分类课程工作台文章订阅

分类课程工作台文章价格

Green 定理：平面区域的边界与内部 | 多变量微积分 I | 自在学

Green 定理：边界为什么能替内部记账

上一章里，我们把保守场的几个特征连在了一起：有势函数、线积分与路径无关、沿闭合曲线的积分为零。那里还留下了一个条件没有真正说透：为什么 $Q_x-P_y=0$ 有时足以说明向量场保守，有时却不够？一个小小的洞，为什么能让结论失效？

Green 定理正好补上这块拼图。它先不急着判断向量场是否保守，而是回答一个更基础的问题：沿一条闭合边界累积出来的环流，究竟在记录区域内部的什么？

答案是，边界上的总环流等于内部无数个微小环流的总和；边界上的总流出量等于内部无数个微小源汇的总和。公式看起来是在把线积分换成二重积分，真正的思想却是一次“对账”：内部共享的贡献互相抵消，最后只剩外面的边界。

正向边界沿区域逆时针绕行，边界总环流等于区域内部局部旋度的面积累积。

先看一个小矩形：旋转是怎样从四条边冒出来的

设平面向量场为

\mathbf F(x,y)=\langle P(x,y),Q(x,y)\rangle

先在点 $(x,y)$ 附近画一个宽为 $\Delta x$ 、高为 $\Delta y$ 的小矩形，并按逆时针方向沿它走一圈。沿水平边移动时，只有 $P$ 参与切向积分；沿竖直边移动时，只有 $Q$ 参与。

底边从左向右，大约贡献

P(x,y)\Delta x

顶边从右向左，大约贡献

-P(x,y+\Delta y)\Delta x

把上下两边相加，得到

\bigl[P(x,y)-P(x,y+\Delta y)\bigr]\Delta x \approx -P_y(x,y)\Delta x\Delta y

同样地，右边向上、左边向下，左右两边合起来大约贡献

\bigl[Q(x+\Delta x,y)-Q(x,y)\bigr]\Delta y \approx Q_x(x,y)\Delta x\Delta y

所以小矩形一圈的总环流近似为

\oint_{\partial R}\mathbf F\cdot d\mathbf r \approx (Q_x-P_y)\Delta x\Delta y

两边再除以小矩形面积，就得到一个很有用的极限解释：

Q_x-P_y = \lim_{\Delta A\to 0} \frac{\text{小矩形边界上的逆时针环流}}{\Delta A}

这就是二维旋度。它不是“箭头看起来弯不弯”的模糊印象，而是单位面积能产生多少逆时针环流。它为正，局部更偏向逆时针；它为负，局部更偏向顺时针；它为零，只说明这个位置没有一阶的净旋转，不等于向量场为零。

逆时针局部环流使小桨轮逆时针转动，此时 Q 对 x 的偏导减去 P 对 y 的偏导为正。

这里出现 $Q_x-P_y$ 不是需要死记的巧合。 $Q_x$ 比较左右两侧的竖直流动，比较上下两侧的水平流动；它们正好是小矩形四条边按逆时针走时留下来的两笔差额。

从一个小矩形铺满整个区域

现在把区域 $D$ 切成很多小矩形，并把每一个小矩形都按正向绕一圈。相邻两个小矩形共用一条边：左边那块沿共享边向上走，右边那块沿同一条边向下走。向量场相同，路径相反，两次线积分恰好互为相反数。

于是，区域内部的共享边全部成对抵消。只有最外层那些只出现一次的边没有搭档，它们拼起来正好是整个区域的边界 $C$ 。

把区域切成小矩形后，内部共享边方向相反并相互抵消。

下面的交互允许你改变网格密度。细分越密，小矩形越多，内部共享边也越多；但无论怎样细分，内部边总是成对出现，外边界总是只出现一次。

把每个小矩形的近似式相加，再让网格越来越细，左边留下整个边界上的线积分，右边变成 $Q_x-P_y$ 的二重积分。这就是 Green 定理的切向形式。

\boxed{ \oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D\left(Q_x-P_y\right)\,dA }

左边也可以写成

\oint_C\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds

因为 $\mathbf T$ 是单位切向量， $\mathbf T\,ds=d\mathbf r=\langle dx,dy\rangle$ 。因此这个版本又叫切向形式、环流形式或功形式。

Green 定理没有说“边界知道内部的一切”。边界只能读出指定局部量的总和：切向积分读出旋度总量，法向积分读出散度总量。仅凭一个总数，通常无法还原内部每一点的向量场。

一条可以逐步检查的证明

“内部边抵消”给出了全局图景。若想看清公式里的偏导数怎样严格落到边界上，可以先处理一个对竖直线很友好的区域：

D=\{(x,y):a\le x\le b,\ g(x)\le y\le f(x)\}

它的上边界是 $y=f(x)$ ，下边界是 $y=g(x)$ 。正向绕行时，下边界从左向右，上边界从右向左。竖直边上 $dx=0$ ，所以

\oint_C P\,dx = \int_a^b P(x,g(x))\,dx + \int_b^a P(x,f(x))\,dx

整理方向后，

\oint_C P\,dx = -\int_a^b\bigl[P(x,f(x))-P(x,g(x))\bigr],dx

对括号里的差使用一元微积分基本定理：

P(x,f(x))-P(x,g(x)) = \int_{g(x)}^{f(x)}P_y(x,y)\,dy

于是

\oint_C P\,dx = -\iint_D P_y\,dA

换一个方向切片。若区域也能写成

D=\{(x,y):c\le y\le d,\ G(y)\le x\le H(y)\}

同样的基本定理给出

\oint_C Q\,dy = \iint_D Q_x\,dA

两式相加就是

\oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D(Q_x-P_y)\,dA

如果区域不能一次写成这种简单形式，就把它切成有限个能处理的小块。每块先用上面的证明，再把结果相加；切口被相反方向走两次，仍会抵消。严格计算和网格直觉在这里说的是同一件事。

使用前先检查方向与条件

Green 定理好用，但不能只看见闭合积分符号就套公式。常用版本需要下面这些条件。

$C$ 是闭合、分段光滑的边界。允许有限个尖角，例如矩形和多边形的顶点。
没有自交时， $C$ 是简单闭曲线；有多个边界分量时，要把完整边界全部算进去。
$C$ 采用正向。最稳的判断不是背“逆时针”，而是沿边界前进时，区域始终在左侧。
$P,Q$ 及其所需的一阶偏导数在包含 $D$ 和边界的一个开区域上连续。区域内部若藏着未定义点，不能假装它不存在。

对一个没有洞的普通区域，“区域在左侧”意味着外边界逆时针。反向走同一条曲线时，线积分会变号，所以若题目给的是顺时针方向，要在 Green 定理的结果前补一个负号。

“分段光滑”允许角点，不允许随意忽略断裂、无限振荡或未定义点。实际题目里最常见的失败原因不是曲线有角，而是向量场在区域内部有奇点。

例题：先判断能不能用，再计算

设 $C$ 是圆 $x^2+y^2=4$ 的逆时针边界，计算

\oint_C (x^3-y^3)\,dx+(x^3+3xy^2)\,dy

先检查条件。圆是闭合光滑曲线，方向为逆时针；两个分量都是多项式，在圆盘及其附近都有连续偏导数，所以可以使用 Green 定理。

识别 $P=x^3-y^3$ 、，计算平面旋度：

这道题若直接参数化圆也能做，但会出现高次三角函数。Green 定理先做偏导，反而把边界上的复杂表达式变成圆盘里的对称积分。

Green 定理怎样补完保守场的判断

上一章里，若 $\mathbf F=\nabla f$ ，那么混合偏导相等：

P_y=f_{xy}=f_{yx}=Q_x

所以保守场一定满足

Q_x-P_y=0

Green 定理解释了反方向为什么需要区域条件。若 $D$ 是单连通区域，也就是区域连成一片且没有洞，那么任何完全落在 $D$ 内的简单闭曲线 $C$ ，它围住的内部也仍在 $D$ 内。此时若 $Q_x-P_y=0$ ，就能对每条这样的闭曲线使用 Green 定理：

\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_{\operatorname{int}(C)}0\,dA =0

所有闭合线积分都为零，于是线积分路径无关，向量场有势函数。

因此，在 $P,Q$ 具有连续一阶偏导的单连通区域上，下面四件事彼此等价：

$\mathbf F$ 有势函数。
线积分只由端点决定。
每条闭合曲线上的线积分都为零。
$Q_x-P_y=0$ 。

前三件事本来就是同一个全局性质的不同说法。第四件事是局部偏导检验；“单连通”正是把局部无旋转升级成全局路径无关所需要的桥梁。

一个洞为什么能破坏结论

考虑

\mathbf F(x,y) = \left\langle \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2} \right\rangle

它在原点之外满足

Q_x-P_y=0

但它在原点没有定义。沿单位圆逆时针参数化

\mathbf r(t)=\langle\cos t,\sin t\rangle,qquad 0\le t\le2\pi

有

\mathbf F(\mathbf r(t)) = \langle-\sin t,\cos t\rangle = \mathbf r'(t)

所以

\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \int_0^{2\pi}1\,dt = 2\pi

这里没有矛盾。单位圆虽然完全落在向量场的定义域内，它围住的圆盘却包含原点，不能在整个圆盘上使用 Green 定理。去掉原点后的平面有一个洞，不是单连通区域。

“旋度为零，所以闭合积分为零”少了两个关键检查：向量场是否在整块内部区域上光滑，以及这个区域是否允许闭曲线把洞围住。只检查路径本身上的公式远远不够。

有洞区域：完整边界不只外面一圈

Green 定理并不排斥有洞区域。变化的是“边界”两个字：区域 $D$ 的完整边界既包括外边界，也包括每一个洞的内边界。

正向仍然只有一个判断标准：沿边界前进时，区域在左侧。因此外边界要逆时针，内边界要顺时针。

有洞区域的外边界逆时针、内边界顺时针，使区域始终位于行进方向左侧。

若圆环区域的外边界为 $C_{\mathrm{out}}$ ，内边界为 $C_{\mathrm{in}}$ ，并且两者都已经按区域的正向定向，那么

\oint_{C_{\mathrm{out}}}P\,dx+Q\,dy + \oint_{C_{\mathrm{in}}}P\,dx+Q\,dy = \iint_D(Q_x-P_y)\,dA

注意， $C_{\mathrm{in}}$ 在这条公式里是顺时针。若你更想把内圆也按逆时针记作 $\widetilde C_{\mathrm{in}}$ ，就要写成

\oint_{C_{\mathrm{out}}}P\,dx+Q\,dy - \oint_{\widetilde C_{\mathrm{in}}}P\,dx+Q\,dy = \iint_D(Q_x-P_y)\,dA

再看刚才那个绕原点旋转的场。取两个同心圆之间的圆环，向量场在整个圆环及其附近都光滑，而且圆环上的旋度为零。因此

\oint_{C_{\mathrm{out}}}\mathbf F\cdot d\mathbf r - \oint_{\widetilde C_{\mathrm{in}}}\mathbf F\cdot d\mathbf r =0

也就是说，只要两条圆都绕住同一个洞，它们的逆时针环流相等。Green 定理没有把那笔 $2\pi$ 消掉，而是告诉我们：这笔环流被洞保存了下来。

例题：把奇点挖掉再用 Green 定理

设 $C$ 是任意一条逆时针简单闭曲线，它绕原点一圈，且不经过原点。对上面的向量场，求 $\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ 。

不能直接对 $C$ 围成的整个区域使用 Green 定理，因为原点是奇点。以原点为圆心挖掉一个足够小的圆盘，使小圆完全位于 $C$ 内部；把这条小圆的逆时针方向记作 $\widetilde C_\varepsilon$ 。

法向形式：从沿边界走改成穿过边界

切向形式问的是：向量场有多少分量顺着边界走？如果把向量场理解成二维流速，另一个更自然的问题是：有多少流体穿过边界向外流？

设正向参数曲线为

\mathbf r(t)=\langle x(t),y(t)\rangle

它的单位切向量是

\mathbf T = \frac{\langle x'(t),y'(t)\rangle}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}

对正向边界，把切向量顺时针转 $90^\circ$ ，得到外单位法向量：

\mathbf n = \frac{\langle y'(t),-x'(t)\rangle}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}

因为

ds=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt

所以

\mathbf n\,ds = \langle y'(t),-x'(t)\rangle\,dt = \langle dy,-dx\rangle

边界的向外通量便是

\oint_C\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \oint_C P\,dy-Q\,dx

$\mathbf n\,ds=\langle dy,-dx\rangle$ 依赖正向边界。它表示把前进方向向右转得到的法向；只有当区域在左侧时，这个右法向才是外法向。若曲线改成顺时针，右法向会指向区域内部。

把 $P\,dy-Q\,dx$ 改写成标准次序

-Q\,dx+P\,dy

再对向量场 $\langle -Q,P\rangle$ 使用切向形式，就得到 Green 定理的法向形式：

\boxed{ \oint_C\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds = \oint_C(P\,dy-Q\,dx) = \iint_D(P_x+Q_y)\,dA }

右边的

\operatorname{div}\mathbf F=P_x+Q_y

叫二维散度。它度量的是单位面积的净流出率：正值表示局部像源，负值表示局部像汇，零表示流入与流出在一阶近似下平衡。

Green 定理的通量形式把边界向外通量与内部散度的累积联系起来。

为什么散度是 $P_x+Q_y$

仍然看一个小矩形。右边流出的水平分量与左边流入的水平分量之差约为

P_x\Delta x\Delta y

上边流出的竖直分量与下边流入的竖直分量之差约为

Q_y\Delta x\Delta y

相加以后，净流出量约为

(P_x+Q_y)\Delta A

所以，Green 定理的两个版本其实共用同一套抵消机制：小块之间的流量在共享边上方向相反，内部通量抵消，只留下整个区域的外边界通量。

边界上累加什么	微分形式	内部密度	Green 定理
切向分量，也就是环流	$P\,dx+Q\,dy$	$Q_x-P_y$

例题：总流出量不必分四条边算

设

\mathbf F(x,y)=\langle x^2-y,3y+x\rangle

令 $C$ 为矩形 $0\le x\le2$ 、 $0\le y\le1$ 的正向边界。求向外通量。

这是法向通量，不是沿边界做功，所以应计算散度：

P_x+Q_y=2x+3

用 Green 定理选择更省事的一边

Green 定理是一条等式，不是一条“必须从左算到右”的命令。做题前先比较两边：

边界由很多段组成，而 $Q_x-P_y$ 或 $P_x+Q_y$ 很简单时，把线积分改成二重积分。

下面的交互把常旋度场

\mathbf F=\langle-ay,bx\rangle

放在矩形上。你可以改变 $a,b$ 和矩形尺寸，对照四条边的环流与内部的旋度乘面积。

例题：补线处理开曲线

设 $C_1$ 是抛物线 $y=x^2$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的弧段，求

\int_{C_1}-y\,dx+x\,dy

Green 定理不能直接用于开曲线。补上线段 $C_2$ ：从 $(1,1)$ 沿直线 $y=x$ 回到。这样围成抛物线与直线之间的区域，并按逆时针方向绕行。

面积也能沿边界读出来

面积本来是

A(D)=\iint_D1\,dA

若能选择 $P,Q$ 使

Q_x-P_y=1

Green 定理就会把面积改写成边界积分。最常用的三组选择是

P=0,\qquad Q=x

P=-y,\qquad Q=0

以及更对称的

P=-\frac y2,qquad Q=\frac x2

它们分别给出

\boxed{ A(D) = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\,dx = \frac12\oint_C(x\,dy-y\,dx) }

简单闭曲线 C 按逆时针正向绕行，三种边界线积分公式都给出内部区域的面积 A。

这些公式都假设 $C$ 是正向边界。若反向绕行，右边会得到负的有向面积。若区域有洞，则要把外边界逆时针、内边界顺时针全部计入，公式会自动用“外部面积减去洞的面积”。

例题：从参数边界求椭圆面积

设椭圆边界按正向参数化为

x=a\cos t,qquad y=b\sin t,qquad 0\le t\le2\pi

使用对称的面积公式：

A = \frac12\int_0^{2\pi} \bigl(x(t)y'(t)-y(t)x'(t)\bigr)\,dt

下面的交互把参数多边形的边界面积公式写成离散的鞋带和式。先试着反转方向，再拖动一个顶点，观察有向面积为什么变号而绝对面积不变。

拖动顶点时请让多边形边界保持简单闭合，不要让两条不相邻的边交叉。若边界发生自交，交互给出的鞋带和仍是有向代数面积，但它不再等于一个普通内部区域的几何面积；这时也不能直接套用本章最基本的简单闭曲线版本。

常见误区：错的通常不是积分，而是对象

把“逆时针”背成唯一方向规则

没有洞时，正向的确通常是逆时针。有洞时，内边界却必须顺时针。统一规则只有一句：区域始终在左侧。

把环流与通量混在一起

$P\,dx+Q\,dy$ 沿切向累加，对应 $Q_x-P_y$ 。 $P$ 沿外法向累加，对应。看到的排列后，先说清它在算“沿着走”还是“穿过去”，再选公式。

只检查边界，不检查内部

向量场在曲线上有定义还不够。基本版本要求它在整块区域及附近都足够光滑。闭曲线内部的一个奇点，就可能保存非零环流或非零通量。

旋度为零就立刻宣布保守

旋度为零是局部条件。在单连通区域上，它能借助 Green 定理推出保守；在有洞区域上，仍需检查绕洞的闭合积分。

开曲线直接套闭合定理

Green 定理的左边是完整边界。开曲线可以补线，但补上的那一段必须单独算清楚，不能补完就忘。

有洞时只算外边界

区域的边界包括每一个内洞。漏掉内边界，就等于偷偷把洞填了回去；右边积分的区域和左边积分的边界不再对应。

把零总量理解成处处为零

二重积分为零可能来自正负抵消。总环流为零不代表每一点旋度都为零，总通量为零也不代表每一点散度都为零。

练习

练习 1：方向与环流

设 $C$ 是单位正方形 $0\le x\le1$ 、 $0\le y\le1$ 的顺时针边界。计算

\oint_C-y\,dx+x\,dy

练习 2：利用对称性

设 $C$ 是圆 $x^2+y^2=9$ 的正向边界。计算

\oint_C (x^2-y)\,dx+(x+y^2)\,dy

练习 3：通量形式

设 $\mathbf F=\langle x^2,xy+y\rangle$ ， $C$ 是矩形 $0\le x\le2$ 、的正向边界。求向外通量。

练习 4：环流还是通量

对正向闭合边界 $C$ ，下面两个积分分别对应内部的什么量？

I_1=\oint_C P\,dx+Q\,dy, \qquad I_2=\oint_C P\,dy-Q\,dx

练习 5：有洞区域的方向

区域 $D$ 位于圆 $x^2+y^2=9$ 内、圆 $x^2+y^2=1$ 外。外圆和内圆各应按什么方向走，才组成的正向边界？

练习 6：奇点与单连通

设

\mathbf F(x,y) = \left\langle \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2} \right\rangle

一条逆时针简单闭曲线 $C$ 不经过原点，也没有把原点围在内部。求 $\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r$ 。

练习 7：参数曲线的面积

用边界面积公式求曲线

x=2\cos t,qquad y=5\sin t,qquad 0\le t\le2\pi

围成的面积。

练习 8：从零旋度到保守场还缺什么

有人说：“只要 $Q_x-P_y=0$ ， $\mathbf F=\langle P,Q\rangle$ 就一定有势函数。”这句话缺少哪些条件？

练习 9：补线法

设 $C_1$ 是曲线 $y=x^3$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的弧段。计算

\int_{C_1}-y\,dx+x\,dy

从平面内部走向弯曲曲面

到这里，我们已经见过 Green 定理的两个面孔：

\text{边界环流} = \text{内部旋度的面积累积}

\text{边界向外通量} = \text{内部散度的面积累积}

这两句话都发生在平面里，内部小块还是普通的 $dA$ 。下一章会把这张平面弯进三维空间：区域不再是平的，面积小块会被拉伸，还多出朝向问题。为了在曲面上继续谈“累积”和“穿过”，我们要先学会参数化曲面，并用两条切向量的叉积构造曲面面积与法向量。

Green 定理里“边界与内部”的记账方式不会消失。它会在三维里继续长成更一般的通量定理和旋转定理；下一步要准备的，正是它们所需要的曲面积分语言。

d

y

-

Q

d

x

P\,dy-Q\,dx

=

1

-

(

-

1

)

=

2

Q_x-P_y=1-(-1)=2

d

A

=

0

\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_{\operatorname{int}(C)}0\,dA =0

1

0\le x\le1