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散度、旋度与三维向量场 | 多变量微积分 I | 自在学

散度、旋度与三维向量场

上一章算曲面通量时，我们站在一整张曲面外面，统计有多少向量场穿了过去。可一旦看到“总通量”这个结果，一个更细的问题就会追上来：这些流量究竟是从哪里来的？

想象天气图上的风场。某个地方的风可能向四面散开，像空气在那里不断“往外冒”；也可能从周围一起涌来，像那里开着一只无形的吸尘器。还有些地方既不冒也不吸，却能让一片小叶子原地打转。

一元微积分里的导数只有“向左还是向右”这一条路线，没法分清这两种完全不同的局部行为。到了向量场里，我们需要两把新的局部探针：散度检查“往外冒或往里吸”，旋度检查“小转轮会不会转、绕哪根轴转”。

源场、汇场与旋转场三联图：箭头分别向外发散、向内汇聚和绕中心旋转。

图里最容易看见的是箭头朝向，但散度和旋度都不是凭外观下结论。它们要把观察范围缩到一个点附近，再用通量或环流除以小区域的大小。这个“先看边界，再缩到一点”的过程，正是本章的主线。

从平面箭头图走进三维空间

平面向量场给每个点 $(x,y)$ 安排一个二维向量。三维向量场做同一件事，只是输入点和输出向量都多了一个分量：

\mathbf F(x,y,z) = P(x,y,z)\mathbf i+Q(x,y,z)\mathbf j+R(x,y,z)\mathbf k

也可以简写为

\mathbf F=(P,Q,R)

$P$ 是沿 $x$ 方向的分量， $Q$ 是沿 $y$ 方向的分量， $R$ 是沿 $z$ 方向的分量。于是 $\mathbf F(2,1,0)$ 不只是一个悬在纸上的箭头，而是空间点处的速度、力或传输方向。

如果 $\mathbf v$ 是流体速度场，它给出每一点的运动方向和速度。若流体密度为 $\rho$ ，那么真正记录单位面积、单位时间有多少质量通过的场是

\mathbf F=\rho\mathbf v

这一区分后面很有用： $\nabla\cdot\mathbf v$ 讨论体积元是否膨胀， $\nabla\cdot(\rho\mathbf v)$ 才直接进入质量守恒的账本。密度不恒定时，不能把二者混成一回事。

三维箭头网格与向量场分量示意，展示 F=(P,Q,R) 以及三个坐标方向上的变化。

一个符号收纳三种运算

三维里偏导数很多，逐次写全很容易乱。我们把三个坐标方向的偏导运算收进一个符号：

\nabla = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right\rangle

它读作“nabla”或“del”。先别把它当成一个普通数值向量；它的三个分量是“做偏导”这件事。不同对象和它组合，会得到三种不同类型的结果：

\nabla f = \left\langle f_x,f_y,f_z\right\rangle

\nabla\cdot\mathbf F = P_x+Q_y+R_z

\nabla\times\mathbf F = \left\langle R_y-Q_z, P_z-R_x, Q_x-P_y \right\rangle

第一式是标量函数的梯度，结果是向量；第二式是向量场的散度，结果是标量；第三式是向量场的旋度，结果仍是向量。把输入和输出类型先认清，许多记号错误会在落笔前就被挡住。

$\nabla$ 的点乘、叉乘写法很适合记公式，但它们仍然是在组织偏导数。计算时最好先写清 $P,Q,R$ ，再展开各项，而不是把 $\nabla$ 当成一支真的几何箭头。

散度：给微小盒子的流量做账

散度要解决的困难是：只看某一面上的强流出，无法判断这个点是不是“源”。同样多的东西可能正从另一面流进来。我们必须把一个微小盒子的所有面放在一起结账。

设

\mathbf F=(P,Q,R)

散度定义为

\operatorname{div}\mathbf F = \nabla\cdot\mathbf F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}

为什么偏偏是这三个偏导相加？我们先只看一对与 $x$ 轴垂直的面。右面的向外法向是 $+\mathbf i$ ，左面的向外法向是 $-\mathbf i$ 。若小盒子边长分别是 $\Delta x,\Delta y,\Delta z$ ，这对面的净外向通量近似为

\bigl[P(x+\Delta x,y,z)-P(x,y,z)\bigr]\Delta y\Delta z

把括号里的差写成“变化率乘距离”，就得到

\frac{\partial P}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta z = P_x\Delta V

同理，另外两对面分别贡献 $Q_y\Delta V$ 和 $R_z\Delta V$ 。六个面加起来：

\text{小盒子的净外向通量} \approx (P_x+Q_y+R_z)\Delta V

透明小体积的六个面上同时有流入和流出，流出总量较大，表示散度为正。

这正好解释了公式的结构。 $P_x$ 只比较前后两面， $Q_y$ 只比较左右两面， $R_z$ 只比较上下两面；它们相加，才是整个小体积的净结果。

散度是单位体积的局部净通量

把上一段的近似式除以体积，再让盒子缩到观察点，便得到散度的局部含义：

\nabla\cdot\mathbf F(\mathbf p) = \lim_{V\to\mathbf p} \frac{1}{\operatorname{Vol}(V)} \iint_{\partial V} \mathbf F\cdot\mathbf n\,dS

这里 $\partial V$ 是小体积的闭合边界， $\mathbf n$ 一律向外。于是：

散度为正，表示单位体积的净流出为正，点附近像一个源；
散度为负，表示流入多于流出，点附近像一个汇；
散度为零，只表示净值为零，不表示没有流动。

这个极限还有单位上的提醒。若 $\mathbf F$ 的单位是“质量／面积／时间”，散度的单位就是“质量／体积／时间”，恰好是单位体积内的质量产生率。

上面的交互场是 $\mathbf F=(ax,by)$ 。移动小方盒时，四条边各自的流入、流出会变，但净通量恒为 $(a+b)h^2$ 。除以面积 $h^2$ 后，只剩散度。这正是“位置上的通量”和“点上的通量密度”之间的区别。

二维散度是同一套账

平面场

\mathbf F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))

可以看成第三分量为零、也不随 $z$ 变化的三维场。它的散度是

\nabla\cdot\mathbf F=P_x+Q_y

这次包围点的是小矩形，不是小盒子。边界向外通量除以面积，再让矩形缩小，极限仍是散度。二维和三维的差别只是少了一对面，并没有换思路。

例题：线性伸缩场为什么处处散度相同

设

\mathbf F=(ax,by,cz)

其中 $a,b,c$ 是常数。求散度，并解释它的几何含义。

三个分量分别是 $P=ax$ 、 $Q=by$ 、 $R=cz$ 。散度只取每个分量对同方向坐标的偏导：

无散场并不是静止场

如果一个区域内处处满足

\nabla\cdot\mathbf F=0

我们称它在该区域内是无散的。无散表示每个微小体积流入多少就流出多少。流体仍可以高速穿过、剪切，甚至绕轴旋转。

刚体旋转场

\mathbf F=(-y,x,0)

就是最直接的例子：箭头绕 $z$ 轴转得很明显，但

\nabla\cdot\mathbf F = \frac{\partial(-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} +0 =0

“无散”说的是不在局部制造或吞掉净流量，不是说流场没有动作。

旋度：把局部拧动变成一个向量

散度把小盒子所有面上的法向流量加起来。旋度换了一个问法：沿一个小环路的切向推力加起来，会不会把小转轮拧动？

在平面里，转动只有逆时针或顺时针，看起来一个带正负号的数就够了。三维里却可以绕 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴，甚至绕一根倾斜轴转，所以旋度必须是向量：

\operatorname{curl}\mathbf F = \nabla\times\mathbf F = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle

也可以用形式行列式记忆：

\nabla\times\mathbf F = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix}

展开第二个分量时最容易丢负号。稳妥的写法是直接记住循环顺序：

\nabla\times\mathbf F = (R_y-Q_z,\;P_z-R_x,\;Q_x-P_y)

每个分量都在看一个坐标平面

旋度的 $z$ 分量

(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf k = Q_x-P_y

检查的是 $xy$ 平面里的转动：竖直速度 $Q$ 沿 $x$ 怎样变，减去水平速度 $P$ 沿 $y$ 怎样变。类似地， $x$ 分量检查 $yz$ 平面，分量检查平面。

这解释了为什么旋度公式使用“交叉方向”的偏导，而散度使用“同方向”的偏导。源汇看分量沿自己方向是否向外拉开；转动看相邻方向之间是否产生不对称的切向推力。

旋度是单位面积的局部环流

在点 $\mathbf p$ 附近放一小片有向平面，单位法向为 $\mathbf n$ ，边界按右手规则取正向。沿边界一圈的环流是

\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot\mathbf T\,ds

把它除以小面片面积，再让面片缩向该点：

(\nabla\times\mathbf F)(\mathbf p)\cdot\mathbf n = \lim_{S\to\mathbf p} \frac{1}{\operatorname{Area}(S)} \oint_{\partial S} \mathbf F\cdot\mathbf T\,ds

所以旋度不是“某条大路径绕了几圈”，而是局部环流密度。点乘 $\mathbf n$ 只取绕这根法向轴的转动分量。改变小转轮的轴向，读数也会改变；当轴与旋度同向时，读数最大。

这个交互里有一个很值得停下来的剪切场 $\mathbf F=(y,0)$ 。所有箭头都互相平行，看起来没有“绕圈”，但上方流得更向右、下方流得更向左，小转轮仍会顺时针转。旋度来自局部速度差，不要求流线画成圆。

旋度与小转轮角速度之间差一个二

考虑绕 $z$ 轴、角速度为 $\omega$ 的刚体旋转：

\mathbf F=(-\omega y,\omega x,0)

直接计算得

\nabla\times\mathbf F = (0,0,2\omega)

为什么不是 $(0,0,\omega)$ ？因为旋度的 $z$ 分量把两份剪切都记了进来： $Q_x=\omega$ ，而 $-P_y=\omega$ 。对速度场来说，小转轮绕单位轴的局部角速度是

\frac12(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n

旋度的方向给出使转动最强的轴向，方向按右手规则判断；旋度的长度是最大角速度的两倍。

建立直觉时常会说“旋度大小表示旋转强度”，但若题目明确问流体微元的角速度，还要除以 $2$ 。旋度本身和角速度不是同一个数。

二维旋度其实是三维旋度的一个分量

把平面场嵌入三维：

\mathbf F=(P(x,y),Q(x,y),0)

那么

\nabla\times\mathbf F = \left(0,0,Q_x-P_y\right)

我们常把唯一可能非零的 $z$ 分量简称为二维旋度：

\operatorname{curl}_{2D}\mathbf F=Q_x-P_y

从正 $z$ 方向往下看，正值对应逆时针局部环流，负值对应顺时针局部环流。

一道题里同时读出源汇和转轴

设

\mathbf F=(x^2-y,\;y^2+z,\;z^2+x)

求散度和旋度，并解释点 $(1,-1,2)$ 附近的局部行为。

先把分量写清：

P=x^2-y,\qquad Q=y^2+z,\qquad R=z^2+x

同一个点可以既是局部源，又有局部旋转。散度和旋度不是二选一的分类标签，它们是对同一向量场做的两次不同测量。

无散、无旋与两条恒等式

如果一个区域内处处有

\nabla\times\mathbf F=\mathbf 0

我们称 $\mathbf F$ 在该区域内是无旋的。同样，“无旋”只否定局部小转轮的自转，不保证流线笔直，也不自动解决所有全局问题。

梯度场一定无旋

若 $\mathbf F=\nabla f$ ，那么

\nabla\times(\nabla f)=\mathbf 0

展开第一分量就能看见原因：

f_{zy}-f_{yz}=0

其余两对混合偏导也同样抵消。这里默认二阶混合偏导连续。于是一个光滑势函数产生的梯度场，不会在局部制造环流。

反过来要更小心。在没有洞、能把闭曲线连续缩成一点的区域里，连续可微的无旋场可以找到势函数；若定义域有洞，局部无旋未必能拼成全局势函数。

旋度场一定无散

另一条配对恒等式是

\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A)=0

展开后，六个二阶混合偏导两两抵消。这说明任何光滑向量场的旋度都自动无散。它也给出一个快速否定法：如果某个向量场的散度不为零，它就不可能是另一个光滑向量场的旋度。

两条恒等式可以排成一条输入输出链：

\text{标量场} \xrightarrow{\ \nabla\ } \text{向量场} \xrightarrow{\ \nabla\times\ } \text{向量场} \xrightarrow{\ \nabla\cdot\ } \text{标量场}

连续做相邻两步，结果为零。

同时无散又无旋会怎样

一个场完全可以同时满足

\nabla\cdot\mathbf F=0, \qquad \nabla\times\mathbf F=\mathbf 0

常向量场就是最简单的例子：流体整体匀速平移，既没有局部膨胀，也不让小转轮自转。若在合适的无洞区域里 $\mathbf F=\nabla f$ ，无散条件还会给出

\nabla\cdot\nabla f = f_{xx}+f_{yy}+f_{zz} =0

这就是拉普拉斯方程。它出现在没有内部源的稳态温度、电势和理想流动中。

物理图景：同一组偏导在不同问题里怎样说话

公式没有变，但把 $\mathbf F$ 解释成什么，会改变我们对结果的语言。

流体：压缩、膨胀与涡量

若 $\mathbf v$ 是速度场， $\nabla\cdot\mathbf v>0$ 表示随流体一起运动的微小体积有膨胀趋势，负值表示压缩趋势。不可压缩流动满足

\nabla\cdot\mathbf v=0

旋度 $\nabla\times\mathbf v$ 常叫涡量，它记录流体微元的局部转动轴和两倍角速度。水可以既不可压缩又强烈旋转，所以“无散”和“无旋”在流体里一定要分开。

若密度 $\rho$ 随位置或时间变化，质量守恒要看质量通量 $\rho\mathbf v$ ：

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf v) =s

$s$ 是单位体积的质量源项。稳态且没有质量源时，右边和时间项都为零，于是 $\nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0$ 。

热传导：流量从梯度的反方向走

温度场 $T$ 的梯度指向升温最快的方向，但热从高温流向低温。均匀材料中的热流常写成

\mathbf F=-k\nabla T

其中 $k>0$ 。于是 $\nabla\cdot\mathbf F$ 统计热量从一个微小体积净流出还是净流入。若 $k$ 是常数， $\mathbf F$ 还是梯度场的常数倍，因此局部旋度为零。

电场与点源：奇点不能悄悄跨过去

径向反平方场

\mathbf F = \frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}

在原点以外的散度为零，却对任何包住原点的球面产生相同的正通量。这并不矛盾：场在原点没有定义，不能把“外部处处散度为零”直接套到一个包含原点的实体上。

这个例子提醒我们，求出一个公式为零之后还没结束。必须继续问：向量场在哪些点光滑？积分区域有没有跨过洞或奇点？

从局部密度回到边界积分

本章从上一章的曲面通量退回一个点附近，现在再把局部量累积起来。你会看到一条反复出现的骨架：内部每一点的局部变化相加，等于外层边界上留下的总效果。

交互里把矩形缩小时，边界环流除以面积逐渐读出中心旋度，边界通量除以面积逐渐读出中心散度。若把区域铺满许多小矩形，相邻小矩形共用边上的贡献方向相反，会两两抵消，最后只剩最外层边界。

Green 定理：平面里的两种边界账本

对平面区域 $D$ 和正向边界 $C=\partial D$ ，环流形式是

\oint_C P\,dx+Q\,dy = \iint_D (Q_x-P_y)\,dA

左边沿边界切向绕一圈，右边累积二维旋度。通量形式是

\oint_C P\,dy-Q\,dx = \iint_D (P_x+Q_y)\,dA

左边统计穿过边界的向外通量，右边累积二维散度。一个管“绕”，一个管“穿”。

Stokes 定理：旋度累积到曲面的边界曲线

把平面区域弯成空间曲面 $S$ ，它的边界仍是一条闭曲线 $\partial S$ 。局部环流密度变成旋度沿曲面法向的分量：

\oint_{\partial S} \mathbf F\cdot d\mathbf r = \iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS

法向 $\mathbf n$ 与边界方向必须满足右手规则。这个式子解释了旋度为什么是向量：曲面可以朝任意方向倾斜，我们需要用点积挑出绕法向轴的那一部分局部旋转。

散度定理：散度累积到实体的闭合表面

若 $V$ 是空间实体， $\partial V$ 是它的闭合边界，并取外法向，那么

\iint_{\partial V} \mathbf F\cdot\mathbf n\,dS = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf F\,dV

右边把每个小体积里的源汇密度加起来，左边就是整个外壳上的净外向通量。内部小盒子共用面上的通量互相抵消，最终只剩实体最外面的表面。

二维区域中的边界环流、向外通量与内部旋转、源汇，并过渡到三维曲面上的局部量。

这三条定理不是三套互不相干的口诀。Green 定理处理平面区域；Stokes 定理把“旋度—环流”推广到空间曲面；散度定理把“散度—通量”推广到空间实体。下一章会正式处理它们的方向、条件和计算技巧。

先看边界的形状，通常比先背公式更可靠。边界是一条闭曲线且题目问切向环流，想到 Green 或 Stokes；边界是一个闭曲面且题目问向外通量，想到散度定理。

容易被箭头图骗到的地方

散度与旋度常见误区：环绕空洞不等于局部自转，源与汇的贡献也可能让闭边界净通量相消。

箭头变长，不等于散度为正

散度只把“分量沿自身方向的变化”记入净流出。例如

\mathbf F=(0,x)

箭头长度会随 $x$ 变化，但

\nabla\cdot\mathbf F = \frac{\partial 0}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} =0

它是剪切，不是局部源。反过来，某一点的箭头很短，也不代表散度小；散度看邻近箭头怎样变化，不只看该点这一支箭头。

流线绕圈，不等于处处有旋度

考虑原点以外的平面场

\mathbf F = \left( -\frac{y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2} \right)

流线绕原点一圈又一圈，但每个非原点位置的二维旋度都是零。沿包围原点的大圆却有非零环流，因为原点是定义域中的洞。局部小转轮读数与跨越整个洞的全局环流不是同一个问题。

散度为零，不等于旋度为零

场 $\mathbf F=(-y,x,0)$ 的散度为零，旋度却是 $(0,0,2)$ 。它不制造净流量，但会让小转轮自转。

旋度为零，不等于散度为零

场 $\mathbf F=(x,y,z)$ 的旋度为零，散度却是 $3$ 。它处处径向膨胀，却没有局部拧动。

某一方向不转，不等于旋度为零

若小转轮的轴 $\mathbf n$ 恰好垂直于旋度，那么

(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n=0

这只说明绕这根轴的转动分量为零。换一个轴向，小转轮可能立刻转起来。三维旋度必须看完整向量，不能只测一个坐标分量。

练习

练习一

设

\mathbf F=(3x,-2y,z)

求散度与旋度，并解释局部行为。

练习二

设

\mathbf F=(-y,x,z)

求散度与旋度，并写出小转轮绕 $z$ 轴的角速度。

练习三

对平面场

\mathbf F=(ay,bx)

求二维散度和二维旋度。什么条件使它无散？什么条件使它无旋？

练习四

设

\mathbf F=(z,0,-x)

求旋度，并判断小转轮的轴应沿哪个方向放置，才会读到最大的正角速度。

练习五

设标量函数

f(x,y,z)=x^2y+yz^2

先求 $\mathbf F=\nabla f$ ，再验证 $\nabla\times\mathbf F=\mathbf 0$ 。

练习六

判断下列说法：“若一个光滑向量场在其定义域中处处旋度为零，那么沿定义域内任意闭曲线的环流都为零。”

把两把局部探针带到下一章

散度把微小闭合边界上的净外向通量除以体积，得到一个标量；旋度把微小环路上的环流除以面积，得到不同轴向上的转动信息，合在一起成为一个向量。

计算时可以先守住两条公式：

\nabla\cdot(P,Q,R)=P_x+Q_y+R_z

\nabla\times(P,Q,R) =(R_y-Q_z,\;P_z-R_x,\;Q_x-P_y)

理解时则要守住两幅画面：散度看小盒子“净往外冒多少”，旋度看小转轮“绕哪根轴转、转得多快”。下一章会把这些局部读数在整片曲面或整个实体里加起来，正式得到 Green 定理、Stokes 定理和散度定理的计算力量。