函数极限

上一章把“附近”翻译成了邻域、聚点和删去邻域。现在终于可以把这套语言用在微积分里最熟悉、也最容易被说得含糊的一句话上：当 $x$ 越来越靠近 $a$ 时，$f(x)$ 越来越靠近 $L$。

这句话在计算课里很好用，却留下了几个逃不过去的问题：什么叫“越来越近”？只从左边靠近算不算？函数在 $a$ 处没有定义，极限还能不能谈？本章要做的不是推翻你原来的直觉，而是给它装上一把刻度尺。以后每次说“趋近”，我们都能明确写出需要控制什么、谁先提出要求、谁负责回应。

本章只讨论实变量的实值函数。你将学会用 $\varepsilon$–$\delta$ 语言证明极限，判断左右极限、无穷远处的极限和无穷极限，使用运算法则与夹逼定理，并借助数列找到那些看图很难说清的“不存在”。

从数列的尾部走到函数的邻域

先回忆数列极限。说 $a_n\to L$，意思是：不管别人把允许误差 $\varepsilon>0$ 压得多小，我们总能找一个整数 $N$；从第 $N$ 项起，所有后续项都满足

这里“足够靠后”由 $n\ge N$ 表示。数列的输入只有 $1,2,3,\ldots$，所以只要守住尾部就够了。

函数没有“下一项”。当我们研究 $x$ 靠近 $a$ 时，输入可以从左边来、右边来，也可以沿着各种零碎的集合靠近。因此，数列里的“从某项以后”必须换成一句几何上的要求：让 $x$ 落进以 $a$ 为中心、半径为 $\delta$ 的小邻域。

设 $E\subset\mathbb{R}$，$f:E\to\mathbb{R}$，并且 $a$ 是 $E$ 的聚点。后一个条件排除了“附近根本没有可供比较的定义域点”的空话。我们说

当且仅当：对任意 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得对每个 $x\in E$，只要

就有

当定义域和语境已经清楚时，通常简写为

一场可以无限加码的较量

这串量词第一次读起来很像密码。把它读成一场较量会顺得多。

有人先报出一个输出端的要求：“我只允许 $f(x)$ 和 $L$ 相差不到 $0.01$。”这就是他选择的 $\varepsilon$。你不能挑一个自己喜欢的宽松标准；对方可以把要求改成 $10^{-8}$，也可以再小。

你的任务是回应：“行。只要你把 $x$ 控制在离 $a$ 不到某个距离 $\delta$ 的地方，我保证输出误差满足你的要求。”这个 $\delta$ 可以随着 $\varepsilon$ 改变。要求越苛刻，允许的输入范围往往越窄，这很正常。

真正关键的是出场顺序：先给 $\varepsilon$，再选 $\delta$，最后才让任意满足条件的 $x$ 接受检验。若先看见某个具体 $x$，再临时为它挑一个 $\delta$，就没有控制住邻域里的所有点；那不是极限定义。

为什么要删去中心点

条件中的 $0<|x-a|$ 不是排版细节。它告诉我们，极限观察的是 $a$ 附近的函数行为，故意不看 $x=a$ 这一点。于是 $f(a)$ 可以没有定义，也可以被赋成一个和 $L$ 完全不同的数。

例如，定义

当 $x\ne2$ 时可以约去因子，得到 $h(x)=x+2$。因此，当 $x$ 靠近 $2$ 而不等于 $2$ 时， 靠近 。原来的规则在 处没有定义，并不妨碍

你还可以另设 $h(2)=-10$；邻近点的计算没有变化，极限仍是 $4$。下一章会利用这个区别来解释连续性：在那里，函数在点上的实际值才会被拿来和极限对账。

极限不会有两个答案

同一个函数在同一种趋近方式下不可能同时趋近两个不同实数。这个结论看似当然，证明却很能说明 $\varepsilon$–$\delta$ 语言的力量。

假设 $f(x)$ 在 $x\to a$ 时既趋近 $L$ 又趋近 $K$，并且 $L\ne K$。令

两个极限承诺各给出一个半径 $\delta_L,\delta_K$。取较小者，$\delta=\min\{\delta_L,\delta_K\}$。由于 是定义域的聚点，我们能选到某个 满足 。这个同一个函数值必须同时落在 和 的两个误差带里，于是

这不可能。所以一旦极限存在，候选值只能有一个。

例题：把误差一路传回输入端

证明

线性函数里，误差恰好是 $|x-a|$ 的常数倍。更常见的麻烦是，误差中还混进一个看上去会变动的因子。

例题：先把多余因子关进小范围

证明

误差分解为

不能直接说 $|x+2|$ 很小；当 $x$ 靠近 $2$ 时，它反而接近 $4$。我们要的只是先给它一个固定上界。要求 $|x-2|<1$ 时，便有 $$，从而 。于是只要再让 ，就能得到所需误差。

取

若 $0<|x-2|<\delta$，第一个限制保证 $|x+2|<5$，第二个限制保证

这种“先用一个固定半径控制旁边因子，再用含 $\varepsilon$ 的半径控制真正的小量”的做法，以后会反复出现。

从左、从右，以及定义域的边缘

双侧极限默认允许 $x$ 从 $a$ 的两边靠近。若定义域在 $a$ 的一侧没有足够近的点，或者问题刻意只关心一侧，就必须把方向写出来。

设 $E$ 在 $a$ 左边有任意靠近 $a$ 的点，且 $f$ 在那些点上有意义。左极限

表示：对每个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $x\in E$ 且

时，有 $|f(x)-L|<\varepsilon$。右极限

则把输入条件改成

右极限还要求 $E$ 在 $a$ 右边有任意靠近 $a$ 的点。这里同样只看删去中心点；$f(a)$ 本身不参与左极限或右极限的定义。

双侧极限的判别

当定义域在 $a$ 两侧都有任意靠近的点时，

当且仅当

必要性很好理解：双侧邻域里的所有点都合格，当然左半边和右半边也都合格。反过来，给定一个 $\varepsilon$，左右极限分别给出 $\delta_-$ 与 $\delta_+$；取两者较小值后，无论 $x$ 落在左边还是右边，误差都小于 $\varepsilon$。

例如，对 $x\ne1$ 定义

左侧靠近时，$p(x)$ 趋近 $3$；右侧靠近时，$p(x)$ 趋近 $2$。两边给出的答案不同，因此

不存在。这里即使补写一个 $p(1)$，也无法让双侧极限出现；问题不是中心点漏了一个数，而是两边的邻近行为彼此冲突。

相反，若把右侧规则改成 $x+2$，两侧都趋近 $3$。无论此时把 $p(1)$ 定义成什么，双侧极限都会是 $3$。

走向无穷远时，阈值代替半径

当 $x\to+\infty$，我们不再围着某个有限点缩小邻域，而是把输入不断推向数轴右端。这里先假定定义域 $E$ 在上方无界；否则“所有足够大的定义域点”根本不存在，条件会变成空话。说

是指：对任意 $\varepsilon>0$，存在一个实数 $M$，使得对所有定义域中的 $x$，只要

就有

若 $x\to-\infty$，则要求 $E$ 在下方无界，并把输入条件改成 $x<M$。这和数列的 $\varepsilon$–$N$ 定义几乎是同一件事：数列要求编号越过门槛 $N$，函数要求实数输入越过门槛 。

例题：一个有理函数在远处的行为

证明

不要只写“最高次项相除得到 $5$”。那是计算规律的压缩写法；用定义检验时，先把差算出来：

当 $x>1$ 时，$x+4>x>0$，所以

给定 $\varepsilon>0$，取

若 $x>M$，便有 $22/x<\varepsilon$，从而函数值与 $5$ 的距离小于 $\varepsilon$。这证明了极限。

函数值冲向无穷，不等于有限极限

“函数越来越大”也需要精确定义。若对任意实数门槛 $B>0$，都能找到 $\delta>0$，使得每个定义域中的 $x$ 一旦满足

就有

我们写作

把最后一个不等式换成 $f(x)<-B$，便是 $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$。一侧和无穷远处的版本完全类似：保留相应的输入方向，把“任意大的门槛 $B$”放在输出端。

这里的 $+\infty$ 不是一个实数。通常说“极限存在”时，本课程指的是存在有限实数极限；若要把 $+\infty$ 或 $-\infty$ 也算进讨论，必须明确说是在扩充的意义下讨论。

例题：证明无穷极限

证明

任取一个门槛 $B>0$。令

只要 $0<|x-3|<\delta$，平方后得到 $(x-3)^2<1/B$，因而

这正是定义要求。它也说明为什么该函数在 $3$ 处没有有限实数极限：函数值可以超过任何高的门槛，不可能被压进某个固定实数 $L$ 周围的误差带。

方向不能省略。例如

左右行为不一致，所以 $1/x$ 在 $0$ 处没有双侧极限；即使允许无穷符号，也不能把 $+\infty$ 和 $-\infty$ 当作同一个答案。

运算法则是有条件的许可

设 $f,g:E\to\mathbb{R}$ 在 $a$ 附近有定义，并且

那么有限极限满足

以及

商法则还多一个不能删掉的条件：若 $B\ne0$，则在 $a$ 的某个删去邻域里 $g(x)$ 也不为零，且

为什么 $B\ne0$ 能保证附近分母不为零？对 $g$ 的极限定义取误差 $|B|/2$。当 $x$ 足够靠近 $a$ 时，

由三角不等式可得

这一步不是繁琐的补充，而是商式在附近真的有意义的保证。

这些法则可以从 $\varepsilon$–$\delta$ 定义逐条推出。证明乘积时，通常先利用 $f(x)\to A$ 得到 $f(x)$ 在 $a$ 附近有界，再分解

你会再次看到“先做局部控制，再分配误差”的结构。

例题：可以直接代入的情形

求

恒等函数和常数函数在每一点都有预期的极限。分子、分母由有限次加法与乘法组成，因此可分别代入；分母的极限为 $2^2+1=5\ne0$，商法则可用。于是

若直接代入使分母极限为 $0$，法则失效，但结论尚未确定。它可能是一个可以约去的缺口，例如

此时极限是 $6$；也可能函数值无界，或者没有极限。$0/0$ 是“还需要继续分析”的信号，不是答案。

夹逼：振荡并不一定会毁掉极限

有时我们看不出中间函数会怎样靠近目标，却能给它套上两个会合的边界。设当 $x\in E$ 且 $0<|x-a|$ 足够小时，

并且

那么

证明很短。给定 $\varepsilon>0$，让 $x$ 同时足够靠近 $a$，以至于 $u(x)>L-\varepsilon$ 且 $v(x)<L+\varepsilon$。中间的 被迫满足

也就是 $|f(x)-L|<\varepsilon$。

例题：振幅被压扁的振荡

证明

在 $x\ne0$ 时，$-1\le\cos(2/x)\le1$。由于 $x^4\ge0$，乘上 不会改变不等号方向：

两边都在 $x\to0$ 时趋近 $0$，所以夹逼定理给出原极限为 $0$。

这里 $\cos(2/x)$ 在 $0$ 附近并没有安静下来，反而越振越快。极限存在的原因是前面的 $x^4$ 把每次振荡的高度压得任意小。判断极限时，别只问“有没有振荡”，还要问“振幅有没有被压到零”。

用数列检查所有靠近路径

函数极限和前面学过的数列极限之间有一条很实用的桥。设 $a$ 是 $E$ 的聚点，$f:E\to\mathbb{R}$。那么

当且仅当：对每一列满足

的数列，都有

它把“邻域里所有足够近的点”翻译成“所有可能逼近 $a$ 的点列”。注意是每一列，不是找一列顺眼的数列验算即可。

这个判别法为什么可靠

若函数极限等于 $L$，任取一列 $x_n\to a$ 且 $x_n\ne a$。给定 ，函数极限先给出一个 ；数列收敛再给出一个 ，使得 时 。由于每项又都不等于 ，函数极限的条件可以直接使用，得到

所以函数值列收敛到 $L$。

反过来，若函数极限不等于 $L$，那么存在某个固定的 $\varepsilon_0>0$，无论把邻域半径缩得多小，总能找到一个定义域点 $x$，满足

却有

现在对每个 $n\in\mathbb{N}$，把 $\delta$ 取成 $1/n$，选出这样的 $x_n$。于是 $0<|x_n-a|<1/n$，所以 ；但 永远离 至少 ，不可能收敛到 。这说明只要所有靠近的数列都给出同一个结果，函数极限就确实存在。

例题：两条路径足以推翻极限

证明

不存在。

取

分母都趋于 $+\infty$，所以 $r_n\to0$、$s_n\to0$，并且各项均不为 $0$。但是

而

同一个输入目标点，沿两条都合法的路径，却得到两个不同的函数值极限。若双侧函数极限存在，所有路径都必须给出同一个答案；矛盾。因此原极限不存在。

不存在要说清楚是哪一种失败

“图像很乱”不是证明。遇到极限不存在时，通常有三条可检验的路线。

第一，左右极限不同。对

有 $q(x)=1$（$x>0$）而 $q(x)=-1$（$x<0$）。因此左右极限不同，双侧极限不存在。

第二，构造两条数列路径。刚才的 $\sin(1/x)$ 就属于这一类。它在两侧都剧烈振荡，直接比左右极限反而不如两条专门挑出的路径清楚。

第三，证明它不能有有限极限。若 $1/(x-3)^2$ 在 $3$ 处趋近某个有限 $L$，那么取误差 $1$ 后，函数值最终应被困在 $L-1$ 与 之间；可它会超过任意大的门槛。这个矛盾说明没有有限极限。进一步用上一节的定义，我们还能给出更准确的结论：它趋于 。

解题时怎样把定义落到纸上

面对一个具体极限，先别急着把符号套进公式。可以按下面的顺序检查。

练习 1：一行定义证明

证明

练习 2：缺口不影响邻近极限

用 $\varepsilon$–$\delta$ 定义证明

练习 3：左右极限能否接上

对 $x\ne0$ 定义

判断 $\lim_{x\to0}r(x)$ 是否存在。

练习 4：无穷远处的阈值

证明

练习 5：用两条路径否定极限

用序列判别法证明

不存在。

函数极限到这里已经有了完整的局部语言：删去邻域告诉我们忽略中心点，左右极限告诉我们方向不能含混，数列判别法则把所有靠近方式放到同一张检查表上。下一章只多加一条要求：如果函数在中心点也有定义，而且这个实际值恰好等于邻近极限，我们就称它在该点连续。

因此 $\lim_{x\to-1}(3x+5)=2$。

任取 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon$。若 $0<|x-2|<\delta$，则分式有定义，且

故极限为 $5$。分式在 $x=2$ 处没有定义，正是条件 $0<|x-2|$ 发挥作用的地方。

当 $x\to0^+$ 时，使用右侧规则 $x^2+2$，所以

两侧极限存在且相等，故 $\lim_{x\to0}r(x)=2$。题目没有给 $r(0)$，这不影响结论；若另设 $r(0)$，极限仍为 $2$。

取

若 $x>M$，则 $x+2>x>0$，于是

所以极限为 $4$。

两列都趋于 $0$，各项也都不等于 $0$。但是

而

函数值沿两条趋于同一点的数列分别趋于 $1$ 和 $-1$，不可能有同一个函数极限。因此原极限不存在。