导数的概念：从平均变化率到瞬时变化率

如果一辆车在两秒内前进了 $30$ 米，我们可以说它的平均速度是 $15$ 米/秒。但这不代表车在这两秒里的每一刻都保持 $15$ 米/秒。它可能先慢后快，也可能中途刹车。

当问题改成“恰好在第 2 秒时有多快”，普通的“路程除以时间”遇到了麻烦：一个瞬间没有时间长度，不能拿零秒内的位移去除以零秒。导数的办法是先保留一小段时间，算平均变化率，再把这段时间缩得越来越短。

平均变化率是起点

函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的平均变化率是

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

分子是输出变化量，分母是输入变化量。在图像上，它正是连接 $(a,f(a))$ 与 $(b,f(b))$ 的割线斜率。

若 $s(t)$ 是位置函数，那么

\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}

就是从 $t_1$ 到 $t_2$ 的平均速度。单位也能帮我们检查：位置用米、时间用秒，平均速度的单位就是米/秒。

让割线的另一端靠过来

固定点 $P=(a,f(a))$ ，再取附近点

Q=(a+h,f(a+h))

割线 $PQ$ 的斜率为

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

这个式子叫差商。 $h$ 可以为正，也可以为负，分别对应从右侧和左侧靠近。只要 $h\ne0$ ，它仍然描述两个不同点之间的平均变化率。

割线逐渐靠近切线的中文教学图

当 $h$ 趋近 $0$ 时，点 $Q$ 向 $P$ 靠近。如果割线斜率稳定地趋近同一个数，我们就把这个数定义为 $f$ 在 $a$ 处的导数：

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

导数既是切线斜率，也是瞬时变化率。这不是两个无关解释，而是同一个极限从图像和实际量两个方向看出的结果。

计算过程中绝不能先把 $h$ 设成 $0$ 。我们先在 $h\ne0$ 时化简差商，再取 $h\to0$ 的极限。导数靠的是“趋近零”，不是“除以零”。

两种导数定义是同一件事

有时导数写成

f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

有时写成带 $h$ 的形式。令 $h=x-a$ ，那么 $x=a+h$ ；当 $x\to a$ 时，正好有 $h\to0$ 。所以

\frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

两种写法完全等价。前一种直接显示“移动点 $x$ 靠近固定点 $a$ ”，后一种更适合展开 $f(a+h)$ 。

左导数与右导数

导数存在还要求

\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

也就是说，曲线从左边和右边放大后，必须靠向同一条切线。折角处虽然左右各有清楚斜率，但两边不一致，所以二侧导数不存在。

用定义真正算一次

求 $f(x)=x^2+3x$ 在 $x=a$ 处的导数。

先写出 $f(a+h)=(a+h)^2+3(a+h)$ 。

构造差商并展开：

\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =\frac{2ah+h^2+3h}{h}

在 $h\ne0$ 时约去 $h$ ，得到 $2a+h+3$ 。

令 $h\to0$ ，得到 $f'(a)=2a+3$ 。

如果想要 $x=2$ 处的切线斜率，只需代入 $a=2$ ：

f'(2)=7

切线经过点 $(2,f(2))=(2,10)$ ，所以切线方程为

y-10=7(x-2)

例题：根式函数的定义推导

求 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $x=a>0$ 处的导数。差商为

\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt a}{h}

乘以共轭式：

\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt a}{h} \cdot \frac{\sqrt{a+h}+\sqrt a}{\sqrt{a+h}+\sqrt a} =\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}

令 $h\to0$ ，得到

f'(a)=\frac{1}{2\sqrt a}

这个推导说明求导公式不是凭空出现的。它来自差商极限，而有理化只是把极限可见地整理出来。

导数不只是一个数，也是一整个函数

把目标点从固定的 $a$ 改成可以变化的 $x$ ，就得到导函数：

f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

$f'(x)$ 的输入仍然是 $x$ ，输出是原函数在该点的瞬时变化率。它有自己的图像和定义域。

常见记号包括

f'(x),\qquad y',\qquad \frac{dy}{dx},\qquad \frac{d}{dx}f(x)

它们表达的是同一个核心对象，但适合的语境略有不同。 $f'(a)$ 强调某点的数值， $f'(x)$ 强调整个导函数， $dy/dx$ 在链式法则和变化率模型里更能看出变量关系。

导函数的定义域可能比原函数小。 $f(x)=|x|$ 在所有实数上有定义，但 $f'(0)$ 不存在； $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,\infty)$ 上有定义，而普通有限导数只在 $x>0$ 时由上式给出。

高阶导数

如果 $f'$ 还能继续求导，就得到二阶导数：

f''(x)=\frac{d}{dx}f'(x)

再继续可写成 $f^{(3)}(x)$ 、 $f^{(4)}(x)$ 。一阶导数读原函数的变化率，二阶导数读变化率怎样改变。几何上，它会帮助判断曲线向哪边弯；运动中，它对应加速度。

从表格和图像读导数

有时我们没有函数公式，只有数据。若要估计 $f'(a)$ ，可以计算 $a$ 左右附近的差商：

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

当正、负的 $h$ 都越来越小时，若结果从两边靠近同一个数，这个数就是导数的合理估计。

从原函数图像读导数时，可以按下面几条判断：

图像上升，导数通常为正。
图像下降，导数通常为负。
切线水平，导数为 $0$ 。
图像越陡，导数绝对值通常越大。
左右斜率不能对齐，导数不存在。

反过来，导函数图像在横轴上方表示原函数上升，在横轴下方表示原函数下降。后面的曲线分析会把这种对应关系用得更彻底。

例题：用对称差商估计导数

某实验给出以下数据：

$x$	$1.98$	$1.99$	$2.00$	$2.01$	$2.02$
$f(x)$	$5.8804$	$5.9401$	$6.0000$	$6.0601$	$6.1204$

用左右对称的两个点估计 $f'(2)$ ：

f'(2)\approx\frac{f(2.01)-f(1.99)}{0.02} =\frac{6.0601-5.9401}{0.02}=6

对称差商同时利用目标点两侧的数据，常比只用一侧更稳定。但它仍是数值估计；数据噪声、步长太大或舍入精度不足都会影响结果。

从导数图像反读原函数

若 $f'(x)>0$ ，原函数局部上升；若 $f'(x)<0$ ，原函数局部下降。若 $f'$ 从正变负，原函数通常在对应点出现局部高点；若从负变正，通常出现局部低点。

不过， $f'(a)=0$ 本身并不能保证极值。例如 $f(x)=x^3$ 在 $0$ 处导数为 $0$ ，但函数仍然穿过原点继续上升。必须观察导数在点两侧的符号变化。

导数是局部线性化

在一个足够小的范围里，可导曲线看起来越来越像它的切线。若 $x$ 靠近 $a$ ，就有近似

f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)

或者把 $x=a+h$ 写进去：

f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h

这说明导数不只是“某条线的斜率”，它还是函数在局部最好的线性描述。

曲线逐步放大后接近切线的中文示意图

例题：不用计算器估算

估算 $\sqrt{25.4}$ 。令 $f(x)=\sqrt{x}$ ，选附近容易算的 $a=25$ 。因为

f(25)=5,\qquad f'(25)=\frac{1}{10}

而 $h=0.4$ ，所以

\sqrt{25.4}\approx5+\frac{1}{10}\cdot0.4=5.04

这个近似在 $h$ 较小时很好用；离开目标点太远，曲率积累起来，切线近似就会变差。

微分记号把近似变化写得更短

若输入发生小变化 $dx$ ，线性近似给出的输出变化记作

dy=f'(a)\,dx

真实变化则是

\Delta y=f(a+dx)-f(a)

当 $dx$ 很小时， $\Delta y\approx dy$ 。这里 $dy$ 是切线模型预测的变化， $\Delta y$ 是曲线真正发生的变化。二者不要混成完全相等。

例如圆面积 $A=\pi r^2$ 。若半径从 $10$ 增加 $0.02$ ，则

dA=2\pi r\,dr=2\pi\cdot10\cdot0.02=0.4\pi

它快速估计了面积增量。真实增量还多出 $\pi(0.02)^2$ ，这正是线性近似忽略的更高阶小量。

速度和加速度是一阶、二阶变化率

若 $s(t)$ 是位置，那么

v(t)=s'(t)

是速度。速度本身仍会变化，因此再求一次导数：

a(t)=v'(t)=s''(t)

得到加速度。

速度正负表示运动方向，加速度正负表示速度怎样改变。速度为负、加速度为正时，物体可能正在向负方向运动但逐渐减慢；不能把“加速度为正”简单翻译成“物体向前”。

例题：位置、速度与加速度

设

s(t)=t^3-6t^2+9t

则

v(t)=3t^2-12t+9

a(t)=6t-12

在 $t=1$ 时， $v(1)=0$ ，物体瞬间静止；但 $a(1)=-6$ ，说明速度正在向负方向改变。一个时刻速度为零，并不表示之后仍停着。

速度、速率与路程不要混用

速度 $v(t)$ 可以为负，它带有方向；速率是 $|v(t)|$ ，只表示快慢。位移是位置终值减初值，可以正负抵消；总路程要把每段运动距离都按正数相加。

对上面的例子，

v(t)=3(t-1)(t-3)

所以物体在 $t=1$ 与 $t=3$ 时瞬间静止。速度在 $(0,1)$ 为正、 $(1,3)$ 为负、 $(3,\infty)$ 又为正，说明运动方向发生了两次改变。只看某一个时刻的速度，无法直接得到一整段的总路程。

边际量也是导数

若 $C(q)$ 表示生产 $q$ 件产品的总成本，那么 $C'(q)$ 是边际成本。它描述产量在 $q$ 附近增加一个小单位时，总成本大约增加多少。

若

C(q)=2000+30q+0.02q^2

则

C'(q)=30+0.04q

在 $q=100$ 时，边际成本为 $34$ 个货币单位/件。它是局部变化率，不一定精确等于第 $101$ 件的离散成本；当产量单位相对较小时，二者通常接近。

什么时候没有导数

导数要求左右差商趋近同一个有限数。常见失败情形有：

折角或尖点

$f(x)=|x|$ 在 $0$ 处的左斜率为 $-1$ ，右斜率为 $1$ ，所以不可导。

竖直切线

有些连续曲线在某点斜率绝对值无限增大。此时可以描述竖直切线，但通常不说导数是一个有限实数。

间断点

可导一定推出连续，因此函数若在某点不连续，就不可能在该点可导。

剧烈振荡

如果差商在目标点附近不能稳定下来，导数同样不存在。

连续但有竖直切线

函数 $f(x)=x^{1/3}$ 在 $0$ 处连续。对 $x\ne0$ ，

f'(x)=\frac{1}{3x^{2/3}}

当 $x\to0$ 时斜率趋向 $+\infty$ 。图像在原点有竖直切线，但按“导数是有限实数”的通常定义， $f'(0)$ 不存在。这和跳跃间断不同：函数值接得上，只是局部斜率无限陡。

端点导数

在定义域端点，有时会讨论单侧导数。例如 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $x=0$ 只有右侧输入。右差商趋向 $+\infty$ ，所以仍没有有限右导数。若一个函数在闭区间端点的单侧差商趋近有限数，可以说它有相应的单侧导数，但普通二侧导数只在内部点讨论。

$f'(a)=0$ 与 $f'(a)$ 不存在是完全不同的结论。前者表示有水平切线，后者表示没有一个统一的有限斜率。

从可导回看连续

若 $f'(a)$ 存在，则

f(a+h)-f(a) =\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\,h

当 $h\to0$ 时，差商趋近有限的 $f'(a)$ ，而 $h\to0$ ，所以函数增量趋近 $0$ 。这说明

\lim_{h\to0}f(a+h)=f(a)

因此可导必连续。反过来不成立，折角就是最简单的反例。

常见错误

把平均变化率与瞬时变化率混成同一个数。前者对应区间，后者对应一点。
在差商化简前令 $h=0$ ，造成除以零。
忘记差商分子必须是整个 $f(a+h)-f(a)$ 。
求出斜率后忘记切线还要经过 $(a,f(a))$ 。
看到水平切线就断言有极值；还需要检查两侧变化方向。
把速度为零理解成加速度也为零，或把速度负理解成“运动得慢”。
用线性近似时离展开点太远，却不说明误差可能增大。

练习

求 $f(x)=x^2-4x$ 从 $x=1$ 到 $x=3$ 的平均变化率。

用定义求 $f(x)=3x+2$ 的导数。

已知 $f(4)=7$ ， $f'(4)=-2$ 。用局部线性近似估计 $f(4.03)$ 。

若位置 $s(t)=5t^2-2t$ ，求速度与加速度。

判断 $f(x)=|x-2|$ 在 $x=2$ 处是否可导。

用定义求 $f(x)=1/x$ 在 $x=a\ne0$ 处的导数。

某物体位置为 $s(t)=t^3-3t$ 。求 $t=2$ 时的速度和加速度，并解释符号。

已知成本函数 $C(q)=500+12q+0.1q^2$ 。求 $C'(20)$ 并解释单位。

说明为什么 $f(x)=x^{2/3}$ 在 $0$ 处连续却不可导。