线积分：沿路径累加标量和向量

给出。随着 $t$ 增加，点 $\mathbf r(t)$ 沿曲线运动。这个写法不只是画图工具，它告诉我们三件事：曲线上的点在哪里，运动方向是什么，每一小段弧长和参数变化 $dt$ 怎样对应。

如果 $\mathbf r'(t)$ 连续且不为零，曲线在这一段上是光滑的。实际题目里常见的折线路径、直线加圆弧、矩形边界等不一定处处光滑，但只要能拆成有限段光滑曲线，就叫分段光滑路径。线积分会逐段计算再相加。

标量线积分可以看成沿曲线立起一张薄幕，薄幕的“宽”来自弧长小段，薄幕的“高”来自标量函数值。

标量线积分

标量线积分处理的是一个标量函数沿曲线的累加。若 $f(x,y,z)$ 表示空间中每一点的线密度、温度权重或某种每单位长度的强度，那么 $\int_C f\,ds$ 就是在曲线 $C$ 上把这些量按弧长累加。

把曲线切成很多小段，在第 $i$ 段上取一点 $P_i^*$。这一小段的贡献近似为

把所有小段相加，并让小段长度趋近于 $0$，就得到标量线积分：

若 $C$ 用 $\mathbf r(t)$ 参数化，则计算公式是

这里的 $\|\mathbf r'(t)\|dt$ 就是弧长微元 $ds$。在平面中，它写成

在空间中，多一个 $z'(t)$ 项：

例题：半圆形细线的质量

一根细线沿半径为 $2$ 的上半圆放置，曲线为

线密度为 $\rho(x,y)=1+y$。求细线总质量。

这个例题里，半圆的每一小段长度都要参与计算。曲线越长、某段密度越大，它对总质量的贡献就越大。

参数化与计算套路

线积分的计算通常不难在积分本身，而难在把路径准确地写成参数形式。常用的参数化包括直线段、圆弧、图像曲线和已经给出的向量值函数。

每次计算都要先问：曲线怎么走？速度是多少？场或密度在曲线上变成什么？

对从点 $A$ 到点 $B$ 的直线段，最稳的参数化是

它的优点是起点、终点和方向都一眼可见。若反过来从 $B$ 到 $A$，只要交换 $A$ 与 $B$ 的位置即可。

例题：沿直线段累加标量函数

计算

其中 $C$ 是从 $(0,0)$ 到 $(2,1)$ 的直线段。

向量线积分

向量线积分处理的是向量场沿路径方向的贡献。若 $\mathbf F$ 是力场，一个物体沿曲线 $C$ 运动，那么 $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$ 表示力场对物体做的功。

设

曲线仍由 $\mathbf r(t)$ 给出。向量线积分的计算公式是

这里 $d\mathbf r=\mathbf r'(t)\,dt$ 是带方向的位移微元。点积决定了贡献的正负：力和运动方向大致同向时贡献为正，大致反向时贡献为负，接近垂直时贡献接近零。

向量线积分只累加力场在行走方向上的分量。

另一种常见写法是

它与 $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$ 是同一件事，因为

沿参数 $t$ 展开后，

例题：旋转场沿半圆做功

设平面向量场

曲线 $C$ 是单位上半圆，从 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$：

计算 $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$。

如果沿同一半圆反向，从 $(-1,0)$ 走到 $(1,0)$，积分值会变成 $-\pi$。这不是重新计算出的偶然现象，而是向量线积分的方向性：

不要把 $ds$ 和 $d\mathbf r$ 当成同一种微元。一个只表示长度，一个表示带方向的位移。

路径为什么重要

一元积分的积分区间写清楚后，路径没有选择余地；从 $a$ 到 $b$ 就是在数轴上走那一段。线积分不同，同样的起点和终点之间可以有无数条路径。一般情况下，线积分会随路径改变。

本章先观察“路径会影响结果”这个现象；什么时候路径不影响结果，是下一章保守场的主题。

来看一个很短的比较。设

从 $A=(0,0)$ 到 $B=(1,1)$。

若走直线 $C_1:\mathbf r(t)=\langle t,t\rangle$，$0\le t\le 1$，则

所以

若走折线路径 $C_2$：先从 $(0,0)$ 到 $(1,0)$，再从 $(1,0)$ 到 $(1,1)$。第一段上 $y=0$，力场为 $\langle 0,0\rangle$；第二段上 $x$ 不变，$d\mathbf r$ 竖直，而力场水平。两段点积都为 $0$，因此

同样的起点和终点，结果分别是 $\frac12$ 和 $0$。这说明“端点相同”本身不足以决定向量线积分。

分段光滑路径

很多路径不是一条公式从头写到尾，而是由几段拼起来。例如先沿直线走，再沿圆弧走；或者沿矩形边界逆时针走一圈。线积分对这种路径的处理方式很直接：每段单独算，再相加。

若

则标量线积分满足

向量线积分也满足

分段路径的方向要逐段检查，尤其是闭合边界和折线路径。

例题：沿折线路径做功

设

路径 $C$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,0)$，再到 $(1,2)$。求 $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$。

常见误区

把曲线当区域

线积分沿曲线累加，不沿曲线围成的面积累加。若题目说 $C$ 是圆周，就只在圆周上积分，不在圆盘内部积分。

忘记代入曲线

计算时必须把 $x,y,z$ 全部换成 $x(t),y(t),z(t)$。例如 $f(x,y)=x+y$ 沿 $\mathbf r(t)=\langle 2t,t^2\rangle$ 时，应变成 $2t+t^2$，不能只处理 $ds$。

混淆 $ds$、$dx$、$dy$ 与 $d\mathbf r$

$ds$ 是非负长度；$dx=x'(t)dt$、$dy=y'(t)dt$ 可以带符号；$d\mathbf r=\mathbf r'(t)dt$ 是向量微元。看到积分符号后面的微元，先判断是哪一类线积分。

忽略路径方向

标量线积分 $\int_C f\,ds$ 反向后不变。向量线积分 $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$ 反向后变号。这个差别来自 $ds$ 与 $d\mathbf r$ 的方向性。

假设端点决定一切

同一组起点和终点之间，路径不同，线积分通常不同。只有在特殊条件下才会路径无关；那不是本章默认规则。

练习

练习 1

计算 $\int_C x\,ds$，其中 $C$ 是从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ 的直线段。

练习 2

若把练习 1 的直线段反向，从 $(1,2)$ 走到 $(0,0)$，$\int_C x\,ds$ 的值是否改变？

练习 3

设 $\mathbf F(x,y)=\langle x,y\rangle$，$C$ 是单位上半圆，从 $(1,0)$ 到 $(-1,0)$。计算 $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$。

练习 4

计算

其中 $C$ 由 $\mathbf r(t)=\langle t,t^2\rangle$，$0\le t\le 1$ 给出。

练习 5

设 $\mathbf F(x,y)=\langle y,0\rangle$。从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$，比较两条路径：$C_1$ 是直线 $y=x$，$C_2$ 是先水平到 $(1,0)$ 再竖直到 $(1,1)$。计算两条路径上的 $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$。

练习 6

设 $\mathbf F(x,y,z)=\langle z,x,y\rangle$，曲线 $\mathbf r(t)=\langle t,t^2,1-t\rangle$，$0\le t\le 1$。计算 $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$。

小结

本章的两类线积分可以用一句话区分：标量线积分沿路径累加“标量 × 长度”，向量线积分沿路径累加“向量场在位移方向上的分量”。

看到 $\int_C f\,ds$，先参数化曲线，再乘 $\|\mathbf r'(t)\|$。看到 $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$ 或 $\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz$，先参数化曲线，再做点积 $\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)$。路径、方向、分段结构都不是附加信息，它们就是线积分的一部分。

因此细线总质量为 $2\pi+8$。

这个正值说明路径方向与旋转场方向一致。

此时 $\mathbf F(\mathbf r_2(u))=\langle u,1\rangle$，$\mathbf r_2'(u)=\langle 0,1\rangle$。

总功为