函数在区间内位于横轴上方的面积为 $7$，位于横轴下方的面积为 $3$。求定积分的值和总面积。

所以估计面积是 $14$。

所以路程是 $18$ 米。