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连续性：图像能不能一笔画下去

前两章一直在观察“靠近某点时会怎样”。连续性把附近趋势和点上的实际取值接起来：函数不仅要从左右两边靠向同一个数，还必须在这一点真的取到这个数。

“图像能一笔画下去”是不错的第一印象，但它不够精确。端点只需要看区间内部一侧，分段函数要检查连接点，有些肉眼看起来平滑的图像也可能藏着孔洞。我们需要一套可以计算的条件。

连续性三条件中文检查图

连续是三件事同时成立

函数 $f$ 在 $x=a$ 处连续，当且仅当：

$f(a)$ 有定义；
$\lim_{x\to a}f(x)$ 存在；
$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ 。

前两条分别检查“点上”和“附近”，第三条要求二者接上。

例如

f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}

在 $x=1$ 处没有定义，所以不连续。可是当 $x\ne1$ 时， $f(x)=x+1$ ，因此极限为 $2$ 。若补定义 $f(1)=2$ ，三条条件就全部满足，这个孔洞便被补好。

连续不是“极限存在”的同义词。极限只管附近往哪里走；连续还要求函数在目标点站到那个位置上。

失败条件要逐条说清

如果 $f(a)$ 没有定义，第一条就失败；如果左右极限不同，第二条失败；如果极限存在但不等于 $f(a)$ ，第三条失败。写答案时最好指出失败在哪一步，而不只写“图像断了”。

例如设

g(x)= \begin{cases} x+1,&x\ne2,\\ 8,&x=2. \end{cases}

$g(2)$ 有定义，极限也存在，但

\lim_{x\to2}g(x)=3\ne8=g(2)

因此它在 $2$ 处不连续。这里的间断仍然可去，因为只需把点值从 $8$ 改成 $3$ 。

用增量看连续

把 $x$ 写成 $a+h$ ，连续条件也可以写为

\lim_{h\to0}f(a+h)=f(a)

等价地，函数增量

\Delta f=f(a+h)-f(a)

应当在 $h\to0$ 时趋近 $0$ 。输入变化很小时，输出变化也能随之变小，这种“微小输入不会引发有限跳跃”的说法在建模时很有用。

哪些函数可以直接使用连续性

常见初等函数在各自定义域内部都连续，包括多项式、指数函数、正弦与余弦。以下情况要先看定义域：

有理函数在分母不为 $0$ 的地方连续。
根式函数只在根式有意义的范围内讨论。
对数函数要求真数大于 $0$ 。
正切函数要排除 $\cos x=0$ 的点。

如果 $f$ 在 $a$ 连续， $g$ 在 $f(a)$ 连续，那么复合函数 $g(f(x))$ 在 $a$ 也连续。于是很多复杂表达式只要定义域没有问题，就能直接代入求极限。

连续函数的和、差、积仍然连续；商在分母不为 $0$ 的地方连续。这个结论让我们不必每次都回到三条件从头证明。

例如

p(x)=\frac{\sin x+x^2}{e^x+2}

分子由连续函数相加得到，分母处处大于 $0$ ，所以 $p$ 在所有实数上连续。

例题：先检查定义域再代入

求

\lim_{x\to1}\ln(x^2+3)

$x^2+3$ 在 $1$ 附近始终为正，多项式和对数函数都在对应位置连续，所以

\lim_{x\to1}\ln(x^2+3)=\ln4

再看

q(x)=\sqrt{\ln(4-x)}

要让它有定义，需要 $\ln(4-x)\ge0$ ，也就是 $4-x\ge1$ ，所以 $x\le3$ 。在 $(-\infty,3]$ 内，内层对数与外层平方根在相应定义域上连续，因此复合函数连续。这里“检查连续”首先是把完整定义域算对。

三类常见间断

可去、跳跃与无穷间断的中文对比图

可去间断

左右极限存在且相等，但函数值缺失或取错。它像图像上少了一个点，可以通过重新定义单个函数值修补。

跳跃间断

左极限和右极限都是有限数，却不相等。只改 $f(a)$ 没有用，因为断裂发生在两侧趋势之间。

无穷间断

函数在靠近某点时无界增长或下降，常伴随竖直渐近线。例如 $1/(x-2)$ 在 $x=2$ 附近就属于这种情况。

持续振荡也会造成间断。它不一定属于上面三幅图中的简单形态，但判断原则仍是极限不存在。

分类例题

判断下列各函数在指定点的间断类型。

$f(x)=(x^2-4)/(x-2)$ 在 $x=2$ 处：极限为 $4$ ，点值缺失，是可去间断。
$g(x)=|x|/x$ 在 $x=0$ 处：左极限 $-1$ 、右极限 $1$ ，是跳跃间断。
$h(x)=1/(x+1)^2$ 在 $x=-1$ 处：两侧都趋向 $+\infty$ ，是无穷间断。

间断类型决定修补方式。可去间断能靠补一个点值解决；跳跃和无穷间断不能靠修改单个点解决，因为问题发生在整个邻域的趋势上。

分段函数只需重点检查接缝

设

f(x)= \begin{cases} x^2+k, & x<2,\\ 3x-1, & x\ge2. \end{cases}

求 $k$ ，使 $f$ 在 $x=2$ 连续。

左侧用第一段公式，得到 $\lim_{x\to2^-}f(x)=4+k$ 。

右侧和点上的函数值都由第二段给出， $\lim_{x\to2^+}f(x)=f(2)=5$ 。

连续要求左右极限与函数值相等，所以 $4+k=5$ ，得到 $k=1$ 。

不要一看到分段函数就把每一段都重新研究一遍。如果每段本身是连续的，真正可能出问题的只有分界点。

两个接缝要分别列条件

设

F(x)= \begin{cases} x+2,&x<0,\\ ax+b,&0\le x<2,\\ x^2,&x\ge2. \end{cases}

若要让 $F$ 在整个实数轴上连续，需要同时处理 $x=0$ 与 $x=2$ 。

在 $x=0$ 处，左侧极限为 $2$ ，中间一段给出的右极限和点值为 $b$ ，所以

b=2

在 $x=2$ 处，中间一段的左极限为 $2a+b$ ，最后一段的右极限与点值为 $4$ ，所以

2a+b=4

代入 $b=2$ 得 $a=1$ 。分段函数有几个接缝，就要准备几条连续条件；不要只检查最后一个。

区间上的连续要看端点方向

函数在开区间 $(a,b)$ 上连续，表示区间内每一点都连续。

在闭区间 $[a,b]$ 上连续时，内部点仍看二侧；左端点 $a$ 只要求右连续，右端点 $b$ 只要求左连续：

\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)

\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)

这是因为定义域在端点外侧没有可供靠近的输入。

例题：半闭区间的端点

函数

r(x)=\sqrt{x-2}

的定义域从 $2$ 开始。它在 $x=2$ 处没有左侧输入，因此不要求左极限。只要检查

\lim_{x\to2^+}\sqrt{x-2}=0=r(2)

就能说它在定义域端点 $2$ 处连续。若机械地要求二侧极限，反而会把本来正常的端点误判为不连续。

类似地，反正弦函数在定义域 $[-1,1]$ 的两个端点分别按右连续和左连续理解。讨论“函数在定义域上连续”时，端点方向永远由定义域决定，而不是由公式外观决定。

连续函数不会跳过中间高度

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，而数 $N$ 位于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，那么至少存在一个 $c\in[a,b]$ ，使

f(c)=N

这就是中间值定理。它保证“至少经过”，不保证只经过一次，也不直接告诉我们 $c$ 在哪里。

连续曲线必经过中间高度的中文示意图

例题：不求根也能证明有根

证明方程

x^3+x-1=0

在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。

令 $f(x)=x^3+x-1$ 。多项式在 $[0,1]$ 上连续，并且

f(0)=-1,\qquad f(1)=1

$0$ 位于 $-1$ 与 $1$ 之间，所以存在 $c\in(0,1)$ 使 $f(c)=0$ 。

如果还想说明根只有一个，可以再观察 $f$ 严格递增；这需要后面导数或单调性的工具。中间值定理本身只负责存在性。

用二分把“存在”变成近似位置

中间值定理还能配合二分法找近似根。还是研究 $f(x)=x^3+x-1$ ：

f(0.5)=-0.375, \qquad f(1)=1

根位于 $(0.5,1)$ 。再取中点 $0.75$ ：

f(0.75)=0.171875>0

于是根缩到 $(0.5,0.75)$ 。继续取中点，就能让包住根的区间越来越短。连续性保证每次保留下来的异号区间里仍然有根。

这套方法不要求我们先找到漂亮的代数解，特别适合只能数值求解的方程。

闭区间连续还带来极值保证

若函数在闭区间 $[a,b]$ 上连续，它一定能在这个区间里真正取到最大值和最小值。这叫极值定理。

闭区间和连续两个条件都不能随便丢掉。函数 $f(x)=1/x$ 在 $(0,1]$ 上连续，但区间没有包含 $0$ ，函数向左可以无限增大，因此没有最大值。函数若在闭区间内断开，也可能错过本来应当取得的边界高度。

这个定理会在最优化里成为重要保证：我们不仅能比较候选点，还知道最大值和最小值确实存在。

为什么一定要“取到”

在开区间 $(0,1)$ 上，函数 $f(x)=x$ 的值可以无限接近 $1$ ，但从不等于 $1$ ，所以没有最大值。它有上确界 $1$ ，却没有最大值。

极值定理说的是连续函数在闭区间上能真正达到最高和最低高度，而不是仅仅靠近。这正好对应闭区间把端点包含进来、连续性又不允许中途跳走。

以后求闭区间绝对最值时，我们会检查内部临界点和两个端点。这个算法背后的存在保证，就来自这里。

连续与可导的关系

如果函数在 $a$ 处可导，那么它一定在 $a$ 处连续。原因可以从差商看出来：

f(x)-f(a) =\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)

当 $x\to a$ 时，第一个因子趋近导数，第二个因子趋近 $0$ ，所以 $f(x)-f(a)\to0$ 。

反过来不成立。 $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处连续，但左右斜率不同，因此不可导。连续只保证图像接得上，可导还要求局部斜率也接得上。

还有一个容易混淆的层次：函数在某点连续，只说明函数值贴合；导数在某点连续，则是更强的光滑性要求。有些函数处处可导，但导函数并不处处连续。微积分 I 里先把“连续”和“可导”分清，已经足够处理大多数基础问题。

常见错误

只验证 $f(a)$ 存在，就说函数连续。点值存在只是第一条。
左右极限相等后忘记与 $f(a)$ 比较。
分段函数在接缝处只代入某一段，没有分别求单侧极限。
使用中间值定理时不先说明函数在闭区间上连续。
端点强行求二侧极限，忘记定义域外没有输入。
把“至少有一个根”写成“恰好一个根”。唯一性需要额外信息。
把可去间断误认为函数已经连续。能够修补不等于目前已经修补。

还有一个语言上的陷阱：“函数在 $a$ 附近连续”不一定包含 $a$ 本身。做题时应明确说“在某个删去 $a$ 的邻域连续”，还是“在 $a$ 处连续”。前者允许中心点有孔洞，后者必须通过三条件检查。把位置说清楚，很多看似矛盾的表述就会自动消失。

一套判断流程

遇到“在 $a$ 是否连续”，按下面顺序写：

求或确认 $f(a)$ 。
分别求左极限与右极限。
检查左右是否相等，从而确认二侧极限存在。
再比较极限与 $f(a)$ 。
若是分段函数，把参数条件写成等式求解。
若是闭区间端点，只检查定义域内侧的单侧极限。

这套流程也为下一章铺路：导数是差商的极限，因此讨论某点能否求导以前，必须先知道函数在那一点附近是否连续。连续只保证曲线没有断开，导数还要进一步追问局部斜率能否稳定下来。这正是从“函数值接得上”走向“变化率也稳定”的下一步。

练习

判断 $f(x)=\frac{x+1}{x-3}$ 在哪些点连续。

g(x)= \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2}, & x\ne2,\\ c, & x=2. \end{cases}

求 $c$ ，使 $g$ 在 $2$ 处连续。

设 $f(x)=\sqrt{5-x}$ 。写出它连续的最大区间。

若函数在 $[2,6]$ 上连续， $f(2)=7$ ， $f(6)=-1$ ，能否保证存在 $c$ 使 $f(c)=3$ ？能否保证这样的 $c$ 只有一个？

判断“函数在一点连续，所以在该点可导”是否正确。

f(x)= \begin{cases} 2x+k,&x<1,\\ x^2+2,&x\ge1. \end{cases}

求 $k$ ，使函数在 $1$ 处连续。

判断 $f(x)=\tan x$ 在 $[-\pi/4,\pi/4]$ 上是否连续，并说明能否保证它取得最大值和最小值。

用中间值定理说明 $x^5+x-2=0$ 在 $[0,2]$ 内有根。

举例说明“极限存在但函数不连续”与“函数值存在但极限不存在”是两种不同情况。