极坐标中的二重积分 | 多变量微积分 I | 自在学极坐标中的二重积分
前两章我们把二重积分看成“在平面区域上累加”。如果区域是矩形，直角坐标最自然；如果区域由圆、圆环、扇形或极坐标曲线围成，直角坐标往往会把边界写成根号函数，还可能迫使我们拆成几段。
极坐标的作用不是把所有题目都变简单，而是在区域和被积函数都围绕“离原点的距离”和“角度”组织时，让积分限和被积表达式一起变得顺手。本章的核心问题是：圆形或扇形区域为什么更适合用极坐标？
为什么圆形区域会变简单
极坐标用一对数 (r,θ) 描述平面上的点，其中 r 是点到原点的距离，θ 是从正 x 轴转到该点方向的角。和直角坐标的转换关系是
x
=
rcosθ,y=
rsinθ
r2=x2+y2. 当区域的边界包含 x2+y2=a2、x2+y2=b2 这样的圆时，极坐标会把它们改写成 r=a、r=b。一个圆盘不再需要写成 −a2−x2≤y，而是直接写成
0≤r≤a,0≤θ≤2π. 这种简化有两个来源。第一，圆形边界在极坐标中常常是“r 等于常数”或“r 是 θ 的简单函数”。第二，很多函数也会变简单，例如 x2+y2 直接变成 r2。
判断是否应该换成极坐标时，先看区域，再看函数。区域里有圆盘、圆环、扇形、心形线、玫瑰线，或者被积函数里反复出现 x2+y2，通常值得尝试极坐标。
面积微元来自小扇形
直角坐标中的小块面积是 ΔxΔy，因为小块近似为一个小矩形。极坐标的小块由两条射线和两条圆弧围成，更像一个很薄的扇形环片。
设这个小块位于半径 r 附近，径向厚度是 Δr，角宽是 Δθ。靠近半径 r 的弧长约为 rΔθ，于是小块面积约为
ΔA≈rΔθ⋅Δr. 如果用扇形面积精确计算，半径从 r 到 r+Δr 的环形扇形面积是
ΔA=21((r+Δr)2−r2)Δθ=rΔrΔθ+21(Δr)2Δθ. 当 Δr 和 Δθ 同时趋近于 0 时，二阶小量消失，留下的面积微元是
dA=rdrdθ. 这就是极坐标二重积分中多出来的那个 r。它不是被积函数的一部分，而是面积单位本身变了。
最常见的错误是只把 x 和 y 换成 rcosθ、rsinθ，却仍然写 drdθ。极坐标网格越远离原点，同样的角宽对应的弧长越长，所以面积必须带上因子 r。
α≤θ≤β,g(θ)≤r≤h(θ), ∬Df(x,y)dA=∫αβ∫g(θ)h(θ)f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ. 这条公式里有三件事同时发生：点的坐标变了，区域的边界变了，面积微元也变了。
从区域读出积分限
极坐标积分限的基本读法是“先定角度，再沿射线看半径”。固定一个角度 θ，从原点发出一条射线，观察它进入区域和离开区域的位置。进入位置给出内半径，离开位置给出外半径。
先画区域，并标出原点、极轴和关键边界。圆、圆环、扇形、过原点的射线都应该先在图上看出来。
再确定角度范围。问自己：哪些方向的射线会扫到整个区域？如果射线从正 x 轴逆时针扫，起始角和终止角分别是多少？
固定一个普通角度 θ，沿这条射线从原点往外走。第一次进入区域的位置是 r 的下限，最后离开区域的位置是 r 的上限。
最后把被积函数和面积微元一起改写。不要在写完积分限后忘记把 dA 改成 rdrdθ。
例题：上半圆环上的径向函数
∬D(x2+y2)dA, 1≤x2+y2≤9,y≥0. 区域在半径 1 和半径 3 的圆之间，并且只取上半平面。因此极坐标下的半径范围是 1≤r≤3，角度范围是 0≤θ≤π。
被积函数满足 x2+y2=r2，面积微元是 ，所以原积分变成
先对 r 积分：
∫13r3再对角度积分：
∫0π20dθ=20π.因此原积分等于 20π。
这个例题里，极坐标同时简化了区域和函数。如果坚持用直角坐标，需要把上下圆弧和内外边界都写成根号，还要拆区域。
由直角方程改写极坐标区域
有些区域起初用直角坐标给出，但它们的形状仍然适合极坐标。做法是把 x、y、x2+y2 分别换成 rcosθ、rsinθ、r2，然后整理边界。
x2+y2=a2⟺r=a, x2+y2=2ax⟺r=2acosθ, x2+y2=2ay⟺r=2asinθ. 第二个方程表示圆心在 (a,0)、半径为 a 的圆。它经过原点，所以从原点出发的射线进入区域时通常从 r=0 开始，离开区域时到达 r=2acosθ。为了让半径非负，需要 cosθ≥0，因此自然角度范围是
−2π≤θ≤2π. 例题：用极坐标求偏心圆面积
x2+y2≤2ax 先把边界改写成极坐标。由 x2+y2=r2 和 x=rcosθ，得到 r2=2arcosθ。除了原点外，边界是 r=2acosθ。
这个圆位于右半平面，合适的角度范围是 −2π≤θ≤2。对每个这样的角度，半径从 到 。
面积就是对 1 的二重积分：
A=∫−π/2π先对 r 积分：
A=因为
∫−π/2π/2cos2θ从方程 r2=2arcosθ 得到 r=2acosθ 时，不能忘记单独考虑原点。不过这里原点本来就在边界上，面积不受单个点影响，所以积分限可以直接用 0≤r≤2acosθ。
与极坐标曲线的衔接
在微积分 II 中，极坐标曲线常写成 r=g(θ)。到了二重积分里，如果区域是这条曲线围成的内部，并且从原点出发的每条射线只穿过一次边界，就可以写成
α≤θ≤β,0≤r≤g(θ). A=∫αβ∫0g(θ)rdrdθ=21∫αβg(θ)2dθ. 这正好解释了微积分 II 中极坐标面积公式的来源：它不是另一个孤立公式，而是二重积分在 f(x,y)=1 时的特例。
例题：心形线内部的面积
r=1+cosθ 这条曲线在 0≤θ≤2π 内完整描出一次，并且 1+cosθ≥0。区域可以写成 0≤r≤1+cosθ。
面积积分是
A=∫02π展开后得到
A=21∫因此
A=21(2π+π)=
对称性简化
极坐标特别适合处理关于原点或坐标轴对称的区域。原因很直接：圆盘、圆环和整圆扇形在 θ 上的范围非常整齐，许多含 sinθ 或 cosθ 的项会在角度积分中抵消。
∬DxdA=0,∬DydA=0. 用极坐标看，这是因为 x=rcosθ、y=rsinθ，而
∫02πcosθdθ=0,∫02πsinθdθ=0. 例题：先消掉对称项
∬D(3+x2+y2+5x−2y)dA. 区域 D 是 0≤r≤1、0≤θ≤2π。其中 x2+y2=r2，x=rcosθ，y=rsinθ。
由于单位圆盘关于 y 轴对称，5x 的积分为 0；由于它也关于 x 轴对称，−2y 的积分也为 。只需要计算 。
积分变成
∫02π∫0先对半径积分：
∫01(3r+r再乘上角度长度 2π，得到
∬D(3+x对称性不是跳步，而是先判断哪些项成对抵消。判断依据必须来自区域和函数的共同对称性：区域对称，但函数没有相反号，不能消；函数有相反号，但区域只取了一半，也未必消。
应用：圆盘上的质量
二重积分常用来累加密度。若薄片占据圆盘 x2+y2≤4，面密度只取决于到圆心的距离：
ρ(x,y)=4−x2+y2, 该区域是半径为 2 的圆盘，所以极坐标限是 0≤r≤2、0≤θ≤2π。
密度函数变为 ρ=4−r。质量是密度在区域上的积分：
M=∫先算半径方向：
∫02(4r−r再乘上完整角度长度：
M=2π⋅316=这个例子显示了极坐标的另一个好处：当密度只依赖 r 时，角度积分常常只是乘上一个角度长度。
常见误区和检查
不要把 θ 的上下限当成 x 或 y 的上下限。θ 描述方向，r 描述沿该方向走多远。一个圆盘的 x 和 y 都在 [−a,a] 内，并不意味着极坐标限是 −a≤r≤a、−a≤θ≤a。
- 区域是否被扫了一次，而不是漏扫或重复扫？
- 半径下限和上限是否来自固定角度的一条射线？
- 被积函数里的 x 和 y 是否已经全部改写？
- 面积微元是否写成了 rdrdθ？
有些极坐标曲线允许负半径，但在本章的二重积分中，除非题目明确需要，一般优先使用 r≥0 的描述。这样每个平面点对应的扫掠关系更清楚，也更不容易重复计算。
练习
练习 1
写出半径为 5、角度范围为 6π≤θ≤32π 的扇形区域面积积分，并求面积。
面积积分为
A=∫π/62π/3∫05rdrdθ.先对 r 积分得到 225，角度长度是 32π，所以
A=225⋅2π=练习 2
∬Dex2+y2dA, 其中 D 是圆盘 x2+y2≤4。
极坐标下 D 是 0≤r≤2、0≤θ≤2π，所以
∬Dex2+y2dA=∫02令 u=r2，则
∫02er2rdr=因此结果是
π(e4−1).练习 3
∫−33∫−9−x29−x2(x2+y2)dydx 直角坐标限描述的是半径为 3 的圆盘。极坐标下为
∫02π∫03r2⋅rdrdθ.计算得
∫02π[4r练习 4
求圆盘 x2+y2≤4y 的面积。
边界满足 r2=4rsinθ，即 r=4sinθ。为了让 r≥0，可取 0≤θ≤π。面积为
A=∫0π∫04这也符合几何结果：圆心在 (0,2)、半径为 2。
练习 5
设 D 是单位圆盘。判断下列积分是否为 0，并说明理由：
∬DxydA,∬D(x2+y2)dA. 第一个积分为 0。因为 xy 关于 x 轴或 y 轴都会变号，而单位圆盘关于这两条轴都对称，所以贡献成对抵消。
第二个积分不为 0。因为 x2+y2=r2≥0，没有正负抵消。它等于
∫02π∫01r练习 6
设 D 是心形线 r=2+2cosθ 的内部。写出 ∬DydA 的极坐标形式，并用对称性判断结果。
区域可写成 0≤θ≤2π、0≤r≤2+2cosθ。因为 y=rsinθ，所以积分形式是
∫02π∫02+2cosθ心形线关于 x 轴对称，函数 y 关于 x 轴变号，因此上下两部分贡献抵消，积分结果为 0。
≤
dA=rdrdθ
∫0π∫13r2⋅rdrdθ.
d
r
=
434−14=
20.
π
2acosθ /2
∫02acosθ
r
d
r
d
θ
.
2
1
∫−π/2π/2
4
a2
cos2
θ
d
θ
=
2a2∫−π/2π/2cos2θdθ.
d
θ
=
2π,
所以 A=πa2。这也和几何结果一致：圆的半径是 a。
∫01+cosθ
r
d
r
d
θ
=
21∫02π(1+
cosθ)2dθ.
0
2π
(
1
+
2cosθ+
cos2θ)dθ.
在一个完整周期上，∫02πcosθdθ=0，而 ∫02πcos2θdθ=π。
23π
.
0
1
(
3
+
r2)rdrdθ.
3
)
d
r
=
23+
41=
47.
2
+
y2+
5x−
2y)dA=
27π.
0
2π
∫02
(
4
−
r)rdrdθ.
2
)
d
r
=
[2r2−3r3]02=
8−
38=
316.
3
32π
.
−
6π=
2π
4
25π
.
π
∫02
er2
r
d
r
d
θ
.
21
(
e4
−
1).
4
]
03
d
θ
=
∫02π481dθ=
281π.
sin
θ
r
d
r
d
θ
=
21∫0π16sin2θdθ=
8⋅
2π=
4π.
2
⋅
rdrdθ=
2π⋅
41=
2π.
r
sin
θ
⋅
rdrdθ.
