切平面、线性近似与全微分 | 多变量微积分 I | 自在学切平面、线性近似与全微分
上一章把偏导数解释成“沿坐标方向的变化率”。这一章要把两个方向的变化率合在一起，回答一个更几何的问题：曲面上一点附近，能不能用一个平面替代那一小块曲面？
答案在足够光滑的地方是可以的。这个平面叫切平面；把切平面写成函数，就是线性化；把输入的小变化写成 dx,dy，输出的线性变化写成 dz，就是全微分。
切平面不是为了描述整张曲面，而是为了描述点附近的一小块。
从曲面的一小块开始
设二元函数 z=f(x,y) 的图像是一张曲面。点 在输入平面上，对应曲面上的点是
(
a
,
b
)
P=(a,b,f(a,b)). 如果只固定 y=b，让 x 变化，就得到曲面上的一条截线。这条截线在 P 点的斜率是 fx(a,b)。如果只固定 x=a，让 y 变化，就得到另一条截线，它在 P 点的斜率是 fy(a,b)。
这两个斜率给出了切平面在两个坐标方向上的倾斜程度。切平面要通过 P，并且沿 x 方向的斜率等于 fx(a,b)，沿 y 方向的斜率等于 fy(a,b)。
单变量里，一条切线用“点 + 斜率”确定。二元函数里，一个切平面用“点 + 两个独立方向上的斜率”确定。这里的两个方向通常取 x 方向和 y 方向。
切平面方程
在点 (a,b) 处，如果 f 可微，曲面 z=f(x,y) 的切平面方程是
z=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b). 这个公式可以直接从“平面的一般形式”看出来。一个通过 (a,b,f(a,b)) 的平面，如果沿 x 方向斜率是 A、沿 y 方向斜率是 B，就可以写成
z=f(a,b)+A(x−a)+B(y−b). 把 A=fx(a,b)、B=fy(a,b) 代入，就得到切平面公式。
例题：求切平面
z=x2+xy+2y2 在点 (1,−1) 上方的切平面方程。
先求曲面上的高度：
f(1,−1)=12+1⋅(−1)+2(−1)2=2.所以切平面经过点 (1,−1,2)。
再求两个偏导数：
fx(x,y)=2x+y,把点和两个斜率代入切平面公式：
z=2+1(x−1)−3(y+1).化简得到
这个平面只在 (1,−1) 附近可靠。离这个点越远，曲面的弯曲影响越明显，平面近似通常就越粗糙。
线性化
切平面方程右边只含 x、y 的一次项。把它看成一个新的函数，就得到 f 在 (a,b) 处的线性化：
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b). 当 (x,y) 很接近 (a,b) 时，可以用
f(x,y)≈L(x,y) Δx=x−a,Δy=y−b, f(a+Δx,b+Δy)≈f(a,b)+fx(a,b)Δx+fy(a,b)Δy. 这个写法更接近实际使用：从已知点出发，输入变化一点点，输出大约变化多少？
例题：用线性化近似函数值
f(x,y)=xy+1 在 (2.98,5.04) 处的函数值。选择附近容易计算的点 (3,5)。
在基准点计算函数值：
f(3,5)=3⋅5+1=4.求偏导数：
fx(x,y)=写出输入变化：
Δx=2.98−3=−0.02,Δy=5.04−5=使用线性化：
f(2.98,5.04)≈4+85
误差为什么会变小
线性近似的依据不是“看起来差不多”，而是可微性带来的误差结构。若 f 在 (a,b) 可微，则
f(a+h,b+k)=f(a,b)+fx(a,b)h+fy(a,b)k+R(h,k), h2+k2R(h,k)→0当(h,k)→(0,0). 这句话的意思是：输入距离足够小时，剩下的误差比输入距离本身还要小一阶。曲面当然可能弯，但在足够小的观察窗口里，弯曲造成的误差会被压到更低层次。
线性近似的可靠范围不是固定的。曲面弯得越厉害，或者远离基准点越多，误差通常越明显。做近似时要同时说明“在哪个点线性化”和“输入变化有多小”。
全微分
线性化公式中的输入小变化常写成 dx,dy，输出的线性主部写成 dz：
dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy. 这就是全微分。这里的 dz 不是精确变化量的另一个名字，而是精确变化量 Δz 的线性近似：
Δz=f(x+dx,y+dy)−f(x,y), dz=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy. 当 dx,dy 很小时，常用 dz 估计 Δz。
全微分的读法
dz=fxdx+fydy 可以按“敏感度乘以变化量再相加”来读。fx 表示 z 对 x 的敏感度，dx 是 x 的小变化；fy 表示 z 对 y 的敏感度，dy 是 y 的小变化。两个贡献相加，得到输出的线性估计。
全微分是切平面的增量形式。切平面给出高度近似，线性化给出函数近似，全微分给出变化量近似。它们是同一个局部线性思想的三种说法。
测量误差估计
实际测量中，我们往往不知道误差的正负，只知道输入误差的最大范围。若
∣dx∣≤ϵx,∣dy∣≤ϵy, ∣Δz∣≈∣dz∣≤∣fx(x,y)∣ϵx+∣fy(x,y)∣ϵy 估计输出误差的上界。这里使用绝对值，是因为两个输入误差可能同向放大输出，也可能互相抵消；做保守估计时不能假设抵消一定发生。
例题：圆柱体体积的误差
V=πr2h. 测得 r=5、h=12，半径误差不超过 0.02，高度误差不超过 0.05。估计体积误差。
先求全微分：
dV=Vrdr+Vhdh=2πrhdr+πr2dh.做最大误差估计时取绝对值：
∣dV∣≤2πrh∣dr∣+πr2∣d代入 r=5、h=12、∣dr∣≤0.02、：
原体积为
V=300π.相对误差约为
300π3.65π
可微性与偏导存在
切平面公式里出现了 fx(a,b) 和 fy(a,b)，但只有这两个偏导数存在，还不能保证曲面真的有一个能代表所有方向的切平面。
真正需要的是可微性。对二元函数来说，f 在 (a,b) 可微，意思是存在一个线性主部
fx(a,b)h+fy(a,b)k f(a+h,b+k)−f(a,b)−fx(a,b)h−fy(a,b)k 比 h2+k2 更快趋近于 0。
一个常用判别条件
如果 fx 和 fy 不仅存在，而且在 (a,b) 附近存在并在 (a,b) 连续，那么 f 在 (a,b) 可微。
这个条件很常用，因为它容易检查。多数由多项式、指数、三角函数、对数函数通过基本运算组成的函数，只要定义域内没有分母为零、根号无意义等问题，偏导数连续的地方就可微。
偏导存在但不可微的例子
f(x,y)=⎩⎨⎧x2+y2xy 在原点，沿 x 轴和 y 轴都有 f=0，所以
fx(0,0)=0,fy(0,0)=0. 如果它在原点可微，线性主部就应为 0。但沿路径 (t,t)，
f(t,t)=2t2t2=2∣t∣. t2+t2=2∣t∣. t2+t2∣f(t,t)−0∣=21, 它没有趋向 0。所以这个函数在原点偏导数存在，但不可微，也就不能用一个切平面统一描述所有方向上的局部变化。
常见错误是看到 fx(a,b)、fy(a,b) 存在，就立刻写切平面。切平面代表的是所有足够小方向上的统一线性近似，不只是两个坐标方向上的切线。
练习
f(x,y)=ln(x+2y) 在 (1,1) 处的切平面方程。
先算 f(1,1)=ln3。偏导数为
fx(x,y)=x+2y1,fy(x,y)=x+2y2.所以
fx(1,1)=31,f切平面方程是
z=ln3+31(x−1)+3在 (6.1,4.95) 处的值。建议选基准点 (6,5)。
令 f(x,y)=x+2y。在 (6,5) 处，
f(6,5)=4.偏导数为
fx=2x+2y因此
fx(6,5)=81,f输入变化为 Δx=0.1、Δy=−0.05，所以
f(6.1,4.95)≈4+81(0.1)+4这个近似结果刚好等于 4，因为一阶变化相互抵消。
练习 3 长方形面积 A=xy。测得 x=30、y=20，并且 ∣dx∣≤0.1、∣dy∣≤0.08。估计面积误差的上界。
面积的全微分是
dA=ydx+xdy.做最大误差估计：
∣dA∣≤∣y∣∣dx∣+∣x∣∣dy∣.代入数据：
∣dA∣≤20(0.1)+30(0.08)=4.4.所以面积误差约不超过 4.4 个面积单位。
f(x,y)=x2y+exy 在 (0,0) 是否可微，并写出切平面。
这个函数由多项式和指数函数复合而成，偏导数在整个平面连续，所以它在 (0,0) 可微。
先算
f(0,0)=1.偏导数为
fx=2xy+yexy,fy=x2+xexy.在 (0,0) 处，
fx(0,0)=0,fy(0,0)=0.切平面方程为
z=1.练习 5 判断下面说法是否正确：只要 fx(a,b) 和 fy(a,b) 都存在，曲面 z=f(x,y) 在对应点就一定有切平面。
这个说法不正确。偏导数只检查两个坐标方向上的变化。切平面要求所有足够小方向上的变化都能被同一个线性函数近似。偏导存在但不可微的函数可以没有这样的统一切平面。
fy
(
x
,
y
)
=
x+
4y.
fx(1,−1)=1,fy(1,−1)=−3. z=x−3y−2.
,
fy
(
x
,
y
)
=
fx(3,5)=85,fy(3,5)=83. 0.04.
(
−
0.02
)
+
83(0.04)=
4.0025.
所以近似值是 4.0025。
h
∣.
∣dh∣≤0.05
∣dV∣≤2π⋅5⋅12⋅0.02+π⋅25⋅0.05=3.65π. 因此体积误差约不超过 11.47 个体积单位。
≈
1.22%.
,
0,
(x,y)=(0,0),(x,y)=(0,0).
y
(
1
,
1
)
=
32.
2
(
y
−
1).
1
,
fy
=
y
(
6
,
5
)
=
41.
1
(
−
0.05
)
=
4.
