三维坐标、向量与空间几何

上一章先把多变量微积分要研究的对象分清了：输入可能是一个点，输出可能是一个数，也可能是一支向量。现在问题来了——如果连“点在哪里”“箭头朝哪里”“一个平面怎么倾斜”都说不准确，后面的偏导数、切平面和向量场就无从谈起。

在二维平面里，我们很容易把很多事情压缩成一个数：一条直线有一个斜率，两条不平行的直线一定相交，垂直方向也只有一对。到了三维，这些旧办法开始卡住。空间直线朝向哪里，需要三个分量；一个平面里有无数个方向，谈不上唯一斜率；两条不平行的直线甚至可能永远碰不到。

这一章做的事，就是给这些“二维直觉失灵”的地方补上新的语言。坐标负责定位，向量负责记录方向和位移，点积负责比较方向与做投影，叉积负责寻找公共的垂直方向，直线和平面方程则把空间中的几何对象变成可计算的代数对象。

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三维坐标多出来的不只是一个数

二维点 $(x,y)$ 可以理解成“横着走 $x$，再竖着走 $y$”。三维点 $P(x,y,z)$ 只是多了一步：还要沿第三条、同时垂直于前两条的轴走 $z$。

三条坐标轴两两垂直。它们确定三个坐标平面：

• $xy$ 平面上的点满足 $z=0$；
• $xz$ 平面上的点满足 $y=0$；
• $yz$ 平面上的点满足 $x=0$。

这三个平面把空间切成八个卦限。实际做题时很少需要死记“第几卦限”，但一定要能读懂坐标的符号。例如 $P(2,-3,4)$ 表示它位于 $x$ 轴正侧、$y$ 轴负侧、$z$ 轴正侧。

投影把空间问题拆回平面

空间图最容易让人迷糊的地方，是纸面透视会扭曲长度和角度。真正可靠的不是“看起来多长”，而是坐标。

把点 $P(x,y,z)$ 垂直投影到三个坐标平面，分别得到

$$P_{xy}=(x,y,0),\qquad P_{xz}=(x,0,z),\qquad P_{yz}=(0,y,z)$$

每次投影都相当于把垂直于该平面的那个坐标暂时清零。后面看曲面的截痕、画等值线时，我们会一直用这种“先压回二维再看”的办法。

距离公式仍然是勾股定理

设

$$P(x_1,y_1,z_1),\qquad Q(x_2,y_2,z_2)$$

从 $P$ 到 $Q$，三个互相垂直方向上的位移分别是

$$\Delta x=x_2-x_1,\qquad \Delta y=y_2-y_1,\qquad \Delta z=z_2-z_1$$

先把 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 用一次勾股定理合起来，再把得到的长度和 $\Delta z$ 用一次勾股定理合起来，就得到

$$d(P,Q) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$

中点也没有出现新花样，只是三个坐标分别取平均：

$$M= \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2} \right)$$

例题：把一段空间位移拆成三个方向

已知 $A(-1,2,4)$，$B(3,-2,1)$。求线段 $AB$ 的长度和中点。

球面就是“到一个点的距离固定”

如果所有点 $P(x,y,z)$ 到固定点 $C(a,b,c)$ 的距离都是 $R$，那么

$$d(P,C)=R$$

两边平方后得到球面方程

$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$$

所以球面并不是凭空多出来的新公式，它只是距离公式的一句话版本：“这些点离球心一样远。”下一章识别二次曲面时，这个读法会比机械配方更有用。

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向量把“从哪里到哪里”压缩成一支箭头

点回答“在哪里”，向量回答“朝哪里走、走多远”。从点 $A(x_1,y_1,z_1)$ 指向点 $B(x_2,y_2,z_2)$ 的位移向量是

$$\overrightarrow{AB} = \langle x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1\rangle$$

这里的顺序不能反。$\overrightarrow{AB}$ 是“终点减起点”；如果换成 $\overrightarrow{BA}$，三个分量全部变号，方向也完全相反。

点和向量长得像，含义却不同

点 $P(2,3,4)$ 是空间中的一个固定位置。向量 $\langle 2,3,4\rangle$ 是一段位移，只规定长度和方向，不规定必须从哪里出发。只有把原点 $O$ 选作起点时，才有

$$\overrightarrow{OP}=\langle 2,3,4\rangle$$

这时我们把 $\overrightarrow{OP}$ 叫作点 $P$ 的位置向量。

向量加法是连续走两段路

若

$$\mathbf a=\langle a_1,a_2,a_3\rangle,\qquad \mathbf b=\langle b_1,b_2,b_3\rangle$$

则

$$\mathbf a+\mathbf b = \langle a_1+b_1,\ a_2+b_2,\ a_3+b_3 \rangle$$

几何上，把 $\mathbf b$ 的起点移到 $\mathbf a$ 的终点，从最初起点直接连到最终终点的那支向量，就是 $\mathbf a+\mathbf b$。这就是首尾相接法。若把两支向量放在同一起点，它们张成的平行四边形对角线也是 $\mathbf a+\mathbf b$。

数 $c$ 乘向量会把它的长度缩放 $|c|$ 倍：

$$c\mathbf a = \langle ca_1,ca_2,ca_3\rangle$$

当 $c<0$ 时，除了缩放，方向还会翻转。特别地，

$$-\mathbf a = \langle -a_1,-a_2,-a_3\rangle$$

所以减法可以看成加上反向向量：

$$\mathbf a-\mathbf b=\mathbf a+(-\mathbf b)$$

基向量把一支箭头拆成三个方向

沿 $x$、$y$、$z$ 轴正方向的单位向量通常写成

$$\mathbf i=\langle1,0,0\rangle,\qquad \mathbf j=\langle0,1,0\rangle,\qquad \mathbf k=\langle0,0,1\rangle$$

任意三维向量都能写成

$$\mathbf v = \langle v_1,v_2,v_3\rangle = v_1\mathbf i+v_2\mathbf j+v_3\mathbf k$$

这不是换一种好看的记号。它是在说：一段复杂的空间位移，可以拆成沿三条坐标轴的三段位移，再把它们加回来。

长度与单位方向

向量的长度是

$$\|\mathbf v\| = \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$$

如果 $\mathbf v\neq\mathbf0$，把它除以自己的长度，就得到同方向的单位向量：

$$\mathbf u=\frac{\mathbf v}{\|\mathbf v\|}$$

单位向量只保留方向，把长度标准化成 $1$。反过来，一支非零向量总能拆成

$$\mathbf v=\|\mathbf v\|\mathbf u$$

也就是“长度乘方向”。

例题：求一条航线的单位方向

无人机从 $A(1,-1,2)$ 飞向 $B(4,3,0)$。求它的位移向量、飞行距离和单位方向向量。

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点积把“方向有多一致”变成一个数

向量有三个分量，直接盯着六个数字，很难马上判断两支箭头方向接近、垂直还是相反。点积把这个比较压缩成一个数。

按分量计算，

$$\mathbf a\cdot\mathbf b = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$

按几何意义理解，

$$\mathbf a\cdot\mathbf b = \|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\cos\theta$$

其中 $0\leq\theta\leq\pi$ 是两支非零向量之间的夹角。

这两个公式各有分工：分量公式负责算，几何公式负责解释。因为余弦在锐角时为正、直角时为零、钝角时为负，所以

$$\begin{aligned} \mathbf a\cdot\mathbf b>0 &\Longrightarrow \theta\text{ 是锐角},\\ \mathbf a\cdot\mathbf b=0 &\Longrightarrow \theta=\frac{\pi}{2},\\ \mathbf a\cdot\mathbf b<0 &\Longrightarrow \theta\text{ 是钝角}. \end{aligned}$$

对非零向量，垂直判据因此变成

$$\mathbf a\perp\mathbf b \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf a\cdot\mathbf b=0$$

而夹角可以直接由

$$\cos\theta = \frac{\mathbf a\cdot\mathbf b} {\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|}$$

求出。

自己和自己点乘就是长度平方

把 $\mathbf b$ 换成 $\mathbf a$，夹角变成 $0$，于是

$$\mathbf a\cdot\mathbf a = \|\mathbf a\|^2$$

这条关系经常比根号形式更方便。例如比较两个向量谁更长时，直接比较各自与自身的点积就够了。

投影先问“沿这个方向到底有多少”

想象一阵风斜着吹，而飞机只沿一条固定航线前进。真正能帮助飞机沿航线加速的，不是全部风速，而是风速在航线方向上的那一部分。这就是投影。

向量 $\mathbf a$ 在非零向量 $\mathbf b$ 方向上的带符号长度，也叫标量投影：

$$\operatorname{comp}_{\mathbf b}\mathbf a = \frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|}$$

再乘上 $\mathbf b$ 的单位方向，就得到向量投影：

$$\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a = \frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf b\|^2}\mathbf b$$

为什么分母是 $\|\mathbf b\|^2$？因为前面先除一次 $\|\mathbf b\|$ 得到带符号长度，后面还要再除一次 $\|\mathbf b\|$ 把 $\mathbf b$ 变成单位向量。

投影之后，原向量被拆成两部分：

$$\mathbf a = \operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a + \left( \mathbf a-\operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a \right)$$

第一部分平行于 $\mathbf b$，第二部分垂直于 $\mathbf b$。这是一种“沿着目标方向的成分 + 偏离目标方向的成分”的分解。

例题：同时求夹角与投影分解

设

$$\mathbf a=\langle2,-1,2\rangle,\qquad \mathbf b=\langle1,2,2\rangle$$

求夹角的余弦，并把 $\mathbf a$ 分解成平行于 $\mathbf b$ 和垂直于 $\mathbf b$ 的两部分。

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叉积解决“同时垂直于两个方向”的问题

点积能判断两支向量是否垂直，却不能直接给出一支同时垂直于它们的向量。三维空间里，这件事交给叉积。

对

$$\mathbf a=\langle a_1,a_2,a_3\rangle,\qquad \mathbf b=\langle b_1,b_2,b_3\rangle$$

叉积是

$$\mathbf a\times\mathbf b = \left\langle a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1 \right\rangle$$

它有三个必须一起记住的特征：

• $\mathbf a\times\mathbf b$ 同时垂直于 $\mathbf a$ 和 $\mathbf b$；
• 方向由右手定则决定；
• 长度等于 $\|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta$。

右手定则决定正反面

把右手四指从 $\mathbf a$ 沿较小夹角弯向 $\mathbf b$，拇指所指就是 $\mathbf a\times\mathbf b$ 的方向。交换顺序，拇指会转向另一面：

$$\mathbf a\times\mathbf b = -(\mathbf b\times\mathbf a)$$

所以叉积不像普通数的乘法。顺序不仅影响符号，还直接影响法向量朝上还是朝下。

三个坐标单位向量满足

$$\mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k,\qquad \mathbf j\times\mathbf k=\mathbf i,\qquad \mathbf k\times\mathbf i=\mathbf j$$

顺着 $\mathbf i\to\mathbf j\to\mathbf k\to\mathbf i$ 循环是正号，反过来就是负号。

行列式写法帮助记住分量

叉积常写成一个形式上的行列式：

$$\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

沿第一行展开时，中间的 $\mathbf j$ 项前面是负号。忘掉这个负号，是叉积计算里最常见的错误。

叉积长度就是平行四边形面积

以 $\mathbf a$ 为底，$\mathbf b$ 在垂直于 $\mathbf a$ 的方向上提供的高是 $\|\mathbf b\|\sin\theta$。因此平行四边形面积为

$$S_{\text{平行四边形}} = \|\mathbf a\|\|\mathbf b\|\sin\theta = \|\mathbf a\times\mathbf b\|$$

对应三角形面积是它的一半：

$$S_{\triangle} = \frac12\|\mathbf a\times\mathbf b\|$$

如果两支非零向量平行，那么 $\sin\theta=0$，叉积是零向量。于是

$$\mathbf a\times\mathbf b=\mathbf0 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathbf a,\mathbf b\text{ 平行}$$

这也是判断三个点是否共线的好办法：从同一个顶点写出两条边向量，看它们的叉积是否为零。

例题：三点给出面积和法向量

已知

$$A(1,0,2),\qquad B(3,1,1),\qquad C(2,4,3)$$

求三角形 $ABC$ 的面积，并给出它所在平面的一个法向量。

三重积把底面积乘上垂直高度

三支向量 $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$ 从同一点出发，会张成一个平行六面体。先用 $\mathbf b\times\mathbf c$ 得到底面的“面积向量”，再与 $\mathbf a$ 点乘，就只留下 $\mathbf a$ 在法向方向上的高度成分。因此体积是

$$V = \left| \mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c) \right|$$

绝对值不能漏，因为交换向量顺序可能改变三重积的正负，但几何体积不能为负。

例如

$$\mathbf a=\langle1,0,1\rangle,\quad \mathbf b=\langle0,2,1\rangle,\quad \mathbf c=\langle2,1,0\rangle$$

先算

$$\mathbf b\times\mathbf c = \langle-1,2,-4\rangle$$

再算

$$\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c) = -5$$

所以平行六面体体积是 $5$。如果三重积为零，说明三支向量共面，整个“盒子”已经被压扁。

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空间直线不能再靠一个斜率描述

在平面里，斜率 $m$ 能说明“横着走 $1$ 时竖着走多少”。到了三维，横向和竖向不再够用：沿 $x$ 方向走一步时，$y$ 和 $z$ 都可能改变。与其硬造两个斜率，不如直接给出一支方向向量。

若直线经过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为非零向量

$$\mathbf v=\langle a,b,c\rangle$$

那么直线上所有点都能写成

$$\mathbf r(t)=\mathbf r_0+t\mathbf v,\qquad t\in\mathbb R$$

其中 $\mathbf r_0=\langle x_0,y_0,z_0\rangle$。拆成坐标就是参数方程：

$$x=x_0+at,\qquad y=y_0+bt,\qquad z=z_0+ct$$

参数 $t$ 不是第四个空间坐标。它只是在记录：从 $P_0$ 出发，沿 $\mathbf v$ 走了多少倍。$t>0$ 沿 $\mathbf v$ 方向走，$t<0$ 沿反方向走， 回到 。

两个点也能确定一条直线

经过不同两点 $P$、$Q$ 的直线，方向向量可以直接取

$$\mathbf v=\overrightarrow{PQ}=Q-P$$

于是

$$\mathbf r(t)=\mathbf p+t(\mathbf q-\mathbf p)$$

当 $t=0$ 时得到 $P$，当 $t=1$ 时得到 $Q$。如果只想描述线段 $PQ$，就把参数限制在 $0\leq t\leq1$。

对称式有一个分母陷阱

当 $a,b,c$ 都不为零时，可以从参数方程消去 $t$：

$$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$$

如果某个方向分量为零，就不能把它放进分母。例如 $\mathbf v=\langle2,0,-1\rangle$ 表示 $y$ 始终不变，正确写法是

$$\frac{x-x_0}{2} = \frac{z-z_0}{-1}, \qquad y=y_0$$

两条空间直线为什么会异面

在二维平面中，两条不平行直线一定相交。三维里，它们可以从不同高度擦肩而过：方向不平行，却找不到同一个点。这种关系叫异面。

设

$$L_1:\ \mathbf r=\mathbf p+s\mathbf u,\qquad L_2:\ \mathbf r=\mathbf q+t\mathbf v$$

判断时可以按下面顺序走：

例题：三个坐标必须同时对上

判断

$$L_1:\ \mathbf r=\langle1,0,2\rangle+s\langle2,1,-1\rangle$$

与

$$L_2:\ \mathbf r=\langle3,1,1\rangle+t\langle1,-1,2\rangle$$

的位置关系。

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平面的方向要用法向量描述

在平面里，一条直线只有一个沿线方向，因此斜率很好用。空间中的一个平面却容纳无数条不同方向的直线：往东、往北、斜着走，都可能仍留在平面里。想用一个方向代表整张平面，选平面内的方向反而不唯一。

更省事的办法，是选一支垂直于整个平面的向量。它叫法向量。

设平面经过点

$$P_0(x_0,y_0,z_0)$$

法向量为

$$\mathbf n=\langle A,B,C\rangle\neq\mathbf0$$

平面上任意点 $P(x,y,z)$ 与 $P_0$ 的连线都留在平面里，因此

$$\overrightarrow{P_0P} = \langle x-x_0,\ y-y_0,\ z-z_0\rangle$$

必须与 $\mathbf n$ 垂直。点积为零：

$$\mathbf n\cdot\overrightarrow{P_0P}=0$$

展开得到点法式：

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

整理后得到一般式：

$$Ax+By+Cz=D$$

其中

$$D=Ax_0+By_0+Cz_0$$

所以看到一般式时，法向量可以直接从三个变量的系数读出来：

$$\mathbf n=\langle A,B,C\rangle$$

一个平面方程有很多等价写法

把平面方程两边同乘同一个非零常数，不会改变平面。例如

$$x+2y-z=4$$

与

$$2x+4y-2z=8$$

描述的是同一张平面。这也说明法向量的长度不重要，方向才重要：$\langle1,2,-1\rangle$ 与 $\langle2,4,-2\rangle$ 都是它的法向量。

判断两个一般式是否是同一平面时，必须比较整条方程是否成同一比例，不能只比较法向量或只比较常数项。

三个不共线点确定一个平面

给出三点 $A,B,C$ 时，先取两个平面内向量

$$\overrightarrow{AB},\qquad\overrightarrow{AC}$$

如果它们不平行，叉积

$$\mathbf n = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$$

就是法向量。再把任意一个已知点放进点法式即可。

如果叉积为零，说明三点共线。此时经过这条直线的平面有无数个，不能确定唯一平面。

例题：从三个点到平面方程

求经过

$$A(1,0,2),\qquad B(2,1,0),\qquad C(0,3,1)$$

的平面方程。

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直线和平面的关系都能归结为方向比较

空间位置关系看起来种类很多，但核心始终是两件事：方向是否兼容，对象是否真的共用一个点。

两个平面的关系

设两个平面的法向量分别是 $\mathbf n_1,\mathbf n_2$。

如果

$$\mathbf n_1\times\mathbf n_2=\mathbf0$$

两法向量平行，两平面要么平行，要么重合。此时取一个平面上的点代入另一个平面方程：满足则重合，不满足则是两张不同的平行平面。

如果法向量不平行，两平面一定相交于一条直线。它们的交线方向同时垂直于两法向量，所以可取

$$\mathbf v=\mathbf n_1\times\mathbf n_2$$

两个平面的锐二面角等于两个法向量的锐夹角：

$$\cos\theta = \frac{|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2|} {\|\mathbf n_1\|\|\mathbf n_2\|}$$

绝对值把法向量朝向造成的正负差别去掉。特别地，

$$\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2=0$$

说明两个平面互相垂直。

直线与平面的关系

设直线方向为 $\mathbf v$，平面法向量为 $\mathbf n$。

如果

$$\mathbf v\cdot\mathbf n=0$$

直线方向与法向量垂直，因此直线方向平行于平面。接下来还要看直线上的一个点是否满足平面方程：满足则整条直线在平面内，不满足则直线与平面平行且没有交点。

如果

$$\mathbf v\cdot\mathbf n\neq0$$

直线会穿过平面，并且只有一个交点。把直线的参数方程代入平面方程，就能解出交点对应的参数。

如果 $\mathbf v$ 与 $\mathbf n$ 平行，直线沿法向方向穿过平面，因此直线和平面垂直。

直线与平面的夹角 $\alpha$ 取 $0$ 到 $\pi/2$ 之间的锐角。因为它与“直线方向和法向量的夹角”互余，所以

$$\sin\alpha = \frac{|\mathbf v\cdot\mathbf n|} {\|\mathbf v\|\|\mathbf n\|}$$

例题：求直线穿过平面的位置和角度

已知直线

$$\mathbf r(t) = \langle1,-1,0\rangle + t\langle2,1,1\rangle$$

和平面

$$x+2y-z=4$$

求交点以及直线与平面的夹角。

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投影还给出点到平面的最短距离

点 $Q(x_1,y_1,z_1)$ 到平面

$$Ax+By+Cz=D$$

的最短路线一定沿法向量

$$\mathbf n=\langle A,B,C\rangle$$

因为任何斜着走的路线都额外包含一段平面内位移，只会更长。把向量 $\overrightarrow{P_0Q}$ 投影到单位法向量上，就得到距离公式：

$$d = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1-D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

分子是在测量点 $Q$ 代入平面方程后的“有向偏差”，分母负责消除法向量被任意倍数放大的影响。

例题：距离和最近点一起求

求点

$$Q(2,-1,3)$$

到平面

$$2x-y+2z=5$$

的距离，并找出平面上离 $Q$ 最近的点 $H$。

两张平行平面的距离

若两平面已经写成使用同一法向量的形式

$$Ax+By+Cz=D_1$$

与

$$Ax+By+Cz=D_2$$

它们之间的距离是

$$d = \frac{|D_2-D_1|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

如果两条方程左侧只成比例，必须先把整条方程缩放到相同的 $A,B,C$，再比较右侧常数。

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把工具选对，比记住一长串公式更重要

这一章的对象很多，但每个运算回答的问题很具体：

• 两个点相减，得到从起点到终点的位移；
• 向量除以长度，得到纯粹的方向；
• 点积回答夹角、垂直和投影；
• 叉积回答公共法向、平行四边形面积和三点是否共线；
• 直线使用“一点加一个方向”；
• 平面使用“一点加一个法向”；
• 位置关系先比较方向，再检查是否共用一个点。

下一章会开始研究球面、柱面、抛物面和双曲面。到那时，一张曲面不再只是“画出来像什么”，我们会用本章的距离、截面、直线和平面语言，一层层把它的结构读出来。

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练习

坐标、距离与中点

已知 $P(2,-1,5)$，$Q(-2,3,1)$。求 $|PQ|$ 和线段 $PQ$ 的中点。

显示参考解

三个坐标差是 $-4,4,-4$，所以

$$|PQ| = \sqrt{(-4)^2+4^2+(-4)^2} = 4\sqrt3$$

球面方程

写出球心为 $C(1,-2,3)$、半径为 $4$ 的球面方程，并判断点 $P(1,2,3)$ 是否在球面上。

显示参考解

球面方程为

$$(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16$$

长度与单位向量

设 $\mathbf v=\langle-2,1,2\rangle$。求 $\|\mathbf v\|$，并写出与 $\mathbf v$ 同方向的单位向量。

显示参考解

$$\|\mathbf v\| = \sqrt{(-2)^2+1^2+2^2} = 3$$

投影与垂直分量

设

$$\mathbf a=\langle3,1,0\rangle,\qquad \mathbf b=\langle1,1,1\rangle$$

把 $\mathbf a$ 分解成平行于 $\mathbf b$ 和垂直于 $\mathbf b$ 的两部分。

显示参考解

先算

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=4,\qquad \|\mathbf b\|^2=3$$

平行部分是

$$\mathbf a_{\parallel} = \operatorname{proj}_{\mathbf b}\mathbf a = \frac43\langle1,1,1\rangle = \left\langle \frac43,\frac43,\frac43 \right\rangle$$

叉积与面积

设

$$\mathbf u=\langle1,0,2\rangle,\qquad \mathbf v=\langle0,3,1\rangle$$

求由 $\mathbf u,\mathbf v$ 张成的平行四边形面积和三角形面积。

显示参考解

叉积为

$$\mathbf u\times\mathbf v = \langle-6,-1,3\rangle$$

所以平行四边形面积是

$$\|\mathbf u\times\mathbf v\| = \sqrt{36+1+9} = \sqrt{46}$$

三重积与共面

判断向量

$$\mathbf a=\langle1,1,0\rangle,\quad \mathbf b=\langle0,1,1\rangle,\quad \mathbf c=\langle1,2,1\rangle$$

是否共面。

显示参考解

先算

$$\mathbf b\times\mathbf c = \langle-1,1,-1\rangle$$

再算三重积：

$$\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c) = -1+1+0 = 0$$

两点确定直线

写出经过 $P(2,-1,3)$ 和 $Q(5,3,-3)$ 的直线向量方程与参数方程。

显示参考解

方向向量可以取

$$\overrightarrow{PQ} = \langle3,4,-6\rangle$$

向量方程为

$$\mathbf{r}(t)=⟨2,-1,3⟩+t⟨$$

判断两条直线的位置关系

判断

$$L_1:\ \mathbf r=\langle1,0,1\rangle+s\langle1,2,-1\rangle$$

与

$$L_2:\ \mathbf r=\langle2,2,1\rangle+t\langle2,4,-2\rangle$$

的位置关系。

显示参考解

两个方向向量满足

$$\langle2,4,-2\rangle = 2\langle1,2,-1\rangle$$

所以两线方向平行。再看两个基点之差：

$$\langle2,2,1\rangle-\langle1,0,1\rangle = \langle1,2,0\rangle$$

三点能否确定唯一平面

判断 $A(0,0,0)$，$B(1,2,1)$，$C(2,4,2)$ 是否能确定唯一平面。

显示参考解

从 $A$ 出发，

$$\overrightarrow{AB} = \langle1,2,1\rangle,\qquad \overrightarrow{AC} = \langle2,4,2\rangle = 2\overrightarrow{AB}$$

平面方程

求经过点 $P_0(1,2,-1)$、法向量为 $\langle2,-3,4\rangle$ 的平面方程。

显示参考解

点法式为

$$2(x-1)-3(y-2)+4(z+1)=0$$

整理得

$$2x-3y+4z=-8$$

直线与平面

判断直线

$$\mathbf r(t) = \langle1,0,1\rangle + t\langle1,1,0\rangle$$

与平面 $x-y+z=2$ 的位置关系。

显示参考解

直线方向向量是

$$\mathbf v=\langle1,1,0\rangle$$

平面法向量是

$$\mathbf n=\langle1,-1,1\rangle$$

因为

$$\mathbf v\cdot\mathbf n=1-1+0=0$$

点到平面的距离

求点 $Q(1,2,3)$ 到平面 $2x-y+2z=9$ 的距离。

显示参考解

代入距离公式：

$$d = \frac{|2\cdot1-2+2\cdot3-9|} {\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{3}{3} = 1$$

综合判断

判断下列说法是否正确，并说明原因。

1. 两条方向向量不平行的空间直线一定相交。
2. 一个平面的法向量乘以 $5$ 后，平面方向不变。
3. $\mathbf a\times\mathbf b=\mathbf b\times\mathbf a$。
4. 若直线方向向量与平面法向量点积为零，直线一定在平面内。

显示参考解

第 1 句错误。空间中两条不平行直线可能异面。

第 2 句正确。法向量乘以非零数只改变长度，法向方向没有改变。

第 3 句错误。叉积交换顺序会反向：

$$\mathbf a\times\mathbf b = -(\mathbf b\times\mathbf a)$$

第 4 句错误。点积为零只说明直线方向平行于平面；还要检查直线上的一个点是否在平面上，才能区分“直线在平面内”和“直线与平面平行但分离”。