Riemann 积分 I：分割、上和下和与可积性

满足

它把 $[a,b]$ 切成 $n$ 个小区间

记每段长度为

分割的网格大小，也叫范数，定义为最长小区间的长度：

网格大小小，表示没有哪一段被切得太粗。注意这比“分割点很多”更精确：如果一边切得很细、另一边留下一个很长的小区间，分割点数量很多也不一定有好的逼近效果。

若分割 $Q$ 包含 $P$ 的所有点，也就是 $P\subseteq Q$，则称 $Q$ 是 $P$ 的加细。加细只是在已有切法中继续插入点，不会删除原来的分割点。

上和与下和

设 $f$ 是定义在 $[a,b]$ 上的有界函数。对分割 $P=\{x_0,\dots,x_n\}$，在第 $i$ 个小区间上定义

因为 $f$ 有界，每个 $M_i$ 与 $m_i$ 都是实数。上和与下和分别定义为

上和用每段上的最高可能高度做矩形，下和用每段上的最低可能高度做矩形。无论函数在中间如何波动，总有

上和与下和的差距可以写成

这里的 $M_i-m_i$ 是函数在第 $i$ 个小区间上的振幅。可积性的本质就是：能否找到分割，使所有小区间的“振幅乘长度”加起来任意小。

加细如何改变上下和

加细分割会让下和不下降，让上和不上升。更准确地说，如果 $Q$ 是 $P$ 的加细，那么

这是 Darboux 理论最重要的单调性。只要理解一段被切成两段的情形，结论就很自然：在更小的区间上取上确界，高度不会比原大区间的上确界更高；在更小的区间上取下确界，高度不会比原大区间的下确界更低。

证明可以从插入一个新点开始。设原来某段是 $[\alpha,\beta]$，加入点 $c$ 后变成 $[\alpha,c]$ 与 $[c,\beta]$。原区间上的上确界记为 $M$，两个新区间上的上确界记为 $M_1,M_2$。由于两个新区间都包含在原区间中，

于是该段对上和的贡献从

变为

下和的证明同理，只是把上确界换成下确界，不等号方向反过来。连续插入有限多个新点，就得到一般加细结论。

Darboux 上下积分

对所有分割取下和的上确界，得到下积分：

对所有分割取上和的下确界，得到上积分：

任意下和都不超过任意上和。也就是说，对任意两个分割 $P,Q$，都有

证明时可取共同加细 $R=P\cup Q$。由加细单调性，

因此下积分总不超过上积分：

若二者相等，就称 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Darboux 可积，并把共同的值记作

Riemann 可积性的判别

闭区间上的有界函数 $f$ Riemann 可积，当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，存在分割 $P$，使得

这个判别是本章最重要的句子。它把“上下积分相等”翻译成一个可操作的目标：给定任何误差容忍度，找一把足够好的刀，把区间切到上下矩形的总差距小于这个误差。

Riemann 和的视角

Darboux 上下和没有选择取样点，只看每段的最高和最低可能值。Riemann 和则在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 中选取一个点 $t_i$，再取矩形高度 $f(t_i)$：

由于

所以任意 Riemann 和都被对应的下和与上和夹住：

因此如果上下和差距能任意小，那么所有足够细、足够好的 Riemann 和也会被迫靠近同一个数。Darboux 定义与常见的 Riemann 取样点定义在闭区间上的有界函数情形下等价；本章采用 Darboux 语言，是因为它更直接地展示了可积性的“上下逼近一致”。

可积函数必须有界

在本章的 Darboux 定义中，上和与下和要用到每段上的上确界和下确界，所以我们直接从有界函数开始。若采用取样点式 Riemann 定义，也可以证明 Riemann 可积函数必有界。

直观理由是：如果函数在某个闭区间内无界，那么无论分割怎样选，总有某个小区间里函数值可以冲到任意高或任意低。只要在这个小区间里把取样点选到极端位置，Riemann 和就会被拉得任意大或任意小，不可能所有足够细的 Riemann 和都趋向同一个有限数。

连续函数可积

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。由闭区间上的一致连续性，对任意 $\eta>0$，存在 $\delta>0$，只要

就有

取分割 $P$ 使 $\|P\|<\delta$。那么在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 内，任意两点距离都小于 $\delta$，函数值相差小于 $\eta$。因此该小区间上的振幅满足

于是

给定 $\varepsilon>0$，令

便可得到

所以 $f$ Riemann 可积。

这个证明把前几章的结果串了起来：闭区间紧性给出一致连续性，一致连续性给出小区间振幅控制，振幅控制给出上下和差距控制，最后 Darboux 判别给出可积性。

单调函数可积

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调递增。单调递减情形类似。因为单调函数在闭区间上有界，且对每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$，

因此

若取等分分割，每段长度都是

则

中间项望远镜相消，得到

给定 $\varepsilon>0$，只要取足够大的 $n$，使

就有 $U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$。所以单调递增函数 Riemann 可积。

单调函数可以有跳跃间断，所以它不一定连续。这个定理说明：Riemann 积分容许某些间断，只要这些间断造成的上下矩形总误差仍然可以被切分控制。

反例：Dirichlet 函数

定义

在任意非退化小区间内，有理数和无理数都稠密。因此每个小区间上的上确界都是 $1$，下确界都是 $0$。于是对任意分割 $P$，

所以

永远无法小于任意给定的正误差。Dirichlet 函数有界，却不可 Riemann 积分。

小结

本章建立了 Riemann 积分的第一层严格结构。分割把闭区间切成小段，上和与下和从两侧夹住函数，Darboux 上下积分记录所有分割所能达到的最佳下界与上界。可积性等价于：对任意 $\varepsilon>0$，存在分割 $P$，使

连续函数可积，因为一致连续性让小区间振幅统一变小。单调函数可积，因为总误差可以由区间长度和端点高度差控制。Dirichlet 函数不可积，因为每个小区间上的振幅始终为 $1$，上下逼近无法一致靠拢。

练习

1. 设 $f(x)=x$，在 $[0,1]$ 上取等分分割 $P_n=\{0,1/n,\dots,1\}$。计算 $U(P_n,f)$、$L(P_n,f)$ 和二者差。

2. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，且存在分割 $P$ 使 $U(P,f)=L(P,f)$。证明 $f$ 在每个由 $P$ 给出的小区间上都是常值函数。

3. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，并且 $f(x)\ge 0$。只用本章定义解释为什么每个下和都不大于 $\int_a^b f$，每个上和都不小于 $\int_a^b f$。