导数的定义、法则与局部线性化

上一章里，我们用紧性把连续函数的局部信息拼成了闭区间上的全局结论：能取到极值，能把逐点连续统一起来。导数回到另一个尺度。它不先问函数在整个区间上走了多远，而是盯住一个点附近极小的一步：自变量挪动一点点时，函数值到底怎样响应？

微积分课里，求导常常像一张公式表：见到幂函数、乘积、复合函数，就挑相应公式。那些公式当然有用，但它们不是导数的定义。实分析要补上的，是公式背后的承诺：为什么一个“瞬时变化率”确实存在，为什么相乘时会多出两项，为什么复合时可以相乘，以及“曲线像一条直线”究竟精确到什么程度。

这一章只讨论实变量实函数。设 $f:D\to\mathbb{R}$，$c\in D$ 是定义域中的内点；在通常的区间情形，这意味着 $c$ 左右都有一小段定义域可用。端点处的情形要改用单侧导数，后面会单独说清楚。

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从割线到差商极限

取 $c$ 附近另一个点 $x\ne c$。连接图像上的 $(c,f(c))$ 与 $(x,f(x))$，割线的斜率是

$$\frac{f(x)-f(c)}{x-c}.$$

这个数也是从 $c$ 到 $x$ 这一小段的平均变化率。若 $f(t)$ 记录位置、$t$ 记录时间，它就是该时间段的平均速度。把 $x$ 不断推向 $c$，我们不是在“代入 $x=c$”——那会得到 ，什么也没说——而是在问这些平均斜率会不会稳定地靠向一个有限实数。

若存在实数 $A$，使得

$$\lim_{\substack{x\to c\\x\in D,\ x\ne c}} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=A,$$

就称 $f$ 在 $c$ 可导，并把 $A$ 记为 $f'(c)$。这里的极限仍是严格极限：对每个 $\varepsilon>0$，都要找到 $$，使得只要 且

$$0<|x-c|<\delta,$$

就有

$$\left|\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-A\right|<\varepsilon.$$

把 $x$ 写成 $c+h$，其中 $h$ 是自变量的增量，定义成为更常用的形式：

$$f'(c)=\lim_{\substack{h\to0\\c+h\in D,\ h\ne0}} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}.$$

以后见到 $h\to0$，要同时记住 $c+h$ 必须落在定义域中。这个小条件在定义域有端点、缺口或分段时尤其不能省略。

先从定义算一次

设

$$p(x)=2x^2-3x+1.$$

我们不调用任何求导法则，直接在任意 $c\in\mathbb{R}$ 处整理差商：

$$\begin{aligned} \frac{p(c+h)-p(c)}{h} &=\frac{2(c+h)^2-3(c+h)+1-(2c^2-3c+1)}{h}\\ &=\frac{(4c-3)h+2h^2}{h}\\ &=4c-3+2h. \end{aligned}$$

当 $h\to0$，最后一式趋于 $4c-3$，因此

$$p'(c)=4c-3.$$

这段计算里真正发生的事是：先把分子里的 $h$ 提出来，再取极限。不能把原来的 $h=0$ 直接代进分式；分母为零的式子从来不是导数本身。

同样的机制给出幂函数法则。对正整数 $n$，因式分解

$$x^n-c^n=(x-c)\sum_{j=0}^{n-1}x^{n-1-j}c^j$$

说明

$$\frac{x^n-c^n}{x-c}=\sum_{j=0}^{n-1}x^{n-1-j}c^j.$$

让 $x\to c$ 后，右侧每一项都趋于 $c^{n-1}$，一共 $n$ 项，于是

$$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}.$$

这条熟悉的公式并不是从表格里掉下来的；它只是差商极限与一个代数恒等式配合后的结果。

双侧导数与单侧导数

在内点谈普通导数时，$h$ 要从正、负两边靠近 $0$。因此，下面两个极限都存在且相等，才有双侧导数：

$$f'_+(c)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}, \qquad f'_-(c)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}.$$

例如 $q(x)=|x-2|$ 在 $2$ 处连续，但

$$\frac{q(2+h)-q(2)}{h}=\frac{|h|}{h} = \begin{cases} 1,&h>0,\\ -1,&h<0. \end{cases}$$

右导数为 $1$，左导数为 $-1$。它们没有达成同一个数，所以 $q'(2)$ 不存在。这里“有尖点”只是帮助你猜测答案的图像语言；真正排除可导性的，是两个差商极限不同。

若函数只定义在 $[a,b]$ 上，端点 $a$ 的左边和端点 $b$ 的右边根本没有函数值可比较。此时可定义

$$f'_+(a)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \qquad f'_-(b)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(b+h)-f(b)}{h}.$$

它们分别是右端和左端的变化率，不能自动叫作双侧导数。以后说函数在闭区间 $[a,b]$ 上可导，通常约定为：在 $(a,b)$ 内双侧可导，并且 $f'_+(a)$ 与 $f_{-}^{\mathrm{\prime }}($ 存在。

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导数意味着什么：局部的一次模型

导数的斜率解释很直观，却还没有说清函数值本身如何接近一条直线。要把这件事说严谨，设 $f'(c)=A$，并对足够小且非零的 $h$ 定义

$$E(h)=\frac{f(c+h)-f(c)}{h}-A,$$

再令 $E(0)=0$。导数的定义恰好是

$$\lim_{h\to0}E(h)=0.$$

把定义式移项并乘回 $h$，得到一个在 $h=0$ 也成立的等式：

$$f(c+h)=f(c)+Ah+hE(h).$$

前两项是通过 $(c,f(c))$、斜率为 $A$ 的直线给出的函数值；最后一项才是函数与这条直线之间的差。

可导必连续

现在可以不靠图像，直接证明一个基本结论：若 $f$ 在 $c$ 处可导，则 $f$ 在 $c$ 处连续。

因为 $E(h)\to0$，当 $h$ 足够小时可以保证 $|E(h)|<1$。于是

$$|A+E(h)|\le |A|+1.$$

由局部表示式，

$$|f(c+h)-f(c)|=|h|\,|A+E(h)|\le (|A|+1)|h|.$$

右端随 $h\to0$ 趋于 $0$，所以

$$\lim_{h\to0}f(c+h)=f(c).$$

这就是连续性。证明的方向不能倒过来：可导先给出差商的有限极限，有限极限使局部变化最多是“常数乘以 $|h|$”的量级，因此函数值不能突然跳开。

反方向不成立。刚才的 $|x-2|$ 在 $2$ 处连续，却因左右变化率不同而不可导。连续性只要求函数值最后能回到 $f(c)$；可导性还要求它回去的一级变化模式能被同一个斜率描述。

导数本身不必连续

“$f$ 可导”也不表示“$f'$ 很平滑”。定义

$$r(x)= \begin{cases} x^2\sin\dfrac{1}{x},&x\ne0,\\ 0,&x=0. \end{cases}$$

在 $0$ 处，差商为

$$\frac{r(h)-r(0)}{h}=h\sin\frac{1}{h},$$

它被 $|h|$ 控制，故极限为 $0$，即 $r'(0)=0$。而在 $x\ne0$ 处，普通求导给出

$$r'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}.$$

当 $x\to0$ 时，第二项不断振荡，$r'(x)$ 没有极限。因此 $r$ 在 $0$ 可导，$r'$ 却在 不连续。后面提到二阶导数或连续可导时，每多加一层，都要重新检查条件。

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求导法则是怎样拆出来的

求导法则的作用是避免每次都从零展开差商，但使用它们前最好知道每一条拆开了什么。下文所有结论都是在同一点 $c$ 处说的，且提到的函数都在 $c$ 的某个邻域内有定义。

线性组合

若 $f,g$ 在 $c$ 处可导，$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$，则 $\alpha f+\beta g$ 也在 $c$ 处可导，并且

$$(\alpha f+\beta g)'(c)=\alpha f'(c)+\beta g'(c).$$

原因没有隐藏项：

$$\frac{(\alpha f+\beta g)(c+h)-(\alpha f+\beta g)(c)}{h} =\alpha\frac{f(c+h)-f(c)}{h} +\beta\frac{g(c+h)-g(c)}{h}.$$

右边两项分别有极限，所以极限的线性法则给出结论。常数函数的导数为 $0$，常数倍法则和加减法则都是这一式的特殊情况。

乘积法则

设 $f,g$ 都在 $c$ 处可导。我们希望处理

$$\frac{f(c+h)g(c+h)-f(c)g(c)}{h}.$$

分子不能直接分成两个差；关键是有意识地加上再减去 $f(c)g(c+h)$：

$$\begin{aligned} &f(c+h)g(c+h)-f(c)g(c)\\ ={}&g(c+h)\bigl(f(c+h)-f(c)\bigr) +f(c)\bigl(g(c+h)-g(c)\bigr). \end{aligned}$$

除以 $h$ 后，

$$\frac{(fg)(c+h)-(fg)(c)}{h} =g(c+h)\frac{f(c+h)-f(c)}{h} +f(c)\frac{g(c+h)-g(c)}{h}.$$

此处不能把 $g(c+h)$ 粗暴换成 $g(c)$，但我们已经证明“可导推出连续”，故 $g(c+h)\to g(c)$。两项取极限后得到

$$(fg)'(c)=f'(c)g(c)+f(c)g'(c).$$

这也解释了乘积法则为什么有两项：一个因子的变化要乘另一个因子的当前值，两种分配都存在。证明中真正用到的前提是两个函数都可导；其中 $g$ 的可导性同时提供了 $g'$ 和 $g$ 的连续性。

倒数与商

若 $g$ 在 $c$ 处可导且

$$g(c)\ne0,$$

那么 $g$ 在 $c$ 处连续。因而当 $h$ 足够小时，$g(c+h)$ 仍不为零：例如先让 $|g(c+h)-g(c)|<|g(c)|/2$，就有 。这一步保证倒数在研究点附近真的有定义。

于是

$$\frac{\frac{1}{g(c+h)}-\frac{1}{g(c)}}{h} =-\frac{g(c+h)-g(c)}{h} \cdot\frac{1}{g(c+h)g(c)}.$$

令 $h\to0$，可得

$$\left(\frac{1}{g}\right)'(c)=-\frac{g'(c)}{g(c)^2}.$$

再将乘积法则用于 $f\cdot(1/g)$，便得到

$$\left(\frac{f}{g}\right)'(c) =\frac{f'(c)g(c)-f(c)g'(c)}{g(c)^2}.$$

分母条件不能只写成“公式里的分母别写零”。它同时保证 $f/g$ 在 $c$ 附近有意义，保证上面的差商可写，也保证极限中的倒数可以取极限。

一个法则计算的检查

考虑

$$s(x)=\frac{x^2+1}{x+2}.$$

在 $c=1$ 处，分母值是 $3$，所以分母条件成立。分子 $u(x)=x^2+1$ 满足 $u(1)=2$、；分母 满足 、。商法则给出

$$s'(1)=\frac{2\cdot3-2\cdot1}{3^2}=\frac49.$$

计算之前先检查 $v(1)\ne0$，比把数字代入公式后才发现分母出问题更可靠。

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链式法则与不能省掉的漏洞

复合函数 $F\circ g$ 表示输入先经过 $g$，再经过 $F$。若 $g$ 在 $c$ 处可导，$F$ 在 $g(c)$ 处可导，并且复合在 附近有定义，则

$$(F\circ g)'(c)=F'(g(c))g'(c).$$

它的直觉很自然：内层每单位输入产生约 $g'(c)$ 单位的中间变量变化，外层每单位中间变量变化产生约 $F'(g(c))$ 单位的输出变化。不过，直觉里常见的一次“约分”在证明中是非法的。

人们容易写出

$$\frac{F(g(x))-F(g(c))}{x-c} =\frac{F(g(x))-F(g(c))}{g(x)-g(c)} \cdot\frac{g(x)-g(c)}{x-c}.$$

若某个 $x\ne c$ 恰好满足 $g(x)=g(c)$，右侧第一分式的分母便是零。比如内层在一小段上取常值时，这种情形会反复出现。一个“多数时候能写”的等式不够证明极限定理；我们要的是每个足够靠近的合法输入都能处理。

用局部误差表示完成证明

令

$$u_0=g(c), \qquad A=F'(u_0).$$

由 $F$ 在 $u_0$ 可导，可以令 $u\ne u_0$ 时的 $E$ 等于相应差商减去 ，再令 。于是 （当 ），并且

$$F(u)-F(u_0)=\bigl(A+E(u)\bigr)(u-u_0).$$

这里即使 $u=u_0$，右端也是 $0$；因此可以直接取 $u=g(c+h)$，完全不需要除以 $g(c+h)-g(c)$：

$$F(g(c+h))-F(g(c)) =\bigl(A+E(g(c+h))\bigr)\bigl(g(c+h)-g(c)\bigr).$$

对 $h\ne0$ 除以 $h$，

$$\frac{F(g(c+h))-F(g(c))}{h} =\bigl(A+E(g(c+h))\bigr) \frac{g(c+h)-g(c)}{h}.$$

内层 $g$ 可导，所以它在 $c$ 连续，$g(c+h)\to u_0$。于是 $E(g(c+h))\to0$；同时第二个因子趋于 。取极限就得到

$$(F\circ g)'(c)=A\,g'(c)=F'(g(c))g'(c).$$

这个证明也交代了每个条件的工作：外层在 $g(c)$ 可导，给出它的一阶误差表示；内层在 $c$ 可导，既给出自己的差商极限，也保证输入确实送向 $g(c)$。证明不要求 $F'$ 在 $g(c)$ 附近连续。

例题：复合时先找中间点

令

$$H(x)=(x^2+1)^3.$$

把 $g(x)=x^2+1$、$F(u)=u^3$，并在 $c=1$ 使用链式法则。中间点是 ，因此

$$F'(g(1))=3\cdot2^2=12, \qquad g'(1)=2.$$

故

$$H'(1)=12\cdot2=24.$$

“外层导数在哪儿取值”是复合求导最容易漏掉的一点；它必须在中间值 $g(c)$ 处取，而不是在原来的 $c$ 处取。

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高阶导数与局部线性化的误差

如果 $f$ 在一个开区间 $I$ 的每一点都可导，$f'$ 就是定义在 $I$ 上的新函数。若 $f'$ 又在 $$ 处可导，称 在 处二阶可导，记作

$$f''(c)=(f')'(c).$$

递推地，$f^{(0)}=f$，而 $f^{(n)}$ 是 $f^{(n-1)}$ 的导数。这里的递推每一步都要求前一阶导数在相关邻域内有定义并可导；它不是“已经能求一次导，所以能无限次求下去”。前面那个 的例子就说明，函数可以处处可导，却没有连续的导函数。

导数最有用的另一种读法是局部线性化。若 $f'(c)$ 存在，定义

$$L_c(x)=f(c)+f'(c)(x-c).$$

它是经过 $(c,f(c))$ 的一次函数。令 $x=c+h$，前面的局部表示式说明存在余项 $R(h)$，使得

$$f(c+h)=f(c)+f'(c)h+R(h)$$

并满足

$$\lim_{h\to0}\frac{R(h)}{h}=0.$$

也常把最后一句写成 $R(h)=o(h)$。它说的不是误差只要趋于零就行，而是

$$\frac{|f(c+h)-L_c(c+h)|}{|h|}\to0.$$

误差相对于输入步长还要更小，这才是“局部像一条直线”的精确含义。反过来，只要某个实数 $A$ 和余项 $R(h)$ 满足

$$f(c+h)=f(c)+Ah+R(h), \qquad \frac{R(h)}{h}\to0,$$

两边减去 $f(c)$ 再除以 $h$，就有

$$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=A+\frac{R(h)}{h}\to A.$$

所以 $f'(c)=A$。这给出了可导性的等价刻画，也说明一次近似的斜率是唯一的：若 $A$、$B$ 都有这种表示，将两式相减并除以 $h$，余项之差趋于 $0$，从而常数 $A-$ 只能等于 ，故 。

例题：把误差真的算出来

在 $c=4$ 处线性化 $f(x)=\sqrt{x}$。令 $x=4+h$，并限制 以保证根号有意义。因为

$$f(4)=2, \qquad f'(4)=\frac14,$$

线性部分为

$$L_4(4+h)=2+\frac{h}{4}.$$

余项不是凭感觉写成“很小”。有理化后可直接算出：

$$\begin{aligned} R(h) &=\sqrt{4+h}-2-\frac{h}{4}\\ &=\frac{h}{\sqrt{4+h}+2}-\frac{h}{4}\\ &=-\frac{h^2}{4\bigl(\sqrt{4+h}+2\bigr)^2}. \end{aligned}$$

因此

$$\frac{R(h)}{h} =-\frac{h}{4\bigl(\sqrt{4+h}+2\bigr)^2}\to0.$$

例如 $h=0.16$ 时，线性化给出 $\sqrt{4.16}\approx2.04$。又因为 $\sqrt{4.16}+2>4$，上式给出

$$|R(0.16)|<\frac{0.16^2}{64}=0.0004.$$

这里误差为负，说明 $2.04$ 是偏大的近似；它还告诉我们偏大不到 $0.0004$。

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自检练习

下面的练习把定义、条件和误差语言放在同一张检查表上。先自己写出差商或检查定理条件，再展开答案。

练习一：从定义得到四次幂的导数

用差商定义证明 $f(x)=x^4$ 在任意 $c\in\mathbb{R}$ 处可导，并求 $f'(c)$。

显示答案

对 $h\ne0$，

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{f(c+h)-f(c)}{h}}& {\displaystyle =\frac{(c+h{)}^4-c^4}{h}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4c^{3}h+6c^2{h}^2+4c{h}^3+h^4}{h}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4c^3+6c^{2}h+4c{h}^2+h^3}\end{array}$$

练习二：连续性并不能修好尖点

设 $f(x)=|x+1|$。证明 $f$ 在 $-1$ 处连续，却不可导。

显示答案

当 $x\to-1$ 时，$|x+1|\to0=f(-1)$，所以 $f$ 在 $-1$ 连续。令 ，则

练习三：商法则前先查分母

求

$$k'(1), \qquad k(x)=\frac{x^2+1}{x+2}.$$

显示答案

在 $x=1$，分母为 $1+2=3\ne0$，并且线性分母在 $1$ 附近不会变成零，所以商法则可用。令 $u(x)=x^2+1$、，则

练习四：链式法则的条件并非必要条件

令 $g(x)=x^2$，$F(u)=|u|$。在 $c=0$ 处，$F$ 不在 处可导，但证明 在 处可导，并求导数。这说明什么？

显示答案

有 $g(0)=0$，而 $F(u)=|u|$ 在 $u=0$ 不可导。因此链式法则的前提不满足，不能把公式直接代入。

不过复合函数可以先化简：

$$(F\circ g)(x)=\mathrm{\mid }{x}^2\mathrm{\mid }={}^{}$$

练习五：验证一个线性化余项

在 $c=0$ 处线性化

$$f(x)=\frac{1}{1+x}.$$

写出一次近似和余项，并验证余项是 $o(h)$。

显示答案

有 $f(0)=1$，并且

$$f'(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}, \qquad f'(0)=-1.$$

练习六：端点只能从可用的一边观察

把 $f(x)=x^2$ 限制在闭区间 $[0,3]$ 上。求 $f'_+(0)$ 与 ，并说明为什么这两个数不是由区间内的双侧导数定义直接得到的。

显示答案

在左端点，只能令 $h\to0^+$：

$$f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{h^2-0}{h} =\lim_{h\to0^+}h=0.$$

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把局部斜率带到下一章

本章建立的核心不是一张求导表。导数是差商的极限；它等价于在一点附近用唯一的一次函数逼近原函数，且误差相对于步长消失。线性、乘积、商和复合法则都来自对差商或局部误差的合法拆分，分母不为零、函数在相应点可导等条件各有具体用途。

但目前的结论仍停留在一点附近：知道 $f'(c)$，我们只知道 $c$ 周围足够小的尺度上怎样近似。下一章要问更强的问题：在闭区间两端量到的平均变化率，能否在某个内部点由导数实现？把这种局部信息推到一整段区间，需要连续性、可导性和上一章的极值结论共同出场。