微积分基本定理

导数把总量拆成每一刻的变化率，积分把每一刻的变化重新累积成总变化。前面我们分别学了这两个动作，现在终于要解释它们为什么能接回去。

如果位置是 $S(t)$，速度就是 $S'(t)$；反过来，把速度从 $a$ 到 $b$ 累积，应该得到 $S(b)-S(a)$。微积分基本定理把这种直觉变成可计算的结论，也让定积分不再依赖大量矩形和的极限手算。

积分把变化率累积成总量，导数把累积量还原成变化率。

从变化率回到净变化量

先看最常见的运动问题。速度 $v(t)$ 表示位置 $S(t)$ 的变化率，也就是

在很短的时间 $\Delta t$ 内，位移近似等于“速度乘以时间”：

把一段时间切成很多小段，每一小段都有一个小位移。所有小位移相加，极限意义下就是定积分：

这就是“净变化量”的核心句子：一个量的变化率在区间上的累积，等于这个量在区间两端的差。

原函数和不定积分

如果 $F'(x)=f(x)$，我们说 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。这个说法很朴素：$F$ 求导以后变成 ，所以 是 的“导数来源”。

同一个 $f(x)$ 往往有无穷多个原函数。比如 $x^2$ 的一个原函数是 $\frac{x^3}{3}$，但

求导以后还是 $x^2$。常数项求导会消失，所以原函数只差一个常数。

不定积分表示一族只相差常数 C 的原函数；对它们求导都会得到同一个函数 f(x)。

用符号写，不定积分表示 $f(x)$ 的全体原函数：

这里的 $C$ 是任意常数。不定积分的结果不是一个确定的数，而是一族函数。

变上限积分

定积分通常给出一个数。例如固定区间 $[1,3]$ 后，$\int_1^3 f(t)\,dt$ 是一段固定的累计量。

如果把右端点改成变量 $x$，就得到一个新函数：

这个函数的意思是：从固定起点 $a$ 开始，一直累计到当前位置 $x$。$x$ 每移动一点，累计范围就变一点，$A(x)$ 的值也跟着变。

变上限积分示意：x 移动时，从 a 到 x 的累计面积 A(x) 随之成为函数。

微积分基本定理的第一部分正是关于这个函数：

如果 $f$ 连续，累计函数 $A(x)$ 的导数就是当前被累计的函数值 $f(x)$。换句话说，累计量增长得快不快，由当前的变化率决定。

定理的两种说法

微积分基本定理通常分成两部分。第一部分回答“累计函数求导会怎样”，第二部分回答“定积分怎样计算”。

累计函数的导数

若 $f$ 在区间上连续，并定义

则

这说明积分之后再求导，会回到原来的函数。

用原函数计算定积分

若 $F'(x)=f(x)$，则

这说明只要找到一个原函数，就可以用端点值相减来计算定积分。

用原函数计算定积分的三步流程：找原函数、代上端点、减下端点。

这两部分合在一起，说的是同一件事的两个方向：导数描述局部变化率，积分累计局部变化；它们在连续函数上互相接回去。

为什么累计函数的导数会回到被积函数

设

让 $x$ 增加一个很小的 $h$，累计量新增了从 $x$ 到 $x+h$ 的一小条：

若 $f$ 连续，在这条很短的区间上，函数值都接近 $f(x)$，所以新增量大约是

除以 $h$：

当 $h\to0$，近似误差也被压到 $0$，于是 $A'(x)=f(x)$。这个推导把“面积条的高近似为当前函数值”变成了导数极限。

由第一部分得到端点公式

因为 $A'(x)=f(x)$，$A$ 是 $f$ 的一个原函数。若 $F$ 也是 $f$ 的原函数，那么 与 只差常数：

又因为

所以 $C=-F(a)$，进而

而 $A(b)$ 正是 $\int_a^b f(x)\,dx$。这说明基本定理的两部分不是两条偶然相似的公式，而是同一个累计函数关系的两个表达。

上限不是 $x$ 时还要链式法则

若

先把外层看成累计函数 $A(u)=\int_a^u f(t)\,dt$，再令 $u=g(x)$。链式法则给出

若变量出现在下限，先交换上下限：

负号来自积分方向反转，不是链式法则额外产生的符号。

例题：从速度函数恢复位移变化

一个质点在 $0\le t\le 3$ 秒内的速度为

单位是米每秒。求这段时间内的净位移。

由速度函数恢复位移变化：正面积和负面积相抵得到净位移，总路程则累加实际运动长度。

如果题目问“总路程”，就不能让正负面积相抵。速度在 $t=\frac{5}{3}$ 时变号，总路程应计算

这和净位移是两个不同的问题。

例题：用原函数计算定积分

计算

这里没有写 $+C$。如果写成 $F(x)=x^2+3x+C$，端点相减时常数也会抵消：

例题：对变上限积分求导

设

求 $G'(x)$。

净变化量的应用

微积分基本定理不只用于面积计算。只要一个函数表示某个量的变化率，积分就能给出这个量的净变化。

初始量加上变化率的累积，得到最终量。

统一写法是：

其中 $Q'(t)$ 是 $Q(t)$ 的变化率。若 $Q$ 是水箱水量，$Q'$ 可以是净流入速度；若 $Q$ 是总成本， 可以是边际成本；若 是温度， 可以是温度变化率。

这个公式提醒我们先读懂单位。若 $Q'(t)$ 的单位是“升/分钟”，对时间积分后单位就是“升”；若边际成本的单位是“元/件”，对产量积分后单位就是“元”。

常见误区

练习

1. 已知 $F'(x)=f(x)$，$F(2)=5$，且

求 $F(7)$。

2. 质点速度为 $v(t)=2t-6$，$0\le t\le 5$。求净位移，并说明它的符号含义。

3. 继续上一题，求总路程。

4. 计算

5. 设

求 $A'(2)$。

6. 水箱初始有 $20$ 升水，净流入速度为 $r(t)=4+t$ 升/分钟。求前 $3$ 分钟后水箱中的水量。

净位移是 $-5$，表示最终位置比起点向负方向偏移了 $5$ 个长度单位。

总路程是 $13$ 个长度单位。

所以

前 $3$ 分钟后水箱中有 $36.5$ 升水。