紧性与连续函数的全局结论

上一章里，我们把连续性说得很精确：固定一个点 $c$，别人先提出函数值误差 $\varepsilon$，我们再在 $c$ 附近找一个合适的 $\delta$。这个定义解决的是“一个点附近会不会突然失控”。它并没有承诺同一个 $\delta$ 能照顾整个区间。

这一区别起初很容易被忽略。对每个 $c\in(0,1)$，函数 $1/x$ 都连续；可越靠近 $0$，要想控制函数值，允许的输入范围就得越小。若把每个点得到的半径都堆在一起，它们可能一路缩向 $0$，根本没有一个正的最小值可拿出来给全区间使用。

本章要回答的正是这个问题：什么时候能把“每一点各有一套局部控制”变成“整个集合共用一套控制”？答案不是连续性本身，而是定义域的紧性。紧性会把一大族局部邻域缩成有限多个；有限以后，最大值、最小值和统一的正半径才有机会出现。

从无限局部信息到有限控制

先把这里用到的语言说清楚。设 $K\subset\mathbb{R}$。一族实直线中的开集 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ 称为 $K$ 的一个开覆盖，是指每个 $x\in K$ 至少落在其中一个 $U_\alpha$ 里，即

这族开集可以无限多。若能从中挑出有限个 $U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_m}$，而且仍有

就称它们是一个有限子覆盖。紧性说的不是“原来的覆盖只有有限个”，而是“无论原覆盖多长，总有有限部分已经够用”。证明中也会遇到形如 $K\cap O$ 的相对开集，其中 $O$ 在 $\mathbb R$ 中开；把这类集合拿来覆盖 $K$ 与使用实直线中的开集等价，有限子覆盖性质不变。

在实直线上，紧集有一个极方便的等价刻画：

这句话把“开覆盖”这个看似抽象的条件变成了可检查的闭有界性。不过在本章的证明里，真正干活的是有限子覆盖性质。闭和有界只是实直线给我们的一个快捷入口；到了更一般的度量空间，“闭且有界”未必足以推出紧，开覆盖才是稳妥的定义。

为什么少一个条件都不行

闭区间 $[a,b]$ 既闭又有界，所以紧。相反，下面两类失败分别暴露了“闭”和“有界”各自的作用。

对开区间 $(0,1)$，考虑开区间族

它们确实覆盖 $(0,1)$：给定 $x>0$，取足够大的 $n$ 使 $1/n<x$ 即可。但有限挑出若干个以后，设其中最大的下标为 $N$，这些集合的并至多是 $U_N=(1/N,1)$，靠近 $0$ 的那一段仍没有覆盖。这里缺掉的是端点 $0$；局部区间可以不断往它追，却永远不能在有限步封住它。

对无界集合 $[0,\infty)$，考虑

它们覆盖了整个 $[0,\infty)$，但任意有限部分都被某个 $V_N$ 包住，而 $N+1$ 不在 $V_N$ 中。这里没有漏掉边界点，而是集合一直延伸，有限多个局部范围无法管到无穷远。

有限化到底做了什么

设 $f:K\to\mathbb{R}$ 在紧集 $K$ 上连续。固定每个 $t\in K$，点连续性允许我们取一个开区间 $I_t$，使得

所有 $I_t$ 当然覆盖 $K$，因为每个 $t$ 都在自己的区间中。紧性把这无限族区间压成

现在任意 $x\in K$ 至少落在一个 $I_{t_i}$ 中，于是

而右边只涉及有限多个数 $f(t_1),\ldots,f(t_m)$。令

就得到 $|f(x)|\le M$ 对所有 $x\in K$ 成立。连续性原本只在一个点附近给控制；紧性让我们只需记住有限个点的函数值，于是局部有界性变成了全局有界性。

下面的交互件把这个“从许多小区间中抽出有限个”的动作画出来。它不是一种通用的选取算法；定理保证的是有限选择一定存在。

连续函数把紧集送到紧集

这个结论会把有关定义域的紧性转移到函数值那边。

若 $K\subset\mathbb{R}$ 紧，且 $f:K\to\mathbb{R}$ 连续，那么 $f(K)$ 紧。

证明的动作很值得慢慢看。任取 $f(K)$ 的一个开覆盖 $\{W_\alpha\}_{\alpha\in A}$。我们不能直接把它当作 $K$ 的覆盖，因为这些集合活在函数值轴上。于是把每个集合拉回定义域：

连续性的一个等价表述是：开集的原像在相对定义域 $K$ 中开。因此这些原像是刚才说明过的相对开集。又因为每个 $f(x)$ 都落在某个 $W_\alpha$ 中，原像族覆盖 $K$：

由紧性，可取有限多个原像覆盖 $K$。把它们对应回去，$W_{\alpha_1},\ldots,W_{\alpha_m}$ 就覆盖 $f(K)$。这正是 $f(K)$ 紧的定义。

在 $\mathbb{R}$ 中，紧集闭且有界，所以这一定理立刻给出：连续函数在非空紧集上有界，且它的值域不会在极限处留下缺口。后面的极值定理就是把这句话再推进一步。

连续函数不会跳过中间高度

“图像不跳”是连续性的有用直觉，但它还不是可以证明的说法。真正可用的结论是介值定理。设 $a<b$，$f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 连续。若实数 $\mu$ 严格位于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，那么存在 $c\in(a,b)$，使得

若 $\mu=f(a)$ 或 $\mu=f(b)$，结论也成立，不过取到它的点可以就是端点。因此做题时最好先分清“严格在中间”还是“包含端点”。

上确界如何找出那个点

我们证明 $f(a)<\mu<f(b)$ 的情形；另一种方向只需把 $f$ 换成 $-f$。令

$a\in S$，所以 $S$ 非空；$b$ 是它的上界。因此实数完备性保证

存在。$c$ 可以理解为“函数还没有越过高度 $\mu$ 的最右边界”。证明只剩下排除 $f(c)$ 比 $\mu$ 小或大的两种可能。

若 $f(c)<\mu$，连续性告诉我们：在 $c$ 右边足够近的点上，函数值仍小于 $\mu$。又因 $f(b)>\mu$，此时 $c\ne b$，所以能找一个 $c$ 右侧的点仍在 $[a,b]$ 内，且属于 $S$。这与 $c$ 是 $S$ 的上界矛盾。

若 $f(c)>\mu$，连续性告诉我们：在 $c$ 左边足够近的点上，函数值仍大于 $\mu$。但 $c=\sup S$ 的意思是，对任意小的正长度，$c$ 左侧都必须有 $S$ 中的点；否则可以把上界往左挪。这个点一方面属于 $S$，应满足 $f(x)\le\mu$，另一方面又落在局部的 $f(x)>\mu$ 范围内，仍然矛盾。

两边都排除后，只能有

这段证明里，连续性负责让不等式在局部保持，完备性负责保证“最右边界” $c$ 存在。少了完备性，集合未必有这样的边界点；少了连续性，函数可以在边界处直接跳过 $\mu$。

例题：先证明根存在

证明方程

在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。

这里没有把根写成一个漂亮的公式，也没有妨碍我们得到存在性。二分法之所以可靠，正是因为每次保留一个端点异号的闭区间，介值定理始终保证根还在里面。

连续像为什么仍是区间

设 $I\subset\mathbb{R}$ 是区间，$f:I\to\mathbb{R}$ 连续。任取 $u,v\in f(I)$，并设

存在 $x,y\in I$ 使 $f(x)=u$、$f(y)=v$。由于 $I$ 是区间，$x$ 与 $y$ 之间的整个闭区间仍包含在 $I$ 中；在该闭区间上使用介值定理，就能找到 $z$ 使 $f(z)=r$。因此 $f(I)$ 也是区间。

这解释了“不能跳过高度”的精确含义，但要留意定义域必须是一个区间。若定义域是两个彼此分开的区间，函数可以在一块上恒为 $0$、另一块上恒为 $2$；它在各自的定义域部分仍连续，值域却跳过了 $(0,2)$。

下面的交互件展示端点异号时的二分定位。每一步并不是凭图像猜测，而是在保存介值定理的前提。

最大值不会逃到边界外

有界并不等于取得界。函数 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上连续且有界，值域的上确界是 $1$，但没有任何输入让函数值等于 $1$。极值定理补上的正是“上确界真的被函数取到”这一句。

设 $K\subset\mathbb{R}$ 非空且紧，$f:K\to\mathbb{R}$ 连续。则存在 $x_{\min},x_{\max}\in K$，使得对每个 $x\in K$，

因此 $f$ 在 $K$ 上取得最小值和最大值。

从连续像紧到极值

由前面的结论，$f(K)$ 是实直线中的非空紧集，因此它闭且有界。令

有界性保证这两个实数存在。上确界的逼近性质允许我们在 $f(K)$ 中取一列数 $y_n$，满足

于是 $y_n\to M$。由于 $f(K)$ 闭，它包含自己的极限点，故 $M\in f(K)$。所以存在 $x_{\max}\in K$ 满足 $f(x_{\max})=M$。对 $m$ 使用同样的论证，就得到 $x_{\min}$。

这条证明把逻辑链分得很清楚：紧性先经过连续函数传到值域；在实直线上，紧值域没有漏掉自己的上确界和下确界；最后才把两个数拉回定义域。

另一条路线：逼近最高处，再抽子列

也可以不先谈值域闭性。令

按上确界定义，对每个 $n\in\mathbb{N}$ 可选 $x_n\in K$，使

实直线中的紧性等价于序列紧性：$K$ 中任意数列有一个收敛到 $K$ 内点的子列。因此可取

连续性把输入的极限传给输出：

另一方面，上面的夹逼估计说明 $f(x_{n_j})\to M$，所以 $f(x_\ast)=M$。这一版本把证明压缩成三个动作：用上确界造接近最高处的点，靠紧性防止这些点逃掉，再靠连续性传递极限。

两个假设都不能顺手删掉

定义域不紧时，连续性救不了极值。$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上连续，却没有最大值或最小值；$f(x)=x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，却没有最大值。前者让极值往缺失端点跑，后者让极值朝无穷远跑。

定义域紧而函数不连续时，结论也会失效。定义 $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ 为

它在 $[0,1]$ 上有界，上确界是 $1$，但没有点取到 $1$。问题不在于区间漏了端点，而在于函数到了端点突然把应有的极限值换掉了。

例题：把值域完整写出来

设

求 $q([0,3])$。

先配方：

当 $x\in[0,3]$ 时，$x-1\in[-1,2]$，所以

下界在 $x=1$ 取到，$q(1)=1$；上界在 $x=3$ 取到，$q(3)=5$。极值定理保证连续函数确实能取到它的最小、最大高度，介值定理又保证中间高度没有缺失。因此

“连续函数把闭区间映成闭区间”就是这两条定理合起来的结论；仅有其中一条都不够。

一致连续：全体点对共用一个半径

设 $E\subset\mathbb{R}$，$f:E\to\mathbb{R}$。点连续的量词顺序是

这里的 $\delta$ 可以依赖于中心点 $x_0$。一致连续把中心点放到 $\delta$ 之后：

也就是说，先给定误差要求 $\varepsilon$，我们只能选一次 $\delta$，随后它要同时处理 $E$ 里的每一对近点。

一个直接可算的正例

函数 $f(x)=x^2$ 在 $[-2,2]$ 上一致连续。对任意 $x,y\in[-2,2]$，

给定 $\varepsilon>0$，取

那么 $|x-y|<\delta$ 就推出 $|x^2-y^2|<\varepsilon$。这里能够直接写出统一常数，是因为定义域已经把 $|x+y|$ 统一压在 $4$ 以下。

两个连续但不一致连续的反例

同一个 $x^2$ 放到 $\mathbb{R}$ 上就不一致连续。假设给定 $\varepsilon_0=1$ 后存在某个 $\delta>0$。取

两点距离是 $\delta/2<\delta$，但

只要 $n>1/\delta$，这个量就大于 $1$，与统一控制矛盾。函数并没有在某个有限点不连续；失败来自远处的变化越来越陡。

另一个不同的失败方式出现在 $f(x)=1/x$ 的定义域 $(0,1)$。令

则

但

输入点已经挤得任意近，输出却始终相差 $1$。这说明靠近缺失点 $0$ 时，每个局部 $\delta$ 都会被迫缩小，无法留下全域统一的正半径。

下面的交互件把几个定义域放在一起比较。看它时请始终抓住同一个问题：固定 $\varepsilon$ 后，是否能在选点之前先选好一个 $\delta$？

紧性怎样制造统一的 $\delta$

现在可以看本章最典型的“有限化”证明了。

若 $K\subset\mathbb{R}$ 紧，且 $f:K\to\mathbb{R}$ 连续，则 $f$ 在 $K$ 上一致连续。

这个结论常被称为闭有界区间上的连续函数自动一致连续。用紧集表述更准确：闭区间只是实直线中最常见的紧集。

覆盖式证明

固定 $\varepsilon>0$。对每个 $t\in K$，由 $f$ 在 $t$ 连续，可取 $\rho_t>0$，使得

请注意 $\rho_t$ 现在仍依赖于 $t$；这还不是一致连续。我们把每个局部控制的一半拿来做开区间：

它们覆盖 $K$。由紧性，存在 $t_1,\ldots,t_m\in K$，使

这时才可以定义

正性来自“有限”：无限多个正数的下确界可能是 $0$，有限多个正数的最小值一定仍为正。

任取 $x,y\in K$ 且 $|x-y|<\delta$。有限子覆盖保证 $x$ 落入某个 $J_{t_i}$，所以

再用三角不等式，

因此 $x$ 和 $y$ 都落在同一个中心 $t_i$ 的连续性控制范围内：

最后一次三角不等式给出

这里的缩半并不是装饰。$x$ 只知道落在半径 $\rho_{t_i}$ 的覆盖区间里；我们还要把离 $x$ 很近的 $y$ 推进半径 $2\rho_{t_i}$ 的原始连续性控制区间，才可以让两点通过同一个中心比较。

数列式反证法

在实直线上，也可以把“不存在统一 $\delta$”翻译成数列。若 $f$ 不一致连续，则存在 $\varepsilon_0>0$，使得每个 $n$ 都能选出 $x_n,y_n\in K$，满足

紧性给出 $x_n$ 的收敛子列：

而

所以 $y_{n_j}\to x_\ast$。连续性于是给出

两列函数值之差应趋于 $0$，却始终不小于 $\varepsilon_0$，矛盾。覆盖式证明让我们看见“取有限个半径再取最小值”；数列证明让我们看见“相近点被紧性迫到同一极限点”。它们说的是同一件事的两种语言。

把全局结论放在一起使用

本章的几个定理容易混成一句“连续函数很好”。真正做题时，应先问结论到底要什么。

若要证明某个中间函数值或某个零点存在，先检查定义域是否包含连接两个点的区间、函数是否连续，并使用实数完备性支撑的介值定理。若要保证最大值和最小值真的取到，检查定义域是否非空紧、函数是否连续。若要得到一个全域统一的误差半径，检查的是紧性和连续性，从而使用一致连续结论。

自检练习

练习一

证明方程

在 $(1,2)$ 内至少有一个解。

练习二

不用紧性定理，直接证明 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上一致连续。

练习三

证明 $f(x)=x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续。

练习四

证明 $[0,1)$ 不是紧集：给出一个没有有限子覆盖的开覆盖。

练习五

设 $K\subset\mathbb{R}$ 非空紧，$f:K\to\mathbb{R}$ 连续。证明存在 $x_\ast\in K$，使得

下一步：从全局约束回到局部斜率

到这里，我们已经知道：在紧的定义域上，连续函数的值域不会逃向无穷、不会漏掉最大最小，也可以用同一个 $\delta$ 控制所有近点。下一章会换一个问题：如果函数值不仅靠近，而且靠近的方式近似一条直线，那么这个局部斜率能否稳定下来？这就需要回到差商极限，正式定义导数。