单变量微积分研究一条数轴上的变化：一个输入 进入函数，得到一个输出 。这种模型已经能处理很多问题，例如一辆车沿直线运动时的位置 ，或一个杯子冷却时的温度 。
但现实对象常常不只由一个数决定。一座山的高度要看平面位置，一片区域的温度要看经纬位置和时间，机器人的姿态要看空间坐标和方向，流体的速度还要在每个位置给出一支箭头。多变量微积分就是研究这些“输入不止一个”的对象：它关心怎样描述它们，怎样看出局部变化，怎样把多维区域上的小量累加起来。
从曲线到曲面，变化的不只是图像的维度，还有我们提问的方式。
先看一个熟悉模型：
这里输入是一个数 ，输出也是一个数 。图像是一条平面曲线。导数 告诉我们，沿着这条曲线往前走一点，输出变化得有多快。
如果要描述地形高度，只有一个输入通常不够。你需要先给出平面上的位置，再问这个位置的高度。一个简化写法是
这里 是输入， 是输出。输入已经不是数轴上的点，而是平面上的点；图像也不再是一条曲线，而是一张曲面。
地形函数把一个平面位置 对应到一个高度 。
在 里， 和 是输入变量， 是输出变量。不要把这个式子理解成“三个输入变量”。如果要研究空间中每个点的温度，才会写成 ，那时输入是空间点 ，输出是温度这个数。
下面的交互把三种对象放在一起：单变量函数、二元函数和向量场。你可以先只感受输入和输出的形状怎样改变。
单变量微积分的许多想法仍然会保留下来。例如“变化率”“局部近似”“累积量”仍是核心问题。差别在于：现在输入点可以从很多方向靠近，变化也可以沿很多方向发生。这会带来新的问题：
这些问题就是本课后面各章的入口。
多变量函数的第一件事不是求导，而是选对“输入”和“输出”。输入告诉我们从哪里取信息，输出告诉我们在那个位置得到什么。
常见的输出有两类。
标量输出是一个数。例如高度、温度、气压、成本、密度都可以是标量输出：
向量输出是一组有方向的量。例如风速、水流速度、力场、电场都可以用向量场表示：
温度场的输出是一个数：给定位置，得到温度。
向量场的输出是一支箭头：给定位置，得到方向和大小。
“变量多”不等于“随便把能想到的量都放进去”。建模时要先问：这些输入是否真的决定输出？单位是否清楚？输出是一个数，还是一个向量？如果这些问题没有说清，后面的计算会失去对象。
判断下面每个情境更适合用单变量函数、二元标量函数、三元标量函数，还是向量场表示。
第一个情境只跟时间有关。若用 表示时间，气温可以写成 ，这是单变量函数。
第二个情境要先给出平面位置。若用 表示东西、南北方向，海拔可以写成 ，这是二元标量函数。
第三个情境要在房间空间内定位点。若用 表示空间位置，湿度可以写成 ，这是三元标量函数。
第四个情境的输出不是一个数，而是水流的方向和快慢。可以写成 ，这是平面上的向量场。
单变量函数可以画成曲线，二元函数可以画成曲面。但曲面不总是最方便的视图。地形图常用等高线，因为纸面是二维的，而等高线能把三维起伏压回平面。
对二元函数 ，一条等高线由方程
给出。这里 是固定高度。等高线上的点高度相同，线与线之间的疏密能提示高度变化快慢。
曲面图看高度起伏，等高线图看同高点在输入平面上的分布。
这种“同一个对象，多种视图”的习惯会贯穿本课。以后看到函数时，不要急着代公式。先问三个问题：
常见错误是把三维图像当成唯一图像。二元函数的曲面图很直观，但等高线、固定 的截面、固定 的截面也常常更有用。多变量微积分里的“看图”，往往是几种视图之间来回切换。
某地形函数 的等高线在点 附近很密，在点 附近很疏。如果相邻等高线的高度差相同，哪一点附近的地势更陡？
相邻等高线的高度差相同，说明每跨过一条线，高度改变的数量相同。
在点 附近，等高线更密，表示在较短的水平距离内完成同样的高度改变。
水平距离越短而高度变化相同，坡度越大。因此点 附近的地势更陡。
多变量微积分 I 可以先看成三条线交织在一起：空间几何、局部变化、多维累积。
空间几何提供语言，局部变化研究附近，多维累积把小块加起来。
空间几何回答“对象放在哪里”。三维坐标、向量、直线、平面、二次曲面会在前几章出现。它们不是独立的预备知识，而是后面所有计算的坐标语言。
例如曲面的切平面需要法向量，通量需要曲面的方向，线积分需要路径方向。如果空间语言不清楚，后面的公式会变成没有图像的符号。
局部变化回答“在一点附近怎样变”。单变量里，导数给出曲线在一点的斜率。二元函数里，变化方向很多，所以我们会学习偏导数、方向导数、梯度、切平面和线性近似。
偏导数的第一想法很朴素：先固定其他变量，只让一个变量动。例如
表示在点 附近固定 ，只沿 方向看变化率。
偏导数不是“把另一个变量忘掉”。它是有意把另一个变量暂时固定住，观察一个坐标方向上的切片。后面判断可微性时，还要把各个方向的信息重新合在一起。
多维累积回答“把许多小块加起来得到什么”。单变量积分把线段切成小段，多重积分把平面区域或空间区域切成小块。
如果 表示某薄片在位置 的面密度，那么区域 上的总质量可以写成
这里 表示很小的面积块。以后学习极坐标、柱坐标、球坐标和变量替换时，本质上都是为了更自然地切分区域。
向量场把“每个位置对应一个量”的想法再推进一步：输出不再只是数，而是向量。你可以把它想成风图、流速图或力的分布图。
线积分、Green 定理、Stokes 定理和散度定理都会围绕向量场展开。本章只需要先记住一句话：标量场问“这里的数是多少”，向量场问“这里的箭头是什么”。
这门课不是从零开始。它会反复调用你已经学过的几类工具。
解析几何提供坐标和图形语言。你已经熟悉平面直线、圆锥曲线和坐标变换，本课会把这些经验推到三维空间和曲面上。
线性代数提供向量和线性近似语言。向量的分量、点积、矩阵和线性映射，会帮助我们理解方向导数、梯度、Jacobian 和变量替换。
微积分 I/II 提供极限、导数、积分和级数的基本思想。本课不会丢掉这些思想，而是把它们放到平面区域、空间区域、曲线和曲面上。
学习本课时，可以把每个新公式都放回三个问题里：输入在哪里？输出是什么？我们是在研究局部变化，还是在做多维累积？能回答这三个问题，公式通常就不会悬空。
设一个简化成本函数为
其中 、 分别表示两种产品的产量， 表示总成本。求 ，并说明这个计算只回答了什么问题，还没有回答什么问题。
先确认输入和输出。输入是产量组合 ，输出是一个成本数值，所以这是二元标量函数。
把 、 代入函数：
逐项计算并相加：
这个结果只回答“在产量组合 时成本是多少”。它还没有回答“增加 会让成本怎样变”“增加 会让成本怎样变”“怎样选择产量使成本或利润最优”。这些问题会引出偏导数和优化。
下面的练习不要求使用本课后面的技巧，重点是认清输入、输出和图像类型。
某地区的降雨量同时受东西位置 、南北位置 和时间 影响。若输出是降雨量这个数，应怎样记这个函数？它的输入有几个？
设地形高度近似为
求 ，并用一句话解释结果。
一个平面风场写成
求 ，并求这支风速向量的大小。
判断下面的问题更接近本课哪条主线：空间几何、局部变化、多维累积、向量场。
一个函数写成 。它的图像一定是四维图像吗？在三维空间里还能怎样看它？
多变量微积分研究的是多个输入下的对象、变化和累积。它会把你熟悉的导数和积分放到平面、空间、曲线、曲面与向量场中。
本章最重要的不是记住很多公式，而是养成一个判断顺序：先找输入，再找输出，再选视图，最后才决定用偏导数、重积分或向量场工具。下一章会先补上三维坐标和向量语言，让这些对象有一个可以计算的空间。