变量替换与 Jacobian | 多变量微积分 I | 自在学

变量替换与 Jacobian：把难区域换成好坐标

上一章里，极坐标的面积微元是 $r\,dr\,d\theta$ ，柱坐标和球坐标的体积微元里又分别出现了 $r$ 与 $\rho^2\sin\phi$ 。第一次见到这些因子时，很容易把它们当成需要单独背诵的规则：换成极坐标就补一个 $r$ ，换成球坐标就补一个 $\rho^2\sin\phi$ 。

可这样记很快就会卡住。只要题目换成一组没见过的新变量，口诀立刻失效。真正通用的问题其实只有一个：新坐标里的一小块，被送回原来的平面或空间后，究竟被拉伸了多少？

Jacobian 回答的就是这个问题。它先把非线性变换在一个点附近看成线性变换，再用行列式计算小面积或小体积的缩放倍数。理解这条主线以后，极坐标、球坐标和一般变量替换就不再是三套互不相干的公式。

坐标一换，小面积也跟着变

设

T(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)

把 $uv$ 平面中的点送到 $xy$ 平面。我们在 $uv$ 平面里画一个边长为 $du$ 、 $dv$ 的小矩形，它的面积是 $du\,dv$ 。老办法最容易犯的错，是把它送到 $x$ 平面后，仍然把面积写成。

问题在于， $du$ 和 $dv$ 只是参数变化量，不一定是目标平面里的实际边长。沿 $u$ 方向走一点，像点可能向右走、向上走，也可能两个方向同时走；沿 $v$ 方向也是一样。原来的直角小矩形通常会变成一个斜着的、大小也不同的小块。

先看线性变换

\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix}

当 $u$ 增加 $du$ 而 $v$ 不动时，目标平面里的位移向量是

\begin{pmatrix} a\\ c \end{pmatrix}du

当 $v$ 增加 $dv$ 而 $u$ 不动时，位移向量是

\begin{pmatrix} b\\ d \end{pmatrix}dv

这两个向量撑起一个平行四边形。它的面积是

|ad-bc|\,du\,dv

所以 $|ad-bc|$ 就是面积缩放倍数。若它等于 $3$ ，新坐标中的每单位面积会在目标平面里铺出面积 $3$ ；若它等于 $1/4$ ，面积会被压到原来的四分之一。

下面的交互把这件事直接画出来。可以依次试“放大”“剪切”“翻转”和“压扁”：剪切会改变形状却不一定改变面积，压扁则会让二维小块失去面积。

变量替换不是只换掉公式里的字母。它会同时改变点的坐标、区域的边界以及每个小块的面积。漏掉其中任何一项，得到的都不是原来的积分。

非线性变换为什么仍能用一个矩阵

一般的 $T(u,v)$ 会把直线网格弯成曲线网格。整个平面不可能再由同一个矩阵控制，可如果只盯住点 $(u_0,v_0)$ 附近极小的一块，弯曲还来不及明显出现，一阶变化已经占了主导。

在这个点附近，两个坐标的增量满足

\begin{pmatrix} \Delta x\\ \Delta y \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} x_u & x_v\\ y_u & y_v \end{pmatrix}_{(u_0,v_0)} \begin{pmatrix} \Delta u\\ \Delta v \end{pmatrix}

中间这张矩阵叫 Jacobian 矩阵，也就是变换 $T$ 在该点的导数矩阵：

DT(u,v)= \begin{pmatrix} x_u & x_v\\ y_u & y_v \end{pmatrix}

它的第一列 $\mathbf T_u=\langle x_u,y_u\rangle$ 告诉我们“只让 $u$ 动”时，像点朝哪里、走多快；第二列则记录“只让动”的效果。于是参数平面中的小矩形，局部近似为由和撑起的平行四边形。

它的有向面积因子是

J(u,v)= \det DT(u,v) = \det \begin{pmatrix} x_u & x_v\\ y_u & y_v \end{pmatrix} =x_u y_v-x_v y_u

因此真正的面积是

dA\approx |J(u,v)|\,du\,dv

规则小网格经非线性变换后成为弯曲网格，并在一个采样点附近用平行四边形作局部线性近似

图里远处的网格弯曲程度和疏密都在变化；但把某个小块放大以后，它仍可由两条切向量撑起的平行四边形近似。

下面的交互使用

x=u+q\sin v,\qquad y=v+p\sin u

拖动采样点时，局部面积因子会随位置变化。调大弯曲参数以后，还能看到 $J$ 变成负数或接近 $0$ 时，局部取向与网格形状怎样改变。

非线性变量替换的核心节奏是：把区域切得足够细，在每个小块上使用各自的线性近似，再把所有局部贡献加起来。Jacobian 可以随位置变化，正是因为不同位置的拉伸程度本来就可能不同。

行列式的正负与绝对值

行列式不只记录面积大小，还记录两个坐标方向的先后关系。

$J>0$ 时， $u$ 方向转向 $v$ 方向的取向在映射后保持不变。
$J<0$ 时，映射像镜面反射那样翻转了取向。
$J=0$ 时，两条局部方向被压到同一直线上，甚至都被压成零向量，二维面积因此消失。

积分里的普通面积不能为负，所以变量替换公式使用 $|J|$ ，而不是 $J$ 。负号提供的是取向信息，不是“负面积”。

这个区别可以用一个最小例子看清。设

x=u,\qquad y=-2v

则

J= \det \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -2 \end{pmatrix} =-2

这个变换把图形上下翻转，同时把竖直方向拉长为原来的 $2$ 倍。面积缩放因子显然是 $2$ ，所以 $dA=2\,du\,dv$ 。

看到 $J<0$ 后把积分整体乘成负数，是把“取向”与“面积”混在了一起。计算面积、质量和普通二重积分时始终使用 $|J|$ ；以后处理带方向的曲线或曲面时，符号才会以别的方式重新出现。

二重积分的变量替换公式

设参数平面中的区域 $S$ 经 $T$ 映到 $xy$ 平面中的区域 $R$ 。在 $T$ 连续可微、区域内部基本上一一对应，并且除去面积为 $0$ 的少量点外 $J$ 不为 $0$ 时，变量替换公式是

\iint_R f(x,y)\,dA = \iint_S f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr) \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| du\,dv

这条公式看起来长，实际只要求完成三笔“对账”：

把被积函数中的 $x,y$ 全部写成 $u,v$ 。若还剩下无法解释的 $x$ 或 $y$ ，换元就没有完成。

正向 Jacobian 与反向 Jacobian

题目有时直接给出 $x=x(u,v)$ 、 $y=y(u,v)$ 。另一些题目却先给 $u=u(x,y)$ 、。如果反变换存在，两个 Jacobian 矩阵互为逆矩阵：

D(T^{-1})\bigl(T(u,v)\bigr)=\bigl(DT(u,v)\bigr)^{-1}

取行列式后得到

\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}}

这里默认两边在对应点计算，而且分母不为 $0$ 。因此

dA = \frac{1}{\left|\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|} du\,dv

多元情形里，不能把某一个偏导数单独倒过来。例如 $\partial r/\partial x$ 通常不等于 $1/(\partial x/\partial r)$ ，因为两边保持不动的变量不同。可靠的倒数关系发生在完整的 Jacobian 矩阵及其行列式之间。

先把边界变简单，再决定积分限

变量替换真正省力的地方，往往不在被积函数，而在区域。一个好的新变量通常直接来自边界方程：若两组边分别写成 $g(x,y)=c$ 与 $h(x,y)=d$ ，就优先试

u=g(x,y),\qquad v=h(x,y)

这样原来斜着或弯着的四条边，到了 $uv$ 平面里可能只是 $u=u_0$ 、 $u=u_1$ 、 $v=v_0$ 、，新区域自然就是矩形。

定限时可以按下面的顺序走。

先列出原区域的每一条边界，并观察哪些表达式在同一组边上保持常数。不要急着算 Jacobian；变量选得不好，后面算得再熟也省不了事。

把边界代入新变量，写出它们对应的是 $u$ 的边还是 $v$ 的边。若有交点，把交点也映过去，检查新区域的角点是否接得上。

选原区域内部的一个测试点，确认不等号方向。只变边界方程、不检查区域落在哪一侧，很容易把内部和外部写反。

例题：把平移椭圆拉回单位圆

设

R:\quad \frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y+2)^2}{4}\le 1

求

\iint_R (x-2y)\,dA

椭圆难写积分限，是因为它相对单位圆做了平移和不等比例拉伸。把这些动作倒过来，令

x=1+3u,\qquad y=-2+2v

原区域立即变成

S:\quad u^2+v^2\le 1

中心在一逗号负二、半轴长为三和二的椭圆经平移缩放后对应单位圆

先算面积因子：

J= \det \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} =6

这个结果还能反过来检查。椭圆面积是 $6\pi$ ，而线性函数 $x-2y$ 在关于中心对称的区域上的平均值，等于它在中心 $(1,-2)$ 的值 $5$ 。所以积分应为 $5\cdot 6\pi=30\pi$ 。

例题：把斜平行四边形摊成矩形

设 $R$ 由

x-y=0,\qquad x-y=2,\qquad x+y=1,\qquad x+y=4

围成。求

\iint_R(x+y)\,dA

四条边已经把新变量写在脸上了。令

u=x-y,\qquad v=x+y

那么新区域直接变成

0\le u\le 2,\qquad 1\le v\le 4

由 $u=x-y$ 、 $v=x+y$ 解出反变换：

x = \frac{u + v}{2},

例题：非线性边界也能变成矩形

设 $R$ 位于第一象限，由两条双曲线 $xy=1$ 、 $xy=4$ 以及两条射线 $y=x$ 、 $y=9x$ 围成。求的面积。

令

u=xy,\qquad v=\frac{y}{x}

新区域就是

1\le u\le 4,\qquad 1\le v\le 9

在第一象限内，反变换唯一写成

x=\sqrt{\frac{u}{v}},\qquad y=\sqrt{uv}

直接对反变换求导当然可以，但这里算正向 Jacobian 更快：

\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \det \begin{pmatrix} y & x\\ -\dfrac{y}{x^2} & \dfrac1x \end{pmatrix} =2\frac{y}{x}=2v

于是

dA=\frac{1}{2v}\,du\,dv

面积为

\operatorname{area}(R) = \int_1^4\int_1^9\frac{1}{2v}\,dv\,du =3\ln 3

这个例子说明，变量替换不只会旋转或缩放直线边界。只要新变量顺着边界的“家族”来选，双曲线与射线也能被整理成横平竖直的矩形。

下面的交互把椭圆、斜平行四边形和极坐标扇形放在一起比较。观察重点是每组边界到了新坐标里分别变成了什么常数。

极坐标为什么多出一个 r

现在回头看最熟悉的变换：

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

它的 Jacobian 矩阵是

DT(r,\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}

两列分别代表径向小位移和角向小位移。第一列长度是 $1$ ，第二列长度是 $r$ ，而且两列互相垂直。因此

J=\det DT(r,\theta)=r

从而

dA=r\,dr\,d\theta

这正好与几何画面一致： $dr$ 是径向厚度， $r\,d\theta$ 才是角向弧长。Jacobian 没有发明一个额外的 $r$ ，它只是把这两条局部边的面积用行列式记了下来。

极坐标也提醒我们注意两个条件。第一， $r=0$ 时 $J=0$ ，所有角度都落到同一个原点；第二， $\theta$ 相差 $2\pi$ 的参数表示同一点。做完整圆盘积分时，我们通常取一个长度为 $2\pi$ 的角度区间，并允许角度区间的两条边在目标平面重合。重复只发生在边界或原点这类面积为 $0$ 的集合上，不会改变普通二重积分。

一一对应与可逆性不能只看 J

$J(u_0,v_0)\ne 0$ 能保证变换在这个点附近没有把二维小块压扁，并且局部可以反解。这里的关键词是“附近”。它并不自动保证整个大区域上都一一对应。

例如

x=u^2-v^2,\qquad y=2uv

有

J=4(u^2+v^2)

除原点外， $J$ 都不为 $0$ 。可 $(u,v)$ 与 $(-u,-v)$ 总会映到同一个 $(x,y)$ ，所以在包含这两个点的大区域上，变换仍然会重复覆盖。

使用变量替换公式前，要分开检查两件事：

局部是否退化：看 $J$ 是否在区域内部变成 $0$ 。
全局是否重复：看不同参数点是否会落到同一个目标点。

若只是边界上有少量重合，例如极坐标角度区间的两条边，通常不影响积分。若区域内部被覆盖两次，就必须缩小参数范围、把区域拆成几块，或者在明确知道覆盖次数时作相应修正。

“Jacobian 处处不为零”是局部可逆条件，不是全局一一对应的保证。变量替换题中，画出几条坐标曲线、检查角点与内部测试点，往往比只盯着行列式更能发现重复覆盖。

三重积分中的 3×3 Jacobian

空间里的逻辑没有变化，只是小平行四边形升级成了小平行六面体。设

T(u,v,w)=\bigl(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)\bigr)

它的 Jacobian 矩阵是

DT= \begin{pmatrix} x_u & x_v & x_w\\ y_u & y_v & y_w\\ z_u & z_v & z_w \end{pmatrix}

三列向量 $\mathbf T_u$ 、 $\mathbf T_v$ 、 $\mathbf T_w$ 是参数小长方体三条边在真实空间里的局部像。它们的标量三重积

J(u,v,w)= \det \begin{pmatrix} x_u & x_v & x_w\\ y_u & y_v & y_w\\ z_u & z_v & z_w \end{pmatrix}

给出有向体积缩放，普通体积则取绝对值：

dV=|J(u,v,w)|\,du\,dv\,dw

因此三重积分的换元公式是

\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_G f\bigl(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)\bigr) |J(u,v,w)|\,du\,dv\,dw

球坐标因子也来自同一个行列式

球坐标变换为

x=\rho\sin\phi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\phi

对应的 Jacobian 矩阵是

\begin{pmatrix} \sin\phi\cos\theta & \rho\cos\phi\cos\theta & -\rho\sin\phi\sin\theta\\ \sin\phi\sin\theta & \rho\cos\phi\sin\theta & \rho\sin\phi\cos\theta\\ \cos\phi & -\rho\sin\phi & 0 \end{pmatrix}

计算行列式得到

J=\rho^2\sin\phi

在 $0\le\phi\le\pi$ 的常用范围内， $\sin\phi\ge 0$ ，于是

dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta

柱坐标同样是三维变换 $x=r\cos\theta$ 、 $y=r\sin\theta$ 、 $z=z$ 。第三个方向没有缩放，前两个方向仍贡献极坐标的 $r$ ，所以 3×3 行列式就是。

例题：线性空间变换下的积分

令单位立方体 $G:0\le u,v,w\le 1$ 通过

x=u+v,\qquad y=v+w,\qquad z=u+w

映到空间区域 $E$ 。求

\iiint_E(x+y+z)\,dV

先算 3×3 Jacobian：

J= \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} =2

验算也很直接： $E$ 的体积是 $2$ ，而 $x+y+z$ 在 $E$ 上的平均值是 $3$ ，所以积分应为 $2\cdot 3=6$ 。

定限与计算后的验算

变量替换题的错误往往不会在最后一步自己暴露出来。最好在写完新积分后停一下，用几项成本很低的检查把它拦住。

写积分前的检查

看边界：原区域的每条边是否都在新区域中找到对应边界？
看内部：至少映射一个内部测试点，确认不等号方向和区域位置。
看覆盖：新区域是否把原区域恰好覆盖一次？
看方向：需要的是 $\partial(x,y)/\partial(u,v)$ ，还是它的倒数？
看绝对值：面积与体积因子是否已经取绝对值？
看变量：被积函数、微元和积分限是否都只含新变量？

算出结果后的检查

第一种检查是量纲。若 $x,y$ 有长度单位，那么 $dA$ 必须有长度平方单位。极坐标中的 $dr$ 有长度单位， $d\theta$ 没有，因此必须由 $r$ 补出另一个长度。

第二种检查是先令 $f=1$ 。变量替换公式应退化成区域面积或体积。如果连常数函数都算不出合理的几何大小，通常是 Jacobian 或积分限出了问题。

第三种检查是估计数量级。若区域面积约为 $10$ ，且被积函数在区域里始终介于 $2$ 与 $5$ ，积分就应在 $20$ 与 $50$ 之间。精确结果跑出这个范围，无须重算全部步骤就知道有错。

第四种检查是利用对称性。关于坐标轴对称的区域上，奇函数项应当抵消；中心对称区域上线性函数的平均值等于中心处的函数值。

第五种检查是正反变换。若两个方向的 Jacobian 都算得出来，它们的乘积应为 $1$ 。线性变换尤其适合用这一点快速核对。

常见误区

只换微元，不换函数

把 $dA$ 换成 $|J|du\,dv$ 后，被积函数中的 $x,y$ 也必须换掉。新积分里同时混着 $x,y,u,v$ ，通常意味着工作只做了一半。

把 Jacobian 的方向写反

从 $dx\,dy$ 换到 $du\,dv$ ，需要的是

\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|

若手里算的是 $\partial(u,v)/\partial(x,y)$ ，要在可逆处取倒数。

忘记绝对值

负行列式表示取向翻转。面积和体积仍为正，普通二重、三重积分使用绝对值。

只变边界方程，不检查区域内部

边界变成矩形的四条边，并不自动告诉你矩形内部对应原区域内部。代入一个测试点，才能确认不等号方向。

以为 J 不为零就一定一一对应

$J\ne 0$ 只给出局部可逆性。周期角度、平方映射和其他折叠变换都可能让远处的不同参数点落到同一点。

把 J 等于零一概判成不能积分

若 $J=0$ 只发生在边界或孤立点上，例如极坐标的原点，常规积分通常仍可进行。真正危险的是区域内部出现整片折叠或退化，并造成无法控制的重复覆盖。

练习

练习 1：设 $x=2u+v$ 、 $y=u-v$ 。求 Jacobian、面积缩放因子，并说明取向是否翻转。

练习 2：用变量替换求椭圆 $x^2/4+y^2/25\le 1$ 的面积。

练习 3：区域 $R$ 由 $x+y=0$ 、 $x+y=3$ 、 $x-2y=1$ 、围成。令、，写出新区域，并求与的关系。

练习 4：设第一象限区域由 $xy=2$ 、 $xy=6$ 、 $y=2x$ 、 $y=8x$ 围成。使用、求区域面积。

练习 5：直接计算极坐标变换的 Jacobian，并解释为什么 $r=0$ 处与角度区间需要额外小心。

练习 6：设 $x=u^2-v^2$ 、 $y=2uv$ 。求 Jacobian，并判断能否在圆环 $1\le u^2+v^2\le 4$ 上直接把它当成一一对应变换。

练习 7：设单位立方体经 $x=2u$ 、 $y=u+v$ 、 $z=v+3w$ 映到区域 $E$ 。求的体积。

练习 8：有人把 $u=x+y$ 、 $v=x-y$ 的换元写成

dx\,dy= \left| \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \right|du\,dv

指出错误并写出正确结果。

从坐标变换走向向量场

到这里，Jacobian 已经不只是积分前面那个“补上的因子”了。它是一张局部说明书：给它一个很小的参数位移，它会告诉你真实平面或空间里的位移向量；取它的行列式，才进一步得到面积或体积怎样缩放。

下一章研究向量场时，我们会把注意力从“一个小块被坐标变换送到哪里”转向“空间中每一点本身带着怎样的向量”。不过这里的两列或三列偏导向量不会消失。它们已经让我们习惯了一件事：在多元世界里，局部变化不再由一个斜率说完，而要由一组方向共同描述。

y

xy

0

y

=

\frac{v - u}{2}

x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{v-u}{2}

r

u=xy