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线积分：沿路径累加标量和向量 | 多变量微积分 I | 自在学

线积分：把累加搬到一条弯曲的路上

上一章画出了向量场：平面或空间中的每一点，都有一支自己的箭头。现在我们让一个物体真的走进这片箭头里，沿着某条曲线从起点走到终点，然后问两个很实际的问题。

如果曲线上铺着一根密度不均匀的细线，它的总质量怎样算？如果向量场代表力，物体沿这条路移动时，力一共做了多少功？

这两个问题都要“沿曲线累加”，但累加的东西不同。细线质量把“密度乘一小段长度”加起来；做功把“力在这一小段位移方向上的分量”加起来。前者是标量线积分，后者是向量线积分。

真正容易混淆的地方也在这里：它们都沿同一条曲线算，都要参数化，却一个使用 $ds$ ，一个使用 $d\mathbf r$ 。本章会先把这两条路线分开讲清楚，再把它们放回同一张图里比较。

数轴上的老办法为什么不够了

一元积分

\int_a^b g(x)\,dx

沿着数轴从 $a$ 累加到 $b$ 。数轴在这里替我们做了很多决定：位置用一个数 $x$ 就能说清楚，从 $a$ 到 $b$ 也只有沿数轴前进这一种几何走法。把区间切成小段后，每段长度就是 $\Delta x$ 。

换成平面里的两个点 $A$ 和 $B$ ，这些决定突然都没了。你可以走直线，可以绕圆弧，也可以先水平再竖直。同一条弯曲路径上，横坐标有时增大、有时减小，甚至可以暂时不变。只写“从 $A$ 到 $B$ ”已经不能确定沿途经过哪些点，更不能直接拿 $dx$ 当作每一小段的长度。

所以，普通积分的“切段求和”没有失效，失效的是它原先默认的那条路。要把累加搬到曲线上，我们得先补回三条信息：

曲线上的点按什么顺序出现；
参数改变一点时，在曲线上实际走了多远；
累加的是不带方向的长度，还是带方向的位移。

参数化正是用来补齐这些信息的。

线积分沿曲线本身累加，不沿曲线围成的区域累加。题目若给的是圆周 $C$ ，我们只取圆周上的点；圆盘内部的点不直接进入这个积分。

参数化把“哪条路、怎么走”说完整

设一条空间曲线 $C$ 写成

\mathbf r(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle,\qquad a\le t\le b

当 $t$ 从 $a$ 增加到 $b$ 时，点 $\mathbf r(t)$ 沿着曲线移动。参数化同时回答了“在哪里”和“朝哪边走”： $\mathbf r(a)$ 是起点， $\mathbf r(b)$ 是终点，增大的方向就是路径的正方向。

它还给出了局部位移。参数增加 $\Delta t$ 时，位置变化近似为

\Delta\mathbf r\approx \mathbf r'(t)\Delta t

因此 $\mathbf r'(t)$ 是曲线的切向速度向量。它的方向沿着曲线前进，它的长度

\lVert\mathbf r'(t)\rVert

表示参数每增加一个单位，沿曲线走过的长度有多大。这里的“速度”不一定来自真实时间；即使 $t$ 只是人为选择的参数，这个几何关系仍然成立。

通常我们要求 $\mathbf r'(t)$ 在一段上连续且不为零，这样曲线在这一段有稳定的切向方向。若路径只有有限个拐角，就在拐角处分段；只要每一段都光滑，整条路径仍然可以做线积分。函数或向量场沿路径连续时积分当然存在；有有限个跳跃点时，也可以分段处理。

弧长微元从哪里来

在很短的一段上，弧线与弦几乎重合。因此这一小段弧长满足

ds=\lVert\mathbf r'(t)\rVert\,dt

平面曲线的展开式是

ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt

空间曲线则是

ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\,dt

这正是前面弧长公式在本章的关键用途。 $dt$ 只记录参数走了多少， $\lVert\mathbf r'(t)\rVert$ 把它换算成曲线上真正走过的长度。

线积分计算流程图，展示曲线参数化、求导、代入场或密度，并在参数区间积分。

两类线积分都会先把曲线改写成参数 $t$ 的问题；分岔发生在最后要乘速率，还是要与速度向量做点积。

同一条路可以有不同参数

从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的直线段既可以写成

\mathbf r_1(t)=\langle t,t\rangle,\qquad 0\le t\le 1

也可以写成

\mathbf r_2(u)=\langle u^2,u^2\rangle,\qquad 0\le u\le 1

第二种走法开始得慢，后来变快，但经过的点和方向与第一种完全相同。正确的线积分不会因为这种“参数速度”改变而改变：标量线积分中的弧长因子会补偿速度变化，向量线积分中的 $d\mathbf r$ 也会把速度和参数区间一起算进去。

“与参数选择无关”不等于“与路径无关”。换一种速度走同一条路，结果不变；换成另一条几何路径，结果通常会变。若同一条曲线重复走两遍，两遍的贡献会被算两次。

常用路径怎样参数化

从点 $A$ 到点 $B$ 的直线段，最稳妥的写法是

\mathbf r(t)=(1-t)A+tB,\qquad 0\le t\le 1

代入 $t=0$ 得到 $A$ ，代入 $t=1$ 得到 $B$ ，方向一眼可见。若要从 $B$ 走回 $A$ ，交换两点即可。

圆心在原点、半径为 $R$ 的圆弧常写成

\mathbf r(t)=\langle R\cos t,R\sin t\rangle

这时真正决定起点、终点和方向的是 $t$ 的区间。比如 $0\le t\le\pi$ 描出上半圆，从 $(R,0)$ 逆时针走到 $(-R,0)$ ；若区间反过来，方向也随之反转。

标量线积分：按弧长给每一小段计价

先看一根弯曲细线。设 $f(x,y,z)$ 表示曲线上每一点的线密度，也就是“每单位长度有多少质量”。把曲线切成很多小段，第 $i$ 段长度为 $\Delta s_i$ ，在这段上取一个样本点 $P_i^*$ ，那么这一小段的质量近似为

f(P_i^*)\Delta s_i

把所有小段相加并让最长的小段趋近于 $0$ ，就得到

\int_C f\,ds

这就是标量线积分。它没有改变积分的老套路，仍然是“取值乘小段，再求和”；只是小段不再是数轴上的 $\Delta x$ ，而是曲线上的弧长 $\Delta s$ 。

曲线 C 上竖起半透明幕帘，高度表示 f(x,y)，沿曲线用弧长小段 Δs 展示标量线积分的累加过程。

可以把 $\int_C f\,ds$ 看成沿曲线立起一张薄幕：底边小段的长度是 $ds$ ，幕的高度是 $f$ 。

计算公式

若 $C$ 由 $\mathbf r(t)$ 参数化，那么先把 $f$ 限制到曲线上，再把 $ds$ 换成 $\lVert\mathbf r'(t)\rVert\,dt$ ：

\int_C f\,ds =\int_a^b f(\mathbf r(t))\lVert\mathbf r'(t)\rVert\,dt

这条公式里有两个都不能漏的替换：

$f(x,y,z)$ 要变成 $f(x(t),y(t),z(t))$ ；
$ds$ 要变成。

下面的交互把曲线切成小段。把分段数调大时，弦长拼出的近似会逐渐贴近真实弧长，黎曼和也会靠近精确值。

取 $f=1$ 时， $\int_C 1\,ds$ 就是曲线长度。取 $f=\rho$ 为线密度时，就是细线质量。这个检查很实用：若密度是常数，结果必须等于乘曲线长度。

例题：上半圆形细线的质量

半径为 $2$ 的上半圆形细线由

\mathbf r(t)=\langle 2\cos t,2\sin t\rangle,\qquad 0\le t\le\pi

给出。线密度为 $\rho(x,y)=1+y$ 。求细线总质量。

先沿曲线代入密度。曲线上 $y=2\sin t$ ，所以

\rho(\mathbf r(t))=1+2\sin t

这个答案也能做一个粗略检查。半圆长度为 $2\pi$ ，密度最小是 $1$ 、最大是 $3$ ，所以质量应该落在 $2\pi$ 与 $6\pi$ 之间； $2\pi+8$ 的确在这个范围内。

例题：空间螺线上的总量

设螺线

\mathbf r(t)=\langle\cos t,\sin t,t\rangle,\qquad 0\le t\le2\pi

上分布着标量强度 $f(x,y,z)=z$ 。计算 $\int_C f\,ds$ 。

沿曲线有 $f(\mathbf r(t))=t$ ，而

\mathbf r'(t)=\langle-\sin t,\cos t,1\rangle

所以

\lVert\mathbf r'(t)\rVert=\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+1}=\sqrt2

于是

\int_C f\,ds =\int_0^{2\pi}t\sqrt2\,dt =2\sqrt2,\pi^2

空间曲线并没有引入新的积分规则，只是弧长因子里多了 $z'(t)$ 这一项。

反向会不会改变标量线积分

$ds$ 记录的是一小段的长度，长度没有正反号。沿同一条曲线反向走时，经过的点没有改变，每一点对应的弧长权重也没有改变，因此

\int_{-C}f\,ds=\int_C f\,ds

这里的 $-C$ 表示几何路径相同、方向相反。

不过，“反向不变”不代表标量线积分永远非负。若 $f$ 在某些位置为负，那些位置仍会贡献负值；没有方向的是 $ds$ ，不是函数 $f$ 。

向量线积分：只计算力在行走方向上的贡献

现在回到上一章的向量场。设

\mathbf F(x,y,z)=\langle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\rangle

代表一个力场。物体沿曲线移动一小段 $\Delta\mathbf r$ 时，这一小段上力做的功近似为

\mathbf F\cdot\Delta\mathbf r

点积在这里不是形式上的规定，它正好把力分成三种情况：

力与位移大致同向，点积为正，力在推动物体；
力与位移大致反向，点积为负，力在阻碍物体；
力与位移垂直，点积为零，这一刻的力不做功。

把整条路径上这些小功加起来，就得到

\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r

若第 $i$ 小段的带方向位移是 $\Delta\mathbf r_i$ ，并在这段取样本点 $P_i^*$ ，更完整的求和图像是

\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r =\lim_{\max\lVert\Delta\mathbf r_i\rVert\to0} \sum_i\mathbf F(P_i^*)\cdot\Delta\mathbf r_i

这里不能把 $\Delta\mathbf r_i$ 换成它的长度，因为向量线积分正是靠这个位移向量保存方向。

向量场中曲线 C 上三处力向量 F 与切向位移 d r 的点积贡献示意

向量场有大小也有方向，但做功只拿它在路径切向方向上的分量来累计。

从单位切向量看到做功公式

若 $\mathbf T$ 是沿路径方向的单位切向量，那么力在切向上的标量分量是 $\mathbf F\cdot\mathbf T$ 。一小段功可写成

(\mathbf F\cdot\mathbf T)\,ds

由于

\mathbf T=\frac{\mathbf r'(t)}{\lVert\mathbf r'(t)\rVert}

而

ds=\lVert\mathbf r'(t)\rVert\,dt

两式相乘时，速率一除一乘，正好抵消：

(\mathbf F\cdot\mathbf T)\,ds =\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt

所以计算向量线积分时，最直接的公式是

\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt

这也解释了为什么换一种速度走同一条路，做功不会改变。走得快时 $\mathbf r'(t)$ 变大，但完成路径所需的参数区间相应缩短；最终累加的仍是同一串带方向的小位移。

$P\,dx+Q\,dy+R\,dz$ 是同一个积分

因为

d\mathbf r=\langle dx,dy,dz\rangle

所以

\mathbf F\cdot d\mathbf r=P\,dx+Q\,dy+R\,dz

于是向量线积分也常写成

\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz

参数化后， $dx=x'(t)dt$ 、 $dy=y'(t)dt$ 、，因此

\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\int_a^b\bigl(Px'(t)+Qy'(t)+Rz'(t)\bigr)\,dt

这里的 $P,Q,R$ 都要先在曲线 $\mathbf r(t)$ 上取值。看到 $dx,dy,dz$ 不必另学一套方法，它只是把点积分量展开了。

例题：旋转场沿上半圆做功

设平面向量场

\mathbf F(x,y)=\langle-y,x\rangle

曲线 $C$ 是单位上半圆，从 $(1,0)$ 走到 $(-1,0)$ ：

\mathbf r(t)=\langle\cos t,\sin t\rangle,\qquad 0\le t\le\pi

求力场沿 $C$ 做的功。

先把向量场限制到曲线上：

\mathbf F(\mathbf r(t))=\langle-\sin t,\cos t\rangle

反向为什么一定变号

沿同一条曲线反向走， $ds$ 不变，但每一小段位移 $d\mathbf r$ 都反向。因此

\int_{-C}\mathbf F\cdot d\mathbf r =-\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r

上面的半圆若从 $(-1,0)$ 走回 $(1,0)$ ，功就从 $\pi$ 变成 $-\pi$ 。

左右对比图：标量线积分中 ds 不带方向，反向后结果不变；向量线积分中 d r 带方向，反向后功积分变号。

$ds$ 是非负长度， $d\mathbf r$ 是带方向的位移。看到积分微元时，先把这一点认清。

向量线积分不能写成 $\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\lVert\mathbf r'(t)\rVert\,dt$ 。向量不能直接乘速率得到功，而且这样会丢掉路径方向。正确的被积函数是点积。

两类线积分放在一起比较

它们最像的地方，是都把曲线参数化后化成一元积分；它们最不同的地方，是每一小段究竟拿什么来计量。

问题	标量线积分	向量线积分
记号	$\int_C f\,ds$	$\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$
每小段贡献	标量值乘弧长

有一个辨认方法很可靠：如果题目说的是“每单位长度有多少”，通常要乘 $ds$ ；如果题目说的是“一个向量场沿移动方向贡献多少”，通常要与 $d\mathbf r$ 做点积。

路径通常会影响向量线积分

一元积分从 $a$ 到 $b$ 没有第二条数轴可选，线积分却必须面对“同端点、不同路”的问题。一般向量场中，向量线积分不只看起点和终点。

同一向量场中，从同起点 A 到同终点 B 的直线路径和弯曲路径，表示沿不同路径累加可能不同。

不同路径会经过不同位置，也会以不同切向方向穿过场箭头，两方面都可能改变点积的累计。

设

\mathbf F(x,y)=\langle y,0\rangle

从 $A=(0,0)$ 走到 $B=(1,1)$ 。

若走直线

\mathbf r_1(t)=\langle t,t\rangle,\qquad 0\le t\le1

则

\mathbf F(\mathbf r_1(t))=\langle t,0\rangle,\qquad \mathbf r_1'(t)=\langle1,1\rangle

所以

\int_{C_1}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_0^1 t\,dt=\frac12

若走折线 $C_2$ ，先从 $(0,0)$ 水平到 $(1,0)$ ，再竖直到 $(1,1)$ ，情况就不同了。第一段上，所以场为零；第二段上竖直，而场始终水平，点积也为零。因此

\int_{C_2}\mathbf F\cdot d\mathbf r=0

起点终点相同，结果一个是 $\frac12$ ，一个是 $0$ 。路径中间怎样走，确实进入了答案。

“通常依赖路径”不是没有例外。有些向量场存在一个势函数，沿任意路径做功都只由端点决定。下一章会研究这种保守场，并把线积分重新接回微积分基本定理。

分段光滑路径：有拐角就分段算

真实路径经常不是一条公式从头管到尾。它可能先走直线，再接圆弧；也可能沿矩形边界走一圈。拐角处没有唯一切线，但只要整条路能拆成有限段光滑曲线，线积分就可以逐段定义和计算。

若

C=C_1+C_2+\cdots+C_n

那么标量线积分满足

\int_C f\,ds =\sum_{k=1}^n\int_{C_k}f\,ds

向量线积分也满足

\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r =\sum_{k=1}^n\int_{C_k}\mathbf F\cdot d\mathbf r

分段光滑路径由直线段 C1 和圆弧段 C2 连接 P、Q、R，并标示逐段累加。

每一段都要有自己的参数区间，并且前一段的终点应接到后一段的起点。

例题：沿折线路径做功

设

\mathbf F(x,y)=\langle y,x\rangle

路径先从 $(0,0)$ 到 $(1,0)$ ，再到 $(1,2)$ 。求 $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ 。

第一段参数化为

\mathbf r_1(t)=\langle t,0\rangle,\qquad0\le t\le1

分段题最常见的问题不是积分算错，而是某一段方向写反。每写完一个参数化，都把区间两端代回去检查起点和终点，可以省掉很多返工。

一套可以反复使用的计算流程

面对线积分，不必一上来就展开公式。先辨认类型，再按固定顺序把几何信息翻译成参数。

标量线积分的流程

写出 $\mathbf r(t)$ 和参数区间，并代入区间两端检查路径是否正确。标量线积分不怕方向反过来，但必须保证曲线本身和走过次数正确。

求 $\mathbf r'(t)$ 与，得到。

向量线积分的流程

写出带正确方向的 $\mathbf r(t)$ 和参数区间。向量线积分对方向敏感，这一步要先检查端点。

求 $\mathbf r'(t)$ 。这里需要的是完整向量，不要急着只求它的长度。

若路径分段，就对每一段重复这一流程，最后相加。

常见误区

把 $dt$ 当成弧长

$dt$ 只表示参数增加了多少。除非已经使用单位速率参数化，否则它不等于曲线上的长度。标量线积分必须带上 $\lVert\mathbf r'(t)\rVert$ 。

只替换微元，不替换函数

把 $ds$ 换成 $\lVert\mathbf r'(t)\rVert\,dt$ 之后，还要把函数里的 $x,y,z$ 全部换成参数表达式。最后的被积函数应该只含 $t$ 。

在向量线积分里使用速率

$\lVert\mathbf r'(t)\rVert$ 会抹掉方向。做功需要的是 $\mathbf r'(t)$ 本身，并且要与场向量做点积。

看到同端点就默认答案相同

一般向量场的做功依赖路径。同端点只能保证起止位置相同，不能保证沿途的场值和切向方向相同。

把“反向不变”和“换路径不变”混在一起

标量线积分沿同一条曲线反向后不变，但换成另一条更长或经过不同函数值的曲线，结果仍可能改变。向量线积分反向则一定变号。

分段路径只算一段

折线和拼接曲线的总积分是各段积分之和。拐点本身不造成额外项，但拐点两侧的两段都要计算。

用位置向量代替切向位移

$\mathbf F\cdot\mathbf r$ 比较的是场向量与“从原点指向当前位置”的向量；做功需要的是 $\mathbf F\cdot d\mathbf r$ ，比较场向量与“下一小步往哪里走”的向量。这两件事通常没有关系。

练习

练习 1

计算 $\int_C x\,ds$ ，其中 $C$ 是从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ 的直线段。

练习 2

若把练习 1 的直线段反向，从 $(1,2)$ 走到 $(0,0)$ ，积分值是否改变？若沿这条线段往返各走一次，积分又是多少？

练习 3

设 $\mathbf F(x,y)=\langle x,y\rangle$ ， $C$ 是单位上半圆，从 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$ 。计算。

练习 4

计算

\int_C(x+y)\,dx+x\,dy

其中

\mathbf r(t)=\langle t,t^2\rangle,\qquad0\le t\le1

练习 5

设 $\mathbf F(x,y)=\langle y,0\rangle$ 。从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ ，比较两条路径： $C_1$ 是直线，是先竖直到，再水平到。

练习 6

设

\mathbf F(x,y,z)=\langle z,x,y\rangle

曲线为

\mathbf r(t)=\langle t,t^2,1-t\rangle,\qquad0\le t\le1

计算 $\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ 。

练习 7

同一条抛物线段从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 有两种参数化：

\mathbf r_1(t)=\langle t,t^2\rangle,\qquad0\le t\le1

\mathbf r_2(u)=\langle u^2,u^4\rangle,\qquad0\le u\le1

解释为什么用它们计算 $\int_C 1\,ds$ 会得到相同结果，不必真的求出这个积分。

练习 8

一条单位圆周分成上半圆 $C_1$ 和下半圆 $C_2$ ，两段都按逆时针方向连接成闭合路径。对

\mathbf F(x,y)=\langle-y,x\rangle

已知上半圆的向量线积分为 $\pi$ 。求整圆上的积分。

从线积分走向保守场

到这里，两类线积分的分工已经清楚了：

\int_C f\,ds =\int_a^b f(\mathbf r(t))\lVert\mathbf r'(t)\rVert\,dt

按弧长累加标量；而

\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt

沿带方向的位移累加向量场做功。

两者都不依赖你给同一条路径选了多快的参数，但它们对几何路径的反应不同。标量线积分换一条更长或经过不同函数值的路，通常会变；向量线积分除了受路径位置影响，还受沿途方向影响。

下一章要抓住一个很特别的例外：有些向量场虽然分布在整个平面或空间里，沿路径做功却只看起点和终点。到那时，曲线中间怎样弯都可以被忽略，线积分会变成一个势函数的端点差。这正是保守场与微积分基本定理重新相遇的地方。

t

t

∥

r^{'}

(

t

)

∥

d

t

\lVert\mathbf r'(t)\rVert\,dt

dz=z'(t)dt

y = 0

y=0

t

)

∥

=

∥

⟨

1

,

2

⟩

∥

=

\sqrt{5}

\lVert\mathbf r'(t)\rVert=\lVert\langle1,2\rangle\rVert=\sqrt5

\frac{\sqrt{5}}{2}

=

\sqrt{5}

2\cdot\frac{\sqrt5}{2}=\sqrt5