连续性与连续函数的基本性质

上一章研究函数极限时，我们刻意把 $x=a$ 那一点拿开了：$x$ 靠近 $a$ 时 $f(x)$ 去哪里，和 $f(a)$ 有没有定义、取了什么值，是两件事。连续性正是把这两件事重新对齐的条件。它要求函数在点上的实际取值，恰好等于附近输入所逼近的输出。

微积分里常把连续函数说成“图像能一笔画完”。这个画面有帮助，却不是定义。它默认了定义域像一段没有缺口的线，也默认了图像足够规整；一旦函数在有理数和无理数之间交替取值，或定义域本身很零散，“笔该怎么走”已经无从判断。本章要把这种直觉换成能做证明的语言，并学会判断它在什么地方失效。

为什么“一笔画”不是定义

对常见的多项式、三角函数和指数函数，一笔画的比喻往往没有惹麻烦：笔尖稍微挪动，图像的高度也只是稍微变化。但它没说清“稍微”到底是多少，也没有告诉我们遇到密集交错的输入时该怎样判定。

看函数

无论你把笔尖放在实轴的哪个位置 $c$，任意小的邻域里同时有有理数和无理数。把输入往 $c$ 挪得再近，输出也会在 $1$ 与 $0$ 之间切换。这里不是曲线“拐得很急”，而是任何局部范围里都没有稳定的输出趋势。用“一笔画”描述它没有可操作的标准；用严格定义则能明确判定：它在每一点都不连续。

这类反例还有一个容易说错的地方。有理数稠密、无理数也稠密，意思是每个非空开区间里都能找到这两类数；它并不意味着某一类数能够“填补”另一类数的缺口。稠密性在这里提供的是两种任意靠近同一点的输入路径，正好足以检验连续性。

所以我们需要的不是图像印象，而是一句带量词的话：不管输出允许的误差有多小，都能规定一个输入范围，让该范围内定义域中的每个输入都满足输出误差要求。

点连续：把极限值和函数值对上

设 $E\subset\mathbb{R}$，$f:E\to\mathbb{R}$，并且 $c\in E$。称 $f$ 在 $c$ 连续，如果对每个 ，都存在 ，使得对每个 ，只要

就有

这里没有 $0<|x-c|$。因为连续性检查的对象包括 $x=c$，而此时不等式自动成立；更重要的是，写下 $f(c)$ 已经要求 $c$ 在定义域中。函数没有在 $c$ 定义，就谈不上“在 连续”。

你可以把定义看成一次严格的应答。对方先指定输出误差 $\varepsilon$，而且可以挑得任意苛刻；我们随后给出输入半径 $\delta$。这个 $\delta$ 可以依赖于 $\varepsilon$、点 $c$ 和函数本身，但不能等到看见某个具体 $x$ 后再临时更换。给出的一个 $\delta$ 必须同时管住定义域中所有满足 $\mathrm{\mid }x-$ 的 。

与函数极限的关系

如果 $c$ 是 $E$ 的聚点，那么

右边的极限定义要排除 $x=c$，左边的连续定义不排除。二者之所以等价，是因为在连续性不等式中，$x=c$ 这一种情形本来没有增加限制。这个等价式把检查连续性拆成三步：$f(c)$ 必须有定义；附近极限必须存在；那个极限必须正好等于 $f(c)$。

聚点条件不是装饰。设

而 $f$ 在 $[1,2]$ 上怎样定义暂且不管。取 $\delta=1/2$，定义域中满足 $|x-0|<\delta$ 的点只有 $0$ 本身，于是 自动在 连续。这是相对于 的连续性； 周围并没有来自 的点可以逼近它。把“极限等于函数值”的说法直接套到这种孤立点，会掩盖这个事实。

单侧连续和区间端点

当点 $c$ 位于定义域区间的内部，左右两边都能靠近它。此时 $f$ 在 $c$ 连续，当且仅当它左连续、右连续，并且三者取同一个值：

右连续的 $\varepsilon$–$\delta$ 版本是：对每个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $x\in E$ 且

时，$|f(x)-f(c)|<\varepsilon$。左连续只需把条件换成 $c-\delta<x\le c$。这些写法仍然强调 $x\in E$；如果定义域缺了许多点，不在定义域的数不需要接受检验。

于是，对区间连续的说法应当带上端点规则：

• $f$ 在 $(a,b)$ 连续，表示它在每个 $c\in(a,b)$ 连续；
• $f$ 在 $[a,b)$ 连续，表示它在 连续且在 右连续；

端点不需要凭空检查区间外的一侧。比如 $s(x)=\sqrt{x}$ 定义在 $[0,\infty)$ 上，$0$ 处的连续性只问 的输入。给定 ，取 ；若 ，则

所以 $s$ 在 $0$ 右连续，也就是相对于其定义域在 $0$ 连续。不能因为它没有左侧定义就把它判为不连续。

再看

在 $0$ 的左侧，函数值趋于 $2$；在右侧，函数值趋于 $0$，并且 $p(0)=0$。右连续并不能替代双侧连续：两侧极限不同，所以 $p$ 在内点 $0$ 不连续。

用 $\varepsilon$–$\delta$ 亲手证明

定义看上去抽象，实际证明通常有同一条路线：先把 $|f(x)-f(c)|$ 化成含有 $|x-c|$ 的量；如果还出现不受控制的因子，先把 $x$ 限制在 $c$ 附近，再选择 $\delta$。

例题：多出一个因子时怎样选半径

证明 $q(x)=x^2+2x$ 在任意 $c\in\mathbb{R}$ 连续。

例题：分母为什么要先远离零

设 $r(x)=1/(x+3)$，证明它在任意 $c\ne-3$ 处连续。直接相减得到

分母里的 $|x+3|$ 不能假装有固定下界；必须由 $x$ 靠近 $c$ 推出来。先要求

反三角不等式给出

于是

现在取

当 $|x-c|<\delta$ 时，分母既不为零，上面的估计也小于 $\varepsilon$。这个例子说明：证明里那一个看似多余的“先取 $\delta\le1$”或“先让分母离零点有距离”，往往正是使后续估计合法的关键。

序列判别法：用所有靠近方式检查连续

对 $f:E\to\mathbb{R}$ 与 $c\in E$，有一个特别适合反证的等价说法：

它说的不是“找一列看起来不错的输入”。连续性要求每一种在定义域内逼近 $c$ 的数列，经过 $f$ 后都逼近同一个 $f(c)$。反过来，要推翻连续性，一条失败的数列就够了；若要说明函数极限根本不存在，两条给出不同输出极限的数列最有力。

这个判别法为什么可靠

先假定 $f$ 在 $c$ 连续。给定 $\varepsilon>0$，连续性给出一个 $\delta>0$。又因为 $x_n\to c$，存在 ，使 时 。此后所有项满足 ，所以 。

反向逻辑更值得记住。若 $f$ 在 $c$ 不连续，就存在某个固定的 $\varepsilon_0>0$，使得每给一个正的 $\delta$，总能选到 $x\in E$ 满足

依次把 $\delta$ 取为 $1,1/2,1/3,\ldots$，选出对应的 $x_n$。于是 $|x_n-c|<1/n$，故 ；但函数值始终离 至少 ，不可能收敛到 。这正是失败连续性可以制造失败数列的原因。

两条数列怎样击破直觉

回到开头的 $D$。在任意 $c\in\mathbb{R}$，可利用有理数和无理数的稠密性选出

于是 $r_n\to c$、$s_n\to c$，可是

同一个输入目标，得到两种互不相同的输出极限，故 $D$ 在 $c$ 不连续。$c$ 任意，所以它处处不连续。

再设

取 $x_n=1/n$，则 $x_n\to0$，但 $u(x_n)=1\not\to u(0)=0$。一列已经足以判定 在 不连续。若再取 ，就有 ；左右两列也解释了为什么无论怎样改 ，这里都修不好。

连续函数如何组合

连续函数并不是各自孤立的。设 $f,g:E\to\mathbb{R}$ 都在 $c\in E$ 连续，则

也在 $c$ 连续；如果 $g(c)\ne0$，那么 $f/g$ 也在 $c$ 连续。

加法与减法直接对应极限的加减法。乘法的证明比外观多一步：$f(x)g(x)-f(c)g(c)$ 可以拆成

连续性会使 $f(x)$ 在 $c$ 附近有界，再分别压住两个差，乘积就能控制。商的条件 $g(c)\ne0$ 同样不能省略。由 $g$ 在 $c$ 连续，取输出误差 ，便存在一个邻域使

因此 $|g(x)|>|g(c)|/2>0$，分母不仅在点 $c$ 不为零，在附近也不会突然变成零，商才真的有定义并可做估计。

常数函数与恒等函数 $x\mapsto x$ 连续，反复使用这些规则可得：每个多项式在 $\mathbb{R}$ 上连续；有理函数

在每个满足 $Q(c)\ne0$ 的点连续。比如

在所有实数上连续，因为分母始终满足 $x^2+2>0$。这里结论来自分母在每一点都不为零，不是因为“分式看起来平滑”。

极限正确，函数值却放错：可去间断

考虑

当 $x\ne3$ 时，$v(x)=x+3$，所以

它在 $3$ 处不连续，但问题只在一个函数值。把 $v(3)$ 从 $5$ 改成 $6$ 后，所得函数在 $3$ 连续，这种间断称为可去间断。如果原函数在该点没有定义、但删除该点后的有限极限存在，补上该极限也能得到同样的修复。

复合时，先检查函数能否接上

写 $f(g(x))$ 之前，先问 $g(x)$ 是否落在 $f$ 的定义域中。设 $g:E\to F$，$f:F\to\mathbb{R}$，。如果 在 连续，且 在 连续（都相对于各自定义域），那么

在 $c$ 连续。

证明的量词顺序和两层函数的方向相反。给定最终的 $\varepsilon>0$，先由外层 $f$ 在 $g(c)$ 连续，找到一个 $\eta>0$，使得对 $t\in F$，

再由内层 $g$ 在 $c$ 连续，找到 $\delta>0$，使得 $x\in E$ 且 $|x-c|<\delta$ 时，

把 $t$ 换成 $g(x)$，就得到 $|f(g(x))-f(g(c))|<\varepsilon$。先找 $\eta$、再找 ，不是形式上的讲究：外层究竟需要多精细的输入控制，必须先由外层决定。

例如

的定义域是 $[-2,\infty)$。内层 $g(x)=(x+2)/(x^2+1)$ 在实轴连续，且在这个定义域上 $g$；外层平方根在 连续。因此 在 连续， 处按右连续理解。若忽略内层的非负限制而声称它在整个实轴连续，表达式本身就没有定义好。

间断不止一种坏法

判断某个 $c$ 的间断，先分清是函数值出了问题，还是附近的极限出了问题。下面的分类围绕有限实数极限展开。

可去间断

删除点邻域内的双侧极限存在且有限，但 $f(c)$ 没定义，或 $f(c)$ 不等于该极限。上面的 $v$ 就是例子。改变一个点的值可以修复它，原因不是这个点“不重要”，而是附近的极限已经唯一确定了该填什么。

跳跃间断

左右极限都存在且有限，却不相等：

这时无论 $f(c)$ 取什么值，双侧极限都不存在。前面的 $p$ 在 $0$ 处就是跳跃间断。若函数在 $[a,b]$ 上除有限多个点外连续，并在每个内部断点具有有限的左右极限，常称它为分段连续；实际使用这个词时，要把端点只需相应单侧极限的规则说清楚。

无界间断

例如

在 $x\to2$ 时可以变得任意大。它不可能有有限的函数极限：若它趋于某个实数 $L$，那么足够靠近 $2$ 的函数值都应落入 $(L-1,L+1)$，这会给出一个固定上界；但取足够靠近 $2$ 的非零 就能使 。修改 的值也无法消除这种无界行为。

振荡间断

令

设

两列都趋于 $0$，但 $w(a_n)=1$ 而 $w(b_n)=-1$。函数值没有收敛到同一个数，故 在 振荡间断。它与无界间断不同：这里函数值始终被 管住，却仍然没有极限；有界绝不自动推出收敛。

两个稠密反例：处处失败与恰好一处成功

函数 $D$ 说明，只要有理与无理两条输入路径给出不同输出，连续性在每一点都会失败。稍微改造它，又能看到“在一个点连续”完全可能发生。令

由于 $D(x)$ 只可能是 $0$ 或 $1$，有

当 $x\to0$ 时右侧趋于 $0$，所以 $F(x)\to0=F(0)$，即 $F$ 在 $0$ 连续。也可以直接完成 – 证明：取 ，只要 就有 。

若 $c\ne0$，仍可选有理数列 $r_n\to c$ 和无理数列 $s_n\to c$。于是

两个输出极限不同，故 $F$ 在每个非零 $c$ 不连续。前面的因子 $x$ 没有让有理/无理的交错消失；它只在 $x=0$ 把两种输出之间的差距压到了零。

判断连续性的工作顺序

拿到一个具体函数时，可以先问四个问题。$c$ 是否在定义域内？如果是内点，删除点邻域内的极限是否存在且等于 $f(c)$？如果函数由熟悉的连续函数经过代数运算或复合得到，分母和外层定义域是否仍然合法？如果想证明不连续，能否找出一列、或两列输入来暴露失败？

到这里我们得到的仍是点附近的结论：每个点可以有自己的 $\delta$。下一章会处理一个新的问题：在闭有界集合上，怎样把无限多个局部控制压缩成有限个统一的控制，并由此推出有界、取到极值、介值和一致连续等全局结论。那些结论需要额外的集合条件，不能仅从“每一点连续”直接跳过去。

练习 1：按定义控制二次式

证明 $f(x)=x^2-2x$ 在 $c=3$ 连续。

练习 2：端点到底检查哪一边

设 $g(x)=\sqrt{x}$，定义域为 $[0,\infty)$。用定义证明 $g$ 在 连续，并说明它是否左连续。

练习 3：一个缺口能不能补上

令

判断 $h$ 在 $2$ 是否连续；若不连续，应把 $h(2)$ 改为多少？

练习 4：振荡能否被压住

定义

判断 $A$ 与 $B$ 在 $0$ 的连续性。

练习 5：复合前先找定义域

找出

的定义域，并说明它在哪些点连续。

要求 $|x-3|<1$ 时，$|x|<4$，从而 $|x+1|\le|x|+1<5$。给定 $\varepsilon>0$，取

若 $|x-3|<\delta$，则 $|x+1|<5$，所以

这正是 $f$ 在 $3$ 连续的 $\varepsilon$–$\delta$ 证明。

所以 $g$ 在 $0$ 相对于 $[0,\infty)$ 连续，也可说它在 $0$ 右连续。谈“左连续”需要有定义域中从左侧靠近 $0$ 的点；这里没有这类输入，因此不能把通常内点的双侧条件强加给端点。

但题设 $h(2)=-4$，所以极限不等于函数值，$h$ 在 $2$ 不连续。删除点邻域的极限已经存在且有限，故这是可去间断；把 $h(2)$ 改成 $5$ 后，所得函数在 $2$ 连续。

给定 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon$，便有 $|x|<\delta$ 时 $|A(x)-A(0)|<\varepsilon$。因此 $A$ 在 $0$ 连续。

对 $B$，取

两列趋于 $0$，而 $B(x_n)=1$、$B(y_n)=-1$。它们不可能都趋于 $B(0)=0$，所以 $B$ 在 $0$ 不连续，且为振荡间断。区别在于 $A$ 的振荡幅度被 $|x|$ 压至零，$B$ 的振荡幅度没有缩小。

分子分解为 $(2-x)(2+x)$。按临界点 $-2,-1,2$ 检查符号：在 $(-\infty,-2)$ 上该比值为正，在 $(-2,-1)$ 上为负，在 $(-1,2)$ 上为正，在 $(2,\infty)$ 上为负。端点使对数输入为零或分母为零，均不能取。

故定义域是

在这个集合的每一点，内层有理函数连续且取正值，而 $\ln t$ 在 $(0,\infty)$ 连续；由复合连续性，$K$ 在其整个定义域上连续。不能把结论延伸到 $-2,-1,2$，因为原表达式在那里没有定义。