导数应用：单调性、极值与最优化

前面几章里，导数主要是一个“算出来的量”：给定函数，求出 $f'(x)$。从这一章开始，导数要承担另一个任务：帮助我们判断函数怎样变化，并在可行范围内找到最好或最省的方案。

想象一段 120 米长的围栏，要靠一面直墙围出一个矩形花圃。靠墙的一边不用围栏，其余三边要用完这 120 米。花圃的宽和长可以有很多组合，但面积不会一直变大。导数要回答的问题是：面积从什么时候开始由增变减，最大值出现在什么地方。

从变化趋势看函数

导数是切线斜率，也是局部变化率。若在某个区间内 $f'(x)>0$，图像往右走时整体向上，函数在这个区间上递增；若 $f'(x)<0$，图像往右走时整体向下，函数递减。

这两条结论的重点不在某一个点，而在“一个区间”。只知道 $f'(2)>0$，只能说明函数在 $x=2$ 附近的瞬时趋势是上升；要说函数在 $(1,4)$ 上递增，需要知道这个区间内导数的符号。

图：导数为正时函数上升，导数为负时函数下降，临界点处切线斜率为 0。

临界点与局部极值

函数从上升变成下降，或者从下降变成上升，常常发生在切线变平或图像出现尖角的地方。这样的横坐标叫做临界点。

设 $c$ 在函数 $f$ 的定义域内。如果满足下面任意一种情况，$c$ 就是 $f$ 的临界点：

或

临界点只是“可能发生极值”的位置，不保证一定有极值。比如 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处有 $f'(0)=0$，但函数在 左右都递增，所以这里没有局部最大值或局部最小值。

图：临界点分类：导数符号由正变负对应局部极大，由负变正对应局部极小，同号不变则不是极值。

第一导数判别法

若 $c$ 是临界点，并且 $f$ 在 $c$ 附近连续，那么可以比较 $c$ 左右两侧 $f'(x)$ 的符号：

例题：用导数符号判断单调性和极值

设

求函数的单调区间，并判断局部极值。

结论是：函数在 $(-\infty,-1)$ 和 $(3,\infty)$ 上递增，在 $(-1,3)$ 上递减；局部最大值为 $10$，出现在 $x=-1$；局部最小值为 ，出现在 。

全局极值与边界检查

局部极值只比较某一点附近的函数值。全局极值要比较整个研究范围内的函数值。实际问题通常有明确范围，例如长度不能为负、产量不能超过设备上限、时间只能在某个区间内。

若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，那么最大值和最小值一定存在，而且只可能出现在两类位置：

图：闭区间最值要把端点值和内部临界点值一起列入候选并比较。

闭区间上求全局最大值、最小值，可以按下面的候选值流程做。

例题：闭区间上的最大值与最小值

仍看函数

求它在闭区间 $[-2,4]$ 上的全局最大值和全局最小值。

这个例题里端点不是最终答案，但它们必须检查。闭区间最值法的可靠性就在于“候选点完整”。

最优化建模的基本流程

最优化题的难点往往不在求导，而在把文字问题变成一个一元函数。导数只能分析函数；如果目标函数写错，后面的计算再熟练也会偏离问题。

图：最优化建模流程：从读题确定目标到求导比较并解释答案。

一个常用流程是：

例题：靠墙围栏的最大面积

用 120 米围栏靠一面直墙围出矩形花圃。靠墙的一边不用围栏，其余三边用围栏。怎样设计长和宽，面积最大？

图：靠墙围栏面积最大化：A(x)=x(120-2x)，当 x=30 时面积最大。

答案是：宽为 $30$ 米、长为 $60$ 米时，面积最大，最大面积为 $1800$ 平方米。

例题：利润最大化中的边际平衡

某小厂一天生产并销售 $q$ 件产品，市场价格满足

成本函数为

其中 $0\le q\le 300$。问每天生产多少件时利润最大？

图：利润在最优产量 $q^*$ 处达到最高，此时边际收益等于边际成本。

这里还可以从边际量理解。收益的导数是边际收益：

成本的导数是边际成本：

利润最大点满足 $P'(q)=R'(q)-C'(q)=0$，也就是

这句话的意思是：在最优产量附近，多生产一件带来的额外收益，正好等于额外成本。再多生产，额外收益低于额外成本，利润会下降。

常见误区

把导数为零直接当成最大值或最小值

$f'(c)=0$ 只说明切线斜率为零。它可能是局部最大值、局部最小值，也可能只是一个水平拐过的点。必须检查导数符号变化，或用其他判别方法确认。

忘记可行范围

现实变量通常有范围。长度不能为负，折出的盒子高度不能超过纸板短边的一半，产量不能超过设备上限。没有范围，就无法可靠判断全局最优。

只看内部临界点，不看端点

闭区间上的全局极值必须比较端点。端点不一定是极值点，但它可能给出最大值或最小值。

算出变量后没有回到问题

如果设的是宽 $x$，最后题目问的是长和宽，就要把长也算出来。如果题目问最大利润，还要给出利润值，而不只是最优产量。

练习

1. 求函数 $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ 的单调区间和局部极值。

2. 求 $f(x)=x^3-3x$ 在 $[-2,2]$ 上的全局最大值和全局最小值。

3. 函数 $g(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处满足 $g'(0)=0$。它在 处有局部极值吗？说明理由。

4. 一张 $30\text{ cm}\times 20\text{ cm}$ 的硬纸板，从四个角各剪去边长为 $x$ 厘米的小正方形，再折成无盖盒子。求使体积最大的 $x$。

5. 某产品利润函数为 $P(q)=-0.05q^2+8q-120$，可行产量为 $0\le q\le 200$。求最大利润和对应产量。

临界点来自 $f'(x)=0$，所以 $x=-1$ 和 $x=3$ 是候选位置。

函数在 $(-\infty,1)$ 上递增，在 $(1,3)$ 上递减，在 $(3,\infty)$ 上递增。$x=1$ 处导数由正变负，有局部最大值：

$x=3$ 处导数由负变正，有局部最小值：

候选点为端点 $-2,2$ 和临界点 $-1,1$。计算：

全局最大值为 $2$，出现在 $x=-1$ 和 $x=2$；全局最小值为 $-2$，出现在 $x=-2$ 和 $x=1$。

令 $V'(x)=0$，得

所以

其中 $\frac{25+5\sqrt{7}}{3}>10$，不在可行范围内。于是最大体积对应

厘米。

所以最大利润为 $200$，对应产量为 $80$。