Riemann 积分 I：分割、上和下和与可积性

上一章的中值定理告诉我们：函数在一小段区间里如何变化，可以由某个点的导数控制。积分把问题换了一个方向。它不再问“这一点变化多快”，而是问“从 $a$ 走到 $b$，这些局部高度累计起来是多少”。

微积分课上，我们常把它叫作“曲线下的面积”。对一条平滑、始终在 $x$ 轴上方的曲线，这个说法很有帮助：把底边切细，拿窄矩形去填，矩形面积之和似乎会越来越接近图形的面积。但这里藏着两个还没说明白的问题。函数如果有负值，谈的已不是普通面积，而是带符号的累计量；更关键的是，每个小矩形该取左端、右端还是中点的高度？若不同取法在分割再细之后仍能给出不同答案，“面积”这个直觉就没有替我们定义任何东西。

所以本章的目标不是给熟悉的积分公式换一套符号，而是把“切得足够细以后答案稳定”说成一条可以检验的数学陈述。它也会告诉我们：什么函数可以被这样累计，什么函数即使有界也会在任何尺度上持续捣乱。

从矩形近似到带标记的 Riemann 和

先固定一个闭区间 $[a,b]$，其中 $a<b$，并令 $f:[a,b]\to\mathbb R$。一个分割是有限点列

它把区间切成

分割够不够细，不能只数分割点的个数。你完全可以在左边塞进一百个点，却把右边留下一段很长的区间；这时“矩形很多”并没有解决右边的粗糙误差。我们真正控制的是最宽的小段，称为分割的网格：

在每一段 $I_i$ 中任选一个标记点 $\xi_i\in I_i$，对应的带标记 Riemann 和是

如果 $f\ge0$，每一项就是一个窄矩形的面积；如果 $f<0$，它就是一个向下的有向面积。这个符号约定不是小事：定积分保留了正负抵消的信息，几何面积则要在合适条件下再由 $\int |f|$ 描述。

量词决定“稳定”到底有多强

我们称 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，当且仅当存在一个实数 $I$，使得

对每一个分割 $P$ 及其每一种标记点选择都成立。此时记

把这句话按顺序读一遍会很有用。对方先给出任意苛刻的误差 $\varepsilon$；我们必须先交出一个统一的网格门槛 $\delta$；之后对方可以挑任何网格小于 $\delta$ 的分割，也可以在每个小段里任意挑标记点。所有这些和都得落在 $I$ 的 $\varepsilon$ 邻域内。定义要求的不是“我能找到一串分割让答案看上去收敛”，而是“只要最粗的小段足够短，任何取样都逃不出同一个答案”。

这个 $I$ 不可能有两个。若 $I,J$ 都满足定义，给定 $\varepsilon>0$，取二者对应的门槛中较小者，再任选一个网格更小的分割及一组标记点，就有

由于 $\varepsilon$ 可以任意小，$I=J$。因此“积分值”是定义逼出来的唯一数，不是先靠图形猜到再补一句证明的数。

例题：任意取样仍会收敛的线性函数

证明 $f(x)=2x+1$ 在 $[0,2]$ 上可积，并求其积分。这里不许只取中点；每一段的标记点都可以任意选。

为什么无界函数立刻出局

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，它一定有界。理由和“任意标记点”有关。假设积分定义对误差 $1$ 给出某个 $\delta>0$，取一个网格小于 $\delta$ 的固定分割。若 $f$ 无界，有限个小区间中至少有一个小区间上的函数值无界。先把其余小区间的标记点固定，再在这一个小区间里移动标记点；由于该段长度是正数， 可以把整个 Riemann 和推到任意远处。这与所有 Riemann 和都必须离积分值不足 矛盾。

这里的结论只说“可积必有界”。反过来不成立；后面会看到一个只取 $0$ 和 $1$ 的函数，仍然完全不可积。

上和、下和与两侧夹逼

直接用 Riemann 和证明存在性常常很别扭：你得先猜中目标 $I$，再处理所有标记点。Darboux 的办法更像一场不必猜终点的对账：每个小区间上干脆把可能的最低高度和最高高度都算进去，让它们从下、上两侧夹住一切取样结果。

从这里起，$f$ 都是 $[a,b]$ 上的有界函数。对分割 $P$ 的第 $i$ 段，定义

有界性保证这些是有限实数；它们未必在区间内取到。定义下和与上和：

每一种标记选择都满足

而且这个夹逼是最紧的。比如给定 $\eta>0$，按上确界的定义，可在每段选 $\xi_i^+$，使

对应 Riemann 和大于 $U(P,f)-\eta$。因此 $U(P,f)$ 是同一分割全部 Riemann 和的上确界；同理，$L(P,f)$ 是它们的下确界。即使函数没有达到最高点，我们也总能把取样和逼近上和。

上和与下和的差有一个很直白的写法：

括号里的 $M_i-m_i$ 是函数在第 $i$ 段的振幅。可积性的实质不在于某几个矩形画得好看，而在于能否把这些“振幅乘宽度”的总和压到任意小。

加细只会收紧夹逼

若分割 $Q$ 包含 $P$ 的全部分割点，称 $Q$ 是 $P$ 的加细，记作 $P\subseteq Q$。它只是把原有小段继续切开，不会改掉旧的切口。

如果 $Q$ 加细 $P$，那么

证明不需要图形直觉。把原来的一段 $I=[u,v]$ 切成若干段 $J_1,\ldots,J_k$。每个 $$，所以

将第一个不等式分别乘以 $|J_j|$ 并相加，得到加细后这一整段贡献的上和不超过原贡献；对下确界做同样的事，方向相反。把每一段的结果相加，便得到全区间的四个不等式。

这里有个容易误会的地方：加细并不保证上和和下和已经很接近。它只保证上和不会变坏、下和不会变坏。要证明可积，我们还得找到某些真正能把差距压小的分割。

所有下和与所有上和之间没有交叉

令 $P,Q$ 是任意两个分割，取它们所有分割点的并集 $R=P\cup Q$。这是二者的共同加细，因此

特别地，任意一个下和都不超过任意一个上和。这正好允许我们把所有可能的下和和上和分别压缩为两个数：

前者叫下积分，后者叫上积分，且永远有 $I_*(f)\le I^*(f)$。若它们相等，就称 $f$ 在 $[a,b]$ 上 ，共同值记为 。

这一定义也解释了“面积”该怎样被严肃地使用：对于非负函数，任何合理的累计量都必须不小于每个下和且不大于每个上和。只有两边最终夹到同一个数，才有一个不依赖分割的值可称为面积；若两边留着正的缝隙，我们就不假装已经定义出了一个值。

可积性判据与两种定义的会合

对有界函数，最常用的判据是

右边只要求“找到一把好刀”，看起来比 Riemann 定义宽松；真正的内容是，加细和有界性会把这把好刀的力量传递给所有足够细的分割。

先证明它与上下积分相等是同一件事。若 $I_*(f)=I^*(f)=I$，给定 $\varepsilon>0$，可以找 ，使

取共同加细 $P=P_1\cup P_2$，加细单调性给出

反过来，若某个 $P$ 已使差小于 $\varepsilon$，则

从而 $0\le I^*(f)-I_*(f)<\varepsilon$。这对任意正误差成立，两个积分只能相等。

为什么这也保证任意取样的 Riemann 和

两种说法确实等价。下面把最容易被略过的统一控制补出来。

先设 $|f(x)|\le B$，并已有一个好分割 $P_0$，使 $U(P_0,f)-L(P_0,f)<\varepsilon/3$。设 有 个内部切点。若把 个点插入另一个分割 ，每插入一个点，至多把某一段的上和减少 ，把下和增加同样的量；连续插入后有

原因是同一小段上函数值始终落在 $[-B,B]$，高度最多相差 $2B$，而每次被切开的段长至多为 $\lVert P\rVert$。取 $\lVert P\rVert$ 足够小，再利用 $P\cup P_0$ 同时是 的加细，就能得到

任意 Riemann 和夹在这两个数之间，便都靠近共同的上下积分。反方向也成立：若所有足够细分割的任意 Riemann 和都靠近 $I$，就在同一个分割中分别选取近似上确界和近似下确界的标记点。两种取样和都靠近 $I$，就迫使 $U(P,f)-L(P,f)$ 很小。这里不能直接声称“上和一定能取到”；我们用“任意接近上确界或下确界”的标记点即可。

因此，闭区间有界函数的 Riemann 可积性与 Darboux 可积性完全相同。之后我们会更多使用上下和判据，因为它不需要预先猜出积分值。

例题：用上下和算出平方函数的积分

令 $P_n=\{0,1/n,2/n,\ldots,1\}$，研究 $f(x)=x^2$ 在 上的上下和。它单调递增，所以每段的下确界在左端、上确界在右端。

两者之差尤其干净：

它趋于 $0$，而上下和都趋于 $1/3$，故

这里并没有把反导数公式当前提；积分值是先由上下夹逼确定的。下一章会解释为什么它恰好与 $x^3/3$ 的端点差相同。

哪些函数能把振幅压下去

连续函数可积

连续函数在闭区间上可积。关键不是笼统地说“曲线很平滑”，而是第 11 章得到的一致连续性：给定 $\eta>0$，存在 $\delta>0$，使任意 $x,y\in[a,b]$ 满足 $|x-y|<\delta$ 时，都有 。

给定 $\varepsilon>0$，取 $\eta=\varepsilon/[2(b-a)]$，再取网格小于对应 $\delta$ 的分割。每个小区间内任意两点的函数值之差都小于 $\eta$，故

于是

可积性判据立即适用。请留意证明的形状：我们需要的是同一个 $\delta$ 同时控制区间内所有小段的振幅；只知道“每一点各自连续”，却没有闭区间与一致连续性这层保证，论证就还没有完成。

单调函数也可积，哪怕它会跳

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调不减。它自动有界，并且对任意分割，

所以

右边随网格趋于 $0$，故 $f$ 可积。单调不增时对 $-f$ 使用同一论证即可。

这揭开一个重要边界：连续性足以保证可积，但不是必要条件。阶跃函数在跳点处不连续，仍然可积；它的麻烦可以被压进很短的几个小区间，误差不会铺满整个区间。

有限个坏点可以被隔离

更一般地，若有界函数在 $[a,b]$ 上除了有限个点外都连续，它仍可积。取一个正数 $B$，使 $|f|\le B$，把这些不连续点各用一个很短的开区间盖住，并使这些小区间长度总和小于 $\varepsilon/(4B)$。在这些“坏区间”里，振幅至多为 $2B$，对上下和差的总贡献小于 。

删去坏区间后，剩下有限个闭区间；函数在每一段上连续，因而可统一控制振幅。把这些好区间再切细，使它们贡献的上下和差小于 $\varepsilon/2$，并把所有覆盖端点都放入分割。合起来便有 $U-L<\varepsilon$。这个证明的策略很实用：少数局部毛刺不必被消灭，只要能关进总宽度足够小的盒子里，它们的总影响就会消失。

例题：一个点被改掉，积分不跟着跳

在 $[0,1]$ 上定义

它在 $1/3$ 处不连续。给定 $\varepsilon>0$，取 $h>0$，使 $10h<\varepsilon$ 且 $h<1/3$，并使用分割

除去中间那一段，函数恒为 $0$；中间段长度为 $2h$，上确界为 $5$、下确界为 $0$。因此

所以 $g$ 可积。又每个下和都是 $0$，故下积分为 $0$；上积分也能任意接近 $0$，从而

这个结论不是说“不连续没有影响”，而是说一个孤立点没有宽度。Riemann 积分累计的是高度乘区间长度；把有限个点的函数值改得再大，只要仍是有限实数，也不会改变积分。

反例：有界仍然可能完全不可积

定义 $D:[a,b]\to\mathbb R$：

它只取 $0$ 和 $1$，有界得不能再有界。可是在每一个非退化小区间里，既有有理数也有无理数。因此不管分割怎样选，每一段都满足

于是

上下和的差永远是 $b-a$，不可能缩到任意小。$D$ 不可 Riemann 积分。

反过来，“有无穷多个不连续点”也不能单独判死刑。比如在 $[0,1]$ 上令 $t(x)=0$（当 $x$ 无理），并在既约分数 $p/q$ 处令 $t(p/q)=1/q$。给定 ，先取 使 。分母小于 的既约分数在 内只有有限个；用总长度小于 的小区间把它们全部盖住。覆盖外的有理点函数值至多为 ，无理点函数值为 ，故可选分割使上和小于 。每段都有无理数，所以下和始终为 ，从而 可积且积分为 。

这两个例子放在一起，才看得出真正的判据在问什么：不是间断点“有几个”，而是函数的剧烈振荡能不能被集中到总宽度很小的区域内。更精细的完全刻画需要后续理论；本章只把能够直接用上下和证明的边界讲清楚。

练习

1. 设 $f(x)=3x-2$，在 $[0,1]$ 上取等分分割 $P_n=\{0,1/n,\ldots,1\}$。求 、，并由此求积分。

2. 在 $[0,1]$ 上令 $h(1/2)=4$，其余点 $h(x)=0$。只用上下和判据证明 $h$ 可积，并求积分。

3. 用上下和判据证明前文的 $D(x)=\mathbf 1_{\mathbb Q}(x)$ 在任意非退化闭区间 $[a,b]$ 上不可积。

4. 设 $|f(x)|\le B$，其中 $B>0$，而分割 $P_0$ 有 $r\ge1$ 个内部切点，且 。证明：若

则 $U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$。

5. 定义 $s(0)=0$，并对 $0<x\le1$ 定义 $s(x)=\sin(1/x)$。证明 $s$ 在 上可积，不必求积分值。

走向积分规则与基本定理

现在我们已经能精确地说“积分存在”：所有足够细、任意取样的和趋向同一个数；等价地，上和与下和可以被压得任意接近。连续函数、单调函数以及有限处不连续的有界函数都通过了这道检验，而有理数和无理数在每一小段里持续混杂的函数没有通过。

下一章不再重新定义积分，而是研究这个已经存在的数如何运算：为什么积分保留加法和比较，怎样拆分区间，以及为什么连续函数的变上限积分在相应点可导。到那时，微积分基本定理才会以带着完整条件的形式出现，而不只是“积分和求导互相抵消”的口号。

因此

上下和都趋于 $-1/2$，所以

结果为负并不矛盾：$[0,2/3]$ 上的负贡献超过了 $[2/3,1]$ 上的正贡献。

只有中间小区间包含 $1/2$。其上确界为 $4$、下确界为 $0$，长度为 $2r$；另外两段上下确界都为 $0$。所以

由判据，$h$ 可积。每个小区间都含有函数值 $0$ 的点，故每个下和为 $0$；下积分为 $0$，于是

故

取任意 $0<\varepsilon<b-a$，没有任何分割能使差小于 $\varepsilon$。可积性判据失败，所以 $D$ 不可积。

另一方面，$Q$ 加细 $P_0$，所以 $U(Q,f)\le U(P_0,f)$、$L(Q,f)\ge L(P_0,f)$。相加得到

这正是“一个好分割”能够控制所有足够细分割的定量版本。

在 $[c,1]$ 上，$s(x)=\sin(1/x)$ 连续。由连续函数可积，可取该区间的一个分割，使上下和差小于 $\varepsilon/2$。把这个分割与点 $c$ 合并，便得到 $[0,1]$ 的分割，且总差小于 $\varepsilon$。因此 $s$ Riemann 可积。

函数在 $0$ 附近无限振荡，但这些振荡被关在长度可以任意缩小的区间里；这和每个小区间都振荡的 $D$ 完全不同。