二重积分：从小矩形累加到曲面下体积 | 多变量微积分 I | 自在学二重积分：从小矩形累加到曲面下体积
单变量积分把一条线段切成许多小段，再把每一小段上的量相加。二重积分做的是同一件事，只是底座从线段变成了平面区域。
如果区域 R 在 xy 平面上，函数 f(x,y) 给出区域上每一点的高度，那么 ∬Rf 可以表示曲面 下方的体积。这个说法很直观，但它不是二重积分唯一的含义。只要一个量分布在平面区域上，并且每个小块都能贡献“密度乘面积”这样的微小总量，二重积分就可以把它累加起来。
(
x
,
y
)
d
A
本章先只讨论矩形区域。一般区域、积分次序的改变和区域拆分会放到后续章节。
二重积分先把底面区域切成小矩形，再把每个小矩形上的柱体体积相加。
面积上的累加
设 R 是平面上的一个区域，f(x,y) 是定义在 R 上的函数。把 R 切成许多小块，每一小块的面积记作 ΔA。如果在某一小块里选一点 (xi∗,yj∗)，那么这个小块对总量的贡献可以近似看成：
f(xi∗,yj∗)ΔA ∑f(xi∗,yj∗)ΔA 当小块越来越细，这个和式如果趋向同一个极限，这个极限就是二重积分。
这里的 dA 不是一个新的变量。它提醒我们：二重积分是在面积微元上累加。矩形坐标中常写成 dA=dxdy 或 dA=dydx，后面换坐标时它会变成新的面积微元。
直观上，单变量积分中的“高度乘宽度”变成了二重积分中的“高度乘底面积”。小段变成小矩形，小矩形上方的近似图形变成小柱体。
Riemann 和
R=[a,b]×[c,d] 把 [a,b] 等分成 m 份，把 [c,d] 等分成 n 份，则
Δx=mb−a,Δy=nd−c ΔA=ΔxΔy 第 i 列、第 j 行的小矩形记作 Rij。在其中取一点 (xij∗,yij∗)，对应的小柱体体积近似为
f(xij∗,yij∗)ΔxΔy i=1∑mj=1∑nf(xij∗,yij∗)ΔxΔy 
Riemann 和把“每个小块的代表高度”乘以“小块面积”，再对全部小块求和。
如果 f 在 R 上连续，那么当 m,n 同时趋向无穷、网格越来越细时，上面的和式会趋向二重积分：
∬Rf(x,y)dA=m,n→∞limi=1∑mj=1∑nf(xij∗,yij∗)ΔxΔy 采样点可以取左下角、右上角、中点，或者小矩形里的其他点。粗网格下，不同采样点会给出不同近似值；网格足够细时，对于连续函数，这些差异会被压小。
同一分割下，采样点会影响近似；真正的积分来自网格不断变细后的极限。
不要把 Riemann 和理解成“先随便画几个柱体，然后猜一个体积”。柱体近似只是图像语言，真正的定义是一个极限：分割越来越细，所有小块贡献的总和趋向稳定值。
矩形区域上的二重积分
在矩形区域上，二重积分可以通过迭代积分计算。先把一个变量暂时固定，对另一个变量积分；再把得到的结果对剩下的变量积分。
R=[0,2]×[1,3] ∬R(x+2y)dA ∫02∫13(x+2y)dydx 先读清积分次序。最里面的 dy 表示先把 x 当作常数，只沿 y 方向从 1 积到 3。
计算内层积分：
∫13(x+2y)dy=[xy+再对 x 从 0 到 2 积分：
∫因此
∬R(x+2y)dA=20如果 没有单位，这个结果就是纯数；如果 有单位，结果的单位还要乘上面积单位。
这个例子里，内层积分不是一个孤立的代数步骤。它有几何意义：固定一个 x，沿 y 方向扫过一条线段，把曲面下的一片竖直截面面积算出来。外层积分再把这些截面面积沿 x 方向累加。
迭代积分可以理解成：先算每一片截面面积，再把这些面积沿另一个方向相加。
Fubini 定理
对于矩形区域 R=[a,b]×[c,d]，如果 f 在 R 上连续，那么二重积分可以按两种次序计算：
∬Rf(x,y)dA=∫ab∫cdf(x,y)dydx=∫cd∫abf(x,y)dxdy 这就是本章使用的 Fubini 定理形式。它说的是：在合适条件下，同一个二维累加可以先沿 y 方向扫，再沿 x 方向扫；也可以先沿 x 方向扫，再沿 y 方向扫。次序不同，计算路线不同，但总量相同。
Fubini 定理把同一个二重积分转化成两个可能的迭代积分。
在矩形区域上，连续函数的二重积分通常优先用迭代积分计算。先选哪个变量，不是看哪个“更正确”，而是看哪个让内层积分更容易。
例题：两种次序给出同一结果
∫02∫01(1+x+2y)dydx 先按题目给出的次序计算：
∫01(1+x+2y)dy=[y+xy+y2]01=2+x再对 x 积分：
∫02(2+x改成先对 x 积分：
∫01∫最后对 y 积分：
∫01(4+
几何意义和总量意义
当 f(x,y)≥0 时，二重积分可以直接解释为曲面 z=f(x,y) 下方、区域 R 上方的体积：
∬Rf(x,y)dA 如果 f 在一部分区域为负，那么二重积分给的是有符号体积：在 xy 平面上方的部分贡献正值，在下方的部分贡献负值。正负可能抵消。
“二重积分等于体积”这句话需要条件。只有当函数非负并且解释成高度时，它才直接是普通体积。若函数可以为负，积分是有符号累加；若函数表示密度、热量或电荷，它就不再是几何体积。
二重积分更一般的意义是“二维分布量的总量”。例如一块薄板占据区域 R，面密度为 ρ(x,y)，那么薄板质量是
M=∬Rρ(x,y)dA 如果 q(x,y) 表示单位面积上的热量，σ(x,y) 表示单位面积上的电荷密度，那么
Qheat=∬Rq(x,y)dA,Qcharge=∬Rσ(x,y)dA 
只要一个量按面积分布，二重积分就可以把小块贡献累加成总量。
例题：由密度求薄板质量
R=[0,2]×[0,4] ρ(x,y)=1+x+2y 单位是 kg/m2。求薄板质量。
质量等于面密度在区域上的二重积分：
M=∫02∫04(1+x+2y)dydx先对 y 积分，把 x 当作常数：
∫0再对 x 积分：
M=∫02(因为面密度单位是 kg/m2，面积微元单位是 m2，所以结果单位是 kg。薄板质量为 。
常见误区
dA 指明正在对面积微元累加。写迭代积分时，它会具体化为 dydx 或 dxdy。次序写错，内外层变量就会错。
内层积分后没有消掉内层变量
如果先对 y 积分，内层结果就不应该还含有 y。例如
∫cdf(x,y)dy 计算后应只依赖 x。如果结果里还留着 y，通常说明没有真正代入上下限。
忽略单位
若 f 是高度，单位是米，dA 是平方米，那么积分单位是立方米。若 f 是面密度，单位是 kg/m2，积分单位是千克。单位能帮助你判断答案是否像一个体积、质量、热量或电荷。
把矩形区域的方法直接套到一般区域
本章的上下限是常数，因为区域是矩形。遇到三角形、圆盘、抛物线围成的区域时，上下限通常会变成函数，甚至需要拆分区域。这是下一章的重点。
练习
练习一
把矩形 R=[0,1]×[0,2] 分成 m 份和 n 份。写出 Δx、Δy 和一个 Riemann 和形式，用来近似
∬R(x+y2)dA 因为 x 的长度是 1，y 的长度是 2，所以
Δx=m1,Δy=n2若在每个小矩形中取采样点 (xij∗,yij∗)，则一个 Riemann 和可以写为
i=1∑mj=1∑n练习二
∫01∫02(3x+y)dydx 先对 y 积分：
∫02(3x+y)dy=[3xy+2y2]02=6x+2再对 x 积分：
∫01(6x+2)dx=[3x2+练习三
同一矩形区域也可以写成
∫02∫01(3x+y)dxdy先对 x 积分：
∫01(3x+y)dx=[2再对 y 积分：
∫02(23+y)练习四
设 f(x,y)=4−x−y，区域 R=[0,1]×[0,1]。判断 ∬Rf(x,y)dA 能否直接解释为曲面下普通体积，并计算它。
在 R 上，x+y≤2，所以 4−x−y≥2>0。函数非负，因此可以解释为曲面下普通体积。
∫01∫01(4−x−y)dydx=∫练习五
薄片占据 [0,3]×[0,2]，面电荷密度为 σ(x,y)=2+x，单位是 C/m2。求总电荷。
总电荷是
Q=∫03∫02(2+x)dydx先对 y 积分：
∫02(2+x)dy=4+2x再对 x 积分：
∫03(4+2x)dx=[4x+x总电荷为 21 C。
y
2
]
13
=
2x+
8
这个结果只剩下 x，可以看成固定 x 时那一片截面的面积。
0
2
(
2
x
+
8)dx=
[x2+8x]02=
20
x
,
y
)
d
x
=
[2x+2x2]02=
6
0
2
(
1
+
x+
2y)dxdy
∫02(1+x+2y)dx=[x+2x2+2xy]02=4+4y 4
y
)
d
y
=
[4y+2y2]01=
6
4
(1+x+2y)
d
y
=
[y+xy+4y2]04=
8+
4x
8
+
4x)dx=
[8x+2x2]02=
24
24 kg
(xij∗+(yij∗)2)
m1
n2
2
x
]
01
=
5
3x2
+
x
y
]
01
=
23+
y
d
y
=
[23y+2y2]02=
5
0
1
(4−x−21)
d
x
=
∫01(27−x)dx=
3
2
]
03
=
21