多变量极限与连续 | 多变量微积分 I | 自在学多变量极限与连续
上一章我们已经会读二元函数的图像、等值线和定义域。本章要处理一个更细的问题：当点 (x,y) 靠近某个点 (a,b) 时，f(x,y) 会不会靠近同一个数？
单变量极限只需要从左、右两侧靠近。多变量极限不同，靠近 (a,b) 的路线有无穷多条：直线、抛物线、螺旋式曲线，甚至一边摆动一边靠近。正因为路线太多，多变量极限的核心不是“算某一条路”，而是判断所有靠近方式是否给出同一个结果。
多变量极限把输入点限制在目标点附近的小圆盘内，而不是只限制在一条数轴区间内。
从单变量到多变量的极限
设 f(x,y) 在 (a,b) 附近有定义，但可以不在 (a,b) 本身有定义。如果当 (x,y) 从定义域内任意方式靠近 (a,b) 时，f(x,y) 都靠近同一个数 L，就写作
(x,y)→(a,b)limf(x,y)=L 稍微正式一点说，对任意 ε>0，都能找到 δ>0，使得只要 (x,y) 在定义域中，且满足
0<(x−a)2+(y−b)2<δ ∣f(x,y)−L∣<ε 这里的 0< 排除了目标点本身。极限问的是“靠近时怎样”，不是“点上取什么值”。这也是为什么一个函数在某点没有定义，极限仍然可能存在。
多变量极限中的 δ 对应的是一个小圆盘。在三变量函数中，它对应的是小球。若 (a,b) 是定义域边界点，只需要考虑小圆盘里同时属于定义域的点。
f(x,y)=x2y+cos(x−y) 是由多项式和余弦函数复合得到的，在整个平面上连续。因此
(x,y)→(1,2)lim(x2y+cos(x−y))=12⋅2+cos(−1)=2+cos1 这类题看起来像“代数计算”，背后用的是连续性。真正需要小心的，是分母趋近于 0、定义域边界、分段定义、绝对值或带有振荡的函数。
路径依赖：不存在的最常见证据
要证明一个多变量极限不存在，最常用的方法是找两条靠近同一点的路径，使函数值趋向不同结果。因为极限若存在，所有路径都必须给出同一个 L。
沿不同路径靠近同一点，若函数值趋向不同数，极限不存在。
f(x,y)=x2+y2xy 研究 (x,y)→(0,0) 时的极限。沿 x 轴靠近，即 y=0，
f(x,x)=2x2x2=21 两条路径都趋向原点，但函数值分别趋向 0 和 21。因此
(x,y)→(0,0)limx2+y2xy 先选择第一条容易计算的路径。这里取 y=0，因为分子立刻变成 0，得到沿这条路径的趋向值为 0。
再选择另一条也经过原点的路径。取 y=x 后，分子和分母都是 x2 的数量级，化简得到恒等于 21。
最后比较两条路径的结果。一个是 0，一个是 21，同一个极限不可能同时等于两个不同的数，所以原极限不存在。
两条路径得到不同结果，可以证明极限不存在。反过来，几条路径得到相同结果，不能证明极限存在。路径检查是反证工具，不是存在性证明。
直线检查不够
很多初学者会先试 y=mx。这是好习惯，但不能停在那里。因为所有直线路径都通过，曲线路径仍然可能给出不同结果。
直线只是无穷多路径中的一小类，抛物线、双曲线或更复杂曲线也可能改变极限行为。
f(x,y)=x4+y2x2y 研究 (x,y)→(0,0)。沿任意直线 y=mx，
f(x,mx)=x4+m2x2x2(mx)=x2+m2mx 当 x→0 时，上式趋向 0。如果只看直线，好像极限应该是 0。
f(x,kx2)=x4+k2x4x2(kx2)=1+k2k 这个值随 k 改变。例如 k=1 时趋向 21，k=2 时趋向 52。因此原极限不存在。
直线路径常用于快速发现问题，但它不能覆盖所有靠近方式。若直线检查都相同，下一步可以尝试让分子和分母的主要阶数匹配的曲线，例如 y=kx2、x=ky2 或 y=kxp。
证明存在：把所有方向同时压住
证明极限存在时，不能靠列举路径。常用思路有三种：使用连续性直接代入，先做代数化简，或用估计把 ∣f(x,y)−L∣ 夹在一个一定趋于 0 的量下面。
极坐标把“靠近原点”写成 r→0，但证明时必须保证角度 θ 不会让估计失控。
用夹逼估计证明
(x,y)→(0,0)limx2+y2x2y 0≤x2+y2x2≤1 x2+y2x2y=∣y∣x2+y2x2≤∣y∣ 当 (x,y)→(0,0) 时，∣y∣→0。由夹逼定理，
(x,y)→(0,0)limx2+y2x2y=0 这段证明的关键是最后得到的上界 ∣y∣ 对所有路径都成立。无论路径怎样弯，只要它趋向原点，∣y∣ 就会趋向 0。
用极坐标检查角度
x=rcosθ,y=rsinθ 此时 (x,y)→(0,0) 等价于 r→0。例如
g(x,y)=x2+y2x2y2 g(r,θ)=r2r4cos2θsin2θ=r2cos2θsin2θ 因为 0≤cos2θsin2θ≤1，所以
0≤g(r,θ)≤r2 于是 r→0 时 g(r,θ)→0，且这个结论不依赖某个固定角度。
极坐标证明的好形式是：化成 r 的正幂乘上一个有界的角度因子。若剩下的角度因子无界，或者极坐标表达式不随 r 消失，就要重新判断。
连续：极限和函数值要接上
函数 f(x,y) 在点 (a,b) 连续，需要同时满足三件事：
- f(a,b) 有定义；
- lim(x,y)→(a,b)f(x,y) 存在；
- 极限值等于函数值，即
(x,y)→(a,b)limf(x,y)=f(a,b) 连续不只要求图像附近有趋势，还要求点上的函数值正好接住这个趋势。
多项式函数在整个平面上连续。有理函数在分母不为 0 的地方连续。由连续函数通过加、减、乘、除和复合得到的新函数，在各项都有意义且分母不为 0 的地方连续。
h(x,y)=1−xyln(4−x2−y2) 4−x2−y2>0 因此 h 在圆盘 x2+y2<4 内，去掉曲线 xy=1 的部分上连续。
温度、高度、压力等标量场常被看作连续变化的函数；若模型里出现跳变，就要检查它是物理边界、理想化假设，还是公式拼接造成的。
“函数在附近有定义”不等于“在点上连续”。可去间断的典型特征是极限存在，但函数在该点没有定义，或函数值被故意设成了别的数。
例题：判断极限与连续性
例题：一个可去间断
(x,y)→(1,1)limx−yx2−y2 先观察原式在 x=y 上没有定义，特别是在 (1,1) 处分母为 0。但这并不直接说明极限不存在，因为极限不要求目标点本身有定义。
在 x=y 时因式分解：
x2−y2=(x，所以原式可化为 。
当 (x,y)→(1,1) 时，x+y→2。因此原极限存在，值为 。
如果把函数在 (1,1) 处补定义为 2，它就在该点连续；如果补成别的数，极限仍是 2，但函数不连续。
例题：用路径证明不存在
(x,y)→(0,0)limx2+y2x2−y2 沿 x 轴，即 y=0，函数变成 x2x2=1。
沿 y 轴，即 x=0，函数变成 y2。
两条路径都趋向原点，但函数值趋向不同结果，所以该极限不存在。
例题：用夹逼证明存在
(x,y)→(0,0)limx2+y2x2y2=0 先把绝对值写出：
x2+y2x2y2=x2+y2x2y2，因为分子分母都非负。
利用 x2≤x2+y2，得到
，所以
。
当 (x,y)→(0,0) 时，0≤。
常见误区
把函数值当作极限
极限看的是靠近目标点时的趋势。函数在目标点可以没有定义，也可以被定义成一个和趋势不同的数。连续性才要求函数值和极限值相等。
只检查坐标轴
沿 x 轴和 y 轴结果相同，只说明两条特殊路径没有发现矛盾。很多反例正是沿坐标轴都给 0，沿 y=x 或 y=x2 才暴露问题。
极坐标中忘记角度
把 x,y 换成 r,θ 后，如果表达式仍然含有随 θ 任意变化的部分，就不能只说“r→0 所以极限存在”。必须说明角度部分被统一控制。
看到分母为零就判不存在
分母在目标点为零，只说明函数在目标点可能没定义。经过因式分解、约分或其他化简后，极限仍可能存在。
练习
(x,y)→(0,0)limx2+2y2xy 沿 y=0 得到 0。沿 y=x 得到
x2+2x2x2=31两条路径结果不同，所以极限不存在。
(x,y)→(0,0)limx2+y2x3=0 有
x2+y2x3=∣x∣x2+y2x2≤∣x∣当 (x,y)→(0,0) 时，∣x∣→0。由夹逼定理，原极限为 0。
p(x,y)=⎩⎨⎧x2+y2x 当 (x,y)=(0,0) 时，
p(x,y)=x2+y2所以
(x,y)→(0,0)limp(x,y)=0又因为 p(0,0)=0，极限值等于函数值，因此 p 在原点连续。
q(x,y)=⎩⎨⎧x4+y2x2y,0,(x, 沿 y=0，有 q(x,0)=0。沿 y=x2，有
q(x,x2)=x4+x4x2⋅x极限不存在，所以 q 在原点不连续。
r(x,y)=x−y9−x2−y2 平方根要求
9−x2−y2≥0分母要求
x−y=0因此连续区域是闭圆盘 x2+y2≤9 中去掉直线 x=y 的部分。
小结
多变量极限的难点来自“所有路径”。证明不存在时，只需要找出两条路径给出不同趋向；证明存在时，要用连续性、代数化简、夹逼或极坐标估计覆盖所有靠近方式。连续性比极限多一步：函数值必须在目标点接住这个共同趋向。
下一章学习偏导数时，我们会再次“沿某些方向观察函数变化”。那时要记住本章的教训：沿坐标方向的信息很有用，但它不等于掌握了函数在整个邻域中的全部行为。
−
y)(x+
y)
2
−y2
=
−1
x2+y2x2≤1
x2+y2x2y2≤y2 x2+y2x2y2
≤
y2→
0
2
+
y2
,
0,
(x,y)=(0,0),(x,y)=(0,0)
y
)
=
(
0
,
0
)
,
(x,y)=(0,0)
2
=
21
