切平面、线性化与全微分

上一章里，我们把曲面沿两个坐标方向切开，得到了 $f_x$ 和 $f_y$ 。它们分别回答：“只沿 $x$ 方向走，高度变多快？”以及“只沿 $y$ 方向走，高度变多快？”

但真正走在一张曲面上时，你并不会永远只向东或只向北。你可能斜着走，也可能沿一条弯曲路径走。于是问题来了：两条坐标截线的切线，能不能代表点附近的整小块曲面？

它们确实能确定一个候选平面，但这还不够。这个平面必须同时贴合从所有方向靠近该点的曲面，才配叫曲面的局部线性近似。把“两个方向的斜率”升级成“所有小位移共用的近似”，就是这一章真正要解决的事。

二元函数曲面在一点附近由切平面作局部近似的三维示意图

切平面只负责切点附近的一小块；把它延伸得再远，也不会因此更接近原曲面。

两条切线为什么还不够

设曲面由

z=f(x,y)

给出。输入平面上的基准点是 $(a,b)$ ，曲面上的对应点是

P=(a,b,f(a,b)).

固定 $y=b$ ，沿 $x$ 方向得到一条截线。它在 $P$ 点的切向量可以写成

\mathbf t_x=\langle 1,0,f_x(a,b)\rangle.

这里第一个分量是说 $x$ 前进一个小单位，第二个分量表示 $y$ 不动，第三个分量给出高度的一阶变化。

类似地，固定 $x=a$ ，沿 $y$ 方向的切向量是

\mathbf t_y=\langle 0,1,f_y(a,b)\rangle.

曲面在点 P 处的两个坐标截面：固定 y=b 得到斜率为 f_x(a,b) 的 x 方向切线，固定 x=a 得到斜率为 f_y(a,b) 的 y 方向切线，两条切线落在同一候选切平面内

这两个向量不平行，所以它们和点 $P$ 能唯一确定一个平面。换句话说，偏导数只要存在，我们就总能写出一个候选平面。

可问题并没有到此结束。偏导数只检查了坐标轴方向，好比我们只看了一块布料上横着和竖着的两根纤维。斜着的纤维可能突然翘起。若这种翘起与水平位移是同一个量级，候选平面就没有真正贴住曲面。

两条相交的切线足以确定一个平面，这是几何事实；但这个平面能否统一近似整块局部曲面，是分析问题。前者只需要两个偏导数，后者需要可微性。

我们会先把候选平面算出来，再给出可微性的检验标准。这样你能清楚看到：公式从哪里来，以及什么时候有资格使用它。

从两个偏导推到切平面

任何经过 $P=(a,b,f(a,b))$ 、并且能写成 $z$ 关于 $x,y$ 的函数的平面，都可以表示为

z-f(a,b)=A(x-a)+B(y-b).

如果在这个平面上固定 $y=b$ ，就得到

z-f(a,b)=A(x-a),

所以它沿 $x$ 方向的斜率是 $A$ 。为了贴合曲面的 $x$ 截线，必须令

A=f_x(a,b).

同理，固定 $x=a$ 后，平面沿 $y$ 方向的斜率是 $B$ ，因此必须令

B=f_y(a,b).

于是候选切平面方程只能是

z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).

只要 $f$ 在 $(a,b)$ 可微，这个候选平面就是真正的切平面。

用向量再核对一次

平面中的两个切向量是

\mathbf t_x=\langle 1,0,f_x(a,b)\rangle, \qquad \mathbf t_y=\langle 0,1,f_y(a,b)\rangle.

它们的叉积给出一个法向量。选取符号较方便的一版，可写成

\mathbf N=\langle f_x(a,b),f_y(a,b),-1\rangle.

所以平面也能写成点法式

\mathbf N\cdot \langle x-a,y-b,z-f(a,b)\rangle=0.

展开后仍然得到刚才的切平面公式。这个核对很有用：若你算出的法向量和展开后的平面斜率对不上，通常是 $z$ 分量的符号写反了。

例题：先算点，再算两个斜率

求曲面

z=x^2+xy+2y^2

在 $(1,-1)$ 上方的切平面。

题目给的是输入坐标 $(1,-1)$ ，还要先算曲面高度：

f(1,-1)=1^2+1\cdot(-1)+2(-1)^2=2.

因此切点是 $P=(1,-1,2)$ 。少算这一步，就很容易把平面写成经过错误高度的平面。

求两个偏导数：

f_x(x,y)=2x+y, \qquad f_y(x,y)=x+4y.

在基准点处，

f_x(1,-1)=1, \qquad f_y(1,-1)=-3.

代入“高度加两个斜率贡献”的形式：

z=2+(x-1)-3(y+1).

化简后得到

z=x-3y-2.

最后做三个快速检查。代入 $(x,y)=(1,-1)$ 得 $z=2$ ，说明平面经过切点； $x$ 的系数是 $1$ ，等于 $f_x(1,-1)$ ； $y$ 的系数是 $-3$ ，等于 $f_y(1,-1)$ 。三个条件都对上了。

单位也能帮你抓错

假设 $x,y$ 用米表示， $z=f(x,y)$ 用摄氏度表示，那么

f_x(a,b)

的单位是“摄氏度每米”。因此

f_x(a,b)(x-a)

的单位又回到摄氏度，正好能和 $f(a,b)$ 相加。 $y$ 项也必须如此。

切平面公式中的三项都必须和输出 $z$ 同单位。偏导数不是无单位的装饰系数，它是“输出单位除以对应输入单位”的局部敏感度。

切平面写成函数，就是线性化

切平面是一个几何对象。把它右边看成 $x,y$ 的函数，就得到 $f$ 在 $(a,b)$ 处的线性化：

L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).

当 $(x,y)$ 靠近 $(a,b)$ 时，我们用

f(x,y)\approx L(x,y)

来估计函数值。

如果写成位移形式

h=x-a, \qquad k=y-b,

那么公式变成

f(a+h,b+k) \approx f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k.

这个写法更接近实际计算：从一个容易计算的基准点出发，输入分别挪动 $h,k$ ，输出的一阶变化就是两个“敏感度乘位移”的和。

输入的小变化通过线性化产生近似输出变化

线性化为什么叫“线性”

严格说， $L(x,y)$ 含有常数项，所以它对原坐标 $(x,y)$ 是仿射函数。真正的线性部分是

(h,k)\longmapsto f_x(a,b)h+f_y(a,b)k.

微积分里仍习惯把整套近似叫“线性化”，因为我们关心的是基准点附近的增量关系。常数项负责把平面搬到正确高度，线性部分负责给它正确倾斜。

例题：选一个好算又靠近的基准点

估计

f(2.98,5.04)

其中

f(x,y)=\sqrt{xy+1}.

附近的 $(3,5)$ 很合适，因为它离目标点近，而且 $3\cdot5+1=16$ 的平方根容易计算。

先算基准值：

f(3,5)=\sqrt{16}=4.

求偏导数：

f_x(x,y)=\frac{y}{2\sqrt{xy+1}}, \qquad f_y(x,y)=\frac{x}{2\sqrt{xy+1}}.

所以

f_x(3,5)=\frac58, \qquad f_y(3,5)=\frac38.

目标点相对基准点的位移是

h=2.98-3=-0.02, \qquad k=5.04-5=0.04.

代入线性化：

f(2.98,5.04) \approx 4+\frac58(-0.02)+\frac38(0.04) =4.0025.

这里 $x$ 的减小把结果往下拉， $y$ 的增大把结果往上推；两个一阶贡献相加后，净变化是 $0.0025$ 。

选基准点时可以按三个条件检查：它要在函数定义域内，要离目标点近，还要让函数值与偏导数容易计算。只满足“好算”却离得很远，线性化往往不可靠。

可微性：一个平面要同时管住所有方向

现在把“曲面真的能由这个平面近似”写成精确条件。令

r=\sqrt{h^2+k^2}

表示输入位移 $(h,k)$ 的长度。若存在一个线性函数

A h+B k

使得

f(a+h,b+k)-f(a,b)=Ah+Bk+R(h,k),

并且

\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\to0 \qquad \text{当 }(h,k)\to(0,0),

就说 $f$ 在 $(a,b)$ 可微。

这里最关键的不是 $R(h,k)\to0$ 。只要求误差趋近于零太弱了，因为任何连续函数减去常数都会有这个性质。真正的要求是：误差相对于输入距离也要变得可以忽略。

如果这个线性主部存在，它的系数不会有第二种选择。令 $k=0$ ，定义式就退化为 $x$ 方向的差商，所以

A=f_x(a,b).

再令 $h=0$ ，得到

B=f_y(a,b).

因此可微时，统一的线性主部必定是

f_x(a,b)h+f_y(a,b)k.

可微、连续和偏导存在的关系

这几个条件很容易混在一起，可以这样整理：

已知条件	能推出什么
$f$ 在点上可微	$f$ 在该点连续，而且两个偏导数存在
两个偏导数在点附近存在，并在该点连续	$f$ 在该点可微
两个偏导数只在该点存在	不能保证连续，也不能保证可微
$f$ 在该点连续	不能保证偏导存在，也不能保证可微

“偏导在附近连续”是非常实用的充分条件，但不是可微的定义，也不是必要条件。面对多项式、指数、三角函数以及它们在正常定义域内的组合时，这个充分条件通常已经够用。

反例：坐标轴上都很平，斜线却翘起来

定义

f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, &(x,y)\ne(0,0),\\ 0, &(x,y)=(0,0). \end{cases}

这个函数在原点是连续的。由

2|xy|\le x^2+y^2

可得

|f(x,y)| \le \frac12\sqrt{x^2+y^2}\to0.

所以问题并不出在函数值突然跳跃，而是出在它没有统一的一阶平面。

先看 $x$ 轴。因为 $f(h,0)=0$ ，所以

f_x(0,0)=0.

再看 $y$ 轴。因为 $f(0,k)=0$ ，所以

f_y(0,0)=0.

两个坐标方向都给出水平切线，于是候选平面只能是

z=0.

现在沿对角线 $y=x$ 靠近原点。取 $(x,y)=(t,t)$ ，则

f(t,t)=\frac{t^2}{\sqrt{2t^2}}=\frac{|t|}{\sqrt2}.

输入距离是

\sqrt{t^2+t^2}=\sqrt2|t|.

因此候选平面的误差与输入距离之比为

\frac{|f(t,t)-0|}{\sqrt{t^2+t^2}}=\frac12.

这个比值没有趋向 $0$ 。也就是说，沿坐标轴看不到的问题，沿对角线马上暴露了。函数在原点连续，两个偏导也都存在，但它不可微。

光滑抛物面在原点贴近唯一切平面，与函数 xy 除以根号 x 平方加 y 平方在原点两个偏导均为零却无法由水平面统一近似的对比图

检查两条坐标轴、几条直线，甚至每一条固定直线，都不能代替可微性的二维极限。可微性要求所有靠近方式共享同一个线性主部，并且误差相对输入距离趋近于零。

误差为什么会退到更小的量级

可微性的定义可以简写成

\Delta f=f_x(a,b)h+f_y(a,b)k+o(r),

其中

r=\sqrt{h^2+k^2}.

$o(r)$ 的意思是：余项除以 $r$ 后趋近于 $0$ 。所以当观察尺度缩小时，线性部分与 $r$ 同阶，而余项比 $r$ 更快缩小。你把局部不断放大，曲面的弯曲就会退到背景里，留下近似平面。

不断缩小观察范围时，光滑曲面逐渐接近切平面

如果函数还有连续的二阶偏导，而且研究区域内 Hessian 的大小有界，那么通常能把误差说得更具体。若沿基准点到目标点的线段上有

\|H_f\|\le M,

则线性化余项满足

|R(h,k)|\le \frac{M}{2}(h^2+k^2).

这时误差至多是距离平方的量级。把输入位移整体缩小一半，一阶变化大约缩小到一半，而二阶误差大约缩小到四分之一。

“二阶误差”需要额外的二阶光滑条件；仅由可微性本身能保证的是误差为 $o(r)$ 。这两个说法不要混用。

局部不等于全局

切平面会无限延伸，但可靠范围不会。函数弯得越厉害，允许的位移通常越小。不同方向的弯曲程度还可能不同，所以不能只凭“ $h$ 和 $k$ 看起来都是小数”就断定近似足够好。

判断线性近似是否值得信任，至少看四件事：目标点离基准点多远，函数在这段区域内弯曲多强，目标点是否仍在同一块定义域内，以及题目需要几位精度。如果有条件，最后用原式回代一次，比较真实值和近似值。

全微分：把高度近似改写成变化量近似

在线性化里，把输入的小变化记成 $dx,dy$ ，把线性模型预测的输出变化记成 $dz$ ，就得到

dz=f_x(x,y)\,dx+f_y(x,y)\,dy.

这叫全微分。它和切平面、线性化不是三套互不相干的公式，而是同一件事的三种说法：

说法	关注什么	公式表达
切平面	曲面附近的几何平面	$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$
线性化	用简单函数估计函数值	$f(x,y)\approx L(x,y)$
全微分	用输入变化估计输出变化	$dz=f_x\,dx+f_y\,dy$

$dz$ 和 $\Delta z$ 不是同一个量

从真实曲面出发，输入从 $(x,y)$ 变到 $(x+dx,y+dy)$ 时，输出的精确变化是

\Delta z=f(x+dx,y+dy)-f(x,y).

全微分给出的则是切平面上的变化：

dz=f_x(x,y)\,dx+f_y(x,y)\,dy.

在切平面上， $dz$ 与 $dx,dy$ 的关系是精确等式；在原曲面上，我们只有

\Delta z\approx dz.

当 $f$ 可微且位移足够小时，这个近似才有依据。

全微分把多个测量误差合成为输出误差的一阶估计

把全微分读成“敏感度乘变化量”

公式

dz=f_x\,dx+f_y\,dy

可以逐项读： $f_x$ 是输出对 $x$ 的局部敏感度，乘上 $x$ 的小变化 $dx$ ，得到 $x$ 通道对输出的贡献； $f_y\,dy$ 是 $y$ 通道的贡献。两个通道同时发生，所以最后相加。

如果函数有三个独立输入，逻辑完全一样。对 $w=f(x,y,z)$ ，

dw=f_x\,dx+f_y\,dy+f_z\,dz.

输入再多，也只是把每个“一阶敏感度乘对应小变化”加起来。

测量误差怎样沿公式传播

实际测量里常见两种信息，处理方式不同。

第一种是已知带符号的小改变量，例如温度升高 $0.2$ 度、长度减少 $0.01$ 米。这时直接把带符号的 $dx,dy$ 代入 $dz$ ，不同通道可能相互加强，也可能抵消。

第二种是只知道误差范围，例如

|dx|\le \varepsilon_x, \qquad |dy|\le \varepsilon_y.

这时不知道误差方向。对全微分使用三角不等式，得到一阶最坏情形估计

|dz| \le |f_x(x,y)|\varepsilon_x + |f_y(x,y)|\varepsilon_y.

注意这个不等式严格约束的是 $|dz|$ 。把它用于真实误差 $|\Delta z|$ 时，仍然是在做线性近似；若题目要求严格误差界，还要把高阶余项估计进去。

例题：圆柱体体积的测量误差

圆柱体体积为

V=\pi r^2h.

测得半径 $r=5\text{ cm}$ 、高度 $h=12\text{ cm}$ 。半径误差不超过 $0.02\text{ cm}$ ，高度误差不超过 $0.05\text{ cm}$ 。估计体积的最大误差和相对误差。

先求两个敏感度：

V_r=2\pi rh, \qquad V_h=\pi r^2.

因此全微分为

dV=2\pi rh\,dr+\pi r^2\,dh.

只知道误差上限，不知道正负，所以做最坏情形估计：

|dV| \le 2\pi rh|dr|+\pi r^2|dh|.

代入测量值和误差范围：

|dV| \le 2\pi\cdot5\cdot12\cdot0.02 + \pi\cdot25\cdot0.05 =3.65\pi\text{ cm}^3.

所以体积误差的一阶估计约不超过

3.65\pi\approx11.47\text{ cm}^3.

测得体积是

V=\pi\cdot5^2\cdot12=300\pi\text{ cm}^3.

相对误差的一阶估计为

\frac{|dV|}{V} \le \frac{3.65\pi}{300\pi} \approx0.0122=1.22\%.

最后检查单位。 $V_r=2\pi rh$ 的单位是 $\text{cm}^2$ ，乘 $dr$ 的 $\text{cm}$ 后得到 $\text{cm}^3$ ； $V_h=\pi r^2$ 也以 $\text{cm}^2$ 为单位，乘 $dh$ 后同样得到 $\text{cm}^3$ 。两项可以相加。

相对误差有时能直接化简

对

V=\pi r^2h,

把全微分除以 $V$ ，得到

\frac{dV}{V}=2\frac{dr}{r}+\frac{dh}{h}.

这个式子很直观：半径的相对变化会被放大两倍，因为 $r$ 在体积公式里是二次方；高度的一阶相对变化则原样进入。若只知道误差上限，就写成

\frac{|dV|}{V} \le 2\frac{|dr|}{r}+\frac{|dh|}{h}.

这种相对误差公式必须是无单位的。若化简后还留下厘米、秒或摄氏度，说明某一步的量纲没有对齐。

一套可靠的局部近似流程

面对切平面、线性化或误差传播题，可以沿同一条路线做，不必分别背三套步骤。

先确认基准点。题目给出的 $(a,b)$ 通常只是输入坐标，要另外计算 $f(a,b)$ 。若是近似函数值，则选择一个离目标点近、又容易算的基准点。

确认函数在基准点附近有定义，并判断是否可微。最常用的办法是检查一阶偏导在附近是否存在且连续；若函数是分段定义或含尖点，就不能跳过这一步。

在同一个基准点计算 $f(a,b)$ 、 $f_x(a,b)$ 和 $f_y(a,b)$ 。不要在目标点算一部分、在基准点算另一部分。

根据问题选择表达形式。求几何平面就写 $z=L(x,y)$ ；估计函数值就算 $L(x,y)$ ；估计变化量就写 $df=f_x\,dx+f_y\,dy$ 。

检查位移是否真的小、是否越过定义域边界，再核对单位。若能计算原函数，就用真实值回看近似误差。

几个容易踩中的坑

不要因为平面公式写得出来，就自动宣布函数可微。两个偏导数给出的是候选平面；可微性才保证它是统一的一阶近似。

不要把 $\Delta z=dz$ 当成一般恒等式。函数本身是仿射函数时二者才处处相等；对弯曲曲面，通常只有在小位移下 $\Delta z\approx dz$ 。

还有三类计算错误也很常见。第一，把偏导数算在目标点，却把常数项放在基准点；第二，做最坏误差估计时保留正负号，错误地依赖“恰好抵消”；第三，只看小数位数判断位移小，却不看单位和函数弯曲程度。 $0.01$ 千米和 $0.01$ 毫米不是同一个尺度。

练习

切平面与线性化

练习 1 求

f(x,y)=\ln(x+2y)

在 $(1,1)$ 处的切平面，并检查各项是否经过切点。

先算高度：

f(1,1)=\ln3.

偏导数是

f_x(x,y)=\frac{1}{x+2y}, \qquad f_y(x,y)=\frac{2}{x+2y}.

因此

f_x(1,1)=\frac13, \qquad f_y(1,1)=\frac23.

切平面为

z=\ln3+\frac13(x-1)+\frac23(y-1).

代入 $(x,y)=(1,1)$ 后两个增量项都为 $0$ ，得到 $z=\ln3$ ，所以平面确实经过切点 $(1,1,\ln3)$ 。

练习 2 用线性化估计

\sqrt{x+2y}

在 $(6.1,4.95)$ 处的值。取基准点 $(6,5)$ ，并解释为什么一阶修正恰好为零。

令

f(x,y)=\sqrt{x+2y}.

在基准点，

f(6,5)=\sqrt{16}=4.

偏导数为

f_x(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x+2y}}, \qquad f_y(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x+2y}}.

所以

f_x(6,5)=\frac18, \qquad f_y(6,5)=\frac14.

位移为

h=0.1, \qquad k=-0.05.

线性化给出

f(6.1,4.95) \approx 4+\frac18(0.1)+\frac14(-0.05) =4.

这里

\frac18(0.1)=0.0125, \qquad \frac14(-0.05)=-0.0125,

两个一阶贡献正好抵消。事实上，目标点仍满足 $x+2y=16$ ，所以真实值也恰好是 $4$ ；这次相等来自目标点落在同一条等值线上，不代表线性化通常没有误差。

可微性与余项

练习 3 设

f(x,y)=x^2y+e^{xy}.

判断它在 $(0,0)$ 是否可微，并写出切平面。

函数由多项式、指数函数和乘法组成，一阶偏导在整个平面连续，所以函数在 $(0,0)$ 可微。

先算

f(0,0)=1.

偏导数是

f_x(x,y)=2xy+ye^{xy}, \qquad f_y(x,y)=x^2+xe^{xy}.

在原点，

f_x(0,0)=0, \qquad f_y(0,0)=0.

因此线性化是 $L(x,y)=1$ ，切平面为

z=1.

平面水平不表示函数附近恒等于 $1$ ，只表示所有一阶变化都为零，剩下的变化来自更高阶项。

练习 4 定义

g(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4+y^2}, &(x,y)\ne(0,0),\\ 0, &(x,y)=(0,0). \end{cases}

判断 $g_x(0,0)$ 、 $g_y(0,0)$ 是否存在，并说明 $g$ 在原点是否可微。

沿 $x$ 轴有 $g(h,0)=0$ ，所以

g_x(0,0)=0.

沿 $y$ 轴有 $g(0,k)=0$ ，所以

g_y(0,0)=0.

但沿抛物线路径 $y=x^2$ ，

g(x,x^2) = \frac{x^2\cdot x^2}{x^4+x^4} = \frac12.

当 $x\to0$ 时函数值没有趋向 $0=g(0,0)$ ，所以 $g$ 在原点甚至不连续，更不可能可微。这个例子说明，只检查坐标轴会漏掉很多靠近方式。

全微分与误差

练习 5 长方形面积为 $A=xy$ 。测得 $x=30\text{ cm}$ 、 $y=20\text{ cm}$ ，且

|dx|\le0.1\text{ cm}, \qquad |dy|\le0.08\text{ cm}.

用全微分估计面积误差的上限，并给出相对误差。

面积的全微分是

dA=y\,dx+x\,dy.

因此

|dA| \le |y||dx|+|x||dy| \le 20(0.1)+30(0.08) =4.4\text{ cm}^2.

测得面积为

A=30\cdot20=600\text{ cm}^2.

所以相对误差的一阶估计为

\frac{|dA|}{A} \le \frac{4.4}{600} \approx0.00733=0.733\%.

单位检查也成立： $y\,dx$ 和 $x\,dy$ 都是厘米乘厘米，结果是平方厘米。

练习 6 圆锥体体积为

V=\frac13\pi r^2h.

若 $r$ 增加 $1\%$ 、 $h$ 减少 $2\%$ ，用全微分估计体积的相对变化。

先求全微分：

dV=\frac23\pi rh\,dr+\frac13\pi r^2\,dh.

除以

V=\frac13\pi r^2h

得到

\frac{dV}{V}=2\frac{dr}{r}+\frac{dh}{h}.

题目给出

\frac{dr}{r}=1\%, \qquad \frac{dh}{h}=-2\%.

因此

\frac{dV}{V} \approx 2(1\%)-2\%=0.

两个一阶贡献抵消，所以体积的一阶相对变化约为 $0$ 。真实变化并不严格为零，因为还会留下二阶及更高阶项。

为下一章做准备

练习 7 设

z=f(x,y)=x^2+xy,

而输入随参数 $t$ 变化：

x=1+2t, \qquad y=3-t.

用全微分估计从 $t=0$ 增加一个很小的 $dt$ 时， $z$ 的变化。

在 $t=0$ 时，

x=1, \qquad y=3.

输入变化是

dx=2\,dt, \qquad dy=-dt.

函数的偏导数为

f_x=2x+y, \qquad f_y=x.

在 $(1,3)$ 处，

f_x(1,3)=5, \qquad f_y(1,3)=1.

所以

dz=f_x\,dx+f_y\,dy =5(2\,dt)+1(-dt) =9\,dt.

也就是说， $t$ 每增加一个很小单位， $z$ 约增加 $9$ 倍的这个小单位。下一章会把两边同时除以 $dt$ ，得到多变量链式法则。

从局部平面走向变量依赖

这一章把上一章的两个偏导数合成了一个统一的线性模型：

df=f_x\,dx+f_y\,dy.

到这里，我们仍把 $dx,dy$ 当作可以独立给定的小变化。现实里它们常常由同一个参数牵着走：时间一变， $x$ 和 $y$ 同时变；生产规模一变，成本和耗时一起变。

这时只要继续问一句：“ $dx$ 和 $dy$ 各自是怎么由那个参数产生的？”全微分就会自然变成下一章的多变量链式法则。切平面提供局部地图，链式法则负责描述我们怎样沿着这张地图移动。