实直线上的拓扑语言

上一章处理级数时，我们不断说“从某一项以后”“尾部落进指定误差范围”。数列里只有指标 $n$ 往后走，这种话还不太容易说乱。下一章讨论函数极限，输入 $x$ 却能从左右两边、用许多方式靠近同一个点；“在 $a$ 附近”到底算什么，不能再靠图像印象蒙混过去。

这一章先不谈函数值，而是给实直线上的集合配一套局部语言：站在一个点上，能不能找到完全留在集合里的小范围？无论把范围缩多小，集合是不是仍会冒出来？集合在哪些位置漏掉了本该贴住的点？邻域、内点、边界、聚点和闭包都在回答这些问题。它们看似是一串新名词，其实都在替“靠近”做同一件事：把它变成可以逐项检查的断言。

本章的世界固定为实直线 $\mathbb{R}$，所有补集也相对于 $\mathbb{R}$ 而言。到末尾我们会看到，闭有界集合为什么能把无限多的局部选择压缩成有限个；连续函数在紧集上的全局结论要留到后面再证明。眼下先把集合本身看明白。

先说清楚集合在哪个世界里

设 $A,B\subset\mathbb{R}$。$A\subset B$ 表示 $A$ 的每个元素也属于 $B$；两个集合相等，要同时验证 $A\subset B$ 和 $B\subset A$。我们会反复使用

补集的参照范围不能省略。在 $mathbb{R}$ 中，$(0,1)^c=(-\infty,0]\cup[1,\infty)$；若我们的世界换成 $[$，同一集合 的补集便变为 。以后“开”“闭”也总相对于正在讨论的空间，这里先把空间固定住很必要。

还会用到两条对账式：

第一式表示，一个点同时不在 $A$ 和 $B$ 中，才会不在它们的并中；第二式表示，只要漏出二者之一，便会漏出交集。后面从开集转换到闭集时，这两条式子会直接派上用场。

邻域：把“附近”做成能缩放的窗口

取 $x_0\in\mathbb{R}$ 与 $\varepsilon>0$。以 $x_0$ 为中心、半径为 $\varepsilon$ 的开球，也叫 的 邻域，定义为

这就是数轴上一小段开区间。半径不是固定的：只要它为正，我们就能继续缩小观察范围。若一个集合 $N$ 包含某个 $B(x_0,\varepsilon)$，也说 $N$ 是 $x_0$ 的邻域；计算时最常用的仍是标准开球。

邻域语言把“足够靠近”变成数轴上的开区间。

有时必须把中心点删掉。$x_0$ 的删心 $\varepsilon$ 邻域是

这个 $0<$ 不是装饰。它要求我们只看靠近 $x_0$ 的其他点，不能让中心点自己充当证据。聚点和函数极限都会靠它排除一种常见偷懒：只检查点值，而不检查点附近。

内点、内部与外点

若存在 $\varepsilon>0$ 使得

便称 $x_0$ 为 $A$ 的内点。也就是说，站在 $x_0$ 处能找到一个小窗口，里面没有一个点掉到 $A$ 外。所有内点组成 $A$ 的内部：

例如 $x_0\in(4,7)$ 时，$x_0-4$ 与 $7-x_0$ 都是正数。取

便有 $B(x_0,\varepsilon)\subset(4,7)$。因此开区间中每一点都是内点。反过来，$4$ 不是 $(4,7)$ 的内点：任意半径的邻域都含有小于 $4$ 的数。

若 $x_0$ 是 $A^c$ 的内点，则称 $x_0$ 是 $A$ 的外点。外点的全体记作 。它不表示“看上去离集合挺远”，而是要求有一个完整小窗口避开 。

开集与闭集不是日常语的反义词

若 $A$ 的每个点都是内点，即

就称 $A$ 是开集。把量词摊开：

开集的意思是，已经收进来的每一点周围都有一点余量。开区间 $(a,b)$ 是开集，整条实线 $mathbb{R}$ 也是开集。

若 $A^c$ 是开集，就称 $A$ 是闭集。方括号只是在区间情形中常见的表面现象；闭集真正要求的是：每个集合外的点都能找到一个小窗口完全避开集合。

空集 $\varnothing$ 与 $mathbb{R}$ 都既开又闭。空集开，是因为“空集中的每一点都是内点”没有反例；它闭，是因为补集 $mathbb{R}$ 开。$(0,1]$ 则既不开也不闭：$1\in(0,1]$ 却不是内点，所以它不开；，但每个邻域都碰到正数，所以它漏掉了一个贴近位置，因而不闭。

空心端点表示端点不属于集合，实心端点表示端点属于集合。

开并、闭交，以及无限操作会在哪里失手

任意多个开集的并仍是开集。设 $\{G_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ 是一族开集，令

任取 $x\in G$，它至少落在某个 $G_{\lambda_0}$ 中。这个集合开，故存在 $B(x,\varepsilon)\subset G_{\lambda_0}\subset G$。每个 都有这样的窗口，所以 开。

取补集并使用前面的对账式，得到配套结论：任意多个闭集的交仍闭。有限次操作还有两条镜像结论：有限个开集的交开，有限个闭集的并闭。这里的“有限”不能偷掉。

例题：无限相交和无限并各少了一点什么

令

每个 $G_n$ 都开，但

因为 $0$ 落在每个 $G_n$ 中；任意 $x\ne0$ 可取 $n>1/|x|$，于是 ，从而 。而单点集 不是开集：任何以 为中心的邻域都含有非零点。无限相交把原本的“余量”一点点挤没了。

再令

每个 $F_n$ 闭，而

若 $x\in(-1,1)$，则 $1-|x|>0$；取 $n>1/(1-|x|)$，有 ，故 。端点 从未属于任何 ，并集因此不闭。

集合到底在哪里漏风：聚点、边界与闭包

开性关心的是“已经在集合里的点有没有余量”。闭性关心的是另一种失败：集合外是否存在一个位置，虽然没被收进来，却无论怎样缩小窗口都碰得到集合。要把这件事说准，必须把三个相近的问题拆开。

聚点不让中心点自己作证

点 $x_0$ 是 $A$ 的聚点，如果对每个 $\varepsilon>0$，都有

$x_0$ 本身可以在 $A$ 中，也可以不在；聚点问的是，删去中心以后，是否还有 $A$ 的点不断逼近。

设

点 $0$ 不属于 $P$，却是 $P$ 的聚点。给定 $\varepsilon>0$，取 $n>1/\varepsilon$，便有 $0<1/n<\varepsilon$，所以 。 正是集合漏掉、但怎样都躲不开的位置。

另一方面，每个 $1/n$ 都不是 $P$ 的聚点。对 $n\ge2$，取

它小于 $1/n$ 与相邻项 $1/(n+1)$ 的距离，也小于与 $1/(n-1)$ 的距离；故 $B(1/n,r_n)$ 没有别的 中点。 的情形取半径 即可。

若 $x_0\in A$ 且存在 $\varepsilon>0$ 满足

则 $x_0$ 是 $A$ 的孤立点。孤立点和聚点不是简单反义词：前者是集合中的一个点，且附近没有同伴；后者可能根本不属于集合。$P$ 中每个 $1/n$ 是孤立点，$0$ 是聚点，正好把差别摊开了。

边界点同时看得见里面和外面

点 $x_0$ 是 $A$ 的边界点，如果每个 $\varepsilon>0$ 都满足

边界点的窗口里永远有集合内和集合外两类点。它不要求中心点属于集合。$(0,1)$ 的 $0,1$ 是边界点；$[0,1]$ 的 $0,1$ 也是边界点。端点是否被收进来会改变开闭性，却不会让它离开内外交界处。

同一个点可以有多个身份，例如闭区间端点既是边界点，也是聚点。

闭包把所有贴住的位置收进来

集合 $A$ 的闭包记为 $\overline A$。最稳妥的判别是

这里不删中心点，所以 $A$ 的每个点自动在闭包里；若 $x\notin A$，上式恰好说明 $x$ 是 $A$ 的聚点。因此在实直线上

还有两条高频计算式：

后一条正好说出边界为什么同时贴着内外。每一个实数恰好属于三类之一：$A$ 的内点、边界点或外点；没有第四种无法归类的位置。

闭包把集合可能“贴近但漏掉”的位置补上。

例题：区间、孤立点和外部一起算

设

不要把 $3$ 当成“太小可以忽略的例外”。

这道题带出一个实用判断：集合不闭，未必只是“漏了端点”；它漏的是某个集合外的点，而这个点的每个小窗口都碰到集合。端点、被挖掉的点、数列的极限位置是最常见的漏法。

闭集的真正判别：别漏掉极限位置

闭集可以从补集的开性定义，也可以用聚点判别：

若 $A$ 闭，$A^c$ 开。任取 $x\in A^c$，开性给出完全包含在 $A^c$ 的邻域，所以 $$ 不可能是 的聚点；所有聚点只能在 中。反过来，若 已含有全部聚点，任取 ，它不是聚点，故有一个删心邻域不碰 。中心 也不在 ，把它放回去后，整个邻域仍不碰 。于是每个补集点都是内点， 开， 闭。

别据此误会“闭集一定有聚点”。有限集合没有聚点，却是闭集。例如 $\{2,5\}$ 的补集在每个不属于这两点的位置都能留出一个小窗口；它没有漏掉任何会被自身其他点逼近的位置。

例题：被挖掉的点比端点更能说明问题

令

$1$ 不是端点，却是最显眼的“漏风处”。它的每个邻域都含 $1$ 左右的 $C$ 中点，也含中心点 $1\notin C$。因此

$C$ 是开集，因为它是两个开区间的并；却不是闭集，因为 $0,1,2$ 都是它漏掉的聚点。洞在图像上再小，邻域语言都不会把它抹掉。

稠密不等于铺满，更不等于没有边界

有理数集 $\mathbb Q$ 是最能反驳图像直觉的例子。任意非退化开区间中既有有理数，也有无理数。因此对每个实数 $x$ 的任意邻域，都同时能碰到 $\mathbb Q$ 与 $\mathbb Q^c$，从而

$\mathbb Q$ 在每个区间里都有点，称为在实线中稠密；但它从不含完整的小区间，所以没有内点。稠密只说“哪里都能碰到”，不说“哪里都铺满”。这也解释了，有理数的稠密性不能填补 $\sqrt2$ 的缺口，更不能让 $\mathbb Q$ 变成闭集。

用邻域检查集合：一套可复用的顺序

求内部、闭包、边界与开闭性时，最容易犯的错是先凭端点符号猜答案，再补理由。更稳的顺序如下。

例题：两列点从两边挤向同一个缺口

考虑

偶数项为 $2+1/(2k+1)$，从右侧趋向 $2$；奇数项为 $2-1/(2k)$，从左侧趋向 $2$。所以 $2$ 是 的聚点。每个列出的点却是孤立点：它和相邻的点有正距离，取小于最近距离一半的半径即可避开其他点。因此

这里 $E$ 的每一点都是边界点，因为它本身在每个邻域中，而同一邻域也一定含有不属于 $E$ 的实数。$E$ 不闭的唯一原因是 $2$ 还在门外；添上 $2$ 后，新的集合就闭了。

开覆盖：局部窗口怎样覆盖整个集合

此前我们给一个点找邻域。紧性反问：如果别人给了大量开窗口，已经盖住整个集合，能否只挑有限个窗口仍盖住它？

一族开集 $\mathcal U$ 是 $K\subset\mathbb R$ 的开覆盖，如果

若能从 $\mathcal U$ 选出有限多个成员 $U_1,\ldots,U_m$，使得

就称它们为有限子覆盖。有限子覆盖中的窗口必须来自原来的那一族，不能临时另造一个大区间把问题盖掉。

紧性把“已经被开集覆盖”转化为“有限个开集就够了”。

集合 $K\subset\mathbb R$ 称为紧集，若它的每一个开覆盖都有有限子覆盖。在实直线上，这个抽象定义有一个可以直接检查的版本：

这就是实直线上的 Heine--Borel 定理。它同时排除两种故障：有界阻止集合逃向无穷远，闭阻止集合在有限位置无限逼近却永远少一个点。少掉任何一项，都可能有开覆盖无法缩成有限份。

例题：为什么 $(0,1)$ 的覆盖不能收尾

对每个 $n\in\mathbb N$，令

这族开集覆盖 $(0,1)$。给定 $x\in(0,1)$，取 $n>1/x$，便有 $1/n<x<2$，即 。

但从中任取有限多个，设所选下标最大为 $N$，这些区间的并就是 $U_N=(1/N,2)$。点 $1/(2N)$ 属于 $(0,1)$，却不在这个有限并中。因此该开覆盖没有有限子覆盖。

问题不在窗口不够大，而在它们只能一轮轮靠近 $0$，却从未把 $0$ 附近所有正数一次性盖住。$(0,1)$ 有界却不闭，漏掉的端点正好给了这个反例可乘之机。

若集合闭但无界，另一种故障出现。$\{(-n,n):n\in\mathbb N\}$ 覆盖 $mathbb R$，任取有限多个区间的并却仍有界，盖不住全实线。闭与有界必须同时出现。

Heine-Borel 定理把抽象的有限子覆盖性质，变成实直线上可检查的闭且有界。

有界无限集合不能一直散开：Bolzano--Weierstrass 定理

Heine--Borel 定理有一条特别适合数列的后果：

这就是 Bolzano--Weierstrass 定理的集合表述。它并不是“有界集合一定收敛”——集合没有顺序，谈不上整体收敛；它说的是，无限多个点若被困在一个有限区间内，就不可能彼此永久保持固定距离，总会在某处越挤越紧。

证明的想法正好显示紧性的作用。若有界集合 $S$ 没有聚点，每个 $x\in S$ 都能找到一个只含 $x$、不含其他 $S$ 中点的开邻域。没有聚点还说明 $S$ 已经包含全部聚点，所以它闭；加上有界，$S$ 紧。由紧性，这些“每个点一扇门”的邻域可缩成有限子覆盖。每扇门只含一个 $S$ 中点，于是 只能有限，矛盾。

对数列而言，常用版本是

若数列只取有限多个值，至少有一个值出现无限次，从那些下标中抽出常值子列即可。若它取到无限多个值，值域是有界无限集，定理给出聚点 $p$；从越来越小的邻域中依次选取下标越来越大的项，就能得到趋向 $p$ 的子列。

这和“原数列收敛”差得很远。$a_n=(-1)^n$ 有界，却在 $-1$ 与 $1$ 之间来回跳，原数列不收敛；偶数项子列恒为 $1$，奇数项子列恒为 $$。定理承诺的是至少有一条稳定分支，不是整条数列会自动安静下来。

练习：把窗口判断落实到计算

练习 1

设

求 $\operatorname{int}(A)$、$\overline A$ 和 $\partial A$，并判断 $A$ 是否开、是否闭。

练习 2

设

找出它的内部、闭包和边界。它是开集、闭集，还是二者都不是？

练习 3

在实线中讨论有理数集 $\mathbb Q$。证明它既不开也不闭，并求它的内部、闭包和边界。

练习 4

证明下面开集族覆盖 $(0,1)$，却没有有限子覆盖：

并说明这个例子具体缺少 Heine--Borel 条件中的哪一项。

练习 5

设

找出两个不同的收敛子列及其极限，并解释这与 Bolzano--Weierstrass 定理一致，却不说明原数列收敛。

从集合的“附近”走向函数的“趋近”

这一章把容易混在一起的话拆开了：内点问能否找到完全在里面的窗口；边界点问每个窗口是否同时看见内外；聚点问删掉中心后集合是否还会逼近这里；闭包收集一切无法避开的贴近位置。闭集不漏自己的聚点，有界集合不向无穷远逃走，二者合起来才让开覆盖可以有限化。

下一章的函数极限会把同一套窗口搬到定义域上。写

时，左侧正要求 $x$ 落进 $a$ 的删心邻域；它排除了用 $f(a)$ 冒充附近函数值的做法。更重要的是，若 $a$ 根本不是定义域的聚点，删心邻域可能没有任何可检验的输入，极限定义就会变得空洞。现在建立的拓扑语言，正是 $\varepsilon$--$\delta$ 定义所站的地基。

于是

$A$ 不开，因为 $-1\in A$ 不是内点；也不闭，因为 $2$ 是聚点却不属于 $A$。

$B$ 开但不闭。特别是 $2$ 不在 $B$ 中，却不是外点；它的每个小邻域都有 $B$ 中点，这就是挖洞会让闭性失败的准确原因。

内部不等于 $\mathbb Q$，所以它不开；闭包不等于 $\mathbb Q$，所以它不闭。

若只选有限多个，设最大下标为 $N$，所选区间并为 $(1/N,2)$。点 $1/(2N)$ 属于 $(0,1)$，却不在这个并中，故没有有限子覆盖。

$(0,1)$ 有界，但不闭：$0$ 和 $1$ 都是它的聚点而不属于它。该例暴露的是“闭”这一项缺失；窗口可以无限逼近端点附近，却不能被有限选择替代。

原数列始终落在 $[-1,2]$ 中，因此有界，确实应有收敛子列；上面两条就是具体找到的子列。但原数列不收敛：若原列收敛，全部子列必须有同一极限，而此处两个子列的极限是 $1$ 和 $-1$。