向量值函数与空间曲线 | 多变量微积分 I | 自在学

向量值函数：让一个参数带着点在空间里运动

上一章里，我们学会了用方程认出平面、圆柱面、球面和各种二次曲面。不过，一个方程通常只回答“点在哪里”，没有回答“点按什么顺序经过这些位置”。比如 $x^2+y^2=1$ 告诉我们轨迹是单位圆，却没有告诉我们从哪一点出发、顺时针还是逆时针走，也没有告诉我们什么时候走完一圈。

单变量函数 $y=f(x)$ 也有类似的局限。它要求每个 $x$ 只能对应一个 $y$ ，所以连完整的圆都不能直接写成一张函数图像；到了空间里，一个运动点还要同时交代 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 三个坐标，单独写一个 $y=f(x)$ 就更不够用了。

解决办法并不复杂：让一个参数 $t$ 同时控制所有坐标。

\mathbf r(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle

每给定一个 $t$ ，三个分量就共同确定空间中的一个点。随着 $t$ 连续变化，位置向量 $\mathbf r(t)$ 的端点一路移动，留下的轨迹就是一条参数曲线。如果 $t$ 表示时间，这个表示还把“什么时候到哪里”一并保存了下来。

三维坐标系中，位置向量 r(t) 从原点指向螺旋空间曲线上的点 P(t)，并用箭头标出参数 t 增大方向。

公式给出位置，参数的增大方向给出行进顺序。轨迹、方向和快慢是三层不同的信息。

这一章会沿着一条很自然的路线往前走：先把普通一元微积分搬到向量值函数上，再把导数解释成速度和切线，把积分解释成由速度恢复位置，最后用弧长、切向量、法向量和曲率描述曲线究竟怎样弯。章末还会把上一章的极坐标重新拿出来，看看它怎样简化圆周运动、螺旋运动和中心力运动。

一个参数怎样生成一条曲线

向量值函数的输入通常来自某个区间 $I$ ，输出是平面或空间中的向量。二维时写成

\mathbf r(t)=\langle x(t),y(t)\rangle,qquad t\in I

三维时写成

\mathbf r(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle,qquad t\in I

这里的 $t$ 不一定是时间。它也可以是角度、弧长，或者只是给曲线上的点排顺序的编号。只有题目赋予了时间含义，我们才把 $\mathbf r'(t)$ 的单位解释成米每秒之类的物理单位。

先看三个分量各自在做什么

读一条空间曲线时，不要急着在脑中硬画三维图。先把它拆成三个普通函数：

\mathbf r(t)=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j+z(t)\mathbf k

$x(t)$ 、 $y(t)$ 、 $z(t)$ 分别记录点在三个坐标方向上的位置。周期分量常带来转圈或摆动，单调分量常把平面运动向另一个方向拉开。三个分量使用同一个 $t$ ，所以它们不是三段互不相干的运动，而是同一个点的三份同步记录。

三条分量函数 x(t)、y(t)、z(t) 汇入向量值函数 r(t)，并在三维坐标系中确定空间曲线上的点。

例如

\mathbf r(t)=\langle 2\cos t,2\sin t,3t\rangle

前两个分量满足

x^2+y^2=4

所以点始终待在半径为 $2$ 的圆柱面上。第三个分量 $z=3t$ 随 $t$ 增大，点每绕圆柱一圈都会继续上升。于是轨迹是一条圆柱螺旋线，而不是平面圆。

参数区间决定我们实际取哪一段。若 $0\le t\le 2\pi$ ，只走一圈；若 $t$ 可以取所有实数，曲线会向上、向下无限延伸。

投影和消参各自回答什么

把三维曲线投影到坐标平面，等于暂时忽略一个分量。上面这条螺旋线在 $xy$ 平面上的投影是圆，在 $xz$ 平面上的投影是余弦波形，在 $yz$ 平面上的投影是正弦波形。三个“影子”合起来，往往比直接盯着三维图更容易判断轨迹。

消去参数则能找出曲线满足的几何约束。比如 $x=2\cos t$ 、 $y=2\sin t$ 消去 $t$ 后得到 $x^2+y^2=4$ 。但消参也会丢掉时间信息：方程只留下轨迹，不再告诉我们行进方向和快慢。

参数方程同时记录“走哪条路”和“怎样走”。消去参数以后通常只剩“走哪条路”。因此，几何题允许我们换一种更方便的参数化；运动题却不能随意换，因为换参数可能改变速度和加速度。

同一条轨迹可以有不同的走法

考虑

\mathbf r_1(t)=\langle \cos t,\sin t\rangle

和

\mathbf r_2(t)=\langle \cos 2t,\sin 2t\rangle

它们都在单位圆上运动，而且方向相同。不过 $\mathbf r_2$ 的角度增长得更快，在同样的时间内会多走一倍的弧长。再看

\mathbf r_3(t)=\langle \cos t,-\sin t\rangle

轨迹还是同一个圆，方向却反了。

说得直接一点，曲线是“路”，参数化是“行程表”。同一条路可以慢慢走、快快走，也可以反着走。

极限与连续：空间中的点不能突然跳走

一元函数的极限只有一个输出数。向量值函数的输出有几个分量，因此它的极限按分量判断。

如果

\mathbf r(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle

那么

\lim_{t\to t_0}\mathbf r(t) =\left\langle \lim_{t\to t_0}x(t), \lim_{t\to t_0}y(t), \lim_{t\to t_0}z(t) \right\rangle

前提是右边每个分量的极限都存在。只要有一个分量没有极限，整个向量极限就不存在。

几何上，这句话非常朴素：当 $t$ 靠近 $t_0$ 时，曲线上的点必须从所有坐标方向同时靠近同一个位置。不能出现 $x$ 坐标已经稳定， $y$ 坐标却还在左右跳动的情况。

连续就是轨迹没有断口

向量值函数在 $t_0$ 连续，指的是

\lim_{t\to t_0}\mathbf r(t)=\mathbf r(t_0)

这等价于 $x(t)$ 、 $y(t)$ 、 $z(t)$ 都在 $t_0$ 连续。若 $t$ 真的是时间，连续性表示运动点不会在一瞬间从一个位置传送到另一个位置。

例题：补上一个可去断点

设 $t\ne0$ 时

\mathbf r(t)=\left\langle \frac{\sin t}{t}, \frac{e^t-1}{t}, t^2 \right\rangle

怎样定义 $\mathbf r(0)$ ，才能使曲线在 $t=0$ 连续？

分别计算三个分量的极限：

\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1,qquad \lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1,qquad \lim_{t\to0}t^2=0

求导：从一小段位移逼近切线方向

假设点在时刻 $t$ 位于 $\mathbf r(t)$ ，过了很短的时间 $\Delta t$ ，它来到 $\mathbf r(t+\Delta t)$ 。这段时间里的位移是

\Delta\mathbf r=\mathbf r(t+\Delta t)-\mathbf r(t)

平均速度是

\frac{\Delta\mathbf r}{\Delta t} =\frac{\mathbf r(t+\Delta t)-\mathbf r(t)}{\Delta t}

当 $\Delta t$ 趋近于 $0$ ，两点之间的弦逐渐贴住曲线，平均速度的方向也逐渐转成切线方向。这给出向量导数的定义：

\mathbf r'(t) =\lim_{\Delta t\to0} \frac{\mathbf r(t+\Delta t)-\mathbf r(t)}{\Delta t}

由于极限按分量计算，实际求导时只需分别处理每个分量：

\mathbf r'(t)=\langle x'(t),y'(t),z'(t)\rangle

所以计算规则并没有突然变成一套陌生的东西。你在一元微积分里会用的和、差、乘积、链式法则仍然有效，只是现在要同步照顾几个分量。

常用的向量求导规则

若 $f(t)$ 是标量函数， $\mathbf u(t)$ 、 $\mathbf v(t)$ 是向量值函数，那么

\frac{d}{dt}\bigl(f\mathbf u\bigr) =f'\mathbf u+f\mathbf u'

点积使用乘积法则：

\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf u\cdot\mathbf v\bigr) =\mathbf u'\cdot\mathbf v+\mathbf u\cdot\mathbf v'

叉积也使用乘积法则，但次序不能交换：

\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf u\times\mathbf v\bigr) =\mathbf u'\times\mathbf v+\mathbf u\times\mathbf v'

复合函数沿曲线求导时，链式法则写成

\frac{d}{dt}\mathbf r\bigl(g(t)\bigr) =\mathbf r'\bigl(g(t)\bigr)g'(t)

最后这条规则解释了为什么换参数会改变速度：轨迹上的切线方向没有变，但速度向量会多出一个缩放因子 $g'(t)$ 。

例题：求空间曲线的切线

设

\mathbf r(t)=\langle t,t^2,t^3\rangle

求曲线在 $t=1$ 处的切线方程。

先找切点：

\mathbf r(1)=\langle1,1,1\rangle

再求导，得到切线的方向向量：

r^{'}

只有在 $\mathbf r'(t_0)\ne\mathbf0$ 时，导数才直接给出明确的切线方向。如果 $r^{}$ ，曲线可能只是暂时停住，也可能出现尖点或折返，不能把零向量当作切线方向。

积分：从速度一段一段累积回位置

向量积分同样按分量进行：

\int_a^b\mathbf r(t)\,dt =\left\langle \int_a^b x(t)\,dt, \int_a^b y(t)\,dt, \int_a^b z(t)\,dt \right\rangle

如果已知速度 $\mathbf v(t)$ ，那么位置函数是它的一个向量原函数：

\mathbf r(t)=\int\mathbf v(t)\,dt

不定积分会留下一个常向量，而不是一个普通常数：

\mathbf r(t) =\left\langle \int v_1(t)\,dt, \int v_2(t)\,dt, \int v_3(t)\,dt \right\rangle+mathbf C

这个 $\mathbf C$ 记录整条轨迹在空间里平移了多少。给出某一时刻的位置，就能把它确定下来。

例题：由加速度恢复完整运动

一个粒子的加速度和初始条件为

\mathbf a(t)=\langle0,-9.8,6t\rangle

\mathbf v(0)=\langle8,12,0\rangle,qquad \mathbf r(0)=\langle1,2,-1\rangle

求速度和位置。

先对加速度积分：

\mathbf v(t)=\langle C_1,-9.8t+C_2,3t^2+C_3\rangle

这个过程最好记成一条方向明确的链：

\mathbf a(t) \xrightarrow{\text{积分并代入初速度}} \mathbf v(t) \xrightarrow{\text{积分并代入初位置}} \mathbf r(t)

速度、速率与加速度不是一回事

当 $\mathbf r(t)$ 是位置向量时，它的一阶导数是速度：

\mathbf v(t)=\mathbf r'(t)

速度既告诉我们走得多快，也告诉我们朝哪里走。它的长度才是速率：

v(t)=\|\mathbf v(t)\|=\|\mathbf r'(t)\|

这里用普通字母 $v(t)$ 表示速率，用粗体 $\mathbf v(t)$ 表示速度向量。速率只有大小，没有方向。

速度的导数是加速度：

\mathbf a(t)=\mathbf v'(t)=\mathbf r''(t)

三维空间曲线上的运动点，标出速度、速率、加速度及其切向分量和法向分量。

速度贴着曲线的切线，加速度则可能同时包含“改变速率”和“改变方向”两部分。

为什么匀速运动仍然可以有加速度

一元直线运动里，我们很容易把“加速”理解成速度表上的数字变大。空间运动多了方向，加速度也就多了一项任务：让速度向量转弯。

如果速率不为零，对 $v^2=\mathbf v\cdot\mathbf v$ 求导，可以得到

2v\frac{dv}{dt}=2\mathbf v\cdot\mathbf a

因此

\frac{dv}{dt}=\frac{\mathbf v\cdot\mathbf a}{\|\mathbf v\|}

这条公式把关系说得很清楚：加速度在速度方向上的分量会改变速率；与速度垂直的分量不会改变速率，只负责改变方向。匀速圆周运动里， $\mathbf v\cdot\mathbf a=0$ ，所以速率不变，但速度方向一直在转，当然仍然有加速度。

例题：看懂一条螺旋运动

设

\mathbf r(t)=\langle3\cos2t,3\sin2t,4t\rangle

求速度、速率和加速度，并解释它们的几何含义。

对位置分量求导：

\mathbf v(t)=\langle-6\sin2t,6\cos2t,4\rangle

水平分量沿圆的切线，竖直分量始终为 $4$ ，所以点一边绕轴旋转，一边匀速上升。

下面的交互把螺旋线上的位置、速度和加速度放在同一幅图里。改变半径、上升率和参数位置，可以直接观察速度为什么贴着曲线，而加速度为什么指向中心轴。

两类典型平面运动：抛体与摆线

向量值函数并不只服务于三维曲线。它对平面运动同样有用，因为很多平面轨迹不是一张完整的 $y=f(x)$ 图像，或者即使能消去参数，也会因此丢掉时间。

抛体运动：先由加速度恢复位置

忽略空气阻力，把水平方向记作 $x$ ，竖直向上记作 $y$ 。重力加速度是

\mathbf a=\langle0,-g\rangle

若物体从 $\langle x_0,y_0\rangle$ 出发，初速度大小为 $v_0$ ，发射角为 $\alpha$ ，那么

\mathbf v(0)=\langle v_0\cos\alpha,v_0\sin\alpha\rangle

连续积分两次得到

x(t)=x_0+(v_0\cos\alpha)t

y(t)=y_0+(v_0\sin\alpha)t-\frac12gt^2

消去 $t$ 后，轨迹是一条抛物线。不过，参数形式保留了更多信息：解 $y(t)=0$ 得到落地时刻，再把这个时刻代入 $x(t)$ 才得到落地点。

例题：同一高度起落的投射

一个球以 $20\ \mathrm{m/s}$ 的初速度、 $30^\circ$ 的仰角从地面抛出，取 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 。求飞行时间、最高点时刻、最大高度和水平射程。

分解初速度：

v_{0x}=20\cos30^\circ=10\sqrt3,qquad v_{0y}=20\sin30^\circ=10

摆线：有些曲线真的不适合消参

半径为 $a$ 的圆沿 $x$ 轴无滑动滚动，圆周上一个起初接触地面的点会画出摆线。若 $\theta$ 是圆转过的角度，那么圆心向前移动了 $a\theta$ ，圆周点相对圆心又产生一段旋转位移。合起来得到

x(\theta)=a(\theta-\sin\theta)

y(\theta)=a(1-\cos\theta)

当 $\theta=0$ 和 $\theta=2\pi$ 时，点回到地面，两个相邻落地点之间形成一个拱。这里强行消去 $\theta$ 会让公式变得很难用，参数反而把“圆滚了多少”这件事说得一清二楚。

摆线端点还是一个很好的提醒：

\mathbf r'(\theta) =\langle a(1-\cos\theta),a\sin\theta\rangle

在 $\theta=0$ 时导数为零，普通的切向量公式暂时失效；但从附近的运动方向可以看出，曲线在这里形成尖点并沿竖直方向离开。

弧长：把无数小位移的长度加起来

现在问一个看似简单的问题：一条空间曲线到底有多长？

如果只用起点到终点的直线距离，我们会漏掉中间的弯曲。更可靠的办法是把参数区间分成许多小段，用相邻点之间的弦长近似每一小段曲线，再把这些弦长相加。分割越来越细时，折线长度趋近真实弧长。

空间曲线由若干短折线段近似，局部放大显示弧长微元 ds≈|r'(t)|dt，并给出弧长积分公式。

在很短的时间 $dt$ 内，位移近似为

d\mathbf r\approx\mathbf r'(t)\,dt

它的长度是

ds=\|\mathbf r'(t)\|\,dt

因此，若 $\mathbf r'(t)$ 在 $[a,b]$ 上连续，曲线长度为

L=\int_a^b\|\mathbf r'(t)\|\,dt

写成分量形式就是

L=\int_a^b \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}\,dt

这条公式也有直接的运动解释： $\|\mathbf r'(t)\|$ 是速率，对速率按时间积分，就得到总路程。

位移是终点位置减起点位置，路程是沿轨迹实际走过的长度。闭合曲线走完一圈后位移可以是零，路程却一定是正数。弧长积分积的是速率 $\|\mathbf r'(t)\|$ ，不是速度向量 $\mathbf r'(t)$ 。

例题：螺旋线一圈有多长

求

\mathbf r(t)=\langle3\cos t,3\sin t,4t\rangle,qquad0\le t\le2\pi

的弧长。

求导：

\mathbf r'(t)=\langle-3\sin t,3\cos t,4\rangle

这个结果还可以从圆柱展开图检查。水平方向绕一圈走了 $2\pi\cdot3=6\pi$ ，竖直方向升高了 $4\cdot2\pi=8\pi$ 。把圆柱侧面展开，螺旋线变成直角三角形的斜边：

L=\sqrt{(6\pi)^2+(8\pi)^2}=10\pi

螺旋线结构图，标出圆柱半径 R、竖直一圈升高 h、轴线、俯视圆，以及一圈展开后的弧长关系。

下面的交互把“折线越来越贴近曲线”的过程直接画出来。减少分割数时，折线明显短于真实曲线；增加分割数后，近似长度会逐渐稳定。

弧长参数：把速度表调成恒定的 1

从固定起点 $t_0$ 出发，到参数 $t$ 为止走过的弧长可以写成

s(t)=\int_{t_0}^{t}\|\mathbf r'(u)\|\,du

这里把积分变量写成 $u$ ，是为了不和积分上限 $t$ 混淆。由微积分基本定理，

\frac{ds}{dt}=\|\mathbf r'(t)\|

如果曲线上没有停点，也就是 $\|\mathbf r'(t)\|>0$ ，那么 $s(t)$ 严格增加，通常可以反解出 $t=t(s)$ 。把它代回位置函数，就得到按弧长参数化的曲线：

\widetilde{\mathbf r}(s)=\mathbf r(t(s))

对 $s$ 求导：

\left\|\frac{d\widetilde{\mathbf r}}{ds}\right\|=1

也就是说，弧长参数像一只不会忽快忽慢的里程表：参数每增加一个单位，就沿曲线前进一个长度单位。

这个想法很重要，因为曲率应当描述“这条路本身弯得多厉害”，不应当随着行驶速度改变。用弧长来衡量转向，正好可以把运动快慢从曲线形状里剥离出去。

单位切向量：只保留前进方向

速度向量同时带着方向和大小。如果我们只关心曲线朝哪里延伸，就把速度归一化：

\mathbf T(t)=\frac{\mathbf r'(t)}{\|\mathbf r'(t)\|}

$\mathbf T$ 叫单位切向量，它的长度恒为 $1$ 。因为

\mathbf v=\frac{ds}{dt}\mathbf T

所以速度可以拆成“速率乘方向”。这正是向量运动里最基本的一次分工。

例题：螺旋线的单位切向量

对

\mathbf r(t)=\langle3\cos t,3\sin t,4t\rangle

我们已经知道

\mathbf r'(t)=\langle-3\sin t,3\cos t,4\rangle,qquad \|\mathbf r'(t)\|=5

因此

\mathbf T(t) =\frac15\langle-3\sin t,3\cos t,4\rangle

它的水平分量沿底面圆的切线，竖直分量恒为 $4/5$ 。这说明螺旋线虽然不断绕圈，切线却始终保持同样的上升倾角。

法向量与曲率：曲线朝哪里弯，弯得有多急

光知道切线方向还不够。开车沿弯道行驶时，我们还想知道方向盘朝哪边打，以及弯道究竟有多急。

因为 $\mathbf T$ 是单位向量，

\mathbf T\cdot\mathbf T=1

对参数求导得到

2\mathbf T\cdot\mathbf T'=0

所以 $\mathbf T'$ 与 $\mathbf T$ 垂直。换句话说，单位切向量长度不能再变，它的变化只可能来自转向。

单位法向量给出转弯方向

当 $\mathbf T'(t)\ne\mathbf0$ 时，定义

\mathbf N(t)=\frac{\mathbf T'(t)}{\|\mathbf T'(t)\|}

$\mathbf N$ 是单位法向量，指向切线正在转去的方向。对圆来说，它指向圆心；对一般曲线来说，它指向局部弯曲的内侧。

曲率衡量每走一单位长度转了多少

曲率定义为单位切向量对弧长的变化率：

\kappa=\left\|\frac{d\mathbf T}{ds}\right\|

用一般参数 $t$ 计算时，链式法则给出

\kappa(t) =\frac{\|\mathbf T'(t)\|}{\|\mathbf r'(t)\|}

三维曲线常用下面这个等价公式：

\kappa(t) =\frac{\|\mathbf r'(t)\times\mathbf r''(t)\|} {\|\mathbf r'(t)\|^3}

若平面曲线直接写成 $y=f(x)$ ，则

\kappa(x) =\frac{|f''(x)|} {\left(1+(f'(x))^2\right)^{3/2}}

若平面曲线写成 $\langle x(t),y(t)\rangle$ ，则

\kappa(t) =\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|} {\left((x'(t))^2+(y'(t))^2\right)^{3/2}}

平滑曲线上一点的单位切向量 T、法向方向 N 和密切圆，标出曲率半径 1/κ，并对比大半径弯得慢、小半径弯得急。

曲率半径 $\rho=1/\kappa$ 越小，局部弯得越急；曲率半径越大，曲线越接近直线。

曲率不是速率。同一辆车在同一条圆形轨道上快开或慢开，轨道曲率始终是 $1/R$ 。速度变大时，改变的是维持转弯所需的法向加速度，而不是路本身的弯曲程度。

例题：求螺旋线的曲率与法向量

仍然考虑

\mathbf r(t)=\langle3\cos t,3\sin t,4t\rangle

一阶、二阶导数是

\mathbf r'(t)=\langle-3\sin t,3\cos t,4\rangle

加速度的切向与法向分解

现在可以把“踩油门”和“打方向”彻底分开。因为

\mathbf v=\frac{ds}{dt}\mathbf T

对时间求导：

\mathbf a =\frac{d^2s}{dt^2}\mathbf T +\frac{ds}{dt}\frac{d\mathbf T}{dt}

再利用

\frac{d\mathbf T}{dt} =\frac{d\mathbf T}{ds}\frac{ds}{dt} =\kappa\mathbf N\frac{ds}{dt}

便得到

\mathbf a =\frac{d^2s}{dt^2}\mathbf T +\kappa\left(\frac{ds}{dt}\right)^2\mathbf N

通常写成

\mathbf a=a_T\mathbf T+a_N\mathbf N

其中

a_T=\frac{dv}{dt} =\frac{\mathbf v\cdot\mathbf a}{\|\mathbf v\|}

a_N=\kappa v^2 =\frac{\|\mathbf v\times\mathbf a\|}{\|\mathbf v\|}

$a_T$ 改变速率， $a_N$ 改变方向。对半径为 $R$ 的圆， $\kappa=1/R$ ，所以熟悉的向心加速度公式立刻出现：

a_N=\frac{v^2}{R}

这也解释了为什么同一个弯道上，车速翻倍会让向内所需的加速度变成四倍。

下面的交互把轨道半径和运动速率分开调节。只改速率，曲率不变而法向加速度改变；只改半径，曲率和法向加速度都会改变。

例题：同时加速和转弯

粒子沿单位圆运动：

\mathbf r(t)=\langle\cos t^2,\sin t^2\rangle,qquad t>0

角度不是 $t$ ，而是 $t^2$ ，所以它越转越快。

求速度和速率：

\mathbf v(t) =\langle-2t\sin t^2,2t\cos t^2\rangle

极坐标运动：基向量本身也在转

上一章介绍过极坐标

x=r\cos\theta,qquad y=r\sin\theta

在几何题里，它只是另一套描述点的位置的方法。到了运动问题里， $r$ 和 $\theta$ 都可能随时间改变。更关键的是，极坐标使用的两个方向也会跟着 $\theta$ 转动。

定义径向单位向量和角向单位向量：

\mathbf e_r =\langle\cos\theta,\sin\theta\rangle

\mathbf e_\theta =\langle-\sin\theta,\cos\theta\rangle

$\mathbf e_r$ 指向远离原点的方向， $\mathbf e_\theta$ 指向 $\theta$ 增大的切向方向。它们对角度的导数是

\frac{d\mathbf e_r}{d\theta}=\mathbf e_\theta,qquad \frac{d\mathbf e_\theta}{d\theta}=-\mathbf e_r

位置向量写成

\mathbf r=r\mathbf e_r

这里左边的粗体 $\mathbf r$ 是位置向量，右边的普通 $r$ 是到原点的距离。对时间求导时必须使用乘积法则，并且别忘了 $\mathbf e_r$ 也在转：

\mathbf v =\dot r\,\mathbf e_r+r\dot\theta\,\mathbf e_\theta

所以速率为

v=\sqrt{\dot r^{,2}+r^2\dot\theta^{,2}}

再求一次导数，得到极坐标中的加速度：

\mathbf a =\left(\ddot r-r\dot\theta^{,2}\right)\mathbf e_r +\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\mathbf e_\theta

在直角坐标里， $\mathbf i$ 、 $\mathbf j$ 的方向固定，所以只需对分量求导。在极坐标里， $\mathbf e_r$ 、 $\mathbf e_\theta$ 会随角度一起转，漏掉它们的导数，就会漏掉向心项和耦合项。

例题：一边远离原点，一边绕原点转

设

r(t)=3t,qquad\theta(t)=2t,qquad t>0

求速度、速率和加速度的极坐标分量。

先列出各阶导数：

\dot r=3,qquad\ddot r=0,qquad \dot\theta=2,qquad\ddot\theta=0

中心力运动：为什么靠近中心时会走得更快

如果一个物体所受的力始终沿着它与某个固定中心的连线，这种力叫中心力。万有引力就是典型例子。此时加速度 $\mathbf a$ 与位置向量 $\mathbf r$ 平行，所以

\mathbf r\times\mathbf a=\mathbf0

对 $\mathbf r\times\mathbf v$ 求导：

\frac{d}{dt}(\mathbf r\times\mathbf v) =\mathbf v\times\mathbf v+\mathbf r\times\mathbf a =\mathbf0

因此

\mathbf r\times\mathbf v=\mathbf H

是常向量。它带来两个很有分量的结论。

首先， $\mathbf r$ 始终垂直于固定向量 $\mathbf H$ ，所以整条轨道留在一个固定平面里。原本的三维运动自动降成了平面运动。

其次，在这个平面里，

\|\mathbf r\times\mathbf v\| =r^2\dot\theta=h

其中 $h$ 是常数。半径向量在短时间 $dt$ 内扫过的面积近似是一个小三角形，因此

dA=\frac12r^2\,d\theta

于是

\frac{dA}{dt}=\frac12r^2\dot\theta=\frac h2

面积速度保持不变。离中心较近时 $r$ 小，为了让 $r^2\dot\theta$ 不变，角速度 $\dot\theta$ 就必须变大；离中心较远时则走得较慢。这比一句“近处快、远处慢”更扎实，因为它直接来自向量叉积守恒。

若中心力还是平方反比力，径向加速度满足

\ddot r-r\dot\theta^{,2}=-\frac{\mu}{r^2}

再利用 $r^2\dot\theta=h$ ，令 $q=1/r$ ，可以把轨道方程化成

\frac{d^2q}{d\theta^2}+q=\frac{\mu}{h^2}

它的解具有

q=C+D\cos(\theta-\theta_0)

也就是

r=\frac{1}{C+D\cos(\theta-\theta_0)}

这种极坐标方程描述圆锥曲线。初始位置和初速度决定轨道究竟是椭圆、抛物线还是双曲线。这里最值得带走的不是背下整段推导，而是看到三个工具怎样咬合在一起：向量叉积把运动限制在平面，极坐标分解加速度，微分方程最后决定轨道形状。

解题时怎样把信息排好顺序

向量值函数题常把几何、微积分和物理单位放在同一道题里。最稳妥的办法是先分清题目给了哪一层信息，再沿着导数或积分的方向推进。

先确认参数的含义和范围。它是时间、角度还是普通编号？题目给的是整条曲线，还是只给某一段？

再确认已知量处在哪一层。已知位置就向下求导得到速度和加速度；已知加速度就向上积分，并用初始条件确定常向量。

区分向量量和标量量。速度、加速度、单位切向量、单位法向量有方向；速率、弧长、曲率只有大小。

判断题目问的是轨迹还是运动。轨迹问题可以投影、消参或换参数；运动问题必须保留时间和原来的参数化。

把本章和前后内容连起来看，路线就很清楚了。上一章的曲面与坐标变换提供了空间舞台，本章让一个点沿着这个舞台运动。下一章开始研究多变量函数时，输入会从一个参数 $t$ 扩展成平面上的点 $(x,y)$ 或空间中的点 $(x,y,z)$ ，输出则重新变回一个标量。向量值函数训练出的“按分量处理，再还原几何意义”的习惯，会在那里继续发挥作用。

练习

练习一：极限与连续

设 $t\ne0$ 时

\mathbf r(t)=\left\langle \frac{1-\cos t}{t^2}, \frac{\ln(1+t)}{t}, \frac{\sin2t}{t} \right\rangle

怎样定义 $\mathbf r(0)$ ，才能使它在 $t=0$ 连续？

练习二：切线方程

设

\mathbf r(t)=\langle e^t,t^2,\ln(t+1)\rangle,qquad t>-1

求 $t=0$ 处的切线参数方程。

练习三：由速度恢复位置

粒子的速度为

\mathbf v(t)=\langle e^t,2t,4\rangle

且

\mathbf r(0)=\langle0,1,-3\rangle

求 $\mathbf r(t)$ 。

练习四：速率与弧长

求螺旋线

\mathbf r(t)=\langle5\cos t,5\sin t,12t\rangle,qquad0\le t\le2\pi

的速率和弧长。

练习五：抛体运动

一个物体从高度 $5\ \mathrm{m}$ 处水平抛出，初速度为 $12\ \mathrm{m/s}$ 。忽略空气阻力，取 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 。求落地时间、水平距离和落地前瞬间的速率。

练习六：曲率与法向量

设

\mathbf r(t)=\langle2\cos t,2\sin t,0\rangle

求 $\mathbf T(t)$ 、 $\mathbf N(t)$ 和曲率 $\kappa$ 。

练习七：切向与法向加速度

一辆车沿半径为 $50\ \mathrm{m}$ 的圆形轨道行驶。某一时刻速率为 $10\ \mathrm{m/s}$ ，且速率正以 $2\ \mathrm{m/s^2}$ 增加。求该时刻的切向加速度、法向加速度和总加速度大小。

练习八：极坐标速度与加速度

一个点按

r(t)=2,qquad\theta(t)=3t

运动。求它的速度、速率和加速度，并说明加速度方向。

练习九：同一条路，不同的运动

比较

\mathbf r_1(t)=\langle\cos t,\sin t\rangle

和

\mathbf r_2(t)=\langle\cos t^2,\sin t^2\rangle,qquad t>0

说明它们的轨迹、速率和曲率分别有什么相同或不同。

(

t

)

=

⟨

1

,

2

t

,

3

t^{2}

⟩

\mathbf r'(t)=\langle1,2t,3t^2\rangle

'

(

t_{0}

)

=

0

\mathbf r'(t_0)=\mathbf0

+

144

=

13

\|\mathbf r'(t)\| =\sqrt{25\sin^2t+25\cos^2t+144} =13