多变量微积分从哪里开始

学完一元微积分之后，我们已经有了一套很顺手的思路：用一个数定位状态，用一条曲线画函数，用导数描述斜率，再用积分把许多小段累加起来。

真正进入多变量微积分时，最容易产生的误会是：它不过是在原来的公式里多写几个字母。其实变化远不止这些。输入从数轴上的一个点变成平面或空间中的一个点以后，原来那个唯一的“向前”消失了；图像从曲线变成曲面以后，一条切线也装不下全部的局部信息；累加范围从线段变成区域以后，细条还得升级成小面积块和小体积块。

所以这门课的难点并不是计算突然变长，而是每遇到一个熟悉问题，我们都得先问一句：一元的旧办法在这里还够不够？如果不够，缺的到底是哪一块信息？

输入多一个维度之后，图像从曲线变成曲面，能发生变化的方向也随之增多。

这一章先不急着堆公式。我们要把整门课的地图摊开，弄清楚后面的向量、偏导数、多重积分和向量场分别在解决什么问题，以及它们为什么会按照这个顺序出现。

第一道门槛：一个数已经无法说清“在哪里”

一元函数

接收一个数 $x$，返回一个数 $y$。汽车沿笔直公路行驶时，时刻 $t$ 可以决定位置 $s(t)$；杯子放在固定房间里冷却时，时刻 $t$ 也可以决定温度 $T(t)$。这些问题都有一条天然的输入轴。

但现在想象一块起伏不平的山地。只告诉你“向东走了 $3$ 千米”，还不能确定站在哪里，因为南北位置仍然未知。要定位地面上的一个点，至少需要两个坐标。于是高度模型应当写成

输入是平面位置 $(x,y)$，输出才是这个位置的高度 $z$。这里有两个输入变量、一个输出变量，不是三个输入变量。

地形函数先用 $(x,y)$ 找到地面位置，再用 $h(x,y)$ 给出该处高度。

如果研究房间里每一点的温度，就要用三个空间坐标定位：

如果温度还会随时间改变，模型会继续扩成

这时我们已经无法把“全部输入加输出”直接画在普通三维空间里，但函数本身并没有因此变得神秘。给定一个空间位置和一个时刻，函数仍然只做一件事：返回一个温度数值。

这个区分很关键。变量字母有几个，并不能单独决定对象的类型。我们真正要数的是：输入点需要几个坐标？每个输入点得到的是一个数，还是一支向量？

下面的交互把三种常见对象并排放在一起。切换选项、拖动输入以后，留意右侧“当前输入”和“当前输出”是怎样变化的。

标量输出和向量输出

高度、温度、密度、气压和成本都是标量。所谓标量，就是输出只有一个数。例如

风速、水流速度、引力和电场却不能只用一个数说清。它们既有大小，也有方向，因此每个位置要返回一支向量：

这里的 $P$ 和 $Q$ 是向量在两个坐标方向上的分量。它们各自是标量函数，合在一起才构成向量场。

例题：先认对象，再决定以后用什么工具

判断下面四个情境的输入、输出和合适记法。

1. 记录某城市气象站一天内的温度。
2. 描述一片山区各处的海拔。
3. 描述房间内各处空气的湿度。
4. 描述湖面各处水流的方向和快慢。

这一步看起来像在做分类，其实是在决定整道题的语言。对象认错了，后面就可能拿标量去做向量运算，或者把空间中的位置误当成函数输出。

第二道门槛：曲面没有唯一的“向前”

一元函数的输入在数轴上。站在 $x=a$ 处，你只能沿数轴往左或往右移动，因此导数 $f'(a)$ 足以概括这一点附近的一阶变化。

到了二元函数 $z=f(x,y)$，站在 $(a,b)$ 处可以往东、往北，也可以斜着走。不同方向上的高度变化通常不一样。山坡往东可能很陡，往北却可能近乎平坦。一元函数那种“这一点只有一个斜率”的直觉，到这里就不够用了。

多变量微分不是把这个困难藏起来，而是把它拆成几层处理。

先沿坐标方向切一刀

如果先把 $y=b$ 固定，只让 $x$ 改变，二元函数就暂时退回一元函数：

这条截面曲线在 $x=a$ 处的导数，就是关于 $x$ 的偏导数 $f_x(a,b)$。它回答的是：“如果只许沿 $x$ 方向移动，函数值变化多快？”

同样，把 $x=a$ 固定，只让 $y$ 改变，就得到 $f_y(a,b)$。偏导数一次只观察一个坐标方向，正是因为所有方向一起上场时，问题还没有办法直接用一元导数处理。

再把方向信息拼回来

只知道向东和向北的变化率，还会留下一个实际问题：如果可以任意选方向，往哪里走上升最快？

把两个偏导数组成向量

就得到梯度。沿单位方向 $\mathbf u$ 的方向导数是

点积会提取梯度在方向 $\mathbf u$ 上的分量，所以梯度指向函数增长最快的方向，梯度的长度给出最快增长率。偏导数并不是零散的两个数字，它们合在一起以后才恢复完整的方向感。

用一个平面接替一条切线

一元函数在一点附近可用切线近似。二元函数附近有两个独立的输入改变量，切线已经装不下这些信息，于是切平面接过这个任务：

对应的线性近似写成

这条式子把多变量微分的核心说得很清楚：$x$ 的小变化贡献一部分，$y$ 的小变化再贡献一部分，一阶近似把它们相加。

例题：两个输入同时变化时，旧的边际量怎样合在一起

设成本函数为

其中 $x$、$y$ 是两种产品的产量。估计产量从 $(100,80)$ 变为 $(102,79)$ 时的成本变化。

偏导数、梯度、切平面、线性近似和多变量链式法则并不是五个互不相干的公式。它们都在回答同一个问题：输入可以从多个方向改变时，怎样用一阶信息预测输出的局部变化。

看不见完整图像时，换一种视图

二元函数 $z=f(x,y)$ 可以画成三维空间中的曲面，但曲面图并不总是最好读。它可能遮挡细节，也可能因为观察角度不同而显得忽陡忽缓。输入再多一个维度以后，完整图像甚至无法直接画出来。

多变量微积分因此特别依赖“同一个对象，多种视图”的习惯。我们通常在曲面、截面、等值线和等值面之间切换，而不是执着于一张所谓的完整图像。

曲面告诉我们高度怎样铺开

对函数

每个底面点 $(x,y)$ 上方都有一个高度 $h(x,y)$，所有点合起来形成一张向下弯的曲面。曲面图适合观察峰顶、谷底和整体起伏。

截面把多变量问题暂时降回一元

固定 $y=b$，得到

这是一条抛物线。换不同的 $b$，就像用一组平行的竖直平面去切曲面。固定 $x=a$ 也会得到另一组抛物线。偏导数之所以能沿坐标方向求，本质上就是在研究这些截面曲线的斜率。

等高线把高度压回输入平面

固定一个输出值 $c$，方程

挑出的全部点高度相同。对上面的函数，等高线满足

所以每一条等高线都是椭圆。越靠近峰顶，$c$ 越接近 $8$，椭圆也越小。

曲面用竖直高度表达函数值，等高线把相同高度的点连在输入平面上。

下面的交互展示的是同一个函数。拖动 $(x,y)$ 后，左侧曲面上的点和右侧等高线图上的点会同步移动，两边显示的函数值也始终一致。

等高线还有一个很实用的读法。如果相邻等高线代表相同的高度差，那么线越密，说明走很短的水平距离就会跨过同样的高度差，地势也就越陡。不过这句话有两个前提：等高线的高度间隔相同，图上的水平比例尺也相同。

例题：把曲面、截面和等高线对上

仍考虑 $h(x,y)=8-x^2-2y^2$。说明点 $(1,1)$ 所在等高线、过该点的 方向截面，以及这个点附近大致朝哪边上升。

这就是多种视图之间的配合：等高线告诉我们同高点怎样分布，截面让我们重新使用一元斜率，梯度则把不同坐标方向的变化重新拼成方向信息。

第三道门槛：细条不够了，要改用小块

一元积分的基本画面是“切条再求和”。要算曲线下的面积，就把区间切成许多小段，每个小段上立一个窄矩形，然后让分割越来越细。

二元函数的输入区域不是线段，而是平面区域 $D$。如果 $f(x,y)$ 表示每个位置上方的高度，底面就要切成许多小面积块，每个小块上立一根细柱。单根柱子的近似体积是

把所有柱子相加，再让小块的直径趋近于零，就得到二重积分：

旧的“局部量乘小长度”并没有被丢掉，它只是升级成了“局部量乘小面积”。到了三重积分，$dA$ 再升级成小体积 $dV$。

为什么会出现累次积分

直接同时处理 $x$ 和 $y$ 看起来很困难。解决办法仍然是降维：先固定一个变量，沿另一个变量完成一次一元积分；再把所得的切片沿剩余方向累加。

例如在矩形 $a\le x\le b$、$c\le y\le d$ 上，连续函数满足

内层积分先算固定 $x$ 时的一片截面积，外层积分再把这些切片叠成总体积。于是“两个变量一起动”的问题，被拆成两次熟悉的一元积分。

为什么还要换坐标

如果区域是圆盘，硬用横竖小矩形会让积分上下限变得别扭。极坐标改用扇形小块，能让边界更自然。不过小块形状改变以后，面积因子也必须跟着变：

这里多出的 $r$ 不是装饰。半径越大，同样的角度增量扫出的弧越长，小扇形的面积也越大。以后出现 Jacobian 时，它做的正是这类“换坐标后，小块被拉伸了多少”的记账工作。

空间几何给出对象的位置，局部变化研究一点附近，多维累积把区域中的小块加起来。

例题：从单位判断二重积分的意义

一块薄片占据矩形区域 $0\le x\le 3$、$0\le y\le 2$，面密度为

求薄片总质量，并说明每一步在累加什么。

第四道门槛：有些位置返回的不是数，而是箭头

到目前为止，高度、温度和密度都在每个位置给出一个数。可打开风场图时，每个地点显示的是一支箭头：箭头朝向表示风向，长度表示风速。这就是向量场。

标量场在每个位置给一个数；颜色和等值线只是把这些数画出来。

向量场在每个位置给一支箭头，方向和大小都属于输出的一部分。

如果平面向量场写成

那么沿路径移动时，场对运动方向的作用通常由点积衡量。把路径切成许多很短的位移 $d\mathbf r$，每小段的功近似为 $\mathbf F\cdot d\mathbf r$，累加后得到线积分。

这又是熟悉的积分思想，只是累加对象从数轴上的小段，变成了空间中带方向的小位移。

两个新的局部问题

看一幅流场图时，我们很自然会问两件事。

一是某点附近的流体是否在向外冒出，或向内汇聚。散度用一个数记录这种净流出趋势。散度为正像“源”，散度为负像“汇”，散度为零表示小区域的净流出在一阶近似下抵消。

二是放一只很小的桨轮进去，它是否有转动倾向。旋度记录这种局部旋转。平面场中常把旋度写成垂直于平面的分量；三维场中，旋度本身是一支向量，方向给出旋转轴，大小反映转动强弱。

下面的交互可以切换旋转场、源点场和斜坡风场。拖动采样点时，不只看箭头图案，也核对右侧输出分量和向量长度。

从一元基本定理走向边界定理

一元微积分基本定理把区间内部的导数累积，变成两个端点的函数值之差。向量微积分会把这个结构推广到更高维：区域内部的某种变化量，与区域边界上的某种累积相联系。

因此后面出现的 Green 定理、散度定理和 Stokes 定理，不是凭空多出的三条大公式。它们都在回答同一种问题：能不能把内部每一点的局部变化，改写成边界上的总效应？区别只在于区域可能是平面区域、空间体积或空间曲面，边界也随之变成闭合曲线或闭合曲面。

例题：同一支箭头怎样参与不同问题

考虑旋转场

在点 $(2,1)$ 处，先求场向量；再求它沿单位方向 $\mathbf u=\left\langle \frac35,\frac45\right\rangle$ 的分量。

整门课为什么按这个顺序展开

现在可以把后面的内容连成一条路，而不是看成一串章节名。

先建立空间语言

平面和空间中的点需要向量表示。向量加法描述连续位移，长度描述距离，点积比较方向并提取投影，叉积给出垂直方向。直线和曲线则常用位置向量

参数 $t$ 不只告诉我们路径在哪里，还保留了“何时到达、走得多快”的信息。对位置向量逐分量求导，就得到沿曲线的速度向量；它指向曲线的切线方向。

这些内容是后面切平面、方向导数、线积分和曲面积分共同使用的语言，所以课程会先从三维坐标与向量开始。

再研究多变量函数的局部变化

有了方向和曲面的语言，我们才能准确讨论偏导数、梯度、切平面、链式法则和极值。这里的主线始终是：多个输入都可能发生小变化，怎样用一个线性模型预测输出变化？

带约束的最优化还会多一道困难。不能随意朝任何方向走时，普通的“梯度等于零”不再够用，约束曲线或曲面会限制可行方向，由此引出拉格朗日乘子。

然后把小面积和小体积累加

局部变化讲完以后，课程转向多重积分。二重积分、三重积分、极坐标、柱坐标、球坐标和变量替换都围绕同一件事：怎样把区域切成合适的小块，并正确记录每个小块的面积或体积。

最后处理向量场和边界

标量积分只需要累加“有多少”，向量场积分还要处理方向。沿曲线的功、穿过曲面的通量、局部的散度与旋度，最终会被几条边界定理连在一起。到这里，一元微积分基本定理的结构才在多维空间中完整出现。

你可以把这条路线压缩成四个连续问题：

1. 对象在空间里怎样表示？
2. 它在一点附近怎样变化？
3. 它在一个区域内怎样累积？
4. 区域内部的变化怎样反映到边界上？

顺序不能随便打乱。没有向量就说不清方向，没有局部变化就难以理解散度和旋度，没有多重积分就无法累加区域内部的量。

做题前先完成四次“对账”

多变量公式很多，但真正能减少混乱的不是背得更快，而是在动笔前把对象对清楚。

对输入

输入是时刻、平面点、空间点，还是若干可以独立改变的参数？定义域有没有边界或约束？例如 $z=\sqrt{9-x^2-y^2}$ 的输入不是整个平面，而是圆盘 。

对输出

输出是一个数、一支向量，还是一条参数曲线？$f(x,y)$ 与 $\mathbf F(x,y)$ 看起来只差粗体，允许的运算却不同。标量可以比较高低，向量还要比较方向。

对当前问题

题目是在问一点附近的变化，还是整个区域的累积？“某点朝哪里升得最快”要找梯度；“整块薄片有多重”要做二重积分。两者都可能使用同一个函数，却不能用同一个工具回答。

对结果的单位和形状

温度梯度的单位是“温度除以长度”，面密度对面积积分后得到质量，力场沿位移积分后得到功。结果应该是标量还是向量，也可以提前判断。单位和输出类型对不上时，通常说明中间把对象认错了。

练习

这些题不要求提前掌握后续章节的全部计算。重点是把输入、输出、视图和工具对上，并能说清楚为什么。

练习一

某城市的空气污染浓度同时取决于东西位置 $x$、南北位置 $y$ 和时间 $t$。请写出函数记号，说明输入和输出，并判断在固定时刻能用什么二维视图观察它。

练习二

设地形高度为

求点 $(1,-2)$ 的高度，并写出经过该点的等高线方程。

练习三

对函数

分别写出固定 $y=b$ 和固定 $x=a$ 时的截面，并判断各是什么平面曲线。

练习四

上半球面可以写成

已知 $f(6,0)=8$。用线性近似估计 $f(6.1,0.2)$。

练习五

一块矩形薄片占据 $0\le x\le 3$、$0\le y\le 2$，面密度恒为 $5$。不用复杂计算，求总质量，并用二重积分写出同一个结果。

练习六

平面向量场为

求 $\mathbf v(1,-2)$ 及其大小，并说明为什么结果不能只写成一个速度数值。

练习七

把下面四个问题分别放到最直接的课程主线中：空间表示、局部变化、多维累积、向量场与边界。

1. 写出经过一个空间点且垂直于给定向量的平面。
2. 判断山坡在某点朝哪个方向上升最快。
3. 求非均匀薄片的总质量。
4. 求流体穿过闭合曲面的净流量。

带着这张地图进入下一章

多变量微积分没有抛弃一元微积分。它保留了“局部变化”和“切分累加”这两个核心动作，只是输入空间变大以后，旧工具需要升级：切线变成切平面，单一斜率拆成偏导数再合成梯度，小线段变成小面积和小体积，区间端点也扩展成曲线与曲面边界。

下一章会先建立三维坐标与向量语言。我们会从点怎样定位、向量怎样记录位移开始，接着学习长度、方向、点积以及空间中的基本几何关系。先把“对象在哪里、方向怎样表示”说清楚，后面的偏导数、重积分和向量场才不会只剩下一串没有画面的公式。

这个结果是一条竖直切片的质量。

完整函数还包含时间变化，单张固定时刻的图只是它的一个时间切片。

所以该点高度是 $3$。经过它的等高线满足 $h(x,y)=3$，即

整理得到

把 $(1,-2)$ 代入左边得到 $1+8=9$，也核验了该点确实在这条椭圆上。

其中 $a^2$ 是常数，所以这是关于 $y$ 的直线。两个截面形状不同，也提醒我们：同一张曲面沿不同方向观察，局部变化可能完全不同。

在 $(6,0)$ 处，

这里 $\Delta x=0.1$、$\Delta y=0.2$，因此

所以

$y$ 的改变没有出现在一阶估计里，是因为球面在 $(6,0)$ 处沿 $y$ 方向的一阶斜率为零；这不表示改变 $y$ 完全没有影响，只表示它的影响从更高阶开始显现。

这说明多重积分并没有改变“密度乘面积”的旧结论；它把这个结论推广到密度随位置变化、区域形状也更复杂的情况。

向量大小是

$2\sqrt5$ 只说明快慢，$\langle 4,2\rangle$ 还保留了方向。向量场在每个位置的完整输出是一支向量，因此只写大小会丢掉信息。