Riemann 积分 II：积分性质与微积分基本定理 | 实分析 I | 自在学

Riemann 积分 II：积分性质与微积分基本定理

上一章把积分的存在问题钉在了一个很具体的条件上：只要能把上和与下和之差压到任意小，函数才有 Riemann 积分。到这里，一个常见的误会也该先拆开。积分不是“看起来像面积”就自动能随意拆、随意换元、随意反求导数；这些熟悉的计算规则，是在可积性和连续性等条件之上一步步长出来的。

本章先把可积函数能做的代数运算和比较讲清楚，再研究把积分上限移动后会发生什么。最后，我们会把“求导”和“累积”这两件看似相反的事严丝合缝地接起来。默认 $a<b$ ，并且本章出现的定积分首先都是闭区间上的 Riemann 积分；只有特别标明时，才讨论反常积分。

上一章关心的是“这个积分有没有”。本章关心的是“既然它有，哪些操作仍然可靠”。每次写出一个公式，都要先看清它在说函数是否可积、端点以什么顺序排列，以及连续性究竟承担了什么工作。

积分可以怎样运算

设 $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ 都是 Riemann 可积函数， $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ 。积分首先有线性性质：

\int_a^b\bigl(\alpha f(x)+\beta g(x)\bigr)\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx.

这不是把积分号当括号“凭习惯移进去”。对同一个带标记分割 $P^*$ ，线性组合的 Riemann 和恰好逐项拆开：

\sum_{k=1}^n\bigl(\alpha f(\xi_k)+\beta g(\xi_k)\bigr)\Delta x_k = \alpha\sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k + \beta\sum_{k=1}^n g(\xi_k)\Delta x_k.

当 $\|P\|\to0$ 时，右边两组和分别靠近各自的积分，于是左边靠近它们的线性组合。这里还顺便保证了 $\alpha f+\beta g$ 本身可积。若从上、下和出发，负数倍会把上下确界对调，所以直接盯着上和并不方便；Riemann 和的拆分把这个细节绕开了。

两个可积函数的乘积 $fg$ 也可积，绝对值函数 $|f|$ 也可积。后者来自一个很朴素的不等式：

\bigl||r|-|s|\bigr|\le |r-s|.

它说明在每个小区间上， $|f|$ 的振幅不会超过 $f$ 的振幅，因此上一章的可积性判别仍然有效。乘积的结论则利用了 $f,g$ 的有界性：先把两函数平移成非负函数，再控制每段上乘积的振幅。我们通常不用每次重做这个证明，但要记住它有前提：这里不是任意两个“写得出来”的函数相乘，而是两个已经可积的有界函数相乘。

从逐点比较到整体估计

如果对每个 $x\in[a,b]$ 都有 $f(x)\le g(x)$ ，那么

\int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx.

证明的骨架很短： $g-f\ge0$ ，而非负可积函数的下和都不小于 $0$ ，所以其积分不小于 $0$ ；再用线性性得到

\int_a^b g(x)\,dx-\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx\ge0.

反方向却不成立。比如在 $[0,1]$ 上，令 $f(x)=2x-1$ 、 $g(x)=0$ 。虽然

\int_0^1 f(x)\,dx=0=\int_0^1 g(x)\,dx,

但在 $x>1/2$ 时 $f(x)>g(x)$ 。积分只记录有向累积后的总数，正负部分可以抵消；它不会把每一点的高低关系原封不动地保存下来。

由保序性立刻得到三条反复会用到的估计。若 $m\le f(x)\le M$ 对所有 $x\in[a,b]$ 成立，则

m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,dx\le M(b-a).

若 $|f(x)|\le M$ ，则

\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \le \int_a^b |f(x)|\,dx \le M(b-a).

第一步来自 $-,|f|\le f\le |f|$ ；第二步才是把 $|f|$ 与常函数 $M$ 比较。以后看到积分差，最稳妥的第一反应往往是先写成一个积分，再把绝对值放进去：

\left|\int_a^b f(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx\right| \le \int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx.

“ $f\le g$ ”是逐点条件，积分不等式只是它的后果；“两个积分相同”或“一个积分较小”都不足以反推出逐点比较。做估计时，先确认被比较的函数确实都可积，不能只凭图形印象跳过这一步。

切开区间时，积分怎样记账

取 $c\in[a,b]$ 。若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，那么它在 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 上也可积，并且

\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx.

反过来，如果 $f$ 分别在 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 上可积，那么它在 $[a,b]$ 上可积，且仍满足同一等式。严格地说，证明时把 $c$ 加入分割；每一组矩形自然被分成左、右两组，上和、下和以及 Riemann 和都随之分裂。所谓“面积可以切开”，在这里对应的是分割与和式都能切开。

为了让这个公式不必每次都讨论端点顺序，我们约定

\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx, \qquad \int_a^a f(x)\,dx=0.

因此，只要 $f$ 在包含 $a,b,c$ 的某个闭区间上可积，总有统一的记账式：

\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx.

这里的负号很实用。它告诉我们定积分是有方向的累积量：从右向左走，累积的符号要翻转。后面的变上限积分和换元公式都会依赖这个约定。

平均值不是凭空出现的高度

在 $[a,b]$ 上， $b-a$ 是底长，

\frac{1}{b-a}\int_a^b u(x)\,dx

常被叫作 $u$ 的平均值。它是一个数；但它是否真的等于某个 $u(\xi)$ ，不能只靠“图像看起来会经过平均高度”。需要连续性把这个数接住。

更一般地，设 $u$ 在 $[a,b]$ 上连续， $v$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，并且 $v(x)\ge0$ 。那么存在，使

\int_a^b u(x)v(x)\,dx = u(\xi)\int_a^b v(x)\,dx.

若 $v\equiv1$ ，这就变成普通的积分平均值定理。

证明里有两处不能省略。连续性先让 $u$ 在闭区间上取到最小值 $m$ 与最大值 $M$ 。因为 $v\ge0$ ，有

m v(x)\le u(x)v(x)\le Mv(x),

从而

m\int_a^b v\le\int_a^b uv\le M\int_a^b v.

如果 $\int_a^b v=0$ ，等式两侧都是 $0$ ，任取 $\xi$ 都成立。如果它大于 $0$ ，除以它便得到加权平均数

A= \frac{\int_a^b u(x)v(x)\,dx}{\int_a^b v(x)\,dx}

落在 $[m,M]$ 内。连续性第二次发挥作用：介值定理保证 $u$ 在某点取到 $A$ 。若 $u$ 只是可积而不连续，这个“取到”的结论可以失败；平均数仍然能算，却未必是任何一点的函数值。

例题：算出一个加权平均高度

在 $[0,1]$ 上取 $u(x)=x^2$ 、 $v(x)=1+x$ 。求这个加权平均数，并找出一个对应的。

两个函数都连续，且 $v(x)=1+x>0$ ，所以加权平均值定理适用。先算分母：

\int_0^1(1+x)\,dx=\left[x+\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac32.

积分上限移动时发生了什么

固定 $c\in[a,b]$ ，设 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积。定义

F(x)=\int_c^x f(t)\,dt, \qquad x\in[a,b].

$t$ 是被积变量， $x$ 才是 $F$ 的自变量。这个区分很小，却能避免后面把“积分里的 $x$ ”和“上限 $x$ ”搅在一起。 $F(x)$ 记录的是从固定起点 $c$ 走到当前位置的有向累积。

可积性已经足够保证连续

可积函数必有界。取 $K\ge0$ ，使 $|f(t)|\le K$ 对所有 $t\in[a,b]$ 成立。任取 $x,y\in[a,b]$ ，由区间可加性与绝对值估计，

|F(x)-F(y)| = \left|\int_y^x f(t)\,dt\right| \le K|x-y|.

这不只是连续性，而是 Lipschitz 条件。给定 $\varepsilon>0$ ，若 $K>0$ ，取 $\delta=\varepsilon/K$ ；当 $|x-y|<\delta$ 时，上式给出。若，是常函数，连续性更不用说。

所以，哪怕 $f$ 有跳跃，只要它 Riemann 可积，累积函数 $F$ 也不会跳。这里“积分能平滑累积”的说法是准确的，但只能推出 $F$ 连续；它还没有保证 $F$ 在每一点都有导数。

在哪一点能把导数拿回来

若 $f$ 在内点 $x_0\in(a,b)$ 连续，则 $F$ 在 $x_0$ 可导，并且

F'(x_0)=f(x_0).

差商的真面目是一个很短区间上的平均值：

\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} = \frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)\,dt.

把 $f(x_0)$ 减掉，并利用常数的积分，就有

\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0) = \frac1h\int_{x_0}^{x_0+h}\bigl(f(t)-f(x_0)\bigr)\,dt.

给定 $\varepsilon>0$ ，由 $f$ 在 $x_0$ 连续，可取 $\delta>0$ ，使 $|t-x_0|<\delta$ 时。当，积分区间内的每个都满足这个条件，故

\left| \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0) \right| \le \frac1{|h|}\int_{\min\{x_0,x_0+h\}}^{\max\{x_0,x_0+h\}} |f(t)-f(x_0)|\,dt <\varepsilon.

这就证明了导数结论。要注意量词的位置：只要求 $f$ 在这一点 $x_0$ 连续，便足以推出 $F$ 在这一点可导；不需要假定 $f$ 在整个区间连续。若 $f$ 在 $a$ 右连续，则；若在左连续，则。闭区间端点谈的是单侧导数。

反例：连续的累积函数也会有折角

令

f(t)= \begin{cases} 1, & -1\le t<0,\\ 3, & 0\le t\le1, \end{cases} \qquad F(x)=\int_{-1}^x f(t)\,dt.

$f$ 只有一个跳跃点，因此可积。直接按区间可加性计算，

F(x)= \begin{cases} x+1, & -1\le x\le0,\\ 1+3x, & 0\le x\le1. \end{cases}

两段在 $x=0$ 都给出 $1$ ，所以 $F$ 连续；但左导数是 $1$ ，右导数是 $3$ ，因此 $F'(0)$ 不存在。这里没有任何矛盾：可积性只负责让连续，在的不连续正好暴露为的折角。

把 $F(x)=\int_c^x f$ 的导数写成 $f(x)$ ，正确的读法是：在连续的点成立。连续函数当然在每一点都满足这个条件；阶跃函数这样的可积函数则只在连续点上满足它。

微积分基本定理的两条箭头

人们常把微积分基本定理缩成一句“积分和求导互相抵消”。这句话用于熟练计算时很省事，用来做证明却不够精确。它实际上包含两条方向不同、条件也不同的结论。

第一条：连续函数可以由积分造出原函数

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，定义

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt.

那么 $F$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 上可导，并且

F'(x)=f(x), \qquad a<x<b.

上一节已经给了全部理由：连续函数首先可积，所以 $F$ 有定义；可积性给出 $F$ 连续； $f$ 在每个内点连续，于是每个内点都能应用差商结论。这一条的含义是存在性：即便我们找不到用初等符号写成的原函数， $x\mapsto\int_a^x f(t)\,dt$ 仍然给出了一个原函数。

例如 $e^{-t^2}$ 的原函数通常不能写成有限个常见初等函数的组合，但

x\longmapsto\int_0^x e^{-t^2}\,dt

依然在每个实数点可导，导数恰为 $e^{-x^2}$ 。这里不是“没写出原函数就没有原函数”，而是积分本身提供了它。

第二条：端点差何时等于积分

现在从另一端开始。设 $\Phi$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 上可导；再设存在一个 Riemann 可积函数 $f$ ，满足

\Phi'(x)=f(x), \qquad a<x<b.

则

\int_a^b f(x)\,dx=\Phi(b)-\Phi(a).

连续性在这里的职责和前一条不一样。它与开区间可导性一起，让微分中值定理能用在每个小区间上； $f$ 的 Riemann 可积性则让由这些中值点产生的 Riemann 和有确定极限。具体地，对任意分割

a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b,

中值定理给出某些 $\xi_k\in(x_{k-1},x_k)$ ，使

\Phi(x_k)-\Phi(x_{k-1}) =f(\xi_k)(x_k-x_{k-1}).

相加后左侧望远镜相消：

\Phi(b)-\Phi(a) = \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\Delta x_k.

右侧是 $f$ 的一个 Riemann 和。把分割加细到网格趋于 $0$ ，它收敛到 $\int_a^b f$ ，所以端点差公式成立。

于是，在 $f$ 连续的常用情形中，两条箭头可以合在一起说： $f$ 有原函数，任一原函数 $\Phi$ 都满足

\int_a^b f(x)\,dx = \Phi(b)-\Phi(a) = \left.\Phi(x)\right|_a^b.

但连续性是一个干净的充分条件，不是第二条唯一可能的条件。只要 $\Phi'$ 确实是 Riemann 可积，端点差公式仍然可用；反过来，仅仅写下某个“原函数符号”而没有确认导数关系和可积性，并不能推出任何定积分公式。

“先积分再求导”并非无条件返回原函数：对 $F(x)=\int_a^x f$ ，只有在 $f$ 于该点连续时才能断言 $F^{'} (x$ 。“先求导再积分”也不是无条件返回端点差：必须有端点处连续的原函数结构，并确认导数作为被积函数是 Riemann 可积。

例题：先分清哪条箭头在工作

设

G(x)=\int_1^{1+x^2}\sqrt{1+t^6}\,dt.

求 $G'(x)$ 。

先把变上限部分单独命名：令

H(u)=\int_1^u\sqrt{1+t^6}\,dt.

换元与分部：公式背后的条件

换元和分部积分很容易在熟练后变成两种手势：一个写 $u=$ ，一个画分部表。实分析里要多问一句：改写后的两个积分真的都存在吗？端点和方向有没有一起改？下面给出本章够用的一组清晰条件。

换元：变量变了，端点与方向也要变

设 $f$ 在一个包含 $\varphi([c,d])$ 的闭区间上连续。设 $\varphi$ 在 $[c,d]$ 上连续、在 $(c,d)$ 上可导，并且在上 Riemann 可积。则

\int_{\varphi(c)}^{\varphi(d)} f(x)\,dx = \int_c^d f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\,dt.

这里不要求 $\varphi$ 单调。它若来回走， $\varphi'$ 的正负号正好记录向前与向后的有向累积；左边的端点也正是 $\varphi(c)$ 与 $\varphi(d)$ ，不能擅自换成“较小端点到较大端点”。给出的条件保证 $f\circ\varphi$ 连续，可积，因此右边确实有意义。

证明思路很紧凑：令

Q(y)=\int_{y_0}^y f(x)\,dx.

第一条基本定理给出 $Q'=f$ 。再用链式法则， $Q(\varphi(t))$ 的导数是 $f(\varphi(t))\varphi'(t)$ ；对它应用端点差公式，就得到换元式。换元不是“把换成 ”的符号魔术，它是原函数、链式法则和端点差公式连起来的结果。

例题：端点跟着替换，而不是留在原处

计算

\int_0^1\frac{3x^2}{1+x^3}\,dx.

令 $u=x^3$ 。它在 $[0,1]$ 上连续且可导， $du=3x^2\,dx$ ；被积函数中的外层函数在上连续，换元条件满足。

分部积分：乘积求导倒过来用

设 $u,v$ 在 $[a,b]$ 上连续、在 $(a,b)$ 上可导，并且 $u',v'$ 都在上 Riemann 可积。则

\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \left.u(x)v(x)\right|_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx.

条件看着比计算课里常写的长，是因为它们把隐藏步骤全部摊开了：连续的 $u,v$ 可积；可积函数与连续函数的乘积可积；于是

(uv)'=u'v+uv'

是可积函数，能够使用端点差公式。对这个等式积分并移项，便得到分部积分。 $u'$ 与 $v'$ 在端点取什么值并不影响积分，但把它们作为闭区间上的可积函数来讨论时，可以任意补上端点值；真正需要的是开区间内的导数关系和可积性。

例题：分部后要把边界项算完

计算

\int_0^1x\log(1+x)\,dx.

取 $u(x)=\log(1+x)$ 、 $v'(x)=x$ ，则、。这些函数及导数在上连续，分部积分适用：

超出闭区间时，先把极限写出来

Riemann 积分的原始定义只处理有界函数在有限闭区间上的情形。无穷区间或端点无界时，不能把 $\infty$ 当普通端点、也不能直接把无界值塞进上和下和；正确做法是先截断为正常的闭区间积分，再问截断积分是否有有限极限。

若 $f$ 在每个 $[a,R]$ （ $R>a$ ）上 Riemann 可积，则定义

\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,dx,

前提是右边极限存在且是有限实数。若 $f$ 在 $(a,b]$ 上有定义，并在每个 $[a+\varepsilon,b]$ 上可积，则

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx

定义端点 $a$ 的反常积分；同样只在该极限有限时称为收敛。两端都有问题时，要分别截断并分别检查，不能让两个发散量在同一个式子里“碰巧抵消”。

例如

\int_1^\infty\frac1{x^2}\,dx = \lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^R =1,

而

\int_1^\infty\frac1x\,dx = \lim_{R\to\infty}\log R

发散。两者的被积函数都趋向 $0$ ，但截断后的累积量走向完全不同；因此判断反常积分时，要检查的始终是截断积分的极限。

练习

设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，且对所有 $x\in[a,b]$ 都有 $0\le g(x)-f(x)\le\eta$ ，其中。证明

0\le\int_a^b g(x)\,dx-\int_a^b f(x)\,dx\le\eta(b-a).

定义

F(x)=\int_2^x(t^2+1)\,dt, \qquad -1\le x\le3.

求 $F(-1)$ ，并求 $F'(x)$ 。

判断下述说法是否正确，并说明理由：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积， $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ ，则对所有成立。

用换元计算

\int_0^1\frac{4x^3}{1+x^4}\,dx.

按定义判断并计算

\int_1^\infty\frac1{x(x+1)}\,dx.

接下来要控制什么

这一章的每个公式都在处理一个固定函数的积分。下一章会把对象换成函数列 $f_1,f_2,\ldots$ ，新的风险也随之出现：即使每个 $f_n$ 都可积，且对每个固定 $x$ 都有，也不能立刻把极限穿过积分号。

我们需要问的不是“每个点最后会不会靠近”，而是“整段区间能不能被同一把误差尺同时管住”。这正是逐点收敛与一致收敛的分界；它会决定连续性、积分以及后面导数能否和极限交换。

x

x

)

=

f

(

x

)

F'(x)=f(x)