数列极限的严格定义

上一章里，单调有界数列会收敛这件事已经出现过。可那时“收敛”还像一个熟悉的结论：项越来越靠近某个数，于是把它当作极限。现在要把这句直觉拆开，逐字说清楚。因为只要开始写证明，“越来越靠近”就立刻会追问你两件事：靠近到什么程度？从第几项以后，能一直保持这个程度？

数列极限回答的正是这两个问题。它不要求前几项好看，也不要求每一项都朝一个方向移动；它只要求无论别人把误差要求压得多小，我们都能找到一道门槛，保证门槛后每一项都合格。这种把直觉翻译成可检验语句的能力，会贯穿后面的函数极限、连续性和积分。

数列只看排队次序，也特别看尾部

本章中，数列是定义在

上的实值函数。写作 $(a_n)$ 时，$a_n$ 是第 $n$ 项；把它展开，就是

下标只记录项的顺序。它不承诺数列单调，也不承诺项值互不相同。例如

给出一列正数，逐项变小；而

在 $-1$ 与 $1$ 之间来回。还有些数列前几项故意设得很乱，例如令 $c_1=1000$、$c_2=-40$，而从第三项起令 。它与 的极限行为完全一样。

原因很朴素：极限讨论的是尾部。改动有限多个项，至多把“从哪一项以后”的门槛往后推，绝不会改变门槛后无穷多项的整体表现。反过来，哪怕一个数列有无限多项偶尔很接近目标，只要它还会无限次跑远，它也不能收敛。

把“越来越接近”变成一场误差较量

微积分里常说“当 $n$ 越来越大，$a_n$ 越来越接近 $L$”。这句话适合先建立画面，但它没有交代“接近”的标准是谁定的。若有人要求误差小于 $0.1$，你或许能回答；若他把要求改为 $10^{-20}$，原来的说法没有说明你是否仍然接得住。

严格定义把这件事看成一场可以反复进行的较量。对方先报出任意一个正误差 $\varepsilon$；你看着这个要求选择一个正整数 $N$；之后他无论拿出哪个 $n\ge N$，你都必须能证明 $a_n$ 与 $L$ 的距离小于 $\varepsilon$。只赢一轮不够，任何正误差都必须能应对。

设 $(a_n)$ 是实数数列，$L\in\mathbb{R}$。若

就称 $(a_n)$ 收敛到 $L$，记为

或简写为 $a_n\to L$。绝对值把“距离”写成一个数；不等式 $|a_n-L|<\varepsilon$ 表示第 $n$ 项落在开区间 内。

量词的顺序不能交换

定义里最值得慢下来读的是顺序：

$N$ 可以依赖 $\varepsilon$。要求越苛刻，通常需要把门槛推得越远；这正是合理的。可是 $N$ 不能再依赖后来挑出的某一个 $n$。一旦 $N$ 定下，尾部的每一项都要受它约束。

如果把顺序错写成“存在一个固定的 $N$，对每个 $\varepsilon>0$ 都成立”，要求会强得离谱。以 $a_n=1/n$ 为例，任何固定的 $N$ 都管不住 $n=N$ 这一项：只要取

就有 $1/N\not<\varepsilon$。所以 $1/n$ 的门槛必须随误差变化；它没有犯规，恰好说明原定义的依赖关系是必要的。

例题：从误差倒推门槛

证明

给定任意 $\varepsilon>0$。我们需要的是

因为 $3/(n+2)<3/n$，只要安排 $3/n<\varepsilon$ 就够了。取任意满足

的自然数。若 $n\ge N$，则

这正好完成定义中的三层要求。注意 $N$ 写成 $\lceil3/\varepsilon\rceil+1$ 也可以；证明需要的是严格不等式，因而在取整后多加 $1$ 最省心。

例题：看起来复杂的式子，误差可能很短

证明

不能只说“分子分母最高次项之比是 $7/2$”就停下。那是一个有用的计算经验，但严格证明要说明误差怎样被压小。直接计算：

给定 $\varepsilon>0$，取自然数 $N$ 满足

当 $n\ge N$ 时，便有

所以极限是 $7/2$。你会发现，真正要找的不是“极限长什么样”，而是把候选极限减掉后能否留下一个容易控制的尾项。

一个数列只能有一个有限极限

“同一列数能不能既靠近 $A$，又靠近另一个 $B$？”如果 $A$ 与 $B$ 不同，答案是否定的。因为可以把误差带收紧到两者之间的间隔小得装不下同一个尾项。

极限唯一性

若 $a_n\to A$ 且 $a_n\to B$，那么

为证明这一点，假设 $A\ne B$，并记

把误差取为 $d/4$。由 $a_n\to A$，存在 $N_1$，使得 $n\ge N_1$ 时

由 $a_n\to B$，存在 $N_2$，使得 $n\ge N_2$ 时

选

这样一个 $n\ge N$ 同时落在两条误差带里。三角不等式给出

这不可能。因此 $A=B$。这里取最大门槛是极限证明里的常用动作：不同条件各自从某处开始成立，就把起点取到所有条件之后。

收敛会带来哪些尾部约束

收敛并不要求项从头到尾都规整，但它会强迫尾部待在目标附近。这首先给出一个常被误用、却很有力的必要条件。

收敛数列必有界

若 $a_n\to L\in\mathbb{R}$，则存在 $M>0$，使得对所有 $n\in\mathbb{N}$ 都有

证明只需把定义中的误差固定取成 $1$。存在 $N$，使得 $n\ge N$ 时

因此尾部满足

前面的 $a_1,\ldots,a_{N-1}$ 只有有限项。令 $M$ 为 $1+|L|$ 与这些前项绝对值中的最大者；若 ，就只取 。这个 同时管住整个数列。

这条定理常用来排除有限极限。例如 $a_n=n^2$ 无界，所以它不可能收敛到任何实数。可是不要把箭头倒过来：

始终满足 $|a_n|=1$，仍然不收敛。有界只说数列没有逃走，没有说它会在某一点安下来。

极限会保留最终成立的不等式

还有一条很自然的原则。若从某一项以后都有 $a_n\ge c$，并且 $a_n\to L$，那么必有 $L\ge c$。否则若 ，令

那么充分靠后的项会满足 $a_n<L+\varepsilon=(L+c)/2<c$，与 $a_n\ge c$ 矛盾。类似地，若最终有 ，则 。

这解释了为什么极限证明里可以使用“最终的”上下界：前项的例外不会改变结论，关键是例外不能无限重复。

极限法则不是代入技巧

设

其中 $A,B\in\mathbb{R}$。下面的法则都成立：

若 $B\ne0$，那么 $b_n$ 从某一项以后确实不为零，并且

这些结论看上去像“把 $n$ 换成无穷大后直接运算”。那样记忆很方便，证明却靠的是误差拆分与共同门槛；尤其乘法和除法，还要先控制一个原本会跟着 $n$ 变化的因子。

加法：把误差份额分给两列

给定 $\varepsilon>0$。由 $a_n\to A$，存在 $N_1$ 使

当 $n\ge N_1$ 时成立；由 $b_n\to B$，存在 $N_2$ 使

当 $n\ge N_2$ 时成立。令 $N=\max\{N_1,N_2\}$。对于每个 ，

所以和数列收敛到 $A+B$。减法与常数倍只是在同一估计里换了符号或常数；当 $c\ne0$ 时，可以把对 $|a_n-A|$ 的要求定为小于 ，而 时数列恒为 。

乘法：先把一个会变的系数固定住

乘法的误差可拆成

由于 $(b_n)$ 收敛，它有界。取某个 $M>0$ 使 $|b_n|\le M$ 对所有 都成立，再令

给定 $\varepsilon>0$，分别选择 $N_1,N_2$，使得

以及

令 $N=\max\{N_1,N_2\}$。当 $n\ge N$，

有界性在这里不是装饰。若没有它，$|b_n|$ 可能把本来很小的 $|a_n-A|$ 再放大，估计便无法闭合。

除法：分母极限非零，才有最终安全距离

若 $b_n\to B\ne0$，先令

从某个 $N_0$ 起，$|b_n-B|<|B|/2$。反三角不等式给出

对所有 $n\ge N_0$ 成立。因此分母并不是凭空假定“最终非零”，而是由非零极限推出来的。接着

在足够靠后的项成立，所以 $1/b_n\to1/B$；再和 $a_n\to A$ 相乘即可得到商法则。

例题：先拆成已知的尾项

求

将分子、分母各除以 $n^2$：

已经由定义知道 $1/n\to0$；乘法法则给出 $1/n^2\to0$。于是分子趋于 $5$，分母趋于 $1$，且分母极限非零，因此原数列的极限为

这种算法并没有跳过证明：它把一次长证明压缩成已证明的法则的组合。真正需要停下来的地方，是分母极限为 $0$ 或式子不能被这些法则直接覆盖的时候。

夹逼：不用算出中间项，也能控制它

有时 $y_n$ 的精确误差不好算，但它被两列可控数列夹住。若存在 $N_0$，使得对所有 $n\ge N_0$ 都有

而且

那么

证明仍然是共同门槛。给定 $\varepsilon>0$，选 $N_1$ 使 $x_n>L-\varepsilon$，选 使 ，再取

当 $n\ge N$ 时，

这就是说 $|y_n-L|<\varepsilon$。夹逼并不要求不等式从第一项就成立；“最终夹住”已经足够。

例题：振荡可以存在，振幅必须消失

考虑

因为 $-1\le\cos(n^2)\le1$ 且 $3n+1>0$，

左右两列都趋于 $0$，所以夹逼定理给出

余弦部分仍在振荡；收敛的不是“振荡停止了”，而是它所能造成的偏离被分母压到任意小。把它与 $(-1)^n$ 对比，差别不在有没有上下跳动，而在跳动幅度是否趋于零。

不收敛和趋于无穷，必须分开说

如果没有任何 $L\in\mathbb{R}$ 使 $a_n\to L$，就说 $(a_n)$ 在实数意义下发散。发散不是一种单一画面：数列可能在有限范围内来回跳，也可能越走越大，还可能正负两边都越跳越远。

否定定义时，固定误差要站在最前面

“$a_n$ 不收敛到 $L$”并不是笼统地说“它看起来不靠近”。把收敛定义逐层否定，得到

顺序很关键：必须先找一个固定的正数 $\varepsilon_0$，以后不管门槛被推到哪里，都能在尾部找到一项离 $L$ 至少这么远。如果每次失败时才临时换一个越来越小的误差，并不能否定收敛。

例题：有界振荡为什么仍然发散

令

它当然有界，但我们要证明它对任意候选 $L$ 都不收敛。数 $2$ 与 $-1$ 的距离是 $3$，所以它们不可能同时与 $L$ 的距离都小于 $3/2$；否则三角不等式会给出

矛盾。因此在 $2$ 与 $-1$ 中，至少有一个与 $L$ 的距离不小于 $3/2$。无论 $N$ 多大，$N$ 之后总有偶数下标，也总有奇数下标；选取对应的那种项，就得到

且 $n\ge N$。这正是上面的否定定义，故该数列不收敛。

趋于 $+\infty$ 或 $-\infty$ 不叫有限收敛

写作

的意思是：对每个实数 $H$，存在 $N\in\mathbb{N}$，使得所有 $n\ge N$ 都有

同理，$a_n\to-\infty$ 的意思是：对每个实数 $H$，存在 $N$，使得 $n\ge N$ 时 $a_n<H$。这里的 不是一个小误差，它是一条任意高或任意低的水平线。 和 不是实数，因此本章的“收敛数列”仍只指收敛到有限实数的数列。

例如，令

给定任意 $H\in\mathbb{R}$，取自然数 $N$ 满足

当 $n\ge N$ 时，$n-5\ge n/2$，故

所以 $u_n\to+\infty$。另一方面，$v_n=-2n+1$ 趋于 $-\mathrm{\infty }$：给定 ，只要选 ，就有 对所有 成立。

数列 $(-1)^n n$ 则是另一种情形。它既不会最终超过每一条高水平线，因为奇数项很小；也不会最终低于每一条低水平线，因为偶数项很大。它发散，却不趋于 $+\infty$ 或 $-\infty$。

几个会把直觉带偏的命题

实分析里的反例通常不奇怪，它们只是把一句不完整的话推到极限。下面几条都很容易被口头直觉误导。

有界不推出收敛

前面的 $2,-1,2,-1,\ldots$ 始终落在 $[-1,2]$ 中，却没有共同归宿。一个有限区间只是围栏，不是终点。

有无限多项接近 $L$，不推出收敛到 $L$

令

$r_{k^2}=0$ 有无限多项，说明它会反复碰到 $0$；但在每个平方数之后，$k^2+1$ 不是平方数，且 。所以无论把门槛推多远，尾部仍有离 距离为 的项， 不收敛到 。数 和 在尾部都反复出现；对任意候选 ，它们不可能同时与 的距离小于 ，再用同一固定误差论证，便知该数列实际上不收敛到任何实数。

乘积趋于零，不强迫每个因子都趋于零

令

每一项都有 $p_nq_n=0$，故乘积数列趋于 $0$；但 $p_n$ 与 都在 、 之间交替，谁也不趋于 。极限法则能从两个已知极限推出乘积极限，不能把这个推理倒过来。

练习：把量词写成完整证明

先尝试自己确定门槛，再展开答案核对。练习中的解答会反复使用同一个结构，但不要因此省略“给定任意 $\varepsilon$”“取 $N$”和“任意 $n\ge N$”这些连接处。

练习一

用定义证明

练习二

用定义证明

练习三

用极限法则求

练习四

用夹逼定理证明

练习五

证明下列数列不收敛到任何实数：

练习六

用趋于无穷的定义证明

从“靠近一个终点”走向“尾部彼此靠近”

到这里，判断 $a_n\to L$ 仍有一个现实困难：往往要先猜到 $L$。下一章会把视线从“项到极限的距离”转向“尾部两项之间的距离”。它会正式讨论子列，以及下面这个 Cauchy 条件：

它的直觉是：即使暂时不知道终点在哪里，尾部的项也应当越挤越紧。实数的完备性会在下一章说明，为什么这种“彼此接近”最终足以保证存在一个实数终点；在本章，我们先把 epsilon–N 的语言练扎实，才有能力检查这条更深的判据。

取自然数 $N$ 满足 $N>7/(3\varepsilon)$。对任意 $n\ge N$，

因此该数列收敛到 $3$。

因此数列收敛到 $0$。这里符号始终交替，但绝对误差被 $4/(n+1)$ 控制，而这个控制量趋于零。

由 $1/n\to0$ 及乘法法则，$1/n^2\to0$。因此分子趋于 $2$，分母趋于 $1$，分母极限非零。商法则给出

左右两列都趋于 $0$。由夹逼定理，中间数列也趋于 $0$。

矛盾。因此 $|2-L|$ 与 $|-1-L|$ 至少有一个不小于 $3/2$。

给定任意门槛 $N$，可以取 $k$ 足够大使 $k^2\ge N$，此时 $w_{k^2}=2$；也可以让 $k^2+1\ge N$，且 $k^2+1$ 严格介于 $k^2$ 和 $(k+1)^2$ 之间，故不是平方数，$w_{k^2+1}=-1$。无论上述哪一个值与 $L$ 的距离至少为 $3/2$，我们都能在门槛后选到对应项。于是

满足“不收敛到 $L$”的否定定义。$L$ 是任意的，故 $(w_n)$ 不收敛到任何实数。

若 $n\ge N$，则 $n-3\ge n/2$，从而

所以对每条实水平线 $H$，数列从某一项以后都在其上方。因此 $n^2-3n\to+\infty$。