函数列与一致收敛

上一章里，我们处理的是一个固定函数的积分与导数。现在把函数也排成一列，很多熟悉的计算会立刻变得敏感：如果每个 $f_n$ 都连续，极限函数还连续吗？如果每个 $f_n$ 都能积分，能把极限放进积分号吗？导数又怎样？

微积分的直觉容易给出一句很诱人的话：“$f_n$ 越来越像 $f$，那就把 $f_n$ 换成 $f$ 吧。”麻烦正藏在“越来越像”里。它可能只表示每个固定位置最终会靠近；也可能表示从某一步起，整条图像都同时贴近。前一种不够处理许多运算，后一种才给出了能真正传递性质的统一误差控制。

先把“在每点靠近”说准确

设 $E\subset\mathbb{R}$，并且每个 $f_n:E\to\mathbb{R}$ 都有相同的定义域。这样的对象

叫作定义在 $E$ 上的函数列。研究它时，先不要急着画整列图像。固定一个 $x\in E$ 后，$f_1(x),f_2(x),\ldots$ 只是一个普通实数数列；如果它收敛，就把极限记为 。对每个 都能这样做，便得到候选极限函数 。

我们说 $f_n$ 在 $E$ 上逐点收敛到 $f$，是指

这里的顺序不能随意读快。先固定的是 $x$，所以 $N$ 可以跟着 $x$ 变。一个点离麻烦处很远，也许早早稳定；另一个点贴着端点或尖峰，可能要等得极久。逐点收敛只承诺：每个点终究等得到。它没有承诺所有点在同一时刻都等到了。

一个端点把问题暴露出来

在 $[0,1]$ 上令

固定 $0\le x<1$ 时，反复乘以一个小于 $1$ 的数会把它压向 $0$，所以 $x^n\to0$。但 $f_n(1)=1$ 对每个 都成立。因此逐点极限是

每个 $f_n$ 都连续，极限却在 $1$ 处不连续。旧的图像直觉在这里没有算错，只是漏了一个事实：对任何固定的 $x<1$，确实有 $x^n\to0$；可当 随 越来越靠近 时，误差仍可以很大。坏点不是钉在某个位置等我们检查，它一直往端点挪。

例如令

则 $x_n<1$，而

误差没有被压到零；它反而趋于 $1$。这正是逐点检查看不见、统一检查必须看见的东西。

同一个等待时刻：一致收敛

如果我们希望“从某一项开始，整条函数图像都足够接近极限函数”，就必须禁止 $N$ 依赖 $x$。说 $f_n$ 在 $E$ 上一致收敛到 $f$，记作 $f_n\rightrightarrows f$，是指

现在的叙述是：对方先提出一个统一的误差要求 $\varepsilon$；你给出一个统一的下标 $N$；从第 $N$ 项起，无论他把手指落在定义域的哪一点，误差都过不了这条线。这才是“全体共享一个等待时刻”。

在 $E$ 上定义最大误差

当这个上确界有限时，它是 $g$ 在整个定义域上的最高误差。由定义可知

右边特别实用：我们不必逐个盯着点，只要能估计全域误差的上确界即可。上确界未必在某一点取到，这一点在 $x^n$ 的例子中很关键：

虽然每个 $x<1$ 都有 $x^n\to0$。所以在 $[0,1]$ 上，$x^n$ 不会一致收敛到前面的极限函数。

一致不等于“每一项都很小”

看

固定点的极限显然是 $0$。更重要的是，函数 $x/(n+x)$ 在 $[0,1]$ 上递增，因此

这里可以直接挑出一个不依赖 $x$ 的等待时刻：给定 $\varepsilon>0$，只要 $n+1>1/\varepsilon$，全区间上的误差都小于 $\varepsilon$。这不是“每个点碰巧都收敛”，而是同一个 $N$ 已经把整个区间管住。

反过来，定义域本身也会改变答案。令

对每个固定实数 $x$，都有 $h_n(x)\to0$。但在整个 $\mathbb{R}$ 上，取 $x=n\pi/2$ 就有 $$，所以绝不一致收敛。在任一固定闭区间 上则有

因而一致收敛到 $0$。说“函数列一致收敛”时，定义域不是可省略的背景；它是结论的一部分。

不知道极限是谁时：一致 Cauchy 准则

直接证明一致收敛通常需要先猜到 $f$。但有些函数列的极限函数并不容易写出来；这时可以像处理实数数列那样，先看尾部函数彼此是否统一靠近。

函数列 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上叫作一致 Cauchy，如果

等价地，

在实值函数列的情形，一致 Cauchy 当且仅当一致收敛。必要性来自三角不等式：若 $f_n\rightrightarrows f$，把 $f_m-f_n$ 绕到 处即可。困难的一边更值得看，因为它说明极限从哪里来。

这段证明有两个层次：先逐点利用实数完备性造出 $f$，再把原先“对所有 $x$ 同时成立”的尾部估计带到极限。少了后一个层次，只能得到逐点收敛。

一个常用的充分条件也值得留在手边。若存在正数列 $\{a_n\}$，满足

那么 $\{f_n\}$ 一致 Cauchy。因为当 $m>n$ 时，

数项级数尾和可以统一压小，函数列的尾部自然也能统一压小。这条望远镜估计会在下一章变成函数项级数的核心方法。

为什么连续性需要统一误差

“每个 $f_n$ 连续”描述的是每一张单独图像；“$f_n$ 收敛”描述的是图像随 $n$ 的变化。要把前者交给极限函数，必须让这两种控制在同一个证明里接上。

设 $a\in E$，连续性都按相对定义域 $E$ 来理解。若每个 $f_n$ 在 $a$ 连续，且 $f_n\rightrightarrows f$ 在 上成立，那么 在 连续。特别地，连续函数列在 上的一致极限仍在 上连续。

证明不长，但它解释了条件为何恰好是“一致”：

给定 $\varepsilon>0$，先由一致收敛选定一个 $N$，使得对每一个 $y\in E$，

这个 $N$ 一旦选好就冻结下来。现在才使用单个函数 $f_N$ 在 $a$ 的连续性，取 $\delta>0$，使得 $x\in E$ 且 时，

把三段代回去便得 $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$。证明的顺序很有讲究：先用一致收敛选同一个 $f_N$，再要求那一个固定函数连续。若 $N$ 可以随着 $x$ 改动，中间项就来自不停变化的函数，连续性没有对象可以施展。

前面的 $x^n$ 例子也因此有了一个干净的反证：每个 $x^n$ 在 $[0,1]$ 上连续，而逐点极限在 $1$ 不连续，所以这种收敛不可能是一致收敛。

把极限放进积分号：条件与边界

对 Riemann 积分，统一的竖直误差会转成统一的面积误差。设每个 $f_n$ 都在闭区间 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，且 $f_n\rightrightarrows f$。标准的 Riemann 积分结论是：$$ 也 Riemann 可积，并且

若本章只在连续函数的范围内工作，条件更容易核对：每个 $f_n$ 连续且一致收敛时，上一节先给出 $f$ 连续，因而所有相关函数都可积。无论使用一般结论还是连续情形，交换本身都由同一条估计完成：

右端趋于零，所以积分差趋于零。第一句中的“$f$ 也可积”不是装饰：如果不借助“Riemann 可积函数的一致极限仍可积”这个结论，就应把 $f$ 可积另列为假设，才能谈右侧积分。

逐点收敛为什么仍然不够

在 $[0,1]$ 上定义

对 $x=0$ 或 $x=1$，函数值恒为零。若 $0<x<1$，令 $r=1-x^2$，则 ，从而 ；故 对每个 成立。

可是面积没有消失。令 $u=1-x^2$，于是 $du=-2x\,dx$，得到

极限函数是零，积分却趋于 $1/2$。尖峰在移动、变窄、变高；固定位置最后都会离开尖峰，因此逐点看见零；积分追踪的是总面积，因此仍看见 $1/2$。这也证明该收敛不一致：若它一致收敛到零，上面的积分估计会迫使积分趋于零。

求导不是积分：还要把函数值钉住

积分会把纵向误差乘上一个固定长度；导数却观察极小尺度上的变化。因此，哪怕 $f_n\rightrightarrows f$，也不能直接断言 $f_n'\to f'$。

在任意区间上令

因为 $|q_n(x)|\le1/n$，它在整个实线（当然也在任何闭区间）上一致收敛到零函数。然而

极限函数的导数是 $0$，但在 $x=0$ 有 $q_n'(0)=1$，所以导数列甚至没有在这一点趋于 $0$。一致收敛控制了函数值的高度，没有控制图像的局部摆动频率。

下面是一条足够而且常用的交换定理。设 $f_n\in C^1([a,b])$，并假设：

1. 存在 $x_0\in[a,b]$，使实数列 $\{f_n(x_0)\}$ 收敛；

那么存在函数 $f$，使 $f_n\rightrightarrows f$ 在 $[a,b]$ 上成立，而且

也就是说，在这些条件下才有

这里的“一点收敛”不是可有可无的技术条款。只知道 $f_n'$ 全部趋于零，并不能防止 $f_n$ 是不断上移的常数函数，例如 $f_n(x)=n$。导数全为零，却没有任何一个点的函数值收敛，更不可能有有限的极限函数。

证明正好接回上一章的基本定理。由于每个 $f_n'$ 连续，

设

导数列的一致极限 $g$ 连续，所以 $f'(x)=g(x)$。同时，对任意 $x\in[a,b]$，

右端与 $x$ 无关且趋于零，所以 $f_n\rightrightarrows f$。这一次交换之所以成立，不是因为“导数看起来也收敛”，而是因为锚点值和导数误差共同重建了全部函数值。

一个完整判断流程

函数列题目容易在“先求极限”处就结束，后面真正决定结论的检查却被跳过。更稳妥的做法是把目标分开。

例题：一个尖峰为何不能用逐点极限积分

仍取

判断它的逐点极限、是否一致收敛，并比较“先取极限再积分”与“先积分再取极限”。

练习

1. 在 $[0,1]$ 上令

求逐点极限，并证明收敛一致。

2. 在 $[0,1]$ 上令

求逐点极限，并判断是否一致收敛。

3. 设函数列满足

证明 $\{u_n\}$ 在 $E$ 上一致收敛。

4. 证明下列断言为假：若 $v_n$ 在 $[0,1]$ 上连续并逐点收敛到 $v$，则总有

5. 在 $[-1,1]$ 上令

证明 $w_n$ 一致收敛到零，但不能把极限和求导交换。

6. 在 $[-1,1]$ 上令

用本章的充分条件证明极限可逐项求导，并求极限函数的导数。

把视线移向函数项级数

下一章会研究

它并没有换一个完全陌生的问题：第 $n$ 个部分和

本身就是一个函数列。函数项级数逐点或一致收敛，实际就是它的部分和函数列逐点或一致收敛。

因此，本章的一致 Cauchy 准则会直接变成对尾和

的统一控制；连续性、积分和求导的交换条件也会转写成对部分和的条件。后面真正要学的判别法，目的都是帮助我们找到那个“全体共享的等待时刻”，而不是让求和号获得不经检查就能穿过极限、积分或导数的特权。

于是

因此 $r_n\rightrightarrows0$。给定 $\varepsilon>0$，任取满足 $N+1>1/\varepsilon$ 的整数 $N$，则所有 $n\ge N$、所有 $x\in[0,1]$ 都有 $|r_n(x)|<\varepsilon$。

对 $x<1$，误差为 $x^n/(1+x^n)$。当 $x\to1^-$ 时，这个值趋于 $1/2$，故

（上确界不必取到）。所以它不一致收敛。也可注意到每个 $s_n$ 连续而 $s$ 在 $1$ 处不连续，再由一致极限保持连续性得到同一结论。

给定 $\varepsilon>0$，取 $N$ 使 $3^{1-N}/2<\varepsilon$。则 $m,n\ge N$ 时上式小于 $\varepsilon$，故 $\{u_n\}$ 一致 Cauchy。对每个固定 $x$，实数列 $\{u_n(x)\}$ 因而是 Cauchy 数列并收敛；再由一致 Cauchy 准则，$u_n$ 在 $E$ 上一致收敛。

两者不相等。失败的原因不是函数不可积，而是收敛只有逐点的，尖峰面积没有受到统一误差控制。

所以 $w_n\rightrightarrows0$。每个函数可导且

若能交换极限与导数，就应有 $w_n'(0)\to0$，因为零函数的导数为零。但 $w_n'(0)=1$ 对所有 $n$ 成立。故导数列不趋于极限函数的导数；仅有函数列一致收敛不够。

令 $g(x)=3x^2$。因为

导数列一致收敛到 $g$。每个 $z_n$ 都属于 $C^1([-1,1])$，所以求导交换定理适用。极限函数是

并且

这里既核对了一个点的函数值收敛，也核对了导数列一致收敛；两项缺一不可。