向量场：空间中每一点都有方向

前面几章研究的对象多半是“数值”：一个点有温度，一个区域有密度，一个空间位置有电势。向量场换了一个角度：一个点不只带着数值，还带着方向。

风向图是最容易进入向量场的例子。地图上每个位置都有一支小箭头，箭头朝向表示风往哪里吹，箭头长短表示风速大小。把这件事抽象出来，就是本章要学的向量场。

淡色二维坐标网格上的风速向量场，箭头在不同位置表示方向和大小，左下较短、右上较长。

向量场把每个位置点对应到一个有方向和长度的风速向量。

一个点对应一个向量

在平面区域 $D$ 上，一个平面向量场通常写成

\mathbf F(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle

它的意思是：对区域中的每个点，都给出一个二维向量。在空间区域上，空间向量场通常写成

先把 $(1,0)$ 代入公式，得到 $\mathbf F(1,0)=\langle 0,-1\rangle$ 。这个箭头在点 $(1,0)$ 处向下。

再把 $(0,1)$ 代入公式，得到 $\mathbf F(0,1)=\langle 1,0\rangle$ 。这个箭头在点 $(0,1)$ 处向右。

继续计算另外两个点： $\mathbf F(-1,0)=\langle 0,1\rangle$ ， $\mathbf F(0,-1)=\langle -1,0\rangle$ 。左侧点的箭头向上，下方点的箭头向左。

把四个箭头连起来看，右侧向下、上方向右、左侧向上、下方向左，整体是在围绕原点顺时针旋转。

在 $(1,0)$ 处， $\mathbf G(1,0)=\langle 1,0\rangle$ ，大小是 $\sqrt{1^2+0^2}=1$ 。

在 $(1,1)$ 处， $\mathbf G(1,1)=\langle 1,1\rangle$ ，大小是 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt 2$ 。

在 $(2,0)$ 处， $\mathbf G(2,0)=\langle 2,0\rangle$ ，大小是 $2$ 。

这说明 $\mathbf G(x,y)=\langle x,y\rangle$ 离原点越远，箭头通常越长。它的大小就是点到原点的距离。

先分别求偏导数： $f_x(x,y)=2x$ ， $f_y(x,y)=6y$ 。

把两个偏导数组成向量，得到梯度场 $\nabla f(x,y)=\langle 2x,6y\rangle$ 。

在点 $(1,1)$ 处， $\nabla f(1,1)=\langle 2,6\rangle$ 。这说明从 $(1,1)$ 出发，函数增长最快的方向朝右上方，并且更偏向增大的方向。

由于 $y$ 方向系数是 $3y^2$ 对应的 $6y$ ，同样的 $y$ 变化会带来更明显的函数值变化，所以箭头偏向竖直方向是合理的。

先观察场向量和位置向量的点积。位置向量是 $\langle x,y\rangle$ ，场向量是 $\langle y,-x\rangle$ 。

计算点积： $\langle x,y\rangle\cdot\langle y,-x\rangle=xy-xy=0$ 。这说明场向量总是垂直于从原点指向该点的位置向量。

圆 $x^2+y^2=r^2$ 的切线也垂直于半径方向。既然场向量总是垂直于半径，它就沿着以原点为中心的圆的切向方向。

再看点 $(1,0)$ 处箭头向下，所以沿单位圆的运动方向是顺时针。流线的形状是同心圆，方向为顺时针。