向量场：空间中每一点都有方向 | 多变量微积分 I | 自在学

向量场：给空间中每一点放一支箭头

上一章研究变量替换时，我们把一个点 $(u,v)$ 送到另一个点 $(x,y)$ ，再用 Jacobian 描述它在局部怎样拉伸和旋转小网格。这里只需要换一个视角：如果输出不是新位置，而是“在当前位置应该往哪里动”，那么每个点就应该得到一支向量。

这一步看起来只是把“每点一个数”改成“每点一支箭头”，却会让问题的性格完全不同。温度场只说某处有多热，风速场还要同时说风往哪里吹、吹得多快；地形高度只给一个数，重力场则要告诉你物体在这里会被拉向哪里。

淡色二维坐标网格上的风速向量场，箭头的起点表示位置，朝向表示风向，长度表示风速大小。

向量场先回答“在哪里”，再用箭头回答“往哪里、有多强”。

从标量场到向量场

标量场把每个点对应到一个数。例如，金属板的温度可以写成

T:D\subseteq\mathbb R^2\longrightarrow\mathbb R

输入 $(x,y)$ 是板上的位置，输出 $T(x,y)$ 是一个温度数值。一张温度图可以用颜色、高度或等温线表示这些数。

向量场的输入仍然是点，输出却是向量。平面向量场写成

\mathbf F:D\subseteq\mathbb R^2\longrightarrow\mathbb R^2

\mathbf F(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle

它在每个允许的点 $(x,y)$ 放上向量 $\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle$ 。 $P$ 是水平分量， $Q$ 是竖直分量。箭头的尾部放在，箭头本身却可以自由平移；二者都写成两个数，意义不一样。

点 $(2,-1)$ 回答“在哪里”， $\mathbf F(2,-1)$ 回答“这里的箭头是什么”。画图时要把箭头尾部放在该点，计算时则要把点的坐标代入每个分量函数。

向量场的定义域要让所有分量都有意义。例如

\mathbf F(x,y)=\left\langle \frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right\rangle

在原点的两个分量都没有定义，所以定义域是 $\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$ 。图上原点留白不是漏画，而是公式真的没有给那个点分配向量。

如果 $P,Q$ 都连续，我们就说 $\mathbf F$ 连续。直觉上，你在平面上稍微挪一点，箭头的方向和长度也只会稍微变化，不会无缘无故跳一下。后面要研究散度、旋度时，还会要求这些分量有连续的一阶偏导数。

例题：先分清位置和输出

设

\mathbf F(x,y)=\langle x-y,x+2y\rangle

求点 $(2,-1)$ 上的向量、大小和方向。

把 $x=2$ 、 $y=-1$ 分别代入两个分量：

\mathbf F(2,-1)=\langle 2-(-1),2+2(-1)\rangle=\langle 3,0\rangle

向量场图怎样画、怎样读

一张向量场图不可能真的画出无穷多支箭头。它只能在一批网格点上取样：选一个点，算出向量，把尾部放在该点，再对其他点重复这个动作。读图时则反过来，先看局部，再看整体。

第一个问题是方向。箭头向右上方，说明 $P>0,Q>0$ ；箭头向左下方，说明 $P<0,Q<0$ 。若某个分量为 $0$ ，箭头就与另一条坐标轴平行。

第二个问题是大小。对

\mathbf F(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle

箭头的真实长度应该反映

\|\mathbf F(x,y)\|=\sqrt{P(x,y)^2+Q(x,y)^2}

第三个问题是整体结构。箭头是从某点向外散开，往某点汇入，绕着中心旋转，还是在不同高度上以不同速度水平流动？这些图案往往比单个箭头更能暴露场的性格。

很多软件会把过长的箭头截短，或把所有向量先除以自己的长度再画。这种“单位化”图能清楚显示方向，但会丢掉大小。因此，不先确认箭头是否保留真实比例，就不能凭图判断哪里的场更强。

下面的交互工具可以切换几种典型场。关闭“单位化箭头”时观察长度，开启后只比较方向；再点一个位置，可以用右侧读数核对公式。

四类基本图案：平移、径向、旋转和剪切

遇到一个新向量场时，不必立刻画满整张图。先看坐标轴上的点，再看四个象限里的代表点，往往就能看出它接近哪一类基本图案。

四宫格中的源场、汇场、旋转场和剪切场，每个网格点上的箭头展示对应的方向和相对大小。

向外、向内、绕圈和分层错动，是读取向量场时最常见的四种整体图案。

常向量场：所有点得到同一支箭头

例如

\mathbf F(x,y)=\langle 2,-1\rangle

无论在哪个点，输出都是 $\langle 2,-1\rangle$ 。所有箭头平行、等长，像一股方向和速度都不变的风。

径向场：箭头顺着半径方向

把点 $(x,y)$ 本身当成从原点出发的位置向量：

\mathbf R(x,y)=\langle x,y\rangle,\qquad r=\sqrt{x^2+y^2}

$\mathbf R$ 的方向从原点向外，长度正好是 $r$ 。这意味着离原点越远，箭头越长。把它除以长度，得到

\frac{\mathbf R}{r}=\left\langle \frac{x}{r},\frac{y}{r}\right\rangle

方向仍然向外，长度却处处等于 $1$ 。再除一个 $r$ ，得到 $\mathbf R/r^2$ ，方向不变，长度变成 $1/r$ 。这三个场的箭头朝向一样，大小规律却完全不同。

$\mathbf R/r$ 和 $\mathbf R/r^2$ 都在原点没有定义。一个场的方向图案可以很对称，定义域却仍然可能挖掉中间的点。

旋转场：把半径转过九十度

定义

\mathbf S(x,y)=\langle -y,x\rangle

它是把 $\mathbf R=\langle x,y\rangle$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 后得到的向量。两者的点积为

\mathbf R\cdot\mathbf S=x(-y)+yx=0

因此 $\mathbf S$ 处处垂直于半径，箭头沿圆的切向绕原点逆时针转。它的长度也是 $r$ 。若用 $\omega\mathbf S$ ，则 $\omega>0$ 保留逆时针方向， $\omega<0$ 改成顺时针， $|\omega|$ 控制整体速度尺度。

与径向场一样，旋转场也可以只改大小、不改方向。 $\mathbf S/r$ 的长度处处是 $1$ ， $\mathbf S/r^2$ 的长度是 $1/r$ ，三者的箭头都沿同心圆的逆时针切向。除以 $r$ 之后，原点都要从定义域中删掉。

剪切场：不同高度的水平速度不同

例如

\mathbf H(x,y)=\langle y,0\rangle

所有箭头都是水平的。上半平面 $y>0$ 时向右，下半平面 $y<0$ 时向左，离 $x$ 轴越远速度越大。这种上下层相互错动的图案叫剪切。

例题：一个场可以同时向外和旋转

考虑

\mathbf F(x,y)=\langle x-y,x+y\rangle

请用径向场和旋转场解释它的图案。

把分量拆开：

\mathbf F(x,y)=\langle x,y\rangle+\langle -y,x\rangle=\mathbf R+\mathbf S

平面场、空间场与三维图像

平面向量场的输入和输出都有两个分量。空间向量场则写成

\mathbf F:E\subseteq\mathbb R^3\longrightarrow\mathbb R^3

\mathbf F(x,y,z)=\langle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\rangle

这里的第三个分量 $R(x,y,z)$ 与前面用粗体 $\mathbf R$ 表示的位置场不是一回事。当符号容易冲突时，也可以把三个分量写成 $F_1,F_2,F_3$ 。

左侧是平面网格上的二维箭头，右侧是三维空间中不同高度处的三维箭头。

平面场把 $(x,y)$ 送到二维向量，空间场把 $(x,y,z)$ 送到三维向量。

空间场难在画图，不难在定义。画三维箭头时会有遮挡和透视变形，因此更稳定的读法是：先代入几个有对称性的点，再检查固定 $z$ 、固定 $x$ 或固定 $y$ 后的平面切片。

若三个分量都可微，空间场的局部变化由一个 $3\times3$ Jacobian 矩阵控制，其中有九个一阶偏导数。这正是平面场的四个局部变化率在三维中的自然扩展。例如绕 $z$ 轴按右手定则旋转的场是 $\omega\langle-y,x,0\rangle$ ，它不依赖 $z$ ；绕 $y$ 轴旋转时可以写成，它不依赖。

一个典型空间径向场从原点向外：

\boldsymbol{\mathcal R}(x,y,z)=\langle x,y,z\rangle,\qquad \rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

与之相关的反平方场可以写成

\mathbf F(x,y,z)=c\frac{\boldsymbol{\mathcal R}}{\rho^3} =c\frac{\langle x,y,z\rangle}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}

因为 $\|\boldsymbol{\mathcal R}\|=\rho$ ，所以

\|\mathbf F\|=\frac{|c|}{\rho^2}

$c>0$ 时向外， $c<0$ 时向内；无论哪种情况，距离增加到原来的两倍，大小都会降到原来的四分之一。原点不在定义域中。

例题：核对三维反平方场

设

\mathbf F(x,y,z)=-18\frac{\langle x,y,z\rangle}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}

求 $\mathbf F(1,-2,2)$ ，并解释方向和大小。

该点到原点的距离是

\rho=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3

速度场、力场与质量流场

同一个向量场公式可以在不同模型里扮演不同角色。数学先保留“位置到向量”的结构，单位和实际背景再告诉我们箭头究竟表示什么。

中文四宫格向量场应用图，分别展示天气地图上的风速箭头、河道中的流速箭头、单位测试物体在力场中的受力，以及绕轴旋转的三维流动。

风速、流速和单位测试物体所受的力都同时需要方向和大小，因此自然地用向量场表示。

速度场

对一个稳定的流动， $\mathbf v(x,y,z)$ 表示流体通过 $(x,y,z)$ 时的瞬时速度。向量方向是流动方向，大小

\|\mathbf v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}

是速率。“稳定”不是说流体不动，而是说固定站在某一个位置观察，那里的速度箭头不随时间变化。不同位置的箭头当然可以不同。

力场

力场 $\mathbf F(x,y,z)$ 告诉我们，把一个规定的测试物体放在该点，它会受到怎样的力。教室尺度内的重力场可以近似成一个竖直向下的常场；把视野扩大到整个星球周围，它则更接近指向球心的三维径向场。两个说法不矛盾，只是尺度不同。

质量流场

速度场说的是“流得多快”。如果流体密度 $\rho(x,y,z)$ 也会随位置改变，只知道速度还不能说明每秒携带了多少质量。这时用

\mathbf J=\rho\mathbf v

表示质量流场。 $\mathbf J$ 的方向与速度相同，大小同时受速率和密度影响。同样的速度下，密度越高，穿过垂直于流动方向的小面片时，单位面积每秒运走的质量越多。

在二维薄层流动里，对应的量是每秒穿过一小段垂直截线的单位长度质量流率；到了三维，截线变成垂直于流向的小面片，相应地改成单位面积的质量流率。这个“垂直穿过”的量会在后面成为通量。

速度场 $\mathbf v$ 和质量流场 $\rho\mathbf v$ 的箭头方向相同，但长度不一定只差一个常数。只有密度处处相同时，两张图才只是整体缩放。

梯度场：从“每点一个数”自然长出的箭头

前面学过梯度。对可微标量场 $f(x,y)$ ，把两个偏导数放在一起，就得到向量场

\nabla f(x,y)=\langle f_x(x,y),f_y(x,y)\rangle

这是 $f$ 的梯度场。它在每个非临界点指向 $f$ 增长最快的方向，大小 $\|\nabla f\|$ 是该方向上的最大方向导数。它还与经过该点的等值线垂直。

例如

f(x,y)=x^2+2y^2

则

\nabla f(x,y)=\langle 2x,4y\rangle

$f$ 的等值线是以原点为中心的椭圆，函数值从中心向外增大。梯度箭头也就垂直椭圆，并唯一地指向外侧。在原点， $\nabla f=\mathbf 0$ ，所以没有唯一的“最快增长方向”。

函数 f(x,y)=x²+2y² 的中文手绘彩色等高线图，同心椭圆中心低、外侧高，每个采样点的梯度箭头都垂直椭圆并唯一指向外侧。

对 $f=x^2+2y^2$ ，梯度 $\langle2x,4y\rangle$ 与椭圆等值线垂直，并指向函数值增大的外侧。

不是每个向量场都是梯度场

旋转场

\mathbf S(x,y)=\langle -y,x\rangle

会沿圆周不断绕圈。如果它等于某个光滑函数 $f$ 的梯度，那么应有

f_x=-y,\qquad f_y=x

可是继续对另一个变量求导会得到

f_{xy}=-1,\qquad f_{yx}=1

这与混合偏导数应该相等矛盾。因此它不是平面上某个处处光滑势函数的梯度。“向量场是否来自势函数”会在后面变成一条主线，这里先不把“向量场”和“梯度场”当成同义词。

场线、流线与粒子轨迹

箭头图擅长显示每个点的局部信息，却很难让人一眼看出“如果一直顺着箭头走，整体会去哪里”。场线就是为了把这些局部方向连成曲线。

一条光滑曲线 $C$ 是 $\mathbf F$ 的有向场线，意味着它经过每个点时，切向量都与该点的场向量同向。若曲线参数化为 $\mathbf r(s)$ ，可以写成

\mathbf r'(s)=\lambda(s)\mathbf F(\mathbf r(s)),\qquad \lambda(s)>0

$\lambda(s)$ 只会改变沿曲线前进的快慢，不会改变曲线形状。为了省事，常把参数特意选成

\mathbf r'(s)=\mathbf F(\mathbf r(s))

但要记住，这是一种方便的参数化，场线的核心只是“切向与场同向”。

对平面场

\mathbf F(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle

若当前位置 $P\ne 0$ ，可以用斜率方程

\frac{dy}{dx}=\frac{Q(x,y)}{P(x,y)}

来求场线。当 $P=0$ 时，右边的比值没有意义，但场线本身不一定出问题：它可能只是在那里有竖直切线。因此斜率方程是计算工具，不是定义本身。

纯旋转场 F=(-y,x) 的中文手绘彩色线条图，灰色箭头绕原点逆时针，彩色场线是严格的同心圆，并在每点与当地箭头相切。

纯旋转场 $\langle-y,x\rangle$ 的箭头处处与半径垂直，所以场线是逆时针的同心圆。

例题：旋转场的场线是圆

考虑

\mathbf F(x,y)=\langle -y,x\rangle

在 $-y\ne0$ 的位置，场线斜率满足

\frac{dy}{dx}=\frac{x}{-y}=-\frac{x}{y}

下面的交互用单位方向数值追踪场线，所以它用来观察曲线形状，不表示真实经过了多少时间。可以切换旋转场、源场、汇场和鞍点场，再比较不同起点是否会落在同一簇场线上。

流线与粒子轨迹什么时候一样

在流体模型中，速度场在某一时刻的场线常叫流线。它是一张“当下方向”的快照。粒子轨迹则记录某一个粒子随时间真正走过的路。

若速度场是稳定的，只依赖位置，

\mathbf r'(t)=\mathbf v(\mathbf r(t))

会让粒子轨迹与有向流线重合。若速度场还依赖时间，

\mathbf v=\mathbf v(x,y,z,t)

粒子到达新位置时，那里的箭头可能已经变了。这时一张固定时刻的流线图不再是粒子的完整轨迹。

空间中的场线可以是螺旋线

考虑稳定速度场

\mathbf v(x,y,z)=\langle -y,x,c\rangle

前两个分量让粒子绕 $z$ 轴逆时针旋转，第三个分量让它以恒定速度 $c$ 上升。从 $(a,0,0)$ 出发时，

\mathbf r(t)=\langle a\cos t,a\sin t,ct\rangle

因为

\mathbf r'(t)=\langle -a\sin t,a\cos t,c\rangle =\mathbf v(\mathbf r(t))

所以这条螺旋线就是粒子轨迹，也是该稳定场的有向场线。

向量场的 Jacobian：箭头在局部怎样改变

前一章的 Jacobian 不仅对换坐标有用。平面向量场

\mathbf F(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle

本身就是一个从 $\mathbb R^2$ 到 $\mathbb R^2$ 的函数，因此它在 $(a,b)$ 的导数也是一个矩阵：

D\mathbf F(a,b)= \begin{pmatrix} P_x(a,b) & P_y(a,b)\\ Q_x(a,b) & Q_y(a,b) \end{pmatrix}

当位置从 $(a,b)$ 挪到 $(a+h,b+k)$ 时，场向量的一阶变化是

\mathbf F(a+h,b+k)-\mathbf F(a,b) \approx D\mathbf F(a,b) \begin{pmatrix} h\\ k \end{pmatrix}

这句话把一张复杂的箭头图压缩成一个局部矩阵。 $P_x$ 记录往 $x$ 方向挪动时水平分量怎样变， $Q_y$ 记录往 $y$ 方向挪动时竖直分量怎样变； $P_y,Q_x$ 则记录两个交叉方向的变化。

散度的初步直觉：小区域是在往外撑还是往内缩

对平面场 $\mathbf F=\langle P,Q\rangle$ ，后面会把

\operatorname{div}\mathbf F=P_x+Q_y

叫做散度。这里先只记画面：在一个极小盒子周围，如果流出的总趋势大于流入，它像一个源，散度为正；如果更像往内吸，散度为负。散度是一个点上的局部数值，不是只看整张图像就随口贴上的标签。

旋度的初步直觉：小风车会不会原地转

在平面中，与局部旋转趋势相关的标量是

\operatorname{curl}_{2D}\mathbf F=Q_x-P_y

可以想象在流场中放一个极小的风车。若风车有逆时针转动趋势，这个量为正；顺时针则为负。这只是局部转动的记账方式，不等于所有粒子都围着同一个中心跑大圆。

看见箭头从原点向外并不能代替散度计算，看见曲线弯了也不能直接断定旋度非零。散度和旋度比较的是附近箭头之间的差异，所以它们来自偏导数，而不是来自某一支箭头本身。

例题：同一个局部可以既膨胀又旋转

再看

\mathbf F(x,y)=\langle x-y,x+y\rangle

它的 Jacobian 在所有点都是

D\mathbf F= \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}

因此

P_x+Q_y=1+1=2

局部有向外膨胀的趋势。同时

Q_x-P_y=1-(-1)=2

局部也有逆时针旋转趋势。这与前面把它拆成“径向场加旋转场”完全对得上。这里的目标只是建立局部直觉；散度、旋度与边界积分的完整关系要等后面再展开。

为什么下一步是线积分

向量场只给出每个位置的箭头。实际问题往往还会给一条路径：物体沿曲线 $C$ 运动，力场沿途做了多少功？流体沿一条边界的切向贡献怎样累加？

在路径上的某一点，真正推着物体沿路前进的，是 $\mathbf F$ 在路径切向 $\mathbf T$ 上的分量

\mathbf F\cdot\mathbf T

若力和前进方向同向，这一小段贡献为正；若力向后拉，贡献为负；若力与路径垂直，这一小段不做功。把无数个小段贡献沿曲线累加，就会得到向量线积分。

这也是为什么本章要同时强调场向量和曲线切向。只知道某点的箭头还不够，我们还必须知道路径经过这里时往哪里走。下一章会把这个局部点积变成完整的沿路径累加。

常见误区

把点当成向量，或把向量当成终点

箭头尾部放在 $(x,y)$ ，不表示它的分量就是 $(x,y)$ ；它的分量是 $\mathbf F(x,y)$ 。同样，向量 $\langle P,Q\rangle$ 不是箭头的终点坐标。若真要写终点，它是。

认为同一簇场线就代表同一个场

$\mathbf F$ 、 $2\mathbf F$ 和一个处处为正的标量函数 $a(x,y)\mathbf F$ 有相同的场线方向，因为它们在同一点的箭头同向。但它们的大小不同，若解释成速度场，粒子沿同一条路走完一段所需的时间也不同。

忽略零向量和奇点

在 $\mathbf F=\mathbf0$ 的点，向量没有方向。若它是速度场，该点可能是平衡点。这与“公式在该点没有定义”又不一样：零向量是有定义的输出，奇点则根本不在定义域里。

在 $P=0$ 的地方强行使用 $dy/dx=Q/P$

这时场线可能有竖直切线。回到参数方程 $x'=P$ 、 $y'=Q$ ，通常比把某一个分量放在分母上更稳定。

把稳定场理解成“所有物体都静止”

稳定只说同一个位置的箭头不随时间改变。一个沿场运动的粒子会不断到达新位置，也就会不断接收新位置上的速度箭头。

把所有向量场都当成梯度场

梯度场是向量场中的特殊一类。看见两个分量函数不能直接宣布它们是某个 $f$ 的两个偏导数。定义域、混合偏导数和闭合路径上的行为都可能影响结论。

练习

练习一：在指定点读取向量

设

\mathbf F(x,y)=\langle x^2-y,2xy\rangle

求 $\mathbf F(-1,2)$ 及其大小。

练习二：识别基本图案

将下列向量场分别识别为常场、径向源场、逆时针旋转场或剪切场：

\mathbf F_1=\langle 2,-1\rangle,\qquad \mathbf F_2=\langle x,y\rangle,\qquad \mathbf F_3=\langle -y,x\rangle,\qquad \mathbf F_4=\langle y,0\rangle

练习三：定义域与大小规律

在平面中令 $\mathbf R=\langle x,y\rangle$ 、 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 。比较

\mathbf F=\frac{\mathbf R}{r},\qquad \mathbf G=\frac{\mathbf R}{r^2}

的定义域、方向和大小。

练习四：反平方场

设

\mathbf F(x,y,z)=6\frac{\langle x,y,z\rangle}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}

求 $\mathbf F(2,1,2)$ 及其大小，并说明距离增大为两倍时场的大小怎样变化。

练习五：求一簇双曲线场线

设

\mathbf F(x,y)=\langle y,x\rangle

求它的场线方程，并给出从 $(1,0)$ 出发、满足 $\mathbf r'(t)=\mathbf F(\mathbf r(t))$ 的一条有向轨迹。

练习六：梯度与等值线

设

f(x,y)=x^2+2y^2

求 $\nabla f(1,1)$ ，再给出等值线 $f=3$ 在 $(1,1)$ 处的一个切向量，并用点积验证二者垂直。

练习七：场线形状与运动快慢

设 $\mathbf G(x,y)=3\mathbf F(x,y)$ ，且数字 $3$ 处处不变。 $\mathbf F$ 和 $\mathbf G$ 的场线形状是否一样？若两者都解释为速度场，在同一位置的速率有什么关系？

练习八：验证空间螺旋轨迹

对速度场

\mathbf v(x,y,z)=\langle-y,x,2\rangle

验证从 $(1,0,0)$ 出发的轨迹是

\mathbf r(t)=\langle\cos t,\sin t,2t\rangle

并求粒子速率。

练习九：用 Jacobian 读局部图案

设

\mathbf F(x,y)=\langle x-y,x+y\rangle

写出 $D\mathbf F$ ，并计算 $P_x+Q_y$ 与 $Q_x-P_y$ 。它们分别提示什么局部图案？

练习十：为线积分做准备

物体经过某点时，场向量是 $\mathbf F=\langle3,4\rangle$ 。比较它分别沿单位切向

\mathbf T_1=\left\langle\frac35,\frac45\right\rangle,\qquad \mathbf T_2=\left\langle-\frac45,\frac35\right\rangle

前进时，场在路径方向上的分量分别是多少？

(x,y)

\omega\langle z,0,-x\rangle

(x + P, y + Q)

(x+P,y+Q)

⟩

\langle x,y\rangle