实数系统与完备性

上一章里，我们反复练习了一件事：一句数学话究竟在断言什么，证明时又该怎样把条件一步步推到结论。现在要把这套习惯放到实分析最底层的地基上。以后我们会说数列“收敛到”某个数，函数在某点“连续”，面积“有”一个确定的值；这些话都默认了一个问题已经有答案：我们所用的数轴上，那个应该落脚的位置真的存在吗？

微积分课上，数轴通常画成一条没有缝的直线，于是很容易把“实数轴没有空洞”当成一幅图。图能帮我们想象，却不能替代定义。只在有理数里做四则运算也很顺手；分数之间还能继续插进分数，看起来已经足够密。可是，只要把“不断逼近一个边界”说得认真些，有理数就会露出一个无法靠画图补上的缺口。

本章不从头构造实数。我们把实数的运算和大小关系当作已知，并把一条额外性质——完备性——当作公理来使用。先别急着背这条公理。我们先看一个有界集合怎样在有理数世界里卡住，再建立上确界、下确界和逼近它们的证明方法。

四则运算和大小关系能保证什么

实数首先是一个可以加、减、乘、除的集合。对任意实数 $a,b,c$，加法和乘法满足交换律、结合律、分配律；有 $0$ 和 $1$ 两个单位元；每个 $a$ 有相反数 $-a$；每个非零数有倒数 $a^{-1}$。这些规则保证了我们熟悉的代数变形确实有依据，例如

实数还可以比较大小。这里至少有三件事在发挥作用：任意两个实数恰有一个满足 $a<b$、$a=b$、$a>b$；大小关系可以传递；不等式两边加同一个数不改变方向，乘正数不改变方向、乘负数则反向。于是

并且当 $c>0$ 时，

这不是为了把中学规则换一套名字。后面每一次“移项”“同乘一个正数”“取倒数”，都要靠这些性质判断方向是否正确。

两个很常用的距离规则

绝对值 $|x|$ 表示 $x$ 到 $0$ 的距离。由定义立刻有

把这件事分别用于 $a$ 与 $b$，再把两组不等式相加，得到

这正是三角不等式：

它说的是：从 $0$ 走到 $a+b$ 的直线距离，不会大于先走到 $a$、再走长度 $|b|$ 的总路程。这个直觉很简单，不过以后处理误差时，真正要用的是上面的不等式本身。

再把三角不等式写成 $a=(a-b)+b$，便有

从而 $|a|-|b|\le |a-b|$。交换 $a,b$ 后合并两边，得到反三角不等式：

它提醒我们：两个数的“长度”之差，不可能比两个数本身的距离更大。

平方为什么不会给出负数

若 $x\ne0$，则 $x^2>0$。当 $x>0$ 时，这是正数乘正数仍为正；当 $x<0$ 时，，而

这个小结论会在比较平方、讨论根式和证明不等式时反复出现。它同样说明：有序的代数系统已经能做很多事情，但还没有回答“有界集合最紧的边界是否存在”。有理数也拥有前面这些运算和顺序规则，问题恰恰出在下一步。

有理数的缝到底在哪里

边长为 $1$ 的正方形，其对角线长度应当是满足 $x^2=2$ 的正数。我们把它记作 $\sqrt2$。用有限小数或分数可以得到越来越好的近似：$$、、 都在向它靠近。这里有一个很容易被忽略的区别：

先确认 $\sqrt2$ 不是有理数。假设相反，它能写成既约分数 $p/q$，其中 $p,q$ 是正整数且没有公因数大于 $1$。平方以后有

右侧是偶数，所以 $p^2$ 是偶数。一个整数若是奇数，可写作 $2k+1$，其平方仍是奇数；因此 $p$ 必为偶数。令 $p=2k$，代回上式：

于是 $q^2=2k^2$，$q$ 也必须是偶数。这与 $p/q$ 已约到最简矛盾。因此

现在在有理数中考虑集合

它非空，因为 $1\in A$；它也有有理上界，例如 $2$ 是上界。理由是若 $r\ge2$，则 $r^2\ge4$，不可能属于 $A$。直觉会说，这个集合正好在 左侧堆积，它最紧的上界应是 。可 不在 中。是否还会有某个别的有理数代替它，成为最小上界？答案是否定的。

不是“分数不够密”，而是最紧的上界缺席

下面的代数计算把这个断言说严谨。对正有理数 $r$，定义

它仍是有理数，而且直接计算可得

以及

假如某个正有理数 $r$ 满足 $r^2<2$，上面两式说明 $\phi(r)>r$ 且 $\phi(r)^2<2$。也就是说， 后面还有更大的有理数留在 中，所以 不可能是 的上界。

反过来，若 $r^2>2$，则 $\phi(r)<r$ 且 $\phi(r)^2>2$。由于 ，任何 都满足 ，于是 ；所以 仍是 的有理上界，却比 更小。最后一种可能 已被刚才的无理性证明排除。

因此，$A$ 的每一个有理上界都还能再缩小一些；它在 $\mathbb{Q}$ 中没有最小上界。这个例子比“数轴上少一个点”的图像更有力：即使只允许分数，我们也能在两个分数之间继续找到分数；缺的不是插点能力，而是某些有界逼近过程需要的终点。

上界、最大值与上确界

设 $S\subset\mathbb{R}$。若有一个实数 $M$ 使得对所有 $s\in S$ 都有 $s\le M$，就称 $M$ 是 $$ 的。上界可以有很多个：如果 是上界，那么任何 满足 也都是上界。

最大值的要求更强。$M$ 是 $S$ 的最大值，表示

因此，最大值必须真的被集合取到。集合 $(0,1)$ 的元素都小于 $1$，所以 $1$ 是上界；但 $1\notin(0,1)$，它不是最大值。

当 $S$ 有上界时，我们最关心的是所有上界中最靠左的那个。若 $\alpha$ 是 $S$ 的上界，并且每个比 $\alpha$ 小的实数都不再是 $S$ 的上界，就称 $\alpha$ 为 $S$ 的上确界，写作

这一定义含有两个缺一不可的部分：$\alpha$ 要挡住 $S$ 的全部元素；同时它不能再往左挪一点。上确界不要求属于 $S$。事实上，$(0,1)$ 的上确界是 $1$，却没有最大值；而 $(0,1]$ 的上确界也是 $$，这次 同时还是最大值。

用任意小的余量识别上确界

设 $S$ 非空且有上界。$\alpha=\sup S$ 当且仅当下面两句话同时成立：

并且对每个 $\varepsilon>0$，都能找到 $s_\varepsilon\in S$，使得

第二句话常被读成“集合中的点能从左侧任意贴近 $\alpha$”。它并没有说 $\alpha$ 本身必须在集合中。

为什么两种说法等价？若 $\alpha$ 是最小上界，而某个 $\varepsilon>0$ 的区间 $(\alpha-\varepsilon,\alpha]$ 里没有集合元素，那么每个 $s\in S$ 都会满足 $s\le\alpha-\varepsilon$。这会让 成为更小的上界，矛盾。反过来，若每个正的 都能找到这样的 ，那么任何 取 后，都有某个集合元素大于 ；所以 不可能是上界。

由这两个条件还可看出上确界唯一。若 $\alpha<\beta$ 都满足条件，取 $\varepsilon=\beta-\alpha$，第二个条件会给出某个 $s\in S$ 满足 $s>\alpha$；这与 是上界冲突。

例题：一个端点不在集合里的上确界

令

证明 $\sup E=3$，并判断它是否有最大值。

下界、最小值与下确界

把方向全部反过来即可得到下半边的语言。若 $m\le s$ 对所有 $s\in S$ 成立，$m$ 是 $S$ 的下界；若 $m\in S$ 且 $m\le$ 对所有 成立， 是 的。最大的下界称为，记作

如果 $\alpha=\inf S$，则 $\alpha\le s$ 对所有 $s\in S$ 成立，并且对每个 $\varepsilon>0$，存在 $$ 使得

不用再从头证明下确界的存在性。令

若 $S$ 非空且有下界，$-S$ 就非空且有上界。设 $\beta=\sup(-S)$，并令 $\alpha=-\beta$。对任意 $s\in S$，，所以 ；若 是 的任一下界，则 是 的上界，故 ，也就是 。因此

这条关系很实用：处理下确界时，常可把问题翻转成已经熟悉的上确界问题。

例如，对

有 $\sup F=1$，而且 $1$ 是最大值；有 $\inf F=-4$，但没有最小值。这个例子把四个容易混淆的词放在一起：上界和下界可以不属于集合，上确界和下确界也可以不属于集合，只有最大值与最小值必须是集合元素。

若一个集合同时有上界和下界，就称它有界。非空有界集合一旦能保证上确界存在，也就能保证下确界存在，并且

等号何时成立？恰好在 $S$ 只有一个元素时。若 $\inf S=\sup S=c$，每个 $s\in S$ 同时满足 $c\le s\le c$，故 ；反过来，单元素集合显然两者相等。

完备性：给逼近过程一个落点

至此，我们只是定义了“上确界”这个角色，却还没有证明任何有上界集合都能找到它。定义一个东西，和证明满足定义的对象真的存在，是两回事。比如空集的每个实数都是上界，却没有最小上界：不管选哪个数，总能再选一个更小的数作上界。

实数与有理数的分水岭由下面的公理刻画：

注意两个前提都不能省略。空集没有上确界；$\mathbb{R}$ 本身非空，却没有实数上界。公理也没有说“每个集合有最大值”，更没有说“每个方程自动有解”。它只承诺：一个非空、向上被控制住的实数集合，不会在寻找最小上界时掉进一个数轴上缺失的洞。

刚才的集合 $A$ 正好展示了必要性。它在 $\mathbb{Q}$ 中非空且有上界，却没有有理上确界；同一批数视为实数的子集后，完备性保证它有实数上确界，而这个边界就是 $\sqrt2$。所以“实数轴连续”若要变成可检验的数学陈述，说的就是这条上确界性质，而不是一条画得顺滑的线。

例题：用上确界证明一个根的位置

考虑

集合 $G$ 非空，因为 $0\in G$；它有上界，例如 $3$ 是上界，因为 $x\ge3$ 时 $x^2\ge9>5$。完备性给出 。这个结论的价值在于，我们没有先把 写成某个小数或分数，却已经获得了一个确实存在的临界位置。

接下来可以把这一步补完整。对非负实数 $y$ 定义

直接整理得到

以及

若 $u^2<5$，这两式给出 $\psi(u)>u$ 且 $\psi(u)^2<5$，所以 ；这与 是 的上界矛盾。若 ，则 且 。任取 ，若 ，由两数非负会有 ，这与 冲突；故 。于是 是比 更小的上界，违背 的最小性。两种不等式都不可能，故 。

这里最该记住的不是构造式本身，而是证明的结构：先验证集合满足完备性的前提，用上确界制造候选对象，再用“不能往左或往右挪”的矛盾排除错误情形。下一章会把同一种结构用于单调数列，得到真正的收敛定理。

自然数总能走得更远

“取足够大的 $n$”在微积分计算里常是一句很自然的话。严格证明不能把它当口头承诺；它来自完备性的一个推论，称为阿基米德性质：对任意 $x\in\mathbb{R}$，存在 $n\in\mathbb{N}$ 使得

更一般地，若 $a>0$、$b\in\mathbb{R}$，则存在 $n\in\mathbb{N}$ 使得

后一个结论只需先对 $b/a$ 使用前一个结论，再乘回正数 $a$。

证明：自然数没有实数上界

假设 $\mathbb{N}$ 有一个实数上界。它非空，完备性会给出

数 $\beta-1$ 比最小上界小，因而不可能仍是上界。于是存在某个 $k\in\mathbb{N}$，使得 $k>\beta-1$。两边加 $1$ 得

但 $k+1\in\mathbb{N}$，这与 $\beta$ 是 $\mathbb{N}$ 的上界矛盾。因此 $\mathbb{N}$ 没有实数上界，也就能超过任意给定实数。

最常用的形式是：对每个 $\varepsilon>0$，存在 $n\in\mathbb{N}$ 使

因为可取 $n>1/\varepsilon$，而两边为正，取倒数时不等号方向反过来。这条结论以后会把“误差可以压得任意小”变成具体的阈值选择；它不是说某个固定的 $1/n$ 很小，而是说面对任何正误差，都能找到合适的 $n$。

稠密：间隔再小也能插入新数

现在可以严格说清先前提到的稠密性。若集合 $D\subset\mathbb{R}$ 满足：每个开区间 $(a,b)$ 都含有 $D$ 的一个元素，就称 $D$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密。

有理数为什么能插进任意区间

给定 $a<b$。由阿基米德性质，选取正整数 $n$ 使

我们会用一个基础的整数事实：对任意实数 $y$，存在整数 $m$ 满足

这件事也可以从良序原理严谨推出。阿基米德性质先给出自然数 $q>y$ 与 $p>-y$。令

集合 $C$ 非空，因为 $q+p\in C$；并且其中每个元素都是正整数，因为 $k>y$ 时 $k+p>y+p>0$。由自然数的良序原理， 有最小元素 。令 ，则 是大于 的最小整数。若 ，则整数 仍大于 ，使 落在 中，矛盾。因此 。

把 $y=na$ 代入，得到整数 $m$ 满足 $na<m\le na+1$。由于 $na+1<nb$，便有

除以正整数 $n$ 后，

这里的 $m/n$ 是有理数，所以 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密。

无理数也稠密。先在 $(a,b)$ 内选两个有理数 $r_1,r_2$，使 $a<r_1<r_2<b$；再定义

因为 $0<1/\sqrt2<1$，所以 $r_1<t<r_2$，从而 。若 有理，则

会是有理数，这与 $\sqrt2$ 的无理性矛盾。因此 $t$ 是无理数。

稠密性解释了为什么近似时总能找到更细的有理数或无理数；完备性解释了为什么一些有界逼近所指向的边界仍是实数。它们经常一起出现，但逻辑角色并不相同。

无界集合与扩充实数记号

一个非空集合若没有实数上界，称为向上无界；若没有实数下界，称为向下无界。例如 $\mathbb{N}$ 向上无界，而整个 $\mathbb{R}$ 在两个方向都无界。

为了让某些结论的写法更简洁，人们会在实数轴两端添上两个形式符号 $-\infty$ 与 $+\infty$。它们不是实数，也不是可以和实数一起随意使用全部代数法则的新数字。约定

并用

表示非空集合 $S$ 向上无界，用

表示它向下无界。这是“没有有限上确界”或“没有有限下确界”的简写，不是说 $+\infty$ 或 $-\infty$ 是某个集合元素。

把形式符号带入算式时尤其要小心。像 $+\infty-+\infty$、$0\cdot(+\infty)$、$(+\infty)/(+\infty)$ 不能按普通实数规则计算；它们在极限问题中常对应不同的可能结果。先保留“它是未定形式”这一判断，比凭符号猜一个数安全得多。

本章练习

练习一：令

求 $\sup S$、$\inf S$、最大值和最小值；说明哪些对象属于 $S$。

练习二：证明

并说明该集合没有最大值。

练习三：证明反三角不等式

对任意实数 $u,v$ 成立。

练习四：给出一个具体的 $n\in\mathbb{N}$，使 $1/n<0.003$，并说明为什么你的选择有效。

练习五：证明 $10/7$ 位于区间 $(\sqrt2,3/2)$ 内，因此这个区间含有一个有理数。

练习六：设

在扩充实数的记号下，写出 $\sup U$ 与 $\inf U$；判断最大值和最小值。

实数的完备性到这里仍只有一条公理，却已经给出了一种很具体的存在性证明套路：先做出一个非空、有界的集合，再让它的确界提供候选对象，最后用确界的逼近性质锁定这个对象。下一章会把这套套路应用到有界集合和单调数列；“它应该靠近某处”的直觉会第一次变成严格的收敛结论。

任意小于 $4$ 的数都不能成为上界，因此 $\sup T=4$。又因为 $3/(n+1)$ 永远为正，$4$ 从不属于 $T$，所以 $T$ 没有最大值。

即 $|u|-|v|\le|u-v|$。交换 $u,v$，且注意 $|v-u|=|u-v|$，可得 $|v|-|u|\le|u-v|$。前一个不等式说明 $|u|-|v|$ 不超过右侧，后一个说明它的相反数也不超过右侧；这正等价于

所以 $10/7>\sqrt2$。再交叉相乘，

这显然成立。故 $\sqrt2<10/7<3/2$，而 $10/7$ 是有理数。这不是有理数稠密性的完整证明，却是它在一个具体区间中的一次可核验应用。