从微积分到实分析

微积分课上，我们常常从一道题的式子出发：约分、配方、代入熟悉的公式，最后算出极限、导数或积分。这个过程没有任何问题；它训练的是计算，也确实能解决大量问题。实分析从同一批对象出发，却多问了一句有点让人不自在的话：你刚才每一步凭什么能用？

例如，看到

你会立刻猜到它的极限是 $7$。这一步的直觉很可靠，但“分母越来越大，所以分数趋于零”仍是一句需要翻译的话。多大才算“大”？如果我把允许误差从 $0.01$ 改成 $10^{-30}$，你的理由还接得住吗？实分析并不否定这个答案；它要把答案背后的理由写成谁都能逐行检查的论证。

所以，这门课的变化不是从“会算”变成“不能算”。计算负责发现结构、提出猜想；定义和证明负责说明猜想在什么条件下必定成立。以后你仍会化简式子，只是化简后要能说清它把问题变成了什么，以及哪个已经证明过的结论允许你跨出下一步。

同一个极限，两个不同任务

先把刚才的数列记为

在计算题里，化简已经几乎结束了工作：$a_n=7-18/(n+2)$，于是答案应为 $7$。在证明题里，化简恰好才把真正要控制的量露出来：

现在假定有人指定了一个误差 $\varepsilon>0$。我们要做的不是挑一项让误差小于 $\varepsilon$，而是找一个整数 $N$，保证每个 $n\ge N$ 都满足误差要求。只要选取自然数 $N$ 使得 $N>18/\varepsilon$，那么 时便有

这段话有两个容易被略过的细节。第一，$N$ 可以随 $\varepsilon$ 改变；误差要求越严，通常就需要走得越靠后。第二，$N$ 一旦选定，后面是“所有 $n\ge N$”，不是“某个 $n\ge N$”。正是这个“之后再也不跑出去”的要求，把偶然接近和真正趋近分开了。

计算给出猜想，证明给出保证

把两类任务并排放着看，会更清楚。

有限次计算尤其容易让人误判。定义

如果只检查前一百项、前一千项，都会觉得它“就是零”。但它从第 $5001$ 项起恒等于 $1$，因而不可能收敛到 $0$。这个例子不复杂，作用却很大：全称命题不能用再多的有限样本代替。样本可以帮我们发现规律，不能把规律送进证明。

暂时借用的误差翻译

后面我们会正式定义数列收敛。现在先把下面一句当作一张需要反复练习阅读的翻译卡：

它不是“$a_n$ 最后等于 $L$”。比如 $1/n$ 从来不等于 $0$，却可以无限接近 $0$。它也不是“前面有很多项靠近 $L$”。它说的是：无论你把 $$ 周围允许的范围缩得多窄，数列总能找到一个尾部，整个尾部都留在这个范围里。

你可以把它想成一场有顺序的问答。对方先报出 $\varepsilon$，你才能根据它选择 $N$；不能先固定一个 $N$，再要求所有误差都适合它。量词顺序一换，句子的意思就彻底变了。

先把数学句子读准确

实分析的难处经常不在某个长公式，而在一句看似普通的话里藏了几个范围。开始写证明前，先问三个问题很有用：对象是什么？它满足哪些条件？这句话究竟要求对谁成立？

集合告诉我们对象从哪里来

集合就是一批对象组成的整体。若 $x$ 是集合 $S$ 的成员，写作 $x\in S$；若不是，写作 $x\notin S$。大括号加竖线的写法把“对象”与“条件”分开：

这不是说 $S$ 里有一个叫作 $x$ 的特殊数；它说的是，所有实数中平方小于 $5$ 的那些数一起组成 $S$。因此 $2\in S$，因为 $2^2<5$；而 ，因为 。

同一个对象集可以有不同描述。比如

左边用距离描述：$x$ 离 $1$ 的距离小于 $2$。右边用区间描述：$x$ 严格落在 $-1$ 和 $3$ 之间。证明中把一种描述换成另一种，必须给出等价的理由；不能只因为“看起来差不多”。

若集合 $A$ 的每个成员也都是 $B$ 的成员，就说 $A$ 是 $B$ 的子集，写作 $A\subseteq B$。要证明两个集合相等，最稳妥的办法是分两个方向证明：$A\subseteq B$ 与 。这里的“两个方向”不是格式装饰；它对应“成员完全相同”这件事的全部含义。

命题、条件和结论

命题是有明确真假的陈述。下面这句是命题：

对每个实数 $x$，若 $|x|<1$，则 $x^2<1$。

它的条件是 $|x|<1$，结论是 $x^2<1$。证明很短：$|x|<1$ 两边平方，得到 $|x|^2<1$；而 。不过短并不等于可以省略条件。若只写“”，没有说明 从哪里来，这句话对 就是错的。

“若 $P$，则 $Q$”写作 $P\Rightarrow Q$。它只承诺：当 $P$ 成立时，$Q$ 必须成立。它没有承诺 $Q\Rightarrow P$。例如

正确，但 $x^2=16$ 还允许 $x=-4$。把一个命题的逆命题当成原命题，是初学证明时很常见的漏步。

量词不是符号装饰

符号 $\forall$ 读作“对所有”，符号 $\exists$ 读作“存在”。把它们译成自然语言时，范围一定要一并读出来。

说的是“每给定一个实数，都能找到比它大的实数”。对指定的 $x$，取 $y=x+1$ 就够了。它并不等于

后一条要求有一个固定的实数大于所有实数，这显然不可能；给出这个 $y$ 后，再取 $x=y+1$ 就反驳了它。前后两个式子用了相同的词，交换量词顺序后却从真变成假。

对于极限语言，顺序更值得逐字读：

先出现的 $\varepsilon$ 是任意的，它像读者提出的精度要求；$N$ 允许依赖于这个要求；最后的 $n$ 则是任意的尾部指标。读到定义时，先用铅笔圈出每个量词和它管辖的变量，往往比急着背公式更有效。

否定时要把量词翻过来

证明“某命题不成立”不是在句首加一个“不”就结束。否定“对所有”会变成“存在一个”，否定“存在一个”会变成“对所有”。例如，“$a_n$ 收敛到 $L$”的误差表述被否定后是：

这句话很有画面：存在一个怎么也摆脱不掉的正误差 $\varepsilon_0$；不论你把尾部从哪里开始，总能在尾部里找到一项仍离 $L$ 至少这么远。

考虑 $c_n=(-1)^n$。它为什么不可能收敛到任何实数 $L$？偶数指标给出 $1$，奇数指标给出 $-1$，而任何尾部里都有奇数和偶数。由三角不等式，

所以 $|1-L|$ 与 $|-1-L|$ 至少有一个不小于 $1$。取 $\varepsilon_0=1$，不论从哪个 开始，总能在尾部选到使误差不小于 的那种奇偶性。因此它对任何候选 都不满足收敛定义。这里真正起作用的不是“图像在跳”，而是量词否定后给出的可检查结构。

定义、定理与反例怎样协作

定义不是对一个词的文学解释，而是一条判定规则。它规定我们在本课程里如何使用一个名称。定理则是在若干定义和已知事实之上证明出来的结论；证明负责连接前提与结论；反例负责指出一个陈述在哪个地方越界了。

用距离代替含糊的“接近”

实数 $x$ 与 $y$ 的距离定义为 $|x-y|$。这一定义很朴素，却给“接近”提供了统一尺度。绝对值满足三角不等式：

若把 $u=x-y$、$v=y-z$ 代入，就得到

它说的是：从 $x$ 到 $z$ 的直线距离，不会超过绕经 $y$ 的两段距离之和。这个不等式会反复出现在极限的估计里。还有一个常用变形：

它不是新规则。由 $|x|=|(x-y)+y|\le |x-y|+|y|$ 可得 $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }$；交换 再得 ，两句合在一起就是上式。

这类推导展示了证明的一个基本习惯：不要把熟悉结论当作可以随意搬运的口号。先把想用的结论写清，再把当前式子准确匹配到它的条件上。

如何读一个定义

读定义时可以固定做四件事。

1. 找对象和定义域。是所有实数、某个区间里的点，还是从 $\mathbb{N}$ 取值的数列？
2. 找需要已知的条件。定义是否要求某点属于定义域，是否排除了 $0$，是否限定端点？
3. 按顺序读量词。哪些量可以在看到前面数据后再选，哪些必须对全部对象成立？
4. 把最后的不等式译成一句话，检查它控制的到底是哪种距离。

例如，若后来定义函数在点 $c$ 连续，正式句子会涉及 $c$ 的定义域和 $x$ 能取到的附近点。仅说“图像一笔画完”不能承担这些条件。函数

在屏幕缩小后看上去几乎就是抛物线，但当 $x$ 靠近 $0$ 时函数值靠近 $0$，而 $f(0)=3$。视觉可以帮助你猜测问题在哪儿，不能替代定义给出的核查。

反例不是唱反调

下面三个短句都很像正确的话，却分别少了一个关键条件。

1. “有界数列一定收敛。”错。$(-1)^n$ 永远在 $-1$ 与 $1$ 之间，因而有界，却不收敛。
2. “无界数列一定没有极限。”若极限指有限实数，这句话对数列有意义；但一旦使用扩充的无穷远记号，$n$ 的行为常被简写成趋向 $+\infty$。先说明讨论的是哪一种极限，才不会把记号和实数混在一起。
3. “有理数在实数中很密，所以它没有缺口。”错。稠密只表示任意两个不同实数之间都能找到有理数；它不表示每个应该出现的极限本身都是有理数。$\sqrt{2}$ 就不是有理数。

第三句会在下一章成为重点。先记住它要纠正的直觉：数轴上点“挤得很密”和所有有界逼近过程“都有落点”是两回事。后者才是完备性要处理的问题。

证明不是把想到的式子排成一列

一份可读的证明应该让读者知道每一步从哪里来、要到哪里去。它不需要故意写得很长，但不能把关键条件藏在“显然”“容易”后面。

一个完整的误差证明

我们回到开头的数列，正式展示一次写法。这里先把“自然数总能超过任意给定的正实数”作为实数系统的基本事实使用；下一章会解释它与实数的结构有什么关系。

命题。 数列 $a_n=(7n-4)/(n+2)$ 趋向 $7$。

注意这里的 $N$ 不是唯一答案。任何更大的自然数都可用。证明题通常不是在寻找唯一的阈值，而是在构造一个确实有效的阈值。

四种常用路线

直接证明从条件出发，一步步到结论。例如由 $|x-2|<1$ 得 $-1<x-2<1$，再加 $2$ 得 $1<x<3$，所以尤其有 。

逆否证明用于“若 $P$ 则 $Q$”。它改证等价的“若非 $Q$ 则非 $P$”。例如要证“若整数 $m$ 的平方是偶数，则 $m$ 是偶数”，可以先证明：若 $m$ 是奇数，写成 $m=2k+1$，则

也是奇数。于是平方偶数不可能来自奇数 $m$，故 $m$ 必为偶数。

反证法先假设目标结论不成立，再从假设推出无法同时成立的两句话。它适合“没有这样的对象”“不可能相等”之类的结论。使用时要把矛盾的两端写出来；“得到矛盾”四个字本身不是推理。

构造法处理存在性：若要证明“存在一个对象”，就直接给出对象并逐项核对。上面 $\forall x\in\mathbb{R}\,\exists y>x$ 的证明之所以完整，是因为构造了 $y=x+1$，并验证了它确实在实数中且确实大于 $x$。

这些路线可以混用。误差证明就是构造法的一种：给定 $\varepsilon$ 后，我们构造 $N$；集合相等证明则常常由两次直接证明组成。选择路线之前，先看结论的语法，通常比盯着式子更快。

证明前的一张小清单

动笔前可以先在草稿上写下：

• 已知条件是什么，变量属于哪个集合？
• 目标的定义或可调用定理是什么？
• 最后希望得到的不等式、等式或成员关系是哪一句？
• 若目标含“存在”，能否直接构造；若含“所有”，能否任取一个对象？
• 自己有没有悄悄使用尚未证明的结论，或把结论反过来用了？

这不是机械模板。它的目的只是防止最常见的三种漏洞：对象跑出定义域、量词范围丢失、关键定理没有检查假设。

归纳法：把无限多个整数命题接起来

本课程约定

当需要用到 $0$ 时，我们会明确写 $\mathbb{N}_0=\{0,1,2,\ldots\}$。这个小约定值得认真看待：归纳法的第一步在哪里，取决于命题的指标从哪里开始。

归纳法处理的是一串命题 $P(1),P(2),P(3),\ldots$。如果我们已经证明：

1. 起点 $P(1)$ 为真；
2. 对每个 $n\in\mathbb{N}$，$P(n)$ 为真能推出 $P(n+1)$ 为真；

那么所有 $P(n)$ 都为真。直觉上像一排多米诺骨牌，但正式内容比比喻更重要：起点给了第一块骨牌，归纳步骤保证任意一块倒下时下一块也倒下。两部分缺一不可。

例题：归纳法验证一个和式

猜想对每个 $n\in\mathbb{N}$，有

先强调一个常被忽略的事实：归纳法的任务是验证这条公式，不负责凭空发现它。你可以先算前几项、观察系数，或从别的恒等变形中猜到右边；一旦公式写出，才轮到归纳法。

于是公式对所有正整数 $n$ 成立。写归纳步骤时，最好显式写出“假设 $P(n)$”与“证明 $P(n+1)$”这两个标记。很多看似差一行的归纳证明，问题正是指标没有真的从 $n$ 变成 $n+1$。

起点不一定是 1

有些结论从较晚的指标才开始成立。例如，对 $n\ge4$，我们有

起点取 $n=4$，因为 $2^4=16=4^2$。若对某个 $n\ge4$ 已有 $$，则

而 $n\ge4$ 时

因此 $2^{n+1}>(n+1)^2$。归纳法就从 $4$ 推到了所有更大的整数。这里如果把结论写成“对所有 $n\in\mathbb{N}$”，立刻会在 失败；起点本身就是命题的一部分。

强归纳何时需要

有时证明 $P(n+1)$ 时，不只需要 $P(n)$，还需要前面多个结论。这时可用强归纳：先验证起点；再假设 $P(n_0),P(n_0+1),\ldots,P(n)$ 全部成立，并由此推出 。

例如，证明每个 $n\ge12$ 都可写成 $4a+5b$，其中 $a,b\in\mathbb{N}_0$。先直接检查：

再假定从 $12$ 到 $n$ 的所有整数都能这样表示，其中 $n\ge15$。那么 $n-3\ge12$，归纳假设给出 $n-3=4a+5b$；于是

所以 $n+1$ 也能表示。这个例子实际上只用到了较早的一项 $n-3$，正好说明了为什么普通的“只知道 $P(n)$”有时信息不够。

实数的地基，先知道它在回答什么

后面所有误差、距离和阈值都在实数里发生，因此有必要先辨认几块地基。现在不急着把每一条都证明完；下一章会把完备性作为主角细讲。

运算、次序与绝对值

实数能够相加、相乘、取相反数和非零数的倒数；这些性质让我们可以合法地展开、因式分解、约分。实数还能够比较大小，并且比较与运算相容：同一边加数不改变不等号方向，乘以正数不改变方向，乘以负数则翻转方向。

这些规则是计算中的背景，不是无需说明的魔法。例如从 $a<b$ 推出 $ac<bc$ 前，必须知道 $c>0$；若 $c<0$，正确结论是 $ac>bc$。许多极限估计看起来只是“把式子压小”，实质上正是在反复使用这些次序规则。

上界和“刚好挡住”的数

设 $S\subseteq\mathbb{R}$。若对所有 $x\in S$ 都有 $x\le M$，则 $M$ 是 $S$ 的上界。上界通常不止一个。对

而言，$3$、$4$、$100$ 都是上界。

最大值要求更强：它必须属于 $S$，并且不小于 $S$ 的每一个成员。集合 $(-2,3)$ 没有最大值，因为 $3$ 不在里面；但它有最小的上界，即上确界 $3$。上确界不需要属于集合，它的工作是精确描述“能从右边挡住集合的最靠左位置”。类似地，下确界描述最靠右的下界。

下一章会把“每个非空且有上界的实数集合都有上确界”写成严格的完备性原理，并用它证明存在性。现在先别混淆三个词：上界可以很多个，最大值必须被集合取到，上确界是全部上界中最小的那个。

稠密不等于没有缺口

有理数 $\mathbb{Q}$ 在实数中很密：任何开区间里都有有理数。无理数也同样密。因此在数轴上随便放大一个小区间，都会同时看到这两类数。

可密并不能填补完备性的缺口。以

为例，它有许多有理数成员，如 $1,7/5,141/100$；也有有理上界，如 $2$。它想逼近的边界是 $\sqrt2$，但 $\sqrt2\notin\mathbb{Q}$。所以“每个小区间都有有理数”不能推出“有理数中每个有界集合都有上确界”。这正是实数比有理数多出的保证。

无穷远不是一个普通实数

我们有时写 $n\to+\infty$，这描述的是指标没有上界地增大；它不表示 $n$ 最后取到了一个名为 $\infty$ 的实数。为了简化某些表述，人们会在实数之外添加 $+\infty$ 与 $-\infty$ 作为扩充记号，但不能因此把一切四则运算都当成有意义。例如

都没有由符号本身确定的值。微积分里把它们叫作未定式，是因为不同的具体函数或数列可以产生完全不同的结果；以后遇到它们，仍要回到原表达式做分析。

带着什么进入下一章

到这里，你不必已经能熟练写出每一种证明。更实际的目标是形成一套会反复使用的动作：先分清对象和定义域，再读量词顺序；先由计算提出猜想，再用定义或定理验证；若一句话看上去过于顺手，就主动寻找它遗漏的条件和反例。

下一章会把这里预告的实数地基展开。我们将区分有界、最大值与上确界，认真解释为什么有理数的稠密无法补上 $\sqrt2$ 的缺口，并把“逼近过程有落点”变成可用于证明的完备性原理。等这些地基放稳之后，数列极限中的 $N$ 为什么总能找到、连续性为何能推出全局结论，才有可靠的落脚处。

小练习

练习 1：设

把 $U$ 写成开区间，并判断 $-1$、$0$、$2$ 是否属于 $U$。

练习 2：比较下列两个句子，并判断真伪：

练习 3：证明数列

趋向 $5$。

练习 4：说明下面的推理为什么不能证明“对所有 $n\in\mathbb{N}$，$n^2+n$ 是偶数”：

已知 $n^2+n$ 是偶数。于是 $(n+1)^2+(n+1)=n^2+n+2n+2$ 也是偶数。所以结论成立。

然后把它改成完整的归纳证明。

练习 5：令 $S=(-4,1)$。分别指出一个上界、最大值（若有）、上确界、一个下界、最小值（若有）和下确界，并说明理由。

因此对每个正误差都存在一个尾部起点 $N$，使得所有 $n\ge N$ 的项都落在 $5$ 的误差范围内，故 $d_n\to5$。

第一部分 $n^2+n$ 是偶数，第二部分 $2n+2$ 也是偶数，和仍为偶数，故 $P(n+1)$ 成立。由归纳法，$P(n)$ 对全部 $n\in\mathbb{N}$ 成立。