多变量函数、定义域、图像与等值线 | 多变量微积分 I | 自在学多变量函数、定义域、图像与等值线
单变量函数把一个数 x 送到一个数 f(x)。多变量函数把一个点送到一个数。点可以在平面上，也可以在空间中；输出仍然可以是高度、温度、压力、成本、浓度或概率密度。
本章先不急着求导。我们先学会看见一个多变量函数：哪些输入点允许使用，输出落在哪些数值上，曲面怎样长出来，等值线怎样把三维信息压回平面。
多变量函数把点变成数
二元函数通常写成 z=f(x,y)。它的输入不是一个数，而是一个有序对 (x,y。如果 在允许的输入集合中，函数就给出一个确定的数 。
)
这个允许的输入集合叫定义域。所有可能输出值组成值域。
二元函数的定义域通常是平面中的一个区域，图像通常是三维空间中的一个曲面。三元函数 F(x,y,z) 的定义域通常是空间中的一个区域，它的等值面 F(x,y,z)=c 是我们观察它的主要方式。
- 地形高度：h(x,y) 表示平面位置 (x,y) 处的海拔。
- 金属板温度：T(x,y) 表示薄板上点 (x,y) 的温度。
- 空气压力：P(x,y,z) 表示空间点 (x,y,z) 处的压力。
- 生产成本：C(x,y) 表示使用 x 单位劳动和 y 单位材料时的成本。
多变量函数有两层信息。第一层是“能不能代入”，也就是定义域；第二层是“代入后得到多少”，也就是函数值。很多题一上来就画曲面，其实应该先问：这个曲面从哪块区域上长出来？
定义域先决定能画哪里
如果题目没有额外指定定义域，我们通常取公式的自然定义域，也就是所有让公式有意义的输入点。常见限制来自三类地方。
根号内不能为负。如果出现 g(x,y)，就需要 g(x,y)≥0。
对数内必须为正。如果出现 lng(x,y)，就需要 g(x,y)>0。
分母不能为零。如果出现 g(x,y)1，就需要 g(x,y)=0。
这些条件要同时满足。定义域不是把几个区域随便画在一起，而是取它们的交集。
例题：求自然定义域
f(x,y)=ln(y+1)9−x2−y2 先看根号。根号内必须非负，所以需要
9−x2−y2≥0这表示以原点为圆心、半径为 3 的闭圆盘。
再看对数。ln(y+1) 有意义要求
y+1>0也就是 y。
最后看分母。分母 ln(y+1) 不能为 0。因为 ln(y+1)=0 等价于 ，所以要排除
把三个条件同时保留，定义域为
D={(x,y)∣x2+y公式的自然定义域和题目指定的定义域不是一回事。比如 f(x,y)=x+y 的自然定义域是整个平面，但题目可以只让它定义在三角形区域上。后续求最大值、积分或画图时，要以题目指定的定义域为准。
曲面图像把输出看成高度
二元函数 z=f(x,y) 的图像是所有三维点 (x,y,z) 组成的集合，其中 z 必须等于 f(x,y)：
{(x,y,z)∣(x,y)∈D, z=f(x,y)} 所以图像不是平面上的定义域本身，而是从定义域上方长出的曲面。
如果 f(x,y)=x2+y2，图像是一个向上开的碗。越远离原点，输出值越大；原点处高度最小。这个曲面能帮助我们看出值的大小，但定义域仍然在下面的 xy 平面里。
例题：半球函数的定义域和值域
z=9−x2−y2 先由根号得到定义域条件：
9−x2−y2≥0也就是 x2+y2≤9。定义域是半径为 3 的闭圆盘。
因为平方根的输出非负，所以 z≥0。当 x2+y2=9 时，，这是圆盘边界对应的底边圆。
当 x=y=0 时，根号内最大，z=3。因此值域为
0≤z把 z=9−x2−y2 两边平方，可得
不能把 x2+y2+z2=9 直接说成这个函数的图像。完整球面不是函数 z=9−x2−y2 的图像，因为下半球上的点满足 z<0，不在平方根函数的输出中。
截痕用切片读曲面
曲面一次看不清时，可以切开看。固定一个变量，就把多变量问题暂时变成单变量问题。
固定 x=a，曲面与竖直平面 x=a 的交线叫 x 方向截痕。固定 y=b 也类似。固定 z=c 时，曲面与水平平面 z=c 的交线投影到 xy 平面上，就是等值线。
例题：从截痕识别曲面
f(x,y)=x2+4y2 固定 x=1，得到
z=1+4y2这是 yz 平面中开口向上的抛物线。
固定 y=0，得到
z=x2这是 xz 平面中的抛物线。
固定 z=4，得到
x2+4y2=这些切片共同说明：曲面向上开，并且在 y 方向上升得比 x 方向更快，因为 y2 前面的系数更大。
等值线把高度压回平面
在 xy 平面中的解集。等值线上的点函数值都相同。地图中的等高线、天气图中的等压线、温度图中的等温线，都是这种思想。
看等值线时，先读数值，再读间距。相邻等值线代表相同的函数值差，如果两条线在平面上靠得很近，说明同样的高度差发生在较短距离内，变化较快；如果线隔得远，变化较慢。
沿着同一条等值线移动，函数值保持不变。要让函数值增加，就必须跨过等值线，走向标号更大的那一侧。
同一个函数的两条不同等值线不能相交。若某点同时在 f(x,y)=c1 和 f(x,y)=c2 上，就会要求同一个输入点有两个不同输出值。这和函数的定义矛盾，除非 c1=c2。
例题：画简单等值线
f(x,y)=4−x2−y2 求 c=3,1,0 时的等值线。
写出等值线方程：
4−x2−y2=c移项得到
x2+y2=4−c只要 4−c≥，等值线就是以原点为圆心的圆。
当 c=3 时，x2+y2=1，半径为 。当 时，半径为 。当 时，半径为 。
越靠近原点，函数值越大。这和曲面 z=4−x2−y2 是向下开的碗一致。
三元函数用等值面观察
三元函数 F(x,y,z) 的输入已经在三维空间中，所以它的图像不能像 z=f(x,y) 那样直接画成普通曲面。我们通常固定一个输出值 c，看方程
F(x,y,z)=c F(x,y,z)=x2+y2+z2 则 F(x,y,z)=9 是半径为 3 的球面。若
F(x,y,z)=x+y+z 则 F(x,y,z)=1 是一个平面。
温度场也常用等值面观察。空间中所有温度等于 20∘ 的点，可以组成一个或多个曲面。它们不是物体边界，而是函数值相同的位置集合。
从图像读变化方向
这一章还不正式引入梯度，但已经能从图像读出一些变化信息。
曲面图告诉我们高度如何随位置变化。向上爬的方向通常是函数值增加的方向，向下走则是函数值减小的方向。
截痕告诉我们沿某一条直线或某一个平面切过去时，函数怎样变化。如果截线很陡，沿那个方向变化快；如果截线平缓，变化慢。
等值线告诉我们平面上哪些点有同一个函数值。沿等值线走，函数值不变；跨过等值线，函数值改变。等值线越密，同样的数值变化发生在越短的距离内。
读多变量函数图像时，可以按一个固定顺序：先看定义域，再看值域和极端值，再看截痕，最后看等值线的数值和间距。这个顺序能减少很多“图像好像看懂了，但题目条件漏掉了”的错误。
练习
练习一
f(x,y)=x−y 根号内需要 x−y≥0，所以定义域为
{(x,y)∣x≥y}它是直线 x=y 一侧的闭半平面。边界 x=y 包含在内，因为根号内等于 0 时函数仍有意义。
练习二
g(x,y)=ln(4−x2−y2) 对数内必须大于 0，所以
4−x2−y2>0即
x2+y2<4定义域是半径为 2 的开圆盘，边界不包含在内。
练习三
h(x,y)=x−yx+y 根号要求 x+y≥0，分母要求 x−y=0。因此定义域为
{(x,y)∣x+y≥0, x=y}也就是直线 x+y=0 一侧的闭半平面，再挖掉其中直线 x=y 的部分。
练习四
f(x,y)=x2+y2 写出 c=1,4,9 时的等值线，并说明它们在平面上的形状。
等值线方程是
x2+y2=c当 c=1,4,9 时，分别是以原点为圆心、半径为 1,2,3 的圆。c 越大，圆越靠外。
练习五
f(x,y)=x2−4y2 固定 x=2 和固定 y=1 时，各得到什么截痕？
固定 x=2，得到
z=4−4y2这是关于 y 的向下开抛物线。固定 y=1，得到
z=x2−4这是关于 x 的向上开抛物线。两条截痕开口方向不同，说明原曲面具有鞍形特征。
练习六
F(x,y,z)=x2+y2+z2 描述等值面 F(x,y,z)=1 和 F(x,y,z)=4。
F(x,y,z)=1 是
x2+y2+z2=1它是半径为 1 的球面。F(x,y,z)=4 是半径为 2 的球面。两个等值面同心，较大的函数值对应更大的球面。
>
−1
y+1=1
2
≤
9, y>
−1, y=
0}
它是半径 3 的圆盘中位于直线 y=−1 上方的部分，并且挖掉其中的直线段 y=0。
≤
3
x2+y2+z2=9,z≥0
4
这是 xy 平面中的椭圆。它表示所有函数值等于 4 的输入点。
0
1
