多变量极限与连续

上一章里，我们已经会从曲面和等值线读出一个二元函数的大致形状。等值线挤得紧，地形往往更陡；等值线围成一圈圈闭曲线，里面可能藏着山峰或洼地。不过，图像看起来“接得挺顺”，还不能代替一个更精确的问题：当平面上的点 $(x,y)$ 越来越靠近 $(a,b)$ 时，函数值会不会稳定地靠近同一个数？

在一元微积分里，这个问题只需要检查从左边和右边靠近。到了平面上，“左”和“右”突然不够用了。你可以沿直线走，也可以沿抛物线贴过去，还可以一边绕圈一边缩向目标点。多变量极限真正难的地方就在这里：我们不是要算出某一条路线的结果，而是要管住所有可能的靠近方式。

输入从小圆盘里的任何位置靠近 $(a,b)$，函数值都要进入 $L$ 附近的窄带，极限才算存在。

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一元极限的两条路为什么不够

先回想一元极限。数轴上的点 $x$ 要靠近 $a$，无论走法怎样，最后只能落在 $a$ 的左边或右边。所谓“任意方式靠近”，实际上被数轴的结构压缩成了两个方向。

平面不一样。从 $(a,b)$ 附近出发，下面这些路线都能靠近目标点：

• 水平线 $y=b$；
• 斜线 $y-b=m(x-a)$；
• 抛物线 $y-b=k(x-a)^2$；

路线有无穷多条，而且它们可能贴着彼此靠近，却让函数值表现得完全不同。于是，一元极限里的“左右都一样”要升级成一句更强的话：只要输入点真的靠近目标点，不管它走哪条路，函数值都必须靠近同一个 $L$。

这里还有一个容易忽略的变化。一元函数的输入距离是 $|x-a|$；二元函数的输入是平面上的点，所以距离变成

$$\rho=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$$

只盯着 $|x-a|$ 或 $|y-b|$ 都不够，因为那只控制了一个坐标。真正表示“整个点靠近了”的，是二维距离 $\rho$ 趋于 $0$。

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用圆盘写出严格定义

以 $(a,b)$ 为圆心、半径为 $\delta$ 的开圆盘是

$$B_\delta(a,b) =\left\{(x,y):\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta\right\}$$

如果把圆心本身挖掉，就得到穿孔圆盘。极限关心的是目标点周围的趋势，所以定义里要挖掉圆心；函数在目标点有没有定义，不影响极限本身。

设 $f$ 在 $(a,b)$ 附近有定义，目标点本身可以例外。我们说

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$$

是指：对每个 $\varepsilon>0$，都存在一个 $\delta>0$，使得定义域中的点 $(x,y)$ 只要满足

$$0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta$$

就一定有

$$|f(x,y)-L|<\varepsilon$$

这串量词第一次看会有些拗口。可以把它读成一场“你先提要求，我再给范围”的游戏：

• 你先指定函数值必须离 $L$ 多近，这个容许误差就是 $\varepsilon$；
• 我再找一个输入圆盘半径 $\delta$；
• 只要输入点落进这个穿孔圆盘，函数值就不能跑出 $L-\varepsilon$ 到 $L+\varepsilon$ 的范围。

关键在于，同一个 $\delta$ 必须管住圆盘里的所有点。它不能只管住某一条直线，也不能随着路径临时更换。

边界点只从定义域内部靠近

如果 $(a,b)$ 位于定义域边界，小圆盘的一部分可能落在定义域外。那些点根本不能代入函数，因此不参加极限判断。严格地说，我们只检查同时满足下面两件事的点：它在 $B_\delta(a,b)$ 里，并且它属于函数的定义域。

例如

$$f(x,y)=\sqrt{25-x^2-y^2}$$

只在闭圆盘 $x^2+y^2\le25$ 上有定义。研究 $(x,y)\to(4,3)$ 时，不需要从圆盘外侧靠近；在定义域内部靠近就够了。

例题：真正做一次 $\varepsilon$-$\delta$ 证明

证明

$$\lim_{(x,y)\to(1,-1)}(3x-2y)=5$$

这道题当然可以直接代入，但我们暂时不用快捷方式，看看圆盘定义怎样同时控制两个变量。

这个证明最值得记住的不是 $\delta=\varepsilon/\sqrt{13}$，而是中间那一步：我们把两个坐标的变化统一压到“输入点离目标点的距离”上。这样一来，不管点沿什么路线进来，同一个估计都有效。

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极限律把熟悉的计算搬到多变量

严格定义给出了地基，但每次都从 $\varepsilon$-$\delta$ 开始会很慢。好消息是，一元极限的代数法则几乎原样保留。

假设

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L, \qquad \lim_{(x,y)\to(a,b)}g(x,y)=M$$

为了不让公式挤满下标，下面每个 $\lim$ 都表示 $(x,y)\to(a,b)$。这时

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \lim c}& {\displaystyle =c,}\\ {\displaystyle \lim (f+g)}& {\displaystyle =L+M,}\\ {\displaystyle \lim (f-g)}& {\displaystyle =L-M,}\\ {\displaystyle \lim (cf)}& {\displaystyle =cL,}\\ {\displaystyle \lim (fg)}& {\displaystyle =LM,}\\ {\displaystyle \lim \frac{f}{g}}& {\displaystyle =\frac{L}{M}(M\mathrm{\ne }0),}\\ {\displaystyle \lim f^n}& {\displaystyle =L^n,}\\ {\displaystyle \lim \sqrt[n]{f}}& \end{array}$$

最后一条根式法则需要表达式在附近有意义；$n$ 为偶数时还要从非负一侧取值，并且 $L\ge0$。

坐标函数本身满足

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}x=a, \qquad \lim_{(x,y)\to(a,b)}y=b$$

因此，多项式在每一点都可以直接代入；有理函数只要目标点处分母不为 $0$，也可以直接代入。根式还要满足根号的定义条件，偶次根在边界处要从定义域内部理解。

例题：先判断能不能直接代入

求

$$\lim_{(x,y)\to(1,-1)} \frac{\sqrt{5+x^2+y^2}}{2+xy}$$

分子里的多项式在 $(1,-1)$ 处取值为 $7$，根号函数在正数处连续；分母趋向

$$2+1\cdot(-1)=1$$

它不为 $0$，所以商法则可以使用：

$$\lim_{(x,y)\to(1,-1)} \frac{\sqrt{5+x^2+y^2}}{2+xy} =\sqrt7$$

例题：目标点没定义，极限仍可能存在

考虑

$$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x^2-y^2}{x-y}$$

直接代入得到 $0/0$，它只是在提醒我们“目前的写法不能直接算”，并没有宣布极限不存在。在原函数有定义的地方，也就是 $x\ne y$ 时，

$$\frac{x^2-y^2}{x-y}=x+y$$

于是

$$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x^2-y^2}{x-y} =\lim_{(x,y)\to(1,1)}(x+y)=2$$

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路径法专门用来抓住不存在

如果整个平面上的极限存在，那么沿任何一条确实趋向目标点的路径限制过去，都必须得到同一个 $L$。这给了我们一个很省力的反证办法：找到两条路径，让函数值趋向两个不同的数。

同一个函数沿 $y=x$ 趋向 $\frac12$，沿 $y=-x$ 趋向 $-\frac12$，所以原点处不可能有统一极限。

研究

$$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$$

在原点附近的表现。沿 $y=x$，令 $(x,y)=(t,t)$，则

$$f(t,t)=\frac{t^2}{2t^2}=\frac12$$

沿 $y=-x$，令 $(x,y)=(t,-t)$，则

$$f(t,-t)=\frac{-t^2}{2t^2}=-\frac12$$

两条路径都在 $t\to0$ 时靠近原点，函数值却分别停在 $\frac12$ 和 $-\frac12$。因此

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$$

不存在。

怎样把路径代入得更稳

一条路径最好写成参数形式

$$(x,y)=(x(t),y(t)), \qquad t\to0$$

并先检查

$$(x(t),y(t))\to(a,b)$$

再计算一元极限

$$\lim_{t\to0}f(x(t),y(t))$$

这样做能避免一个小陷阱：只写 $y=x$ 还没有明确点往哪个目标靠近，参数 $t$ 把“路径”和“沿路径移动”都交代清楚了。

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所有直线都通过，仍然可能失败

一元极限只需左右两侧，多变量极限却不能被几条直线代表。更隐蔽的反例甚至会让每一条过原点的直线都给出同一个结果，然后在一条弯曲路径上暴露问题。

直线路径全都给出 $0$，抛物线路径族却给出随 $k$ 改变的值。

考虑

$$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$$

先沿任意直线 $y=mx$ 靠近原点。若 $m\ne0$，

$$f(x,mx) =\frac{mx^3}{x^4+m^2x^2} =\frac{mx}{x^2+m^2} \to0$$

若 $m=0$，函数沿 $x$ 轴本来就恒为 $0$。所以所有直线都没有发现矛盾。

接着看分母里的两个主要部分：$x^4$ 和 $y^2$。如果想让它们保持同一数量级，自然会尝试 $y=kx^2$。代入得到

$$f(x,kx^2) =\frac{kx^4}{x^4+k^2x^4} =\frac{k}{1+k^2}$$

$k=1$ 时结果是 $\frac12$，$k=2$ 时结果是 $\frac25$，而坐标轴路径给出 。因此原极限不存在。

这个例子也提供了一个挑路径的实用办法：遇到分子、分母里不同幂次互相竞争时，可以选一条曲线，让分母中的主要项处在同一数量级。这里 $x^4$ 要和 $y^2$ 匹配，就得到 $y$ 与 $x^2$ 同阶。

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证明存在要统一压住所有方向

路径法失败在“永远列不完”。证明存在时，我们换一个思路：不再问每条路具体算出多少，而是找一个只由输入距离决定的上界。只要这个上界趋于 $0$，所有路线就会被一起压向目标值。

夹逼与距离估计

求

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}$$

先看绝对值：

$$\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right| =|y|\frac{x^2}{x^2+y^2}$$

因为

$$0\le\frac{x^2}{x^2+y^2}\le1$$

所以

$$0\le \left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right| \le|y| \le\sqrt{x^2+y^2}$$

右端是输入点到原点的距离。无论路径怎样拐，只要 $(x,y)\to(0,0)$，它就趋于 $0$。由夹逼定理，原极限为 $0$。

这段论证也能直接翻译成 $\varepsilon$-$\delta$：给定 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon$。当

$$0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$$

时，

$$\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}-0\right| \le\sqrt{x^2+y^2}<\delta=\varepsilon$$

同一个 $\delta$ 对整个穿孔圆盘都有效，这才是存在性证明真正需要的覆盖范围。

另一个常用估计

证明

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0$$

由

$$2|xy|\le x^2+y^2$$

可得

$$x^2y^2\le\frac{(x^2+y^2)^2}{4}$$

因此

$$0\le\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \le\frac{x^2+y^2}{4}$$

右端同样只依赖距离的平方，随 $(x,y)\to(0,0)$ 而趋于 $0$。

振荡并不可怕，振幅不缩小才可怕

考虑

$$F(x,y) =(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}$$

虽然正弦项在原点附近振荡得越来越快，但

$$\left|F(x,y)\right| \le x^2+y^2$$

振荡被一个趋于 $0$ 的振幅包住，所以极限仍然是 $0$。判断振荡函数时，不必追踪每一次摆动；先看它外面的振幅能不能统一缩到 $0$。

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极坐标把所有方向和距离拆开

目标点是原点时，极坐标尤其顺手：

$$x=r\cos\theta, \qquad y=r\sin\theta, \qquad r=\sqrt{x^2+y^2}$$

这里 $r$ 负责“离原点多远”，$\theta$ 负责“从哪个方向来”。于是 $(x,y)\to(0,0)$ 等价于 $r\to0^+$，但要牢记：靠近过程中 可以固定，也可以随着 不断变化。

可靠的极坐标证明要找到一个与角度无关、只随 $r$ 缩小的上界。

例题：留下一个有界的角度因子

求

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3}{x^2+y^2}$$

换成极坐标：

$$\frac{x^3}{x^2+y^2} =\frac{r^3\cos^3\theta}{r^2} =r\cos^3\theta$$

由于 $|\cos^3\theta|\le1$，

$$\left|r\cos^3\theta\right|\le r$$

这个上界对所有 $\theta$ 同时成立，并且 $r\to0$ 时右端趋于 $0$，所以原极限为 $0$。

一般来说，如果能化成

$$f(r,\theta)-L=r^pH(r,\theta), \qquad p>0$$

并且在足够小的 $r$ 下有统一界

$$|H(r,\theta)|\le C$$

那么

$$|f(r,\theta)-L|\le Cr^p\to0$$

极限就存在。

极坐标也能快速暴露路径依赖

前面的函数

$$\frac{xy}{x^2+y^2}$$

换成极坐标后是

$$\frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2} =\frac12\sin(2\theta)$$

半径 $r$ 完全消失，结果仍随角度改变。取 $\theta=\frac\pi4$ 与 $\theta=-\frac\pi4$，就分别得到 与 ，因此极限不存在。

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连续就是让极限被函数值接住

极限只看目标点周围发生什么，连续性还要检查目标点本身。函数 $f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 连续，需要三件事同时成立：

1. $f(a,b)$ 有定义；
2. $\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)$ 存在；
3. 极限值等于函数值。

也就是

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)$$

如果把极限的严格定义代进来，连续性也可以直接写成：对每个 $\varepsilon>0$，都存在 $\delta>0$，使得定义域中的点满足

$$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta$$

时，就有

$$|f(x,y)-f(a,b)|<\varepsilon$$

这里不必挖掉圆心，因为在圆心处两边的差本来就是 $0$。

哪些公式可以直接判为连续

常用结论与一元函数很相似：

• 多项式在整个平面上连续；
• 有理函数在分母不为 $0$ 的地方连续；
• 指数、正弦、余弦在有意义的输入上连续；
• 对数要求内部表达式大于 $0$；
• 平方根要求内部表达式不小于 $0$，边界处按定义域内部理解；
• 连续函数的和、差、积仍连续，分母不为 $0$ 时商连续；
• 连续函数复合后仍连续，只要每一层都有意义。

这些结论说明了“直接代入”什么时候可靠。直接代入不是一种猜测，而是在使用连续性。

例题：找出整个连续区域

考虑

$$h(x,y)=\frac{\ln(4-x^2-y^2)}{1-xy}$$

对数要求

$$4-x^2-y^2>0$$

也就是 $x^2+y^2<4$。分母还要求

$$1-xy\ne0$$

所以 $h$ 的连续区域是

$$\left\{(x,y):x^2+y^2<4,\ xy\ne1\right\}$$

换句话说，在半径为 $2$ 的开圆盘里，还要挖掉双曲线 $xy=1$ 落在圆盘中的部分。

可去间断怎样修补

设

$$p(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}},&(x,y)\ne(0,0),\\ c,&(x,y)=(0,0). \end{cases}$$

在原点外，

$$p(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$$

因此

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}p(x,y)=0$$

当 $c=0$ 时，函数值正好接住极限，$p$ 在原点连续；当 $c\ne0$ 时，极限仍是 $0$，只是点上的赋值接错了。这种间断只需改一个点就能修好。

相比之下，若极限本身因路径不同而不存在，无论给目标点填什么数都修不好。一个点上的函数值无法改变周围整片邻域的行为。

边界上的连续是相对于定义域说的

回到

$$f(x,y)=\sqrt{25-x^2-y^2}$$

点 $(4,3)$ 位于定义域边界，而且

$$f(4,3)=0$$

当定义域内的 $(x,y)$ 靠近 $(4,3)$ 时，根号内趋于 $0$，所以函数值趋于 $0$。极限等于函数值，因此 $f$ 在这个边界点连续。连续不要求函数在边界外也有定义，只要求定义域内所有允许的靠近方式表现一致。

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三个及更多变量只是把圆盘换成球

二维里我们用圆盘控制所有方向；三维里换成小球。点 $(x,y,z)$ 到 $(a,b,c)$ 的距离是

$$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}$$

因此

$$\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)}f(x,y,z)=L$$

的含义是：对每个 $\varepsilon>0$，都能找到 $\delta>0$，使得定义域中的点只要满足

$$0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}<\delta$$

就有

$$|f(x,y,z)-L|<\varepsilon$$

推广到 $n$ 个变量时，用向量记号会更干净。令

$$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n), \qquad \mathbf{a}=(a_1,\ldots,a_n)$$

以及

$$\|\mathbf{x}-\mathbf{a}\| =\sqrt{(x_1-a_1)^2+\cdots+(x_n-a_n)^2}$$

定义就变成

$$0<\|\mathbf{x}-\mathbf{a}\|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(\mathbf{x})-L|<\varepsilon$$

维数增加后，路径更多、图像更难直接画，但逻辑没有变：不存在可以用两条路径制造矛盾，存在则要用极限律或一个覆盖整个小球的统一估计。

例题：三变量直接代入

求

$$\lim_{(x,y,z)\to(4,1,-3)} \frac{x^2y-3z}{2x+5y-z}$$

分母在目标点趋向

$$2\cdot4+5\cdot1-(-3)=16$$

不为 $0$，所以可以直接使用极限律。分子趋向

$$4^2\cdot1-3(-3)=25$$

于是极限为

$$\frac{25}{16}$$

连续性的定义也完全一样：函数在 $\mathbf{a}$ 有定义，极限存在，而且极限等于 $f(\mathbf{a})$。

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一套不容易走偏的判断顺序

面对一个多变量极限，可以按下面的顺序处理。

这套顺序把两种任务分开了：路径是在找反例，估计是在覆盖所有可能。弄清这两个工具各自负责什么，很多题就不会在逻辑上绕圈。

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练习

练习一：用定义证明线性函数的极限

用 $\varepsilon$-$\delta$ 定义证明

$$\lim_{(x,y)\to(1,2)}(2x-y)=0$$

显示答案

有

$$|(2x-y)-0| =|2(x-1)-(y-2)|$$

并且

$$\mathrm{\mid }2$$

练习二：使用极限律

求

$$\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{x^2+3y}{2+x-y}$$

显示答案

分母趋向

$$2+1-0=3\ne0$$

所以可以直接代入：

$$\lim_{(x,y)\to(1,0)} \frac{x^2+3y}{2+x-y} =\frac13$$

练习三：处理可去间断

求

$$\lim_{(x,y)\to(2,2)}\frac{x^2-y^2}{x-y}$$

显示答案

目标点处分母为 $0$，但在 $x\ne y$ 时

$$\frac{x^2-y^2}{x-y}=x+y$$

练习四：用两条路径证明不存在

判断

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+2y^2}$$

是否存在。

显示答案

沿 $y=0$，函数恒为 $0$。沿 $y=x$，

$$\frac{x^2}{x^2+2x^2}=\frac13$$

练习五：坐标轴和直线为什么仍不够

判断

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}$$

是否存在，并说明应该怎样挑出关键曲线路径。

显示答案

沿任意直线 $y=mx$，极限都是 $0$。但分母中的 $x^4$ 与 $y^2$ 提示我们让 $y$ 与 同阶。沿 ，

练习六：用夹逼证明存在

证明

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3}{x^2+y^2}=0$$

显示答案

有

$$\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right| =|x|\frac{x^2}{x^2+y^2} \le|x| \le\sqrt{x^2+y^2}$$

练习七：用极坐标统一控制角度

证明

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0$$

显示答案

令 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$，则

$$\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} =r^2\cos^2\theta\sin^2\theta$$

练习八：判断连续区域

找出函数

$$q(x,y)=\frac{\sqrt{9-x^2-y^2}}{x-y}$$

的连续区域。

显示答案

平方根要求

$$x^2+y^2\le9$$

分母要求

$$x-y\ne0$$

练习九：选择正确的补充值

设

$$p(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}},&(x,y)\ne(0,0),\\ c,&(x,y)=(0,0). \end{cases}$$

应取什么 $c$，才能使 $p$ 在原点连续？

显示答案

原点外有

$$p(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$$

练习十：边界点极限

设

$$f(x,y)=\sqrt{25-x^2-y^2}$$

它的定义域是 $x^2+y^2\le25$。求

$$\lim_{(x,y)\to(4,3)}f(x,y)$$

并判断函数在 $(4,3)$ 是否连续。

显示答案

只从定义域内部靠近时，

$$25-x^2-y^2\to25-16-9=0$$

所以

$$$$

练习十一：三变量极限

求

$$\lim_{(x,y,z)\to(1,2,-1)} \frac{x+y^2+z^2}{3+x-y+z}$$

显示答案

分母在目标点趋向

$$3+1-2-1=1\ne0$$

所以可以直接代入。分子趋向

$$1+2^2+(-1)^2=6$$

练习十二：辨析路径法的逻辑

判断下面的说法是否正确：如果一个二元函数沿每条过原点的直线趋近时都趋于 $0$，那么它在原点的二元极限一定是 $0$。

显示答案

不正确。函数

$$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$$

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把“所有路径”带进下一章

本章最需要留下的不是某一套代数技巧，而是一条判断标准：多变量极限要对整个邻域负责。

证明不存在时，我们故意找两条路径制造矛盾；证明存在时，我们用极限律、夹逼或极坐标上界把所有路径一起控制。连续性再多检查一步：目标点上的函数值要正好接住这个共同趋势。

下一章开始求偏导数时，我们会固定 $y$ 只让 $x$ 动，或者固定 $x$ 只让 $y$ 动。这相当于只看两条坐标方向上的截线。它们很有用，却仍然只是少数路径。一个函数可以有两个偏导数，甚至两个偏导数都等于 $0$，却在原点不连续。记住本章反复强调的那句话：一元里左右两条路就够了，平面里远远不够。这个警觉会帮助我们分清“偏导存在”和“函数在整个邻域里表现良好”之间的距离。