多变量函数：从一条曲线走进一整片空间

上一章里，我们用向量函数

\mathbf r(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle

描述一颗粒子怎样沿空间曲线运动。虽然曲线待在三维空间里，真正能够自由拨动的输入仍然只有一个：时间 $t$ 。给定一个 $t$ ，粒子就落在曲线上的一个位置。

这一章要换一种看法。我们不再沿着一条预先铺好的轨道走，而是把整个平面上的点 $(x,y)$ 都当成输入。每个点都领到一个数：可以是海拔、温度、压力，也可以是成本。输入从“一条线上的位置”扩展成“一整片平面上的位置”，这正是多变量函数最先让人不适应的地方。

一元函数 $y=f(x)$ 只用两根坐标轴就能画完：一根放输入 $x$ ，另一根放输出 $y$ 。二元函数 $z=f(x,y)$ 的两个输入已经占满了 $xy$ 平面，输出只好再借一根轴，图像于是从曲线升成了曲面。先把这个维数变化看清楚，后面的极限、偏导数和二重积分才不会只剩一串符号。

从单参数空间曲线过渡到二元函数曲面：左侧用 t 控制曲线 r(t) 上的位置，右侧把定义域 D 中的点 (x,y) 抬到高度 z=f(x,y)

多变量函数到底把什么送到什么

想象一块薄金属板。板上的位置由两个坐标 $(x,y)$ 决定，温度记为 $T(x,y)$ 。你问“这里多热”，必须先把两个坐标一起说全；只报 $x$ 而不报 $y$ ，位置还没有定下来。

二元实值函数可以写成

f:D\subseteq \mathbb R^2\longrightarrow \mathbb R

这里的 $D$ 是允许输入的平面点集合。对每一个 $(x,y)\in D$ ，函数都给出唯一的实数 $f(x,y)$ 。

“唯一”只限制同一个输入不能同时领到两个不同输出。不同输入得到同一个数完全没有问题。山腰上一整圈位置可以海拔相同，等温线上的许多点也可以温度相同。

多变量不等于只能有两个变量。比如

P(x,y,z)

可以表示空间点 $(x,y,z)$ 处的气压；

C(q_1,q_2,q_3,q_4)

可以表示四种产品产量共同决定的总成本。变量名也不必是 $x,y,z$ ，关键要看有几个量能够独立变化。

先学会读一次函数值

圆柱的体积由半径 $r$ 和高度 $h$ 共同决定：

V(r,h)=\pi r^2h

若 $r=2$ 、 $h=5$ ，那么

V(2,5)=\pi\cdot 2^2\cdot 5=20\pi

这不是在“求一个公式的值”这么简单。它表达的是：输入点 $(2,5)$ 代表半径为 $2$ 、高度为 $5$ 的那一个圆柱，输出 $20\pi$ 是它的体积。实际问题里，定义域还要加上 $r>0$ 、 $h>0$ 这样的语境条件；公式本身虽然允许负数，负半径却不是这个模型要描述的对象。

读多变量函数时先分清三件事：输入是什么，输入允许落在哪里，输出表示什么。很多定义域错误并不是代数不会算，而是把“公式能算”误当成“模型允许”。

定义域先决定曲面从哪里长出来

一元函数的定义域通常是数轴上的区间或若干区间。二元函数的定义域通常是一块平面区域，可能是圆盘、半平面、条带，也可能被挖掉几条线或几个点。

题目若只给公式而没有另行指定，我们取它的自然定义域，也就是所有让公式产生实数且不发生非法运算的输入点。检查时最常见的三道门槛是：

偶次根号内必须非负；
对数的真数必须为正；
分母必须不为零。

这些条件需要同时成立，所以最后取的是交集，不是把各自允许的区域并在一起。

例题：三种限制同时出现

求函数

f(x,y)=\frac{\sqrt{9-x^2-y^2}}{\ln(y+1)}

的自然定义域。

先看根号。要让平方根产生实数，需要

9-x^2-y^2\ge 0

也就是 $x^{2} +^{}$ 。这给出以原点为圆心、半径为的闭圆盘。

边界是否保留，不能只靠“实线还是虚线”的习惯猜。要把边界代回每一条限制：根号等于 $0$ 仍可计算，对数真数等于 $0$ 不可计算，分母等于 $0$ 也不可计算。

自然定义域和指定定义域不是一回事

公式 $f(x,y)=x+y$ 的自然定义域是整个平面，但题目完全可以把它限制在

D=\{(x,y)\mid x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 1\}

上。此时函数只研究三角形 $D$ 内的点。后面求极限、最大值或积分时，都必须尊重题目给出的 $D$ ，不能偷偷换回整个平面。

值域回答输出究竟能到哪里

定义域收集的是合法输入，值域收集的是这些输入真正能够产生的输出：

\operatorname{Range}(f)=\{f(x,y)\mid (x,y)\in D\}

求值域时，常用的不是逐点代入，而是找表达式的上下界，再确认边界值能否真正取到。平方总是非负、平方根输出非负、三角函数有固定范围，这些一元函数里的老事实在这里仍然管用。

例题：上半球的定义域和值域

考虑

g(x,y)=\sqrt{9-x^2-y^2}

根号要求

x^2+y^2\le 9

所以定义域是半径为 $3$ 的闭圆盘。

把等式两边平方可得

x^2+y^2+z^2=9

但原式还带着 $z\ge 0$ 。所以它的图像是上半球，不是完整球面。平方这一步会忘掉正负信息，必须把平方根原来的输出条件补回来。

“圆”和“圆盘”、“球面”和“球”要分开。 $x^2+y^2=9$ 是圆周， $x^2+y^2\le 9$ 才是圆盘；是球面，带才是实心球。

一元图像为什么不够用了

画 $y=f(x)$ 时，每个输入 $x$ 在数轴上占一个位置，再把输出当作竖直高度，就得到平面曲线。到了 $z=f(x,y)$ ，输入 $(x,y)$ 本身已经需要整个平面来安放。若还想把输出看成高度，就必须进入三维空间。

二元函数的图像是

\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\ z=f(x,y)\}

可以这样想：先在 $xy$ 平面上选一个合法输入点 $(x,y)$ ，再从它竖直走到高度 $f(x,y)$ ，落点就是

(x,y,f(x,y))

把定义域内所有点都这样抬起来，便铺出一张曲面。

这也给出判断一张空间曲面能不能写成 $z=f(x,y)$ 的办法：固定底面点 $(x,y)$ 后，竖直方向上只能碰到图像一次。完整球面的大多数底面点会同时碰到上、下两个点，所以不能由一个单独的 $z=f(x,y)$ 表示；上半球可以。

二元函数图像与定义域的关系：每个输入点竖直对应唯一曲面点，完整球面不满足唯一高度，而上半球可以写成 z=f(x,y)

例如

z=x^2+y^2

在原点高度为 $0$ ，离原点越远，高度越大。它的图像是一只向上开的圆抛物面。这里“离原点越远”不是视觉猜测，而是因为 $x^2+y^2$ 正好等于平面距离平方。

三维透视图会受观察角度、遮挡和纵横比例影响。它适合建立整体印象，却不适合独自承担精确判断。接下来要用截痕和等值线，把曲面重新切回熟悉的二维曲线。

截痕把曲面一刀一刀切开

曲面一次看不清，就固定一个变量。这样做的意义很朴素：让两个自由输入暂时只剩一个，问题就退回到一元函数。

固定条件	切割平面	留下的方程	仍在变化的量
$x=a$	平面 $x=a$ ，平行于 $yz$ 平面	$z=f(a,y)$

前两种交线叫竖直截痕。第三种是水平截痕，把它投影到 $xy$ 平面，就得到等值线。

曲面的三类截痕：固定 x 得蓝色竖直截痕，固定 y 得绿色竖直截痕，固定 z=c 得红色水平截痕并投影成等值线

例题：从三组截痕认出椭圆抛物面

设

f(x,y)=x^2+4y^2

固定 $x=1$ ，得到

z=1+4y^2

这是平面 $x = 1$ 内一条向上开的抛物线。它的最低点高度为。

等值线把高度压回平面

给定一个输出值 $c$ ，满足

f(x,y)=c

的所有输入点组成 $c$ 对应的等值线。把许多带有高度标签的等值线画在同一个 $xy$ 平面上，就得到等值线图，也叫等高线图或轮廓图。

等值线解决的是三维曲面不便精确阅读的问题。地图不需要真的从纸面上隆起一座山，只要把海拔 $100$ 米、 $200$ 米、 $300$ 米的位置分别连起来，我们就能在二维纸面上恢复高低关系。

读一张等值线图时，可以按下面的顺序：

先看每条线的 $c$ 值，判断哪边高、哪边低；
再确认相邻线的数值间隔是否相同；
若等值间隔相同，线越密，说明同样的函数值变化发生在越短的平面距离内，变化越快；
沿同一条等值线移动，函数值保持不变；要让函数值改变，必须跨过等值线。

手绘等高线图：海拔从 100 米升到 500 米，左侧线密表示变化快，右侧线疏表示变化慢；沿线移动高度不变，跨线向高处走是上坡

例题：从等值线读出一只向下开的碗

设

f(x,y)=4-x^2-y^2

令 $f(x,y)=c$ ，可得

x^2+y^2=4-c

当 $c\le 4$ 时，等值线是以原点为圆心、半径为 $\sqrt{4-c}$ 的圆；当 $c=4$ 时，等值线缩成原点；当时，没有任何输入点能达到这个高度。

随着 $c$ 增大，圆向原点收缩，所以原点是最高位置，高度为 $4$ 。这已经足以判断图像是向下开的圆抛物面，不必先画漂亮的三维透视图。

不同数值的等值线不能在定义域内相交，因为同一个输入点不能同时满足 $f(x,y)=c_1$ 和 $f(x,y)=c_2$ ，其中。但同一条等值线可以由几部分组成，甚至可以自己交叉。例如就是两条相交直线，它们都属于同一个高度。

线的形状一样，曲面也可能不一样

比较

f_1(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}

和

f_2(x,y)=x^2+y^2

它们的等值线都是同心圆，但标签和间距不同。对 $f_1$ ，高度 $c$ 的圆半径是 $c$ ；等高距相同时，圆的半径也等量增加，曲面是一只圆锥。对 $f_2$ ，高度 $c$ 的圆半径是；高度越大，相邻圆在平面上越挤，曲面是越往外越陡的抛物面。

所以只说“等值线是圆”还不够。必须保留每条线的数值标签和相邻间距，才能把高度变化读回来。

交互图中的箭头给出了“局部上升最快方向”的预览。现在先把它理解成近似垂直穿过等值线、朝较大标签走的方向；后面学到偏导数和梯度时，我们会把这件事写成精确公式。

从公式读几何，而不是等软件出图

拿到 $z=f(x,y)$ 后，一个可靠的读图流程是：先求定义域，再寻找熟悉的代数组合，接着算几条竖直截痕和水平截痕，最后用取值范围检查图像有没有漏掉一半或多出一半。

下面这些模式很常见：

函数	等值线 $f(x,y)=c$	曲面透露的信息
$\sqrt{x^2+y^2}$

配方出现平移时，先配方再画

研究

f(x,y)=4-(x-1)^2-4(y+2)^2

这个形式已经把中心写出来了。因为两个平方都非负，函数最大值在它们同时为 $0$ 时取得，也就是

(x,y)=(1,-2),\qquad f(1,-2)=4

定义域是整个平面，值域是 $(-\infty,4]$ 。

令 $f(x,y)=c$ ，得到

(x-1)^2+4(y+2)^2=4-c

只有 $c\le 4$ 时才有解。对 $c<4$ ，它是以 $(1,-2)$ 为中心的椭圆；随着 $c$ 增大，椭圆逐渐缩小，最后在 $c=4$ 时缩成最高点。于是不用渲染，我们也知道图像是以为顶点、向下开的椭圆抛物面。

再切两刀检查：

y=-2\quad\Longrightarrow\quad z=4-(x-1)^2

x=1\quad\Longrightarrow\quad z=4-4(y+2)^2

两条截痕都向下开，而且第二条更窄，这和等值椭圆在 $y$ 方向更短完全一致。

看见异号平方，要警惕鞍面

对

z=x^2-y^2

固定 $y=0$ 得到向上开的 $z=x^2$ ；固定 $x=0$ 得到向下开的 $z=-y^2$ 。同一个点附近，一个方向上升，另一个方向下降，所以原点既不是山顶，也不是谷底。

水平截痕进一步确认这一点：

x^2-y^2=c

当 $c>0$ 时双曲线向 $x$ 方向张开，当 $c<0$ 时向 $y$ 方向张开，当 $c=0$ 时退化成 $y=x$ 与。这就是马鞍面最有辨识度的一组切片。

三元函数画不出普通图像，就改看等值面

三元实值函数

F:D\subseteq\mathbb R^3\longrightarrow\mathbb R

把空间点 $(x,y,z)$ 送到一个数。若坚持画完整图像，还要为输出再加一根坐标轴，图像会住进四维空间，我们无法像普通曲面那样直接画出来。

老办法在这里真的卡住了。补救方法不是硬想象四维，而是固定输出值 $c$ ，研究

F(x,y,z)=c

在三维空间中留下的曲面，这叫等值面。

例如

F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

的等值面满足

x^2+y^2+z^2=c

当 $c>0$ 时，它是半径为 $\sqrt c$ 的球面；当 $c=0$ 时只剩原点；当 $c<0$ 时没有实数点。又如

G(x,y,z)=2x-y+3z

的等值面 $2x-y+3z=c$ 是一族互相平行的平面。

三元函数的自然定义域同样要逐条检查。例如

H(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{9-x^2-y^2-z^2}}

中，根号位于分母，所以根号内不能只满足非负，而必须严格为正：

x^2+y^2+z^2<9

定义域是半径为 $3$ 的开球，球面不包含在内。

把最容易混淆的地方一次理顺

定义域不是图像。 定义域躺在输入空间里；二元函数的定义域在 $xy$ 平面，图像则在 $xyz$ 空间。
值域不是 $z$ 轴本身。 值域只包括函数真正达到的高度。要说明端点是否取到，不能只给一个看起来差不多的范围。
固定 $x=a$ 后，变化的是 $y$ 。 截痕位于平面 $x=a$ 内，方程是。不要因为名字里出现就误以为沿方向走。

现在遇到一个新函数，可以按“输入含义 → 定义域 → 值域 → 竖直截痕 → 等值线或等值面 → 整体图像”的顺序阅读。这个顺序不是固定仪式，而是在每一步都留下一条可以检查下一步的证据。

练习

练习一：代入与语境

圆柱体积为

V(r,h)=\pi r^2h

求 $V(3,4)$ ，并说明在圆柱模型中为什么通常要限制 $r>0$ 、 $h>0$ 。

练习二：根号定义域

求

f(x,y)=\sqrt{x-y}

的自然定义域，并说明边界是否包含。

练习三：对数和分母一起检查

求

g(x,y)=\frac{\ln(4-x^2-y^2)}{x-y}

的自然定义域。

练习四：定义域、值域和图像

研究

h(x,y)=\sqrt{36-9x^2-9y^2}

求它的定义域和值域，并描述图像。

练习五：三种截痕

设

f(x,y)=x^2-4y^2

分别求 $x=2$ 、 $y=1$ 和 $z=0$ 的截痕，并据此说明曲面形状。

练习六：等值线的标签与间距

对

f(x,y)=x^2+y^2

写出 $c=1,4,9$ 的等值线，并说明等高距取 $1$ 时，为什么越往外相邻等值线越密。

练习七：从配方读出整张曲面

设

p(x,y)=9-(x+2)^2-(y-1)^2

求定义域、值域、最高点以及高度 $c$ 的等值线。

练习八：三元函数的定义域与等值面

设

F(x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{16-x^2-y^2-z^2}}

求自然定义域，并描述 $F(x,y,z)=\frac12$ 的等值面。

练习九：等值线能不能相交

判断下面两句话是否正确，并说明理由。

同一个函数的 $c=1$ 与 $c=2$ 等值线可能在定义域内相交。
同一个函数的一条等值线可能由两条相交直线组成。

我们现在已经知道多变量函数“住在哪里”、怎样看它的定义域、曲面、截痕和等值线。下一章的问题会更细：当输入点 $(x,y)$ 从平面里的各种方向靠近 $(a,b)$ 时，函数值是否会靠近同一个数？一元极限只要照顾左右两边，多变量极限却要面对无穷多条靠近路径。图像看清以后，接下来就该处理这种新的“靠近”。

xy

z

4

)

0

−

y2

x^{2} + y^{2} \leq 9

3

再看对数。 $\ln(y+1)$ 有意义要求

y+1>0

所以 $y>-1$ 。注意这里是严格大于，直线 $y=-1$ 不能保留。

对数还在分母里，因此仅仅“有意义”还不够，分母不能等于 $0$ 。由

\ln(y+1)=0

得到 $y+1=1$ ，所以还要排除 $y=0$ 。

把条件同时保留：

D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 9,\ y>-1,\ y\ne 0\}

画图时，可以先画闭圆盘，剪去 $y\le -1$ 的部分，再从剩余区域中挖掉 $y=0$ 那条线段。

因为平方根不会给出负数，所以 $g(x,y)\ge 0$ 。在圆盘边界 $x^2+y^2=9$ 上，函数值确实等于 $0$ 。

根号内要尽量大，就要让 $x^2+y^2$ 尽量小。它的最小值是 $0$ ，在 $(0,0)$ 处取得，于是

g(0,0)=3

从圆盘边缘连续走向圆心，函数值会从 $0$ 经过中间所有高度直到 $3$ ，因此值域是

[0,3]

2

+

y2≤

9

x^2+y^2+z^2=9

\le 9

x = 1

1

固定 $y=0$ ，得到

z=x^2

这是平面 $y=0$ 内的标准抛物线。

固定高度 $z=4$ ，得到

x^2+4y^2=4

也就是

\frac{x^2}{4}+y^2=1

水平截痕是一条椭圆。

两个竖直方向都向上开，排除了鞍面的可能；水平截痕是椭圆，说明两个方向的伸展尺度不同。综合起来，图像是向上开的椭圆抛物面。

c>4

c2

c_1\ne c_2

x^2-y^2=0

c=0

\sqrt c

2

(1,-2,4)

−

y2

y=

x

y=-x

c < 0

2

−

z2

1

x

=

a

z=f(a,y)

x

x

平方之后要回头检查。 从

\sqrt{q(x,y)}=c

平方到

q(x,y)=c^2

时，还必须保留

c\ge 0

；否则会制造原式没有的等值线。

比较线密之前先看等值间隔。 一张图每隔

10

米画一条线，另一张每隔

100

米画一条线，不能只凭视觉密度比较坡度。

透视图只是辅助。 纵轴被拉长会让坡看起来更陡，观察角度也会遮住结构。定义域、截痕、等值线和取值范围才是可核对的依据。

4

36\pi

r>0

h>0

x

x-y=0

0

2

)

y2<

4

2

x-y\ne 0

所以要从开圆盘中去掉直线 $y=x$ 穿过圆盘的那一段。定义域为

\{(x,y)\mid x^2+y^2<4,\ x\ne y\}

x2

+

y2≤

4

所以定义域是半径为 $2$ 的闭圆盘。函数最小值 $0$ 在圆盘边界取得；最大值在 $(0,0)$ 取得：

h(0,0)=6

因此值域是 $[0,6]$ 。由

z^2=36-9x^2-9y^2

可写成

\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{36}=1,\qquad z\ge 0

图像是一个只保留上半部的椭球面，水平方向半轴为 $2$ ，竖直半轴为 $6$ 。

y=

1

z=x^2-4

这是平面 $y=1$ 内向上开的抛物线。固定 $z=0$ ：

x^2-4y^2=0

因式分解得

(x-2y)(x+2y)=0

所以水平截痕是两条直线 $x=2y$ 与 $x=-2y$ 。一个竖直方向向上开，另一个方向向下开，原曲面是鞍面。

1, 2, 3

c=0,1,2,3,\ldots

0,1,\sqrt2,\sqrt3,\ldots

平方根的相邻差会逐渐变小，所以等值线越往外越密。这说明同样增加一个高度单位，所需的水平距离越来越短，抛物面越往外越陡。

2

(x,y)

(x, y)

(-2,1)

(-\infty,9]

等值线满足

(x+2)^2+(y-1)^2=9-c

当 $c<9$ 时，它是以 $(-2,1)$ 为圆心、半径为 $\sqrt{9-c}$ 的圆； $c=9$ 时缩成一个点； $c>9$ 时为空。图像是顶点在 $(-2,1,9)$ 的向下开圆抛物面。

2

−

z2

1

x^{2} + y^{2} + z^{2} < 16

定义域是半径为 $4$ 的开球。再令

\frac{1}{\sqrt{16-x^2-y^2-z^2}}=\frac12

两边取倒数并平方，得到

16-x^2-y^2-z^2=4

所以

x^2+y^2+z^2=12

等值面是以原点为球心、半径为 $2\sqrt3$ 的球面。因为 $2\sqrt3<4$ ，整个球面确实位于定义域内。

f (x, y) = x^{2} - y^{2}

c=0

x^2-y^2=(x-y)(x+y)=0

它由 $y=x$ 和 $y=-x$ 两条相交直线组成。交点处的函数值仍然只有一个，就是 $0$ ，所以并不矛盾。