极限运算与常见极限 | 微积分 I：极限、导数与积分 | 自在学

极限运算与常见极限

上一章解决了“极限在问什么”。现在轮到真正做计算。最容易出错的地方，是看到极限符号就立刻代入。更稳的做法是先代入试探，再根据出现的形式决定路线。

如果代入得到普通有限数，计算往往已经结束；如果得到 $0/0$ ，说明表达式隐藏了可以化简的结构；如果输入走向无穷，就要比较主导项；如果出现振荡或两边不同，还要换成夹逼或单侧分析。

极限法则为什么可用

设

\lim_{x\to a}f(x)=L,\qquad \lim_{x\to a}g(x)=M

那么和、差、常数倍与乘积的极限可以分别计算：

\lim_{x\to a}[f(x)\pm g(x)]=L\pm M

\lim_{x\to a}cf(x)=cL

\lim_{x\to a}f(x)g(x)=LM

商法则还需要 $M\ne0$ ：

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}

这些规则背后的意思很朴素：如果两个量分别稳定地靠近 $L$ 和 $M$ ，那么把它们做连续的代数运算，结果也会靠近对应的代数结果。分母趋近 $0$ 时不能直接用商法则，因为除法会把很小的分母放大，趋势可能完全改变。

幂和根式也有对应规则。在表达式有定义的前提下，

\lim_{x\to a}[f(x)]^n=L^n

若 $n$ 是正整数；对适当定义域内的根式，也可以把极限移入根号。于是多项式可以逐项取极限，有理函数在分母极限不为 $0$ 时也可以直接取极限。

例题：逐层使用法则

计算

\lim_{x\to1}\frac{(2x-3)^2(x+4)}{x^2+2}

分母在 $x=1$ 时趋近 $3$ ，不为 $0$ 。于是可以按函数结构从内到外处理：

\lim_{x\to1}(2x-3)=-1

\lim_{x\to1}(x+4)=5

\lim_{x\to1}(x^2+2)=3

所以

\lim_{x\to1}\frac{(2x-3)^2(x+4)}{x^2+2} =\frac{(-1)^2\cdot5}{3}=\frac53

写出这几层不是为了拖长步骤，而是检查商法则的条件。若分母极限为 $0$ ，整条直接代入路线就必须停下来。

先代入，再给结果分类

得到普通数

求

\lim_{x\to2}(x^3-4x+1)

多项式在每一点都连续，可以直接代入：

2^3-4\cdot2+1=1

得到 $0/0$

$0/0$ 不是答案，也不是“无穷大”。它叫未定式，意思是只靠代入还看不出极限。不同的 $0/0$ 型表达式可以趋近不同的数，也可能没有极限。

看到 $0/0$ 时不要写“极限等于 0”。它只是一个路标：接下来要尝试因式分解、通分、有理化、三角恒等变形或夹逼。

因式分解是在去掉假障碍

求

\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}

直接代入得到 $0/0$ 。分子分解后，

\frac{x^2-9}{x-3} =\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} =x+3\qquad(x\ne3)

极限只看 $x=3$ 附近，所以可以在 $x\ne3$ 的范围里约去公共因子：

\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3} =\lim_{x\to3}(x+3)=6

因式分解消去可约因子的中文教学图

约分没有让原函数在 $x=3$ 突然有定义。它只是找到一个在 $3$ 附近与原函数相同、但更容易观察趋势的式子。

例题：先通分再约分

求

\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}-1}{x}

直接代入得到 $0/0$ ，先把分子通分。

分子等于 $\frac{1-(1+x)}{1+x}=-\frac{x}{1+x}$ 。

根式相减时用共轭式

求

\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4+x}-2}{x}

根式相减不便因式分解，可以乘以共轭式：

\frac{\sqrt{4+x}-2}{x}\cdot \frac{\sqrt{4+x}+2}{\sqrt{4+x}+2} =\frac{1}{\sqrt{4+x}+2}

因此

\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4+x}-2}{x}=\frac14

有理化的作用和因式分解一样：把制造 $0/0$ 的表面结构拆开，露出真正的附近趋势。

例题：分母含两个根式

求

\lim_{x\to5}\frac{x-5}{\sqrt{x+4}-3}

直接代入是 $0/0$ 。乘以分母的共轭式：

\frac{x-5}{\sqrt{x+4}-3} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+3}{\sqrt{x+4}+3}

分母变为

(x+4)-9=x-5

在 $x\ne5$ 时约去公共因子，原式化为 $\sqrt{x+4}+3$ ，所以极限为。

共轭式并不是见到根号就用。只有根式相减造成未定式时，它才特别有效；若根式本身可以直接代入，就没有必要增加步骤。

例题：绝对值要拆单侧

求

\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}

这里没有可约的代数因子。对 $x<0$ ， $|x|=-x$ ，所以左侧函数值为 $-1$ ；对 $x>0$ ， $|x|=x$ ，所以右侧函数值为：

\lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}=-1, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}=1

左右不相等，二侧极限不存在。这个例子提醒我们： $0/0$ 型既可能化简出有限极限，也可能暴露左右冲突。

夹逼定理处理“难算但夹得住”

若在 $a$ 附近有

g(x)\le f(x)\le h(x)

并且

\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L

那么夹在中间的 $f(x)$ 也只能趋近 $L$ 。

例如求

\lim_{x\to0}x^2\cos\frac{1}{x}

虽然 $\cos(1/x)$ 不断振荡，但始终满足 $-1\le\cos(1/x)\le1$ ，所以

-x^2\le x^2\cos\frac{1}{x}\le x^2

左右两端都趋近 $0$ ，因此中间也趋近 $0$ 。振荡没有消失，只是被越来越窄的上下界压住了。

怎样主动找到上下界

夹逼题通常带着一个“有界但不稳定”的因子。正弦和余弦始终在 $[-1,1]$ 内，绝对值能把双边不等式整理得更简洁：

\left|x^2\cos\frac1x\right|\le x^2

由于右边趋近 $0$ ，左边的绝对值也趋近 $0$ 。同样地，若 $p(x)\to0$ 且 $q(x)$ 在目标点附近有界，那么 $p(x)q(x)\to0$ 。

不过，“一个因子趋近 $0$ ”还不够。如果另一个因子无界，例如 $x\cdot(1/x)=1$ ，乘积就不趋近 $0$ 。使用夹逼前必须真的写出有效的统一上界。

重要三角极限从弧度制出发

微积分中最常用的三角极限是

\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1

这个结论要求 $x$ 用弧度表示。单位圆上的几何关系能给出

\sin x<x<\tan x\qquad(0<x<\tfrac{\pi}{2})

整理并结合夹逼定理，就能得到上述极限。

单位圆中正弦、弧长与正切的夹逼关系中文图

由它可以推出

\lim_{x\to0}\frac{\sin(kx)}{x}=k

因为

\frac{\sin(kx)}{x} =k\frac{\sin(kx)}{kx}

还可以用恒等式 $1-\cos x=2\sin^2(x/2)$ 得到

\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0

例题：把角度整理成标准形式

\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{3x} =\frac53\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{5x} =\frac53

关键不是背更多公式，而是主动凑出“同一个小角度除以它自己”。

推出另一个常用极限

利用恒等式

1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}

可以计算

\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}

整理为

\frac{1-\cos x}{x^2} =\frac12\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2

括号中的极限为 $1$ ，所以结果为 $1/2$ 。这个极限以后会在三角函数求导和近似中再次出现。

无穷远处比较最高次项

求有理函数在 $x\to\infty$ 时的极限，不应把“无穷大”直接代入。稳妥办法是分子分母同除以分母的最高次幂。

例如

\lim_{x\to\infty}\frac{4x^2-x+6}{2x^2+3x-1}

分子分母同除以 $x^2$ ：

\lim_{x\to\infty} \frac{4-\frac1x+\frac{6}{x^2}} {2+\frac3x-\frac{1}{x^2}} =\frac42=2

因此 $y=2$ 是水平渐近线。

有理函数的远处趋势可以按次数快速判断：

分子次数小于分母次数，极限为 $0$ 。
次数相同，极限为最高次项系数之比。
分子次数比分母次数高，通常没有有限水平极限；还要根据次数差和符号继续分析。

三种次数关系各算一次

分子次数较低：

\lim_{x\to-\infty}\frac{4x-1}{x^2+2}=0

因为同除以 $x^2$ 后，每一项都趋近 $0$ 或 $1$ 。

次数相同：

\lim_{x\to-\infty}\frac{5x^2+3}{-2x^2+x}= -\frac52

只留下最高次项系数之比。

分子次数高一阶：

\frac{x^2+1}{x}=x+\frac1x

当 $x\to\infty$ 时它趋向 $+\infty$ ，当 $x\to-\infty$ 时趋向 $-\infty$ 。这类函数没有水平渐近线，但可能有斜渐近线。这里 $y=x$ 就描述了远处的线性趋势。

“最高次项决定远处趋势”是简写结论，真正可靠的计算仍是同除以适当幂次或做多项式除法。这样能保留正负号，也不会误判分子次数较高的情况。

竖直渐近线要看单侧符号

对

f(x)=\frac{1}{x-2}

有

\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty

于是 $x=2$ 是竖直渐近线。这里不能只写“分母趋近 0，所以极限是无穷大”，因为从哪一侧靠近决定正负方向。

再看

g(x)=\frac{x+1}{(x-3)^2}

在 $x=3$ 附近，分子保持为正，分母从两侧都趋近 $0^+$ ，因此

\lim_{x\to3^-}g(x)=\lim_{x\to3^+}g(x)=+\infty

单侧符号分析的办法是：分别写出各因子在目标点两侧的正负，再决定商的方向。不要只凭图像猜。

化简时要守住定义域

约去因子、平方、开方或取倒数，都可能改变某些点的定义情况。极限允许我们使用“在目标点附近但不含目标点”相等的表达式，但不能把这种附近等价误写成函数处处相等。

例如

\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2

只在 $x\ne1$ 时成立。求 $x\to1$ 的极限可以使用右边，但讨论原函数定义域时仍要排除 $1$ 。

同样， $\sqrt{x^2}=|x|$ ，不是对所有 $x$ 都等于 $x$ 。若在负数一侧处理根式而漏掉绝对值，极限的符号就会算错。

一套可复用的判断顺序

先直接代入。
得到普通数时，检查连续性条件后结束。
得到 $0/0$ 时，尝试因式分解、通分、有理化或三角恒等变形。
有振荡因子时，寻找上下界并考虑夹逼。
输入趋向无穷时，提取或同除以主导项。
分母趋近 $0$ 时，分别检查左右符号。
每次化简都注明适用范围，不把“附近相等”误写成“点上也相等”。

练习

计算 $\lim_{x\to-1}(2x^2+3x-4)$ 。

计算

\lim_{x\to5}\frac{x^2-25}{x-5}

计算

\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{9+x}-3}{x}

计算 $\lim_{x\to0}\frac{\sin(7x)}{2x}$ 。

计算

\lim_{x\to\infty}\frac{3x^3+x}{6x^3-4x^2+1}

判断 $\lim_{x\to1}\frac{1}{(x-1)^2}$ 的趋势。

计算

\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(3x)}{x^2}

计算

\lim_{x\to0}x\sin\frac{5}{x}

判断 $\lim_{x\to2}\frac{x+1}{x^2-4}$ 的左右趋势。

判断下列说法：“代入得到 $0/0$ ，所以原极限一定存在。”

7

/

2

7/2

x - 2

x-2