函数项级数与幂级数 | 实分析 I | 自在学

函数项级数与幂级数

第 16 章里，我们用一致收敛判断一列函数能否安全地取极限、积分和求导。本章只是把函数列换成部分和函数列，却会遇到同一件更容易被忽略的事：对每个固定 $x$ 算得出无穷和，不表示这个无穷过程能和极限、积分或导数随意交换。

函数项级数的任务，是把有限和的可靠规则延伸到无穷和。关键不在于“项数很多”，而在于尾巴能否在整个定义域上被同一把尺子压住。幂级数之所以好用，也不是因为它天然允许逐项运算，而是因为在收敛半径内部的每个小闭区间上，确实能做到这种统一控制。

从部分和开始

设 $E\subset\mathbb{R}$ ，每个 $u_n:E\to\mathbb{R}$ 都有定义。写下

\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)

时，严格对象其实是部分和函数

S_N(x)=\sum_{n=1}^{N}u_n(x).

对固定的 $x\in E$ ， $S_N(x)$ 是普通实数数列。若它收敛，就定义

S(x)=\lim_{N\to\infty}S_N(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x).

若每个 $x\in E$ 都能这样得到 $S(x)$ ，称级数在 $E$ 上逐点收敛。逐点收敛允许不同位置有不同的等待时间：

\forall x\in E,\ \forall\varepsilon>0,\ \exists N=N(x,\varepsilon),\ \forall m\ge N, \quad |S_m(x)-S(x)|<\varepsilon.

一致收敛把 $N$ 从 $x$ 手中收回来：

\forall\varepsilon>0,\ \exists N=N(\varepsilon),\ \forall m\ge N,\ \forall x\in E, \quad |S_m(x)-S(x)|<\varepsilon.

这才叫一个阶段以后整张函数图像都已经稳定。更实用的是一致 Cauchy 形式，因为它不需要预先猜和函数：

\forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall m>n\ge N,\ \forall x\in E, \quad \left|\sum_{k=n+1}^{m}u_k(x)\right|<\varepsilon.

固定 $x$ 后，这是实数数列的 Cauchy 条件，实数的完备性给出 $S(x)$ ；估计本来对所有 $x$ 同时成立，极限后仍得到一致收敛。

每点收敛为什么不够

在 $E=(0,1]$ 上考虑

\sum_{n=1}^{\infty}(1-x)^n.

固定任意 $x>0$ ，它是几何级数，和为 $(1-x)/x$ 。但第 $N$ 项后的尾和是

S(x)-S_N(x)=\frac{(1-x)^{N+1}}{x}.

给定任何 $N$ ，总能把 $x$ 取得足够靠近 $0$ ，让这个尾巴很大。因此它逐点收敛，却不一致收敛。这里没有一个固定坏点；坏点随着 $N$ 向边界移动，正是逐点语言漏掉的部分。

一致收敛必然要求 $\sup_{x\in E}|u_n(x)|\to0$ ，但这只是必要条件。通项统一趋于零，不等于所有尾和已经统一趋于零。

Weierstrass M 判别法

M 判别法把难题变成已经会做的数项级数。若存在非负数列 $M_n$ ，使得对所有 $x\in E$ 都有

|u_n(x)|\le M_n,

并且

\sum_{n=1}^{\infty}M_n

收敛，那么 $\sum u_n$ 在 $E$ 上绝对一致收敛，因而一致收敛。

证明只需盯住尾巴。数项级数收敛意味着：对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，当 $m>n\ge N$ 时，

\sum_{k=n+1}^{m}M_k<\varepsilon.

于是任意 $x\in E$ 都有

\left|\sum_{k=n+1}^{m}u_k(x)\right| \le\sum_{k=n+1}^{m}|u_k(x)| \le\sum_{k=n+1}^{m}M_k<\varepsilon.

最右侧没有 $x$ ，所以得到的是一致 Cauchy 条件，而不是逐点结论。

例题：无界区间也能统一控制

证明

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(3nx)}{n^2}

在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。

对任意实数 $x$ ， $|\sin(3nx)|\le1$ ，所以

\left|\frac{\sin(3nx)}{n^2}\right|\le\frac1{n^2}.

M 判别法不能用，不等于级数不一致收敛。例如

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n+2x^2}

在 $\mathbb{R}$ 上不能被可求和的正项上界控制，因为每项的上确界为 $1/n$ 。但交错级数余项估计给出

\left|\sum_{k=n}^{m}\frac{(-1)^{k-1}}{k+2x^2}\right| \le\frac1{n+2x^2}\le\frac1n,

故它仍一致收敛。这说明 M 判别法是强而方便的充分条件，不是唯一判据。

何时能交换求和与别的运算

把 $S_N$ 当作第 16 章的函数列，就能清楚看到条件。

求和与极限、连续性

设 $a$ 是 $E$ 的聚点，每个 $u_n$ 在 $x\to a$ （限制在 $E$ 内）时有有限极限 $\ell_n$ 。若在上一致收敛，那么数项级数收敛，且

\lim_{x\to a}\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\to a}u_n(x).

先用统一尾和控制 $\sum_{k=n+1}^m u_k(x)$ ，再令 $x\to a$ ，数值尾和也统一小；最后把误差拆成有限和取极限与两段尾巴即可。若每个在连续，同一论证说明和函数也在连续。

求和与积分

若每个 $u_n$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，且 $\sum u_n$ 一致收敛到 $S$ ，则可积，并且

\int_a^bS(x)\,dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_a^bu_n(x)\,dx.

原因是

\left|\int_a^bS-\sum_{n=1}^{N}\int_a^bu_n\right| \le(b-a)\sup_{x\in[a,b]}|S(x)-S_N(x)|\to0.

只有逐点收敛时，函数可以在移动的位置形成高而窄的尖峰：每个固定点最终平静，面积却未必平静。因此这里不能删掉统一控制。

求和与求导

一个常用的充分条件是：每个 $u_n\in C^1[a,b]$ ；存在 $x_*\in[a,b]$ 使收敛；导函数级数在上一致收敛。此时一致收敛到某个，且

S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(x),\qquad a<x<b.

那个锚点条件不能省。由

S_N(x)=S_N(x_*)+\int_{x_*}^{x}S_N'(t)\,dt

可见，导数只决定函数到一个常数；锚点负责控制常数，导数级数的一致收敛负责控制积分项。

函数本身一致收敛仍不足以交换导数。 $F_N(x)=\sin(Nx)/N$ 在任意区间上一致收敛到零，但 $F_N'(x)=\cos(Nx)$ 不收敛到零。接近的图像仍可能在极小尺度上剧烈摇摆。

幂级数与收敛半径

幂级数是

\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n.

它的收敛位置由一个数控制：

\frac1R=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}.

采用 $1/0=\infty$ 、 $1/\infty=0$ 。当 $|x-x_0|<R$ 时绝对收敛；当时发散；当时必须分别代入原级数。若从某项起，且比值极限存在，也可用

\frac1R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.

有无限多个零系数时，不能机械使用比值法，应回到 $\limsup$ 公式。

例题：两个端点要分开审问

求

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+2}

的收敛区间。

$a_n=1/(n+2)$ ，且 $(n+2)/(n+3)\to1$ ，故。

半径内部的局部一致收敛

设 $R>0$ ，任取 $0<r<R$ 。当 $|x-x_0|\le r$ 时，

|a_n(x-x_0)^n|\le|a_n|r^n.

右侧数项级数收敛，所以幂级数在 $[x_0-r,x_0+r]$ 上绝对一致收敛。所谓“在开区间内局部一致收敛”，就是每次先选一个离边界仍有正距离的闭区间；并不是说它必定在整个开区间上一致收敛。

因此在 $|x-x_0|<R$ 内，若

F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n,

则

F'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-x_0)^{n-1},

而且导数级数仍有半径 $R$ 。积分级数也有半径 $R$ ；若 $x_1,x_2$ 都在开区间内，

\int_{x_1}^{x_2}F(t)\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1} \left[(x_2-x_0)^{n+1}-(x_1-x_0)^{n+1}\right].

例题：对数展开的合法来历

在 $|t|<1$ 内，

\frac1{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nt^n.

对固定的 $|x|<1$ ，先取 $|x|<r<1$ ，再在 $[-r,r]$ 上逐项积分，得到

\log(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}.

它先只在 $|x|<1$ 成立。端点 $x=1$ 给出收敛的交错调和级数，故可得到 $\log2$ ； $x=-1$ 给出发散的负调和级数。不要因为内部公式漂亮，就跳过端点检验。

若有限半径幂级数在某端点代入后收敛，和函数从内部趋向该端点时会趋向该数项和；反过来不成立。比如 $1/(1+x)$ 在 $x\to1^-$ 时趋于 $1/2$ ，但其端点级数 $\sum(-1)^n$ 发散。

原幂级数、导数级数和积分级数的半径相同，不表示它们的端点行为相同。每次微分或积分后，端点都要重新检查。

Taylor 级数不是自动等于原函数

如果 $f$ 在 $x_0$ 附近有任意阶导数，唯一可能代表它的幂级数是

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.

第 $N$ 个 Taylor 多项式和余项分别是

T_N(x)=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,

R_N(x)=f(x)-T_N(x).

若 Taylor 定理的条件满足，则存在介于 $x$ 与 $x_0$ 之间的 $\xi_N$ ，使

R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(\xi_N)}{(N+1)!}(x-x_0)^{N+1}.

只有证明 $R_N(x)\to0$ ，才能把近似号升级为无穷级数等式。

对 $\cos x$ ，各阶导数绝对值至多为 $1$ ，所以

|R_N(x)|\le\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!}\to0.

于是

\cos x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!},\qquad x\in\mathbb{R}.

这里等式成立的原因是余项界趋于零，不是“函数够光滑”。反例是

f(x)= \begin{cases} e^{-1/x^4},&x\ne0,\\ 0,&x=0. \end{cases}

它有所有阶导数，且 $f^{(n)}(0)=0$ 对所有 $n\in\mathbb{N}_0$ 成立：每阶导数在去心邻域里都是 $1/x$ 的多项式乘以指数因子，指数衰减压过任何多项式。它的 Taylor 级数恒为零，但时。无穷可导和能由 Taylor 级数表示，是两件不同的事。

系数运算与练习

若 $F(x)=\sum a_n(x-x_0)^n$ ，则，所以同一中心附近表示同一函数的幂级数系数必逐项相同。两个幂级数在共同内部收敛区间中相乘时，令，有

\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right) \left(\sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n\right) =\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}\right)z^n.

这里每个 $z^n$ 的系数只需要有限个乘积，因此形式上的计算没有“无限项相加”的歧义；真正保证它代表函数乘积的，是共同内部闭区间上的绝对收敛。加法与数乘也在共同收敛区间内逐项进行，但相加后半径可能因为抵消而变大，不能把“至少有共同半径”误说成“半径必然相等”。

若分母级数 $G(z)=\sum b_nz^n$ 的常数项 $b_0\ne0$ ，则在中心充分近的范围内，商也能展开。若

\frac{F(z)}{G(z)}=\sum_{n=0}^{\infty}q_nz^n,

就让 $F=G\sum q_nz^n$ ，再比较同次幂。先有

q_0=\frac{a_0}{b_0},

随后逐项递推：

q_n=\frac{a_n-\sum_{k=0}^{n-1}q_kb_{n-k}}{b_0},\qquad n\ge1.

这比死记商的公式稳妥：每一步都只是把已经求出的较低阶系数移到等式另一边。若 $b_0=0$ ，分母在中心已经为零，能否相除、应先约去几次幂，都必须另作分析。

证明 $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/(n+1)^2$ 在 $[- 1, 1]$ 一致收敛。

求 $\sum_{n=1}^{\infty}n(x-2)^n$ 的收敛区间。

说明为何 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^n/n$ 可在 $[-r,r]$ （）逐项求导。

若 $A(x)=1-x+x^2+O(x^3)$ ，求 $A(x)^2$ 的前三项。

设 $f$ 在 $[-2,2]$ 上有所有阶导数，并满足 $|f^{(n)}(t)|\le 5$ 。证明它在 $0$ 的 Taylor 级数在上一致收敛到。

本章反复使用的 $\sup_{x\in E}|f(x)-g(x)|$ ，是在用一个数衡量两个函数整体相差多远。下一章会把这个想法推广：只要先规定距离，收敛、连续、Cauchy 条件和完备性就能在更一般的对象之间重新定义。

u_n

a_{n}

=

F^{(n)}

(

x_{0}

)

/

n

!

a_n=F^{(n)}(x_0)/n!

[-1,1]