导数的定义、法则与局部线性化

导数在微积分里常被当作一张公式表：多项式怎么求，乘积怎么求，复合函数怎么求。实分析要做的事不同。我们从极限定义重新建造导数，弄清楚每条法则为什么成立，也弄清楚它们需要哪些假设。

这一章只研究实函数在一点附近的可导性。设函数 $f$ 在包含 $c$ 的某个邻域内有定义，至少在 $c$ 附近除 $c$ 外也能取值。导数讨论的是当 $x$ 越来越靠近 $c$ 时，函数增量和自变量增量之间的比值有没有稳定下来。

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差商极限

在点 $c$ 附近，割线斜率是

$$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$

其中 $x\neq c$。如果这个比值在 $x\to c$ 时有极限，我们把这个极限称为 $f$ 在 $c$ 处的导数，记作 $f'(c)$：

$$f'(c)=\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$

也常把 $x$ 写成 $c+h$。这时 $h\to 0$ 且 $h\neq 0$，定义变成

$$f'(c)=\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$$

两个形式完全等价。$x$ 形式强调“移动点向固定点靠近”，$h$ 形式强调“增量趋向零”。证明中通常用 $h$ 形式更方便，讨论图像时用 $x$ 形式更直观。

下面的交互把 $h$ 作为可调参数。留意 $|x|$ 在 $0$ 处的表现：左右两边的割线斜率分别趋向不同的数，所以差商没有极限。

从定义证明简单函数可导

证明 $f(x)=x^2$ 在任意 $c\in\mathbb{R}$ 处可导，不需要求导表，只需要整理差商：

$$\frac{f(c+h)-f(c)}{h} =\frac{(c+h)^2-c^2}{h} =\frac{2ch+h^2}{h} =2c+h$$

当 $h\to 0$ 时，$2c+h\to 2c$，所以

$$f'(c)=2c$$

同样，若 $f(x)=ax+b$，则

$$\frac{f(c+h)-f(c)}{h} =\frac{a(c+h)+b-(ac+b)}{h} =a$$

因此 $f'(c)=a$。这说明直线函数的导数就是它的固定斜率。

不可导的典型信号

函数 $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处连续，但不可导。它的差商是

$$\frac{|0+h|-|0|}{h}=\frac{|h|}{h}$$

当 $h>0$ 时这个比值等于 $1$，当 $h<0$ 时等于 $-1$。左右极限不同，所以导数不存在。

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可导与连续

可导比连续强。直观上，若函数在 $c$ 附近能被一条斜率有限的直线捕捉，它不可能在 $c$ 处突然跳开。严格证明也很短，但它揭示了导数定义里最重要的结构。

定理与证明

若 $f$ 在 $c$ 处可导，则 $f$ 在 $c$ 处连续。

这证明了 $f$ 在 $c$ 处连续。

注意证明没有使用图像，也没有使用任何求导公式。它只用到了“差商有有限极限”这一件事。反过来不成立：连续函数未必可导，$|x|$ 在 $0$ 处就是最小反例。

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求导法则从哪里来

求导法则不是独立记忆项。每条法则都来自差商的代数拆分，再用已经学过的函数极限法则收尾。下面把最常用的几条法则从定义中推出来。

线性法则

若 $f$ 和 $g$ 在 $c$ 处可导，$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$，则 $\alpha f+\beta g$ 在 $c$ 处可导，且

$$(\alpha f+\beta g)'(c)=\alpha f'(c)+\beta g'(c)$$

证明直接来自差商：

$$\frac{(\alpha f+\beta g)(c+h)-(\alpha f+\beta g)(c)}{h} =\alpha\frac{f(c+h)-f(c)}{h} +\beta\frac{g(c+h)-g(c)}{h}$$

两项分别取极限即可。

乘积法则

若 $f$ 和 $g$ 在 $c$ 处可导，则 $fg$ 在 $c$ 处可导，且

$$(fg)'(c)=f'(c)g(c)+f(c)g'(c)$$

乘积法则的关键是加上再减去同一项：

$$\frac{f(c+h)g(c+h)-f(c)g(c)}{h}$$ $$=\frac{f(c+h)g(c+h)-f(c)g(c+h)+f(c)g(c+h)-f(c)g(c)}{h}$$ $$=g(c+h)\frac{f(c+h)-f(c)}{h} +f(c)\frac{g(c+h)-g(c)}{h}$$

因为可导推出连续，所以 $g(c+h)\to g(c)$。再令 $h\to 0$，得到乘积法则。

图里的小矩形 $\Delta f\,\Delta g$ 对应“二阶小量”。在严格证明中它没有被随手扔掉，而是通过差商拆分和极限运算自然消失。

倒数与商法则

若 $g$ 在 $c$ 处可导且 $g(c)\neq 0$，则 $1/g$ 在 $c$ 处可导。先看差商：

$$\frac{\frac{1}{g(c+h)}-\frac{1}{g(c)}}{h} =-\frac{g(c+h)-g(c)}{h}\cdot\frac{1}{g(c+h)g(c)}$$

因为 $g$ 在 $c$ 处连续且 $g(c)\neq 0$，所以 $h$ 足够小时 $g(c+h)$ 不为 $0$，并且 $g(c+h)\to g(c)$。于是

$$\left(\frac{1}{g}\right)'(c)=-\frac{g'(c)}{g(c)^2}$$

把乘积法则应用到 $f\cdot(1/g)$，得到商法则：

$$\left(\frac{f}{g}\right)'(c) =\frac{f'(c)g(c)-f(c)g'(c)}{g(c)^2}$$

用法则计算，但记得它们的来源

例如 $p(x)=3x^3-2x+5$。已经从定义知道 $x^2$ 的导数，也可以类似证明 $x^n$ 的导数为 $nx^{n-1}$。结合线性法则，得到

$$p'(x)=9x^2-2$$

实分析中，计算不是目标本身。我们更关心的是：这些公式之所以可靠，是因为差商极限与连续性、代数拆分配合得很好。

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链式法则的严格讨论

链式法则说，若 $g$ 在 $c$ 处可导，$f$ 在 $g(c)$ 处可导，则复合函数 $f\circ g$ 在 $c$ 处可导，且

$$(f\circ g)'(c)=f'(g(c))g'(c)$$

直觉上，$x$ 的小变化先经过 $g$ 变成 $u$ 的小变化，再经过 $f$ 变成函数值的变化。变化率相乘，就是复合函数的变化率。

常见但不严谨的写法

很多人会写

$$\frac{f(g(x))-f(g(c))}{x-c} =\frac{f(g(x))-f(g(c))}{g(x)-g(c)} \cdot \frac{g(x)-g(c)}{x-c}$$

然后让 $x\to c$。这个想法是对的，但写法有漏洞：可能存在许多 $x\neq c$ 使 $g(x)=g(c)$，此时第一项分母为 $0$，不能直接这样拆。

严格证明要避免这个漏洞。

用辅助函数证明

令 $u_0=g(c)$。因为 $f$ 在 $u_0$ 处可导，定义辅助函数

$$\Phi(u)= \begin{cases} \dfrac{f(u)-f(u_0)}{u-u_0}, & u\neq u_0,\\ f'(u_0), & u=u_0. \end{cases}$$

由导数定义可知，$\Phi$ 在 $u_0$ 处连续。并且对所有靠近 $u_0$ 的 $u$，都有

$$f(u)-f(u_0)=\Phi(u)(u-u_0)$$

把 $u=g(x)$ 代入：

$$f(g(x))-f(g(c))=\Phi(g(x))(g(x)-g(c))$$

当 $x\neq c$ 时除以 $x-c$：

$$\frac{f(g(x))-f(g(c))}{x-c} =\Phi(g(x))\frac{g(x)-g(c)}{x-c}$$

因为 $g$ 在 $c$ 处可导，所以 $g$ 在 $c$ 处连续，故 $g(x)\to g(c)=u_0$。又因为 $\Phi$ 在 $u_0$ 处连续，

$$\Phi(g(x))\to \Phi(u_0)=f'(u_0)=f'(g(c))$$

同时

$$\frac{g(x)-g(c)}{x-c}\to g'(c)$$

两者相乘，得到链式法则。

下面的交互把这个证明拆成可移动的逻辑块。重点不是背公式，而是看见“内层变化先有线性近似，外层变化再吃掉这个近似”的顺序。

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高阶导数

如果 $f$ 在一个区间上可导，那么 $f'$ 本身也是一个函数。若 $f'$ 在 $c$ 处可导，就称 $f$ 在 $c$ 处二阶可导，并记

$$f''(c)=(f')'(c)$$

继续下去，可以定义三阶导数、四阶导数和一般的 $n$ 阶导数：

$$f^{(n)}=(f^{(n-1)})'$$

其中 $f^{(0)}=f$。

一阶导数描述函数值的瞬时变化率。二阶导数描述一阶导数的变化率，也就是斜率怎样变化。若 $f''(c)>0$，通常表示在 $c$ 附近斜率正在增加；若 $f''(c)<0$，通常表示斜率正在减少。严格的凹凸性质会在后续中值定理和 Taylor 估计中进一步讨论。

例子

设

$$f(x)=x^4-3x^2$$

则

$$f'(x)=4x^3-6x$$

并且

$$f''(x)=12x^2-6$$

在 $x=0$ 处，$f''(0)=-6$，说明一阶导数在 $0$ 附近以负方向变化。图像上这对应函数在 $0$ 附近向下弯。

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局部线性化

导数最有力量的解释是局部线性化。若 $f$ 在 $c$ 处可导，那么

$$L(x)=f(c)+f'(c)(x-c)$$

是 $f$ 在 $c$ 附近的一阶线性近似。更精确地说，存在误差函数 $r(x)$，使得

$$f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+r(x)$$

并且

$$\lim_{x\to c}\frac{r(x)}{x-c}=0$$

这句话比“曲线看起来像切线”更严格。它说误差不仅趋于 $0$，而且误差相对于 $|x-c|$ 还要更小。

可导性的等价说法

下面的命题经常比差商定义更好用：$f$ 在 $c$ 处可导，当且仅当存在实数 $A$ 和误差函数 $r$，使

$$f(c+h)=f(c)+Ah+r(h)$$

且

$$\lim_{h\to 0}\frac{r(h)}{h}=0$$

这时 $A=f'(c)$。

从导数定义出发，取

$$r(h)=f(c+h)-f(c)-f'(c)h$$

则

$$\frac{r(h)}{h} =\frac{f(c+h)-f(c)}{h}-f'(c)\to 0$$

反过来，如果有这样的表示，则

$$\frac{f(c+h)-f(c)}{h} =A+\frac{r(h)}{h}\to A$$

所以 $f'(c)=A$。

误差视角的价值

差商定义告诉我们“斜率极限存在”。局部线性化告诉我们“函数在足够小的尺度下等于线性部分加上更小的误差”。很多后续定理都会沿着这个想法展开：中值定理把局部斜率和整体增量联系起来，Taylor 定理则把一次线性化推广为高阶多项式近似。

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证明练习

练习的重点不是算得快，而是把每个结论放回定义。遇到求导公式时，先问：这个公式来自哪一个差商拆分？

练习：三次函数

用定义证明 $f(x)=x^3$ 在任意 $c$ 处可导，并求 $f'(c)$。

显示答案

从差商开始：

$$\frac{(c+h)^3-c^3}{h} =\frac{3c^2h+3ch^2+h^3}{h} =3c^2+3ch+h^2$$

令 $h\to 0$，得到

$$f'(c)=3c^2$$

练习：连续但不可导

证明 $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处连续，但在 $0$ 处不可导。

显示答案

连续性来自

$$\lim_{x\to 0}|x|=0=|0|$$

不可导性来自差商

$$\frac{|h|-0}{h}$$

当 $h>0$ 时等于 $1$，当 $h<0$ 时等于 $-1$。左右极限不同，所以导数不存在。

练习：乘积法则的一个应用

已知 $f$ 和 $g$ 在 $c$ 处可导，且 $f(c)=0$。证明

$$(fg)'(c)=f'(c)g(c)$$

显示答案

由乘积法则，

$$(fg)'(c)=f'(c)g(c)+f(c)g'(c)$$

因为 $f(c)=0$，第二项为 $0$，所以

$$(fg)'(c)=f'(c)g(c)$$

也可以直接从差商证明：

$$\frac{f(c+h)g(c+h)-f(c)g(c)}{h} =g(c+h)\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$$

再用 $g(c+h)\to g(c)$。

练习：链式法则的特殊情形

设 $g(c)=0$，$g$ 在 $c$ 处可导，$f(u)=u^2$。用定义证明 $(f\circ g)'(c)=0$。

显示答案

因为 $f(g(x))=g(x)^2$，所以

$$\frac{f(g(c+h))-f(g(c))}{h} =\frac{g(c+h)^2-g(c)^2}{h}$$

由 $g(c)=0$，上式为

$$g(c+h)\frac{g(c+h)-g(c)}{h}$$

可导推出连续，因此 $g(c+h)\to g(c)=0$；同时差商趋于 $g'(c)$。乘积极限为 $0$。

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本章小结

导数的定义是差商极限：

$$f'(c)=\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$$

一旦这个极限存在，函数在该点必定连续。求导法则来自差商的代数拆分；乘积法则需要用到可导推出连续，商法则还需要分母在研究点不为零。链式法则的严格证明最好使用辅助函数，避免在 $g(x)=g(c)$ 时出现非法除法。

局部线性化把导数理解为最佳一阶近似：

$$f(c+h)=f(c)+f'(c)h+r(h)$$

其中

$$\frac{r(h)}{h}\to 0$$

这会成为后续中值定理、Taylor 估计和误差分析的入口。