子列、Cauchy 数列与 Bolzano–Weierstrass 定理

上一章把“越来越接近”翻译成了 $\varepsilon$-$N$ 语言。可是真遇到陌生数列时，“先猜极限 $L$，再证明它靠近 $L$”经常走不动：它可能在几个高度之间摆动，也可能有一部分项很稳定、另一部分项一直捣乱。我们需要换一个角度，直接查看数列的尾部还留下了什么结构。

子列让我们保留原顺序地抽取一部分项；上极限和下极限记录尾部始终逃不掉的上下边界；有界性保证至少能抽出一条收敛子列；Cauchy 条件甚至不问极限是谁，只问尾部任意两项是否已经挤得足够紧。它们不是几种零散技巧，而是在回答同一个问题：整条数列不好直接判断时，怎样仍然严谨地处理它？

从整条数列中抽出一条保留顺序的轨迹

先看

相邻项一会儿在 $1$ 附近，一会儿在 $-1$ 附近。若只抽取偶数下标，得到

若只抽取奇数下标，得到

规律不是凭空出现的。我们只是在原数列中删去一些项，并没有调换留下项的先后次序。

子列的定义

设 $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ 是实数数列。若

是一列严格递增的自然数，那么

称为 $(a_n)$ 的一个子列。

“严格递增”是定义的核心。可以跳过项，也可以跳过很多项，但不能回头，也不能反复使用同一个下标。例如，$(a_{2k})$ 是 $((-1)^n)$ 的子列；每次都重新取 $a_2$ 得到的一串 不是子列，因为下标没有前进。

收敛会传给每一条子列

定理 若 $a_n\to L$，则每个子列 $a_{n_k}$ 都满足 $a_{n_k}\to L$。

给定 $\varepsilon>0$，由 $a_n\to L$，存在 $N$，使

又由于下标严格递增，$n_k\ge k$。所以当 $k\ge N$ 时，$n_k\ge N$，进而

这正是子列收敛到 $L$ 的定义。

这个结论最常用的地方反而是证明发散：如果原数列收敛，它的每一条子列都只能有同一个极限。因此，只要找到两条子列分别趋于不同数，原数列就不收敛。开头的 $(a_n)$ 同时有极限 $1$ 和 $-1$ 的子列，所以它没有实数极限。

子列极限与聚点

若存在子列 $(a_{n_k})$ 使

就称 $L$ 是 $(a_n)$ 的一个子列极限，也常称为这个数列的聚点。它只说明尾部会反复靠近 $L$，并不要求每一项都靠近 $L$。

以下刻画把“反复靠近”写成精确语句：

若已有收敛子列，给定 $\varepsilon$ 后，子列从某一项起全部落入该邻域，当然提供无限多个不同下标。反过来，若每个邻域里都有无限多个项，先从 $|a_n-L|<1$ 的项中选 $n_1$；已选 $$ 后，再从满足

的无限多个项中选一个 $n_k>n_{k-1}$。这样构成子列，且

这里“无限多个”不是装饰语：它保证我们删掉有限多个已选下标后，仍能继续选下一项。

单调数列的例外

对一般数列，一条收敛子列管不住全体；但单调性可以补上这一点。

定理 若 $(a_n)$ 单调，并有子列 $a_{n_k}\to L\in\mathbb R$，则 。

以非减情形为例。给定 $\varepsilon>0$，选 $K$ 使

对 $n\ge n_K$，非减性给出 $a_n\ge a_{n_K}>L-\varepsilon$。另一方面，总能取 足够大使 ；此时 。令 ，得到 。所以

即 $a_n\to L$。非增情形把不等号方向调换即可。单调性把两个相邻的子列项之间的所有项都夹住了，因此它们没有机会另走一条路。

用尾部上、下边界读出振荡

“发散”有时信息太少。有些数列虽然不收敛，尾部却一直有清楚的最高高度和最低高度。上极限、下极限用来记录这两个数。

设 $(a_n)$ 有界。对每个 $N\in\mathbb N$，令

并定义尾部上确界、下确界

$N$ 增大时，尾部集合只会缩小，因此 $(s_N)$ 单调不增，$(t_N)$ 单调不减。原数列有界，所以这两个辅助数列又分别有下界、上界；由前面已经建立的单调收敛定理，它们都有极限。定义

它们看的是“从足够靠后开始还能达到什么”，不是前若干项的最大值、最小值。早期一个很大的异常值会在尾部不断后移时被抛掉。

例题：先分辨两条尾部支路

设

偶数项与奇数项分别为

每个尾部都有偶数项从上方逼近 $3$，故尾部上确界趋于 $3$；每个尾部又有一串奇数项任意接近 $1$，且所有项都大于 $1$。因此

二者不同，表示尾部的振幅并没有压缩到零，所以该数列不收敛。

上、下极限相等时

对任意 $n\ge N$，上确界和下确界的定义给出

因此必有

更重要的是，对有界数列，

先看充分性。若两个极限同为 $L$，给定 $\varepsilon>0$，可取足够大的 $N$，使

于是所有 $n\ge N$ 都满足

故 $a_n\to L$。必要性则来自收敛的尾部最终会整体落入 $L$ 的任意小邻域，尾部上、下确界也只能向 $L$ 靠拢。

若数列无上界，常把上极限记为 $+\infty$；若无下界，常把下极限记为 $-\infty$。例如 $n$ 的两个量都可写为 $+\infty$。这只是描述发散方向的扩展记号；本课程里的“收敛”仍要求极限是实数。

它们也是最极端的子列极限

令

对每个 $k$，尾部会无限次出现大于 $\alpha-\frac1k$ 的项；否则从某处起所有项都不超过 $\alpha-\frac1k$，与 是尾部上确界的极限矛盾。另一方面，足够靠后的所有项都小于 。于是可递归选取 ，使

所以 $a_{n_k}\to\alpha$。同理，下极限也是某条子列的极限。

反过来，若 $a_{n_k}\to L$，则尾部界会同时夹住该子列，故

因此，对有界数列，上极限正是所有子列极限中最大的一个，下极限是最小的一个。

有界数列为什么总能抽出收敛部分

有界不推出整条数列收敛，$(-1)^n$ 已经是反例。但有界足以保证至少有一条收敛子列。

Bolzano–Weierstrass 定理 每个有界实数数列都有一个收敛子列。

它是存在性结论：不承诺原数列收敛，也不直接告诉我们该选哪些下标；它只保证无限多个被关在有限区间里的项，不会完全没有聚拢的去处。

区间套证明

设所有项都落在某个闭区间 $I_0=[A,B]$ 中。将 $I_0$ 二分，两个半区间至少有一个含有无限多个数列项；否则两半各只有有限多项，合起来也只有有限多项，矛盾。保留那个半区间，称为 $I_1$。

重复这个步骤，得到

其中每个 $I_k$ 含有无限多个项，并且

第 3 章的区间套结论来自实数完备性：这些闭区间有唯一公共点，记为 $L$。

现在才抽取下标。先从 $I_1$ 选取一个项 $a_{n_1}$。若已经选到 $n_{k-1}$，因为 中有无限多个项，必能找到一个更大的下标 ，满足

又因 $L\in I_k$，有

所以 $(a_{n_k})$ 收敛到 $L$。证明中必须保留“无限多个项”：若区间里只有一个早期项，下一步可能找不到更大的下标，子列就无法继续。

所有收敛子列极限相同时

由此可得一个很方便的判别法：设 $(a_n)$ 有界，且它的每一条收敛子列都收敛到同一个 $L$，则 $a_n\to L$。

反证。若 $a_n$ 不趋于 $L$，则存在 $\varepsilon_0>0$，使任意门槛之后都能找到项满足

把这些项递归抽成一条子列。它仍有界，故还有一条收敛子列；那条更深的子列始终在 $L$ 的 $\varepsilon_0$ 邻域之外，不可能收敛到 $L$，矛盾。

有界不能省略。$a_n=n$ 没有任何收敛子列，所以“所有收敛子列都趋于 $L$”会空洞成立，但原数列并不收敛。

Cauchy 条件：不猜终点，先检查尾部是否聚拢

收敛定义需要候选极限 $L$。可在递推数列或部分和问题中，最难的往往正是不知道 $L$。Cauchy 的办法是不先找终点，而是比较尾部各项彼此的距离。

数列 $(a_n)$ 称为 Cauchy 数列，如果

这里是尾部的任意两项，不是仅比较相邻两项。

相邻差趋零仍然不够

令

虽然

但对每个 $N$ 都有

尾部中总能找到距离至少为 $\frac12$ 的两项，所以 $(H_n)$ 不是 Cauchy 数列。

收敛数列必为 Cauchy 数列

若 $a_n\to L$，给定 $\varepsilon>0$，取 $N$ 使得 $r\ge N$ 时

当 $m,n\ge N$，三角不等式给出

所以收敛必然推出 Cauchy。这个方向只用极限定义和三角不等式，不依赖实数完备性。

Cauchy 数列有界

取 $\varepsilon=1$。Cauchy 条件给出某个 $N$，使所有 $n\ge N$ 都有

于是

前面有限多个项 $a_1,\ldots,a_{N-1}$ 也有最大绝对值。把它与 $1+|a_N|$ 中较大的那个作为界，就得到整个数列有界。

实数中的 Cauchy 收敛准则

在 $\mathbb R$ 中，

反方向必须避免循环论证。设 $(a_n)$ 是 Cauchy 数列。

这个证明还留下一个工具：Cauchy 数列只要找到一条收敛到 $L$ 的子列，整条数列就收敛到同一个 $L$。

完备性为何不可替代

Cauchy 条件描述的是“内部已经靠拢”，并没有自动保证当前数系里存在落点。实数完备性提供的正是这个保证。

考虑有理数列

每个 $q_n$ 都有理，且

若 $m,n\ge N$，则

给定 $\varepsilon>0$，可取 $N$ 使 $2\cdot10^{-N}<\varepsilon$，故 $(q_n)$ 是 Cauchy 数列。它在实数中收敛到 ，却不在有理数集 中收敛：若它在 中收敛到有理数 ，把同一数列看作实数列，极限唯一性就会迫使 ，矛盾。

有理数的稠密性不能填补这个缺口。稠密只说任意区间里能找到有理数，不说某个 Cauchy 过程的极限本身一定属于 $\mathbb Q$。因此 Cauchy 当且仅当收敛是实数完备性的表现。

为无穷级数预留的接口

下一章将级数定义为部分和数列的极限。若

则 Cauchy 条件中的差为

所以级数收敛要求的不只是 $a_n$ 变小，而是从足够靠后的地方开始，任意一段连续有限和都能压到任意小。这正是下一章的出发点。

练习与完整解答

练习一

证明：若 $a_n\to L$，则任意子列 $a_{n_k}$ 也趋于 $L$。

练习二

求

的全部子列极限。

练习三

设

求 $\limsup b_n$、$\liminf b_n$，并判断是否收敛。

练习四

设 $(a_n)$ 非增，且某个子列 $a_{n_k}\to L\in\mathbb R$。证明 。

练习五

证明

是 Cauchy 数列，并求极限。

练习六

令

用 Cauchy 定义证明 $(H_n)$ 不是 Cauchy 数列。

本章要带走的判断顺序

遇到一个陌生数列，可以依次问：它是否有界？若有界，能否从子列看出不同聚点，或用上、下极限压住振荡？若极限根本猜不出，尾部任意两项是否满足 Cauchy 条件？

子列抓住反复出现的局部行为；Bolzano–Weierstrass 定理保证有界数列不会完全没有收敛的局部行为；Cauchy 准则借助实数完备性，把“彼此靠近”变成“确实收敛”。下一章研究无穷级数时，这一切都会落在部分和数列上。

按子列极限定义，$a_{n_k}\to L$。

因此 $1,-1$ 都是子列极限。若某条子列收敛到 $L$，它的偶数下标若有无限多个，从中再抽出的子列也必须收敛到 $L$，却又趋于 $1$，故 $L=1$；同理，奇数下标若有无限多个，便有 $L=-1$。两类下标不可能同时无限多，否则会迫使同一收敛子列有两个极限。于是全部子列极限为

奇数项为

尾部最高支路趋于 $\frac72$，最低支路趋于 $\frac52$，故

二者不同，因此数列不收敛。

当 $n\ge n_K$ 时，非增性给出 $a_n\le a_{n_K}<L+\varepsilon$。再取任意 $k$ 满足 $n_k\ge n$，则 $a_n\ge a_{n_k}$；令 $k\to\infty$，得到 $a_n\ge L$。于是

因此 $|a_n-L|<\varepsilon$，故 $a_n\to L$。

故

给定 $\varepsilon>0$，取 $N$ 使 $5/N<\varepsilon$。若 $m,n\ge N$，则

所以它是 Cauchy 数列。又由 $0<u_n<5/(2n)\to0$，夹逼定理给出 $u_n\to0$。

这和式有 $N$ 项，每项不小于 $1/(2N)$，故

无论门槛取多大，都能找到尾部两项距离超过 $\varepsilon$，这正是否定 Cauchy 条件。