常见函数求导法则

上一章从差商定义算导数，可靠，却不适合每题都从头展开。真正的函数往往由很多层结构拼成：若每一层都回到极限，代数会很快盖住变化率本身。

求导法则把已经证明过的极限结论整理成工具。使用这些工具时，最重要的不是抢着套公式，而是先看函数最外层在做什么：相加、相乘、相除，还是把一个函数塞进另一个函数。

常见求导法则工具箱中文总览图

常数、幂与线性组合

常数函数的图像是水平线，因此

\frac{d}{dx}c=0

幂函数的求导规则是

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

对正整数 $n$ ，它可以从二项式展开与差商定义推出。以 $x^3$ 为例：

\frac{(x+h)^3-x^3}{h} =\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h} =3x^2+3xh+h^2

令 $h\to0$ ，就得到 $3x^2$ 。一般的正整数幂也是同样结构：展开后只有一次 $h$ 的那项在约分后留下，其余项仍含 $h$ ，最终趋近 $0$ 。

常数倍可以保留：

\frac{d}{dx}[cf(x)]=cf'(x)

和差可以逐项求导：

\frac{d}{dx}[f(x)\pm g(x)]=f'(x)\pm g'(x)

因此多项式可以逐项处理。比如

p(x)=4x^5-3x^2+7x-9

有

p'(x)=20x^4-6x+7

常数项 $-9$ 的导数为 $0$ ，不是把整道题变成 $0$ 。

负指数与分数指数

幂法则也可以扩展到适当定义域内的实数指数。例如

\frac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}

\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

写公式时别忘记定义域。 $x^{-2}$ 在 $x=0$ 没有定义； $\sqrt{x}$ 的普通实函数导数公式只在 $x>0$ 上给出有限值。

乘积法则：两边都在变

很多人第一次会猜

(uv)'=u'v'

但这不对。若 $u=x$ 、 $v=x$ ，错误公式会给出 $1$ ，而 $uv=x^2$ 的导数明明是 $2x$ 。

正确公式是

(uv)'=u'v+uv'

为什么有两项？把 $u$ 与 $v$ 看成矩形的长和宽。输入变化时，长的变化贡献一条竖带，宽的变化贡献一条横带；右上角还有一块 $\Delta u\Delta v$ ，但它是两个小变化的乘积，在取导数极限时会消失。

乘积法则的矩形面积变化中文示意图

也可以直接从增量写出：

\Delta(uv)=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv

=v\Delta u+u\Delta v+\Delta u\Delta v

除以输入变化并取极限，就留下 $u'v+uv'$ 。

例题：先判断是否值得展开

求

y=(x^2+1)(3x-4)

用乘积法则：

y'=2x(3x-4)+3(x^2+1)

化简为

y'=9x^2-8x+3

这道题也可以先展开再逐项求导，结果相同。对于多项式乘积，展开可能更短；对于 $x^2\sin x$ 或 $e^x\ln x$ ，无法化成简单多项式，乘积法则更合适。

三个因子的乘积

对 $uvw$ ，每次让一个因子负责求导，其余保持不变：

(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'

例如

\frac{d}{dx}[x^2e^x\sin x] =2xe^x\sin x+x^2e^x\sin x+x^2e^x\cos x

不要把三个因子的导数全乘在一起，也不要漏掉某一个因子的变化贡献。

商法则：分母的变化不能忽略

若 $v(x)\ne0$ ，则

\left(\frac{u}{v}\right)' =\frac{u'v-uv'}{v^2}

商法则结构中文图

公式中的减号和分母平方最容易写错。它可以从恒等式

u=\frac{u}{v}\cdot v

两边求导得到。令 $w=u/v$ ，则 $u'=w'v+wv'$ ，所以

w'=\frac{u'-wv'}{v} =\frac{u'v-uv'}{v^2}

例题：保留结构再化简

求

r(x)=\frac{x^2+3}{2x-1}

令 $u=x^2+3$ 、 $v=2x-1$ ，则 $u'=2x$ 、 $v'=2$ 。代入：

r'(x)=\frac{2x(2x-1)-2(x^2+3)}{(2x-1)^2}

化简为

r'(x)=\frac{2x^2-2x-6}{(2x-1)^2}

定义域仍要排除 $x=1/2$ 。求导不会替原函数补上分母为零的位置。

什么时候不必用商法则

若分母只是单项式，先改写成负指数常常更快：

\frac{x^3+2x}{x^2}=x+2x^{-1}

所以

\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3+2x}{x^2}\right) =1-2x^{-2}

选择公式的标准不是“看见分数就用商法则”，而是哪种等价结构更清楚、更不容易出错。

链式法则：变化沿着层级传递

考虑

y=(3x^2+1)^5

这里不是单纯的 $x^5$ 。外层是“取五次方”，内层是 $3x^2+1$ 。当 $x$ 变化时，先引起内层 $u=3x^2+1$ 变化，再引起外层 $y=u^5$ 变化。

链式法则写成

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}

或

[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)

链式法则内外层中文流程图

对上面的函数，

\frac{dy}{du}=5u^4, \qquad \frac{du}{dx}=6x

所以

y'=5(3x^2+1)^4\cdot6x =30x(3x^2+1)^4

“外层求导、内层保留，再乘内层导数”是一句好用的口令，但一定要先明确内外层，不能只背字面。

多层复合函数

求

y=\sqrt{1+(2x-3)^4}

可以从外到内分成三层：平方根、 $1+u^4$ 、 $2x-3$ 。逐层求导：

y'=\frac{1}{2\sqrt{1+(2x-3)^4}} \cdot4(2x-3)^3\cdot2

整理为

y'=\frac{4(2x-3)^3}{\sqrt{1+(2x-3)^4}}

每深入一层，就多乘一次该层的导数。

为什么链式法则像单位换算

如果气温 $T$ 随高度 $h$ 变化，而高度又随时间 $t$ 变化，那么

\frac{dT}{dt}=\frac{dT}{dh}\frac{dh}{dt}

单位也会连起来：摄氏度/米乘米/秒，得到摄氏度/秒。这个单位消去不是证明，但能帮助检查链式关系是否写反。

组合规则要从最外层开始

求

y=\frac{(x^2+1)^3}{x-2}

最外层是商，所以第一步用商法则；分子求导时再用链式法则：

y'=\frac{6x(x^2+1)^2(x-2)-(x^2+1)^3}{(x-2)^2}

可以提取公因子：

y'=\frac{(x^2+1)^2[6x(x-2)-(x^2+1)]}{(x-2)^2}

若一开始只盯着 $(x^2+1)^3$ ，很容易先做链式法则后忘记整个表达式仍是商。

例题：乘积里藏着复合函数

求

F(x)=x^2(4x-1)^6

外层是乘积：

F'(x)=2x(4x-1)^6+x^2\cdot6(4x-1)^5\cdot4

提取公因子后，

F'(x)=2x(4x-1)^5(16x-1)

最后的因式分解不是求导的必需步骤，但它常有利于后面判断零点和符号。

隐函数求导：不必先解出 $y$

有些曲线很难写成单一的 $y=f(x)$ 。例如圆

x^2+y^2=25

同一个 $x$ 往往对应上下两个 $y$ 。如果只研究曲线上某一段，可以把 $y$ 看成 $x$ 的函数，并对等式两边同时关于 $x$ 求导。

$x^2$ 的导数是 $2x$ 。 $y^2$ 看起来像幂函数，但 $y$ 会随 $x$ 变化，所以要用链式法则：

\frac{d}{dx}y^2=2y\frac{dy}{dx}

于是

2x+2y\frac{dy}{dx}=0

解出

\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}

在点 $(3,4)$ 处，切线斜率为 $-3/4$ 。圆的半径从原点指向 $(3,4)$ ，斜率为 $4/3$ ，两者乘积为 $-1$ ，也验证了切线与半径垂直。

例题：乘积项里的 $y$ 也会变

已知

x^2+xy+y^2=7

求 $dy/dx$ 。两边求导时， $xy$ 要用乘积法则：

2x+\left(y+x\frac{dy}{dx}\right)+2y\frac{dy}{dx}=0

把含 $dy/dx$ 的项收在一起：

(x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+y)

所以

\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}

隐函数求导的核心仍是前面几条规则，只是每次对含 $y$ 的表达式求导时，都要补上 $dy/dx$ 这个链式因子。

隐函数求导默认在所研究的局部范围内， $y$ 可以看成 $x$ 的可导函数。若最后公式分母为零，可能对应竖直切线或需要另外分析的点，不能直接代入后忽略。

求导结果怎样自检

第一种检查是量级。 $x^n$ 的导数次数应降低一阶；常数的导数应消失；指数函数求导后仍保留指数结构。

第二种检查是单位。若 $s(t)$ 的单位是米， $t$ 的单位是秒，那么 $s'(t)$ 必须是米/秒。链式法则中的中间单位应能消去。

第三种检查是数值。选一个不让分母为零的简单点，用很小的 $h$ 计算差商

\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

并与求出的 $f'(x)$ 比较。它不能替代推导，却能快速发现漏乘内层导数、商法则减号写反等错误。

第四种检查是等价路线。多项式乘积可以先展开，也可以用乘积法则；简单分式可以用商法则，也可以改写成负指数。两条路线得到的结果必须一致。

还可以检查定义域。原函数没有定义的位置不能因为化简或求导而被悄悄补上。例如 $(x^2-1)/(x-1)$ 虽可在 $x\ne1$ 时化为 $x+1$ ，原函数和它的导函数仍应保留 $x\ne1$ 的限制。公式相同不代表定义域自动相同。

一套结构识别顺序

先看最外层运算。
和差可以先拆项。
乘积用乘积法则，商用商法则。
任何因子内部若是复合函数，再进入链式法则。
先写中间结构，最后再决定是否展开或提取公因子。
求导后检查原函数定义域与导函数定义域。
用一个容易代入的点或另一种方法做局部核对。

常见错误

把 $(uv)'$ 写成 $u'v'$ 。
把 $(u/v)'$ 写成 $u'/v'$ 。
商法则把 $u'v-uv'$ 的顺序写反，或漏掉 $v^2$ 。
链式法则只求外层导数，漏乘内层导数。
把 $(x^2+1)^4$ 展开成 $4(x^2+1)^3$ 后就停笔。
负指数求导后把指数减错，例如把 $x^{-2}$ 导成 $-2x^{-1}$ 。
求导前先代入某个数，导致函数的变化结构消失。

检查导数最直接的办法是反问：原函数最外层是什么结构？我的第一条法则是否与它一致？再沿着每个因子向内检查，漏掉的链式因子通常会立刻暴露。

这些法则不是彼此孤立的口诀。乘积法则与商法则负责拆开外部结构，链式法则负责沿着复合函数向内传递变化；隐函数求导则是在关系式两边同时执行同样的求导动作。后面处理三角、指数和对数函数时，外部结构的判断顺序完全不变，只是基本导数表变得更丰富。

练习

求 $f(x)=7x^5-2x^{-3}+4$ 的导数。

求 $y=(x^3-1)(x^2+4)$ 的导数。

g(x)=\frac{3x+1}{x^2+2}

的导数。

求 $h(x)=(5x^2-3x+1)^4$ 的导数。

求 $y=\sin[(x^2+1)^3]$ 的导数。

求 $F(x)=x e^{2x}$ 的导数。

判断错误：某同学写 $(x^2+1)^5{}'=5(x^2+1)^4$ 。指出漏了什么。

收益函数为 $R(q)=q(80-0.4q)$ 。分别用乘积法则和先展开的方法求 $R'(q)$ 。

曲线 $x^2+4y^2=20$ 上一点 $(2,2)$ 的切线斜率是多少？

已知 $x^3+y^3=6xy$ ，求 $dy/dx$ 。