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上一节函数列与一致收敛下一节度量空间入口与实分析 I 综合
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数学实分析 I：数列、极限、连续性与一元微积分的严格基础函数项级数与幂级数

函数项级数与幂级数

函数项级数把“数列求和”的问题搬到函数空间里。我们不再只问一个数列 ∑an\sum a_n∑an​ 是否收敛，而是问

∑n=1∞un(x)\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)n=1∑∞​un​(x)

在每个 xxx 上是否收敛，收敛后的函数能不能保持连续、可积、可导，以及能不能把求和号和极限、积分、求导交换。

这一章的主线很短：先用 Weierstrass M 判别法得到一致收敛，再把它用到幂级数。幂级数在收敛半径内部表现得非常规整；麻烦主要在端点，以及 Taylor 级数是否真的表示原函数。

函数项级数部分和逐步逼近极限函数

函数项级数的收敛

设 E⊂RE \subset \mathbb{R}E⊂R，每个 un:E→Ru_n:E \to \mathbb{R}un​:E→R 都是函数。函数项级数

∑n=1∞un(x)\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)n=1∑∞​un​(x)

的第 NNN 个部分和是函数

SN(x)=∑n=1Nun(x)S_N(x)=\sum_{n=1}^{N}u_n(x)SN​(x)=n=1∑N​un​(x)

如果对固定的 x∈Ex \in Ex∈E，数项级数 ∑un(x)\sum u_n(x)∑un​(x) 收敛，就说函数项级数在这个 xxx 处收敛。若对每个 x∈Ex \in Ex∈E 都收敛，就得到一个和函数

S(x)=∑n=1∞un(x)S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)S(x)=n=1∑∞​un​(x)

这叫逐点收敛。逐点收敛只保证“每个点最后都到达”，不保证所有点以同一种速度到达。

一致收敛更强。若对每个 ε>0\varepsilon>0ε>0，存在 NNN，使得当 n≥Nn\ge Nn≥N 时，对所有 x∈Ex\in Ex∈E 都有

∣Sn(x)−S(x)∣<ε|S_n(x)-S(x)|<\varepsilon∣Sn​(x)−S(x)∣<ε

就说 ∑un\sum u_n∑un​ 在 EEE 上一致收敛。这个 NNN 只依赖 ε\varepsilonε，不能依赖 xxx。

判断函数项级数的一致收敛，通常不直接盯着未知的和函数 SSS，而是盯尾项。也就是说，研究 Sm−Sn=un+1+⋯+umS_m-S_n=u_{n+1}+\cdots+u_mSm​−Sn​=un+1​+⋯+um​ 是否能在整个区间上一并变小。

一致收敛的 Cauchy 形式是本章后面证明的常用入口：∑un\sum u_n∑un​ 在 EEE 上一致收敛，当且仅当对每个 ε>0\varepsilon>0ε>0，存在 NNN，使得 m>n≥Nm>n\ge Nm>n≥N 时，对所有 x∈Ex\in Ex∈E 都有

∣∑k=n+1muk(x)∣<ε\left|\sum_{k=n+1}^{m}u_k(x)\right|<\varepsilon​k=n+1∑m​uk​(x)​<ε

这个形式把问题变成了“尾巴是否能统一控制”。

Weierstrass M 判别法

M 判别法给出一个非常实用的思路：不要直接估计每个 xxx 上的求和过程，而是给每一项找一个与 xxx 无关的数值上界。

Weierstrass M 判别法用与 x 无关的上界控制函数项

设 ∣un(x)∣≤Mn|u_n(x)|\le M_n∣un​(x)∣≤Mn​ 对所有 x∈Ex\in Ex∈E 都成立。如果数项级数 ∑Mn\sum M_n∑Mn​ 收敛，那么函数项级数 ∑un(x)\sum u_n(x)∑un​(x) 在 EEE 上绝对一致收敛，因而一致收敛。

证明只用三角不等式和数项级数的 Cauchy 判别法。给定 ε>0\varepsilon>0ε>0，由于 ∑Mn\sum M_n∑Mn​ 收敛，存在 NNN，使得 m>n≥Nm>n\ge Nm>n≥N 时

∑k=n+1mMk<ε\sum_{k=n+1}^{m}M_k<\varepsilonk=n+1∑m​Mk​<ε

于是对所有 x∈Ex\in Ex∈E，

∣∑k=n+1muk(x)∣≤∑k=n+1m∣uk(x)∣≤∑k=n+1mMk<ε\left|\sum_{k=n+1}^{m}u_k(x)\right| \le \sum_{k=n+1}^{m}|u_k(x)| \le \sum_{k=n+1}^{m}M_k <\varepsilon​k=n+1∑m​uk​(x)​≤k=n+1∑m​∣uk​(x)∣≤k=n+1∑m​Mk​<ε

所以 ∑un\sum u_n∑un​ 满足一致 Cauchy 条件。

怎么找 M_n

找 MnM_nMn​ 时先看 xxx 的范围。若 x∈[0,q]x\in[0,q]x∈[0,q] 且 0<q<10<q<10<q<1，则 ∣x∣n≤qn|x|^n\le q^n∣x∣n≤qn，所以

∣xnn∣≤qnn\left|\frac{x^n}{n}\right|\le \frac{q^n}{n}​nxn​​≤nqn​

因为 ∑qn/n\sum q^n/n∑qn/n 收敛，∑xn/n\sum x^n/n∑xn/n 在 [0,q][0,q][0,q] 上一致收敛。

如果区间换成 [0,1][0,1][0,1]，同样的估计只给出 1/n1/n1/n，而 ∑1/n\sum 1/n∑1/n 发散。M 判别法此时不能证明一致收敛；它可能只是工具不够，也可能级数确实不一致收敛。不要把“M 判别法失败”误读成“级数不一致收敛”。

例题：用 M 判别法证明一致收敛

证明级数

∑n=1∞sin⁡(nx)n2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}n=1∑∞​n2sin(nx)​

在 R\mathbb{R}R 上一致收敛。

先把变量部分和 nnn 部分分开。对所有实数 xxx，都有 ∣sin⁡(nx)∣≤1|\sin(nx)|\le 1∣sin(nx)∣≤1，因此 ∣sin⁡(nx)n2∣≤1n2\left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}​n2sin(nx)​​≤n21​。

取 Mn=1/n2M_n=1/n^2Mn​=1/n2。这个上界不依赖 xxx，适合在整个 R\mathbb{R}R 上使用。

数项级数 ∑1/n2\sum 1/n^2∑1/n2 收敛，所以由 Weierstrass M 判别法，原函数项级数在 R\mathbb{R}R 上一致收敛。

幂级数的收敛半径

幂级数是函数项级数中最重要的一类：

∑n=0∞an(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^nn=0∑∞​an​(x−x0​)n

其中 x0x_0x0​ 是展开中心，ana_nan​ 是系数。幂级数的收敛集合有一种特别规则的形状：以 x0x_0x0​ 为中心，内部收敛，外部发散，边界点单独分析。

幂级数收敛半径示意图

存在 R∈[0,∞]R\in[0,\infty]R∈[0,∞]，使得当 ∣x−x0∣<R|x-x_0|<R∣x−x0​∣<R 时级数绝对收敛，当 ∣x−x0∣>R|x-x_0|>R∣x−x0​∣>R 时级数发散。这个 RRR 称为收敛半径。

常用计算公式来自根值或比值：

1R=lim sup⁡n→∞∣an∣n\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}R1​=n→∞limsup​n∣an​∣​

若极限

L=lim⁡n→∞∣an+1an∣L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|L=n→∞lim​​an​an+1​​​

存在，则

R=1LR=\frac{1}{L}R=L1​

这里约定 L=0L=0L=0 时 R=∞R=\inftyR=∞，L=∞L=\inftyL=∞ 时 R=0R=0R=0。

收敛半径只决定开区间内部和外部。两个端点 x0−Rx_0-Rx0​−R 与 x0+Rx_0+Rx0​+R 不由半径公式决定，必须代回原级数，分别作为普通数项级数判断。

端点要单独分析

幂级数端点单独分析流程图

看一个典型例子：

∑n=1∞xnn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}n=1∑∞​nxn​

由比值法，

∣an+1an∣=nn+1→1\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{n}{n+1}\to 1​an​an+1​​​=n+1n​→1

所以 R=1R=1R=1。当 ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1 时绝对收敛，当 ∣x∣>1|x|>1∣x∣>1 时发散。端点要分别代入：

当 x=1x=1x=1 时，得到调和级数

∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}n=1∑∞​n1​

它发散。当 x=−1x=-1x=−1 时，得到交错调和级数

∑n=1∞(−1)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}n=1∑∞​n(−1)n​

它收敛但不绝对收敛。因此收敛区间是 [−1,1)[-1,1)[−1,1)。

幂级数的一致收敛

幂级数在整个收敛开区间上未必一致收敛，但在任何严格位于内部的闭区间上一致收敛。

设 0<r<R0<r<R0<r<R。当 ∣x−x0∣≤r|x-x_0|\le r∣x−x0​∣≤r 时，

∣an(x−x0)n∣≤∣an∣rn|a_n(x-x_0)^n|\le |a_n|r^n∣an​(x−x0​)n∣≤∣an​∣rn

因为 r<Rr<Rr<R，数项级数 ∑∣an∣rn\sum |a_n|r^n∑∣an​∣rn 收敛。由 M 判别法，幂级数在

[x0−r,x0+r][x_0-r,x_0+r][x0​−r,x0​+r]

上一致收敛。

这句话常被简写成：幂级数在收敛半径内部局部一致收敛。这里“局部”的意思是，任取一个闭区间，只要它离边界还有正距离，就能得到一致收敛。

在开区间 (x0−R,x0+R)(x_0-R,x_0+R)(x0​−R,x0​+R) 上讨论逐点性质时，可以固定一个点，再选一个包含它的小闭区间 [x0−r,x0+r][x_0-r,x_0+r][x0​−r,x0​+r]。许多逐项运算定理正是靠这种内部闭区间上的一致收敛来证明。

逐项积分与逐项求导

一般函数项级数不能随意交换求和与积分、求导。幂级数的好处是：在收敛半径内部，它可以逐项积分，也可以逐项求导，而且积分后、求导后的幂级数收敛半径仍为 RRR。

幂级数逐项积分与逐项求导示意图

若

f(x)=∑n=0∞an(x−x0)nf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^nf(x)=n=0∑∞​an​(x−x0​)n

在 ∣x−x0∣<R|x-x_0|<R∣x−x0​∣<R 内成立，则对 ∣x−x0∣<R|x-x_0|<R∣x−x0​∣<R，

f′(x)=∑n=1∞nan(x−x0)n−1f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n a_n(x-x_0)^{n-1}f′(x)=n=1∑∞​nan​(x−x0​)n−1

并且从 x0x_0x0​ 到 xxx 积分有

∫x0xf(t) dt=∑n=0∞ann+1(x−x0)n+1\int_{x_0}^{x}f(t)\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}∫x0​x​f(t)dt=n=0∑∞​n+1an​​(x−x0​)n+1

逐项求导比逐项积分更敏感。对一般函数项级数，常见的充分条件是：某一点处 ∑un(x∗)\sum u_n(x_*)∑un​(x∗​) 收敛，且导函数级数 ∑un′\sum u_n'∑un′​ 在区间上一致收敛。这样才能推出 ∑un\sum u_n∑un​ 一致收敛，并且和函数可导，导数等于 ∑un′\sum u_n'∑un′​。幂级数之所以顺利，是因为导数级数在每个内部闭区间上仍可用 M 判别法控制。

逐项求导的结论只自动保证在 ∣x−x0∣<R|x-x_0|<R∣x−x0​∣<R 内。端点处即使原幂级数收敛，也不能直接把内部求导公式延伸过去；端点需要重新判断。

例题：由几何级数得到对数级数

在 ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1 时，

11−x=∑n=0∞xn\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n1−x1​=n=0∑∞​xn

逐项积分从 000 到 xxx 得到

∫0x11−t dt=∑n=0∞∫0xtn dt\int_0^x \frac{1}{1-t}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^x t^n\,dt∫0x​1−t1​dt=n=0∑∞​∫0x​tndt

所以

−ln⁡(1−x)=∑n=0∞xn+1n+1-\ln(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}−ln(1−x)=n=0∑∞​n+1xn+1​

也就是

ln⁡(1−x)=−∑n=1∞xnn\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}ln(1−x)=−n=1∑∞​nxn​

这个等式先在 (−1,1)(-1,1)(−1,1) 内成立。若要讨论 x=1x=1x=1 或 x=−1x=-1x=−1，不能靠逐项积分公式自动得到，必须回到端点级数本身。

Taylor 级数与函数表示

若函数 fff 在 x0x_0x0​ 附近有任意阶导数，它的 Taylor 级数形式是

∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^nn=0∑∞​n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n

第 NNN 阶 Taylor 多项式是

TN(x)=∑n=0Nf(n)(x0)n!(x−x0)nT_N(x)=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^nTN​(x)=n=0∑N​n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n

它在展开点附近往往给出很好的近似。但“有 Taylor 级数”不等于“函数等于 Taylor 级数”。真正需要证明的是余项

RN(x)=f(x)−TN(x)R_N(x)=f(x)-T_N(x)RN​(x)=f(x)−TN​(x)

在目标区间上趋于 000。

Taylor 多项式逼近与级数表示边界

如果对某个 xxx 有

lim⁡N→∞RN(x)=0\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0N→∞lim​RN​(x)=0

则

f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^nf(x)=n=0∑∞​n!f(n)(x0​)​(x−x0​)n

否则 Taylor 级数可能收敛到别的值，也可能只在很小范围内表示 fff。

常见 Taylor 展开

下面这些展开都以 000 为中心：

ex=∑n=0∞xnn!e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}ex=n=0∑∞​n!xn​

对所有 x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R 成立。

sin⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}sinx=n=0∑∞​(−1)n(2n+1)!x2n+1​

对所有 x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R 成立。

cos⁡x=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}cosx=n=0∑∞​(−1)n(2n)!x2n​

对所有 x∈Rx\in\mathbb{R}x∈R 成立。

11−x=∑n=0∞xn\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n1−x1​=n=0∑∞​xn

在 ∣x∣<1|x|<1∣x∣<1 内成立。端点 x=1x=1x=1 发散，x=−1x=-1x=−1 也发散，因为此时项不趋于 000。

ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnn\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}ln(1+x)=n=1∑∞​(−1)n+1nxn​

在 (−1,1](-1,1](−1,1] 上成立；左端点 x=−1x=-1x=−1 发散，右端点 x=1x=1x=1 条件收敛。

本章方法清单

遇到函数项级数，先按下面的顺序处理：

先明确讨论区间 EEE。同一个级数在小区间上可能一致收敛，在大区间上可能不一致收敛。

若要证明一致收敛，优先尝试 M 判别法：寻找 ∣un(x)∣≤Mn|u_n(x)|\le M_n∣un​(x)∣≤Mn​，并确认 ∑Mn\sum M_n∑Mn​ 收敛。

若是幂级数，先用根值法或比值法求收敛半径 RRR，得到内部绝对收敛和外部发散。

单独代入每个端点，把端点问题转化为普通数项级数问题。

做逐项积分或逐项求导时，把结论放在收敛半径内部；若要谈端点，重新分析。

对 Taylor 级数，除了写出系数，还要说明余项是否趋于 000。只有余项趋于 000，级数才表示原函数。

练习

  1. 证明 ∑n=1∞xn/n2\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n^2∑n=1∞​xn/n2 在 [−1,1][-1,1][−1,1] 上一致收敛。

对所有 x∈[−1,1]x\in[-1,1]x∈[−1,1]，有 ∣xn/n2∣≤1/n2|x^n/n^2|\le 1/n^2∣xn/n2∣≤1/n2。由于 ∑1/n2\sum 1/n^2∑1/n2 收敛，由 M 判别法可知原级数在 [−1,1][-1,1][−1,1] 上一致收敛。

  1. 求幂级数 ∑n=1∞nxn\sum_{n=1}^{\infty} n x^n∑n=1∞​nxn 的收敛半径和收敛区间。

这里 an=na_n=nan​=n，有 ∣an+1/an∣=(n+1)/n→1|a_{n+1}/a_n|=(n+1)/n\to 1∣an+1​/an​∣=(n+1)/n→1，所以 R=1R=1R=1。当 x=1x=1x=1 时，级数为 ∑n\sum n∑n，发散；当 x=−1x=-1x=−1 时，级数为 ∑n(−1)n\sum n(-1)^n∑n(−1)n，项不趋于 000，也发散。因此收敛区间是 (−1,1)(-1,1)(−1,1)。

  1. 设 ∑anxn\sum a_n x^n∑an​xn 的收敛半径为 R>0R>0R>0。说明为什么它在 [−r,r][-r,r][−r,r] 上一致收敛，其中 0<r<R0<r<R0<r<R。

因为 r<Rr<Rr<R，数项级数 ∑∣an∣rn\sum |a_n|r^n∑∣an​∣rn 收敛。对 x∈[−r,r]x\in[-r,r]x∈[−r,r]，有 ∣anxn∣≤∣an∣rn|a_nx^n|\le |a_n|r^n∣an​xn∣≤∣an​∣rn。由 M 判别法，∑anxn\sum a_nx^n∑an​xn 在 [−r,r][-r,r][−r,r] 上一致收敛。

  • 函数项级数的收敛
  • Weierstrass M 判别法
    • 怎么找 M_n
    • 例题：用 M 判别法证明一致收敛
  • 幂级数的收敛半径
    • 端点要单独分析
  • 幂级数的一致收敛
  • 逐项积分与逐项求导
    • 例题：由几何级数得到对数级数
  • Taylor 级数与函数表示
    • 常见 Taylor 展开
  • 本章方法清单
    • 练习

目录

  • 函数项级数的收敛
  • Weierstrass M 判别法
    • 怎么找 M_n
    • 例题：用 M 判别法证明一致收敛
  • 幂级数的收敛半径
    • 端点要单独分析
  • 幂级数的一致收敛
  • 逐项积分与逐项求导
    • 例题：由几何级数得到对数级数
  • Taylor 级数与函数表示
    • 常见 Taylor 展开
  • 本章方法清单
    • 练习