极坐标中的二重积分 | 多变量微积分 I | 自在学

极坐标中的二重积分

上一章我们学会了用竖切片或横切片描述一般区域。这个办法很可靠，可一碰到圆，它就开始显得笨拙。

比如半径为 $a$ 的圆盘。用竖切片写，上边界是 $y=\sqrt{a^2-x^2}$ ，下边界是 $y=-\sqrt{a^2-x^2}$ 。如果再挖掉中间一个小圆，内圆会让一条竖线两次进入、两次离开区域，往往还得拆成左右几段。图形明明只是一个干净的圆环，积分限却写得像在绕障碍。

问题不在二重积分，而在网格。直角坐标拿水平线和竖直线去贴圆边界，当然会留下许多难处理的边角。极坐标换了一套更懂圆的网格：一族同心圆负责记录“离原点多远”，一族射线负责记录“朝哪个方向”。

直角网格和极坐标网格覆盖圆盘时的边界适配对比

这一章要解决的，不只是把 $x$ 、 $y$ 换成 $r$ 、 $\theta$ 。真正要学会的是三件事：为什么面积微元会多出一个 $r$ ，怎样从图形读出 $r$ 和 $\theta$ 的范围，以及怎样保证区域恰好被扫一遍。

先把点的位置说清楚

直角坐标用“横着走多少、竖着走多少”定位一个点。极坐标换成“朝哪个方向、沿这个方向走多远”。我们通常取 $r\ge 0$ ，并从正 $x$ 轴逆时针量角 $\theta$ 。

两套坐标之间的转换是

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,

r=\sqrt{x^2+y^2}.

从 $(x,y)$ 反求角度时，不能只看 $\tan\theta=y/x$ 。正切在相差 $\pi$ 的两个方向上相同，所以还要结合点所在象限。原点更特殊：它的 $r=0$ ，但方向可以随便写，因为从原点出发走零步，朝哪个方向都会停在原点。

极坐标也不是唯一表示。把 $\theta$ 加上 $2\pi$ ，点没有变；如果允许负半径，那么 $(r,\theta)$ 与 $(-r,\theta+\pi)$ 也表示同一点。画极坐标曲线时，这种多重表示很有用；做二重积分时却容易让区域重复。因此本章会尽量选 $r\ge 0$ ，再挑一段不会重复覆盖的角度区间。

现在看圆为什么突然变简单。以原点为圆心、半径为 $a$ 的圆满足

x^2+y^2=a^2.

换成极坐标就是 $r=a$ ，圆盘则是 $0\le r\le a$ 。原来藏在两个根号函数里的边界，现在只剩一句“从原点走到半径 $a$ ”。图形没有变，我们只是换了一种更贴合图形的描述。

看到圆盘、圆环、扇形、经过原点的偏心圆或极坐标曲线时，可以先试极坐标。若被积函数里反复出现 $x^2+y^2$ ，理由又多了一层，因为它会直接变成 $r^2$ 。不过最终是否值得换，还要同时比较区域和被积函数，不能只凭“题里有圆”作决定。

为什么不能把面积写成 $dr\,d\theta$

一元换元时，我们早就见过“变量换了，长度微元也要跟着变”。二重积分也是一样。只换 $x=r\cos\theta$ 、 $y=r\sin\theta$ ，却把 $dA$ 原样丢在一旁，相当于只搬了一半。

固定一个很小的角度区间 $[\theta,\theta+\Delta\theta]$ ，再固定一个很小的半径区间 $[r,r+\Delta r]$ 。它们在平面上围出的不是小长方形，而是一块薄薄的环形扇片。

极坐标小环形扇片的径向厚度、角宽、弧向长度与面积微元

先看局部形状。径向的一条边长约为 $\Delta r$ ；沿圆周方向的一条边不是 $\Delta\theta$ ，因为角度没有长度单位。半径为 $r$ 时，对应的弧长约为 $r\Delta\theta$ 。于是

\Delta A\approx (\Delta r)(r\Delta\theta).

再直接用扇形面积核对。外扇形减去内扇形，得到

\Delta A =\frac12(r+\Delta r)^2\Delta\theta -\frac12r^2\Delta\theta =r\Delta r\Delta\theta +\frac12(\Delta r)^2\Delta\theta.

网格不断变细时，含 $(\Delta r)^2$ 的项比主项更快趋近于零，留下

dA=r\,dr\,d\theta.

这个 $r$ 的意义很具体：相同的角宽，在远离原点的地方对应更长的弧，也就覆盖更大的面积。假设 $\Delta r=0.1$ 、 $\Delta\theta=0.1$ 。半径 $r=1$ 附近的小块面积约为 $0.01$ ，半径附近则约为。如果漏掉，你会错误地认为这两块面积一样大。

还可以用换元的面积伸缩因子检查一次。由 $x=r\cos\theta$ 、 $y=r\sin\theta$ 得到

\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} \right| = \left| \begin{matrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{matrix} \right| =r.

几何图像和代数计算给出同一个结果。

$d\theta$ 是角度，不是弧长；真正的切向长度是 $r\,d\theta$ 。所以极坐标面积微元是 $r\,dr\,d\theta$ ，绝不能只写 $dr\,d\theta$ 。漏掉这个会让答案的量纲、大小和几何直觉一起出错。

一条射线怎样读出两个积分限

上一章读直角坐标区域时，我们固定 $x$ 看竖线从哪里进入、从哪里离开。极坐标把这套办法转了一个方向：先固定角度 $\theta$ ，再沿着从原点发出的射线看区域。

如果每个允许的角度上，射线与区域的交集都是一段连续的径向线段，那么区域可以写成

D=\{(r,\theta):\alpha\le\theta\le\beta, \ g(\theta)\le r\le h(\theta)\}.

对应的二重积分是

\iint_D f(x,y)\,dA = \int_\alpha^\beta \int_{g(\theta)}^{h(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta.

这条公式看起来长，其实只做了三件事：把点的位置改写，把区域改写，再把小面积改写。

先画出原点、极轴和所有边界，判断哪些方向的射线能碰到区域。射线扫过的起始方向与终止方向，就是 $\theta$ 的范围。

在角度区间内部随便挑一个普通角度，不要只盯着端点。沿这条射线从原点向外走，第一次进入区域的位置给出 $r$ 的下限，最后离开的位置给出 $r$ 的上限。

四类最常见的区域

圆盘、圆环和扇形的极坐标范围对比

以原点为圆心、半径为 $a$ 的圆盘是

0\le\theta\le2\pi,\qquad 0\le r\le a.

内半径为 $a$ 、外半径为 $b$ 的圆环是

0\le\theta\le2\pi,\qquad a\le r\le b.

半径为 $R$ 、夹在两条射线 $\theta=\alpha$ 与 $\theta=\beta$ 之间的扇形是

\alpha\le\theta\le\beta,\qquad 0\le r\le R.

由两条极坐标曲线夹成的区域常写成

\alpha\le\theta\le\beta, \qquad r_{\text{内}}(\theta)\le r\le r_{\text{外}}(\theta).

这里的“内”和“外”是沿同一条射线比较，不是看曲线在纸面上谁更靠上。要找它们交换位置的角度，就解

r_{\text{内}}(\theta)=r_{\text{外}}(\theta).

如果交点把角度区间分成几段，就逐段判断谁在内、谁在外。

不从原点开始的区域

圆环提醒我们： $r$ 的下限不一定是 $0$ 。一条射线可能先穿过空白，再进入区域，所以径向范围会是 $g(\theta)\le r\le h(\theta)$ 。

还有更麻烦的情形：同一条射线与区域相交成两段不相连的线段。这时不能写一个从最小半径到最大半径的积分，因为那会把中间的空白也算进去。正确做法是把区域拆成两块，分别积分后相加。

“从原点向外走”是一种读图方法，不代表所有区域都必须包含原点。圆环的射线从 $r=a$ 才进入区域；两条极坐标曲线之间的区域也常常从一个非零内半径开始。

例题：上半圆环为什么适合极坐标

设

D=\{(x,y):1\le x^2+y^2\le9,\ y\ge0\}.

计算

\iint_D(x^2+y^2)\,dA.

这道题如果坚持竖切，会同时遇到半径 $1$ 和半径 $3$ 的上下圆弧，而且在 $x=-1$ 、 $x=1$ 两处还要换边界。极坐标只需读图形本身：上半平面对应 $0\le\theta\le\pi$ ，两个圆之间对应。

先把区域写成

0\le\theta\le\pi,\qquad 1\le r\le3.

这个例子把极坐标最理想的使用场景都凑齐了：区域由同心圆和射线围成，被积函数又只依赖到原点的距离。区域和函数同时简化，换坐标非常划算。

从直角方程认出极坐标边界

题目不一定直接把边界写成 $r=g(\theta)$ 。遇到直角坐标方程时，常用的替换是

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad x^2+y^2=r^2.

例如

x^2+y^2=2ax

会变成 $r^2=2ar\cos\theta$ 。除了原点外，可以约去一个 $r$ ，得到

r=2a\cos\theta.

原来的方程配方后是

(x-a)^2+y^2=a^2,

所以它是圆心 $(a,0)$ 、半径 $a$ 的圆，恰好经过原点。要用非负半径扫过整个圆盘，必须让 $\cos\theta\ge0$ ，因此可取

-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}, \qquad 0\le r\le2a\cos\theta.

经过原点的偏心圆及其极坐标边界和积分范围

例题：求经过原点的偏心圆面积

求区域

x^2+y^2\le2ax,\qquad a>0

的面积。

前面的换算已经给出边界 $r=2a\cos\theta$ 。这个圆盘只出现在右半平面，所以角度取 $-\pi/2$ 到 $\pi/2$ 。

从 $r^2=2ar\cos\theta$ 约去 $r$ 时，原点这一组解被单独丢掉了。不过原点仍然是新曲线的端点，而且单个点不影响面积积分，所以结果不变。

类似地，方程 $x^2+y^2=2ay$ 会变成 $r=2a\sin\theta$ 。它表示圆心在 $(0,$ 、半径为的圆；用非负半径描述整个圆盘时，自然取。

极坐标曲线内部：先确认究竟画了几遍

如果边界是 $r=g(\theta)$ ，并且在 $\alpha\le\theta\le\beta$ 内有 $g(\theta)\ge0$ ，每条射线又只遇到一次外边界，那么曲线内部可以写成

\alpha\le\theta\le\beta, \qquad 0\le r\le g(\theta).

令被积函数为 $1$ ，立刻得到极坐标曲线的面积公式：

A =\int_\alpha^\beta\int_0^{g(\theta)}r\,dr\,d\theta =\frac12\int_\alpha^\beta[g(\theta)]^2\,d\theta.

心形线内部由角度射线和径向区间描述

这里的 $1/2$ 不是要背的新规则，它只是内层积分 $\int r\,dr=r^2/2$ 留下来的。

极坐标曲线有一个直角坐标图像里不那么显眼的陷阱：参数区间可能把同一条曲线画很多遍。比如 $r=\cos\theta$ 表示一个半径为 $1/2$ 的圆。若让 $\theta$ 从 $0$ 走到 $2\pi$ ，这个圆会被走两遍，面积也会被算两遍。做题前最好检查几个关键角度，找出一遍完整覆盖所需的最短区间。

例题：心形线内部的面积

求心形线

r=1+\cos\theta

围成的面积。这条曲线在 $0\le\theta\le2\pi$ 内完整走一遍，而且 $1+\cos\theta\ge0$ 。

区域是

0\le\theta\le2\pi, \qquad 0\le r\le1+\cos\theta.

玫瑰线、内环曲线和两条极坐标曲线的公共部分更需要留意覆盖次数。最稳妥的做法不是直接套 $0\le\theta\le2\pi$ ，而是先找边界相交角度、半径为零的角度和曲线的对称性，再决定积分区间。

画曲线时允许负半径，不等于二重积分的径向下限也应该随手写成负数。负半径会把点送到反方向，容易和别的角度重复。积分区域通常应改写成 $r\ge0$ 的若干块，再分别积分。

对称性：先看能不能成对抵消

换成极坐标以后，很多对称关系会直接落在三角函数上。以原点为圆心的整圆盘满足 $0\le r\le R$ 、 $0\le\theta\le2\pi$ 。如果被积函数只依赖 $x^2+y^2$ ，它会变成只依赖的函数：

\iint_D F(x^2+y^2)\,dA =2\pi\int_0^R F(r^2)r\,dr.

如果被积函数含有 $x$ 或 $y$ ，对称性又能让某些项直接消失。圆盘关于 $y$ 轴对称， $x$ 在左右对应点取相反数，所以 $\iint_Dx\,dA=0$ ；同理，。

单位圆盘上函数 x 的左右贡献成对抵消

例题：先删掉会抵消的项

设 $D$ 是单位圆盘，计算

\iint_D(3+x^2+y^2+5x-2y)\,dA.

单位圆盘同时关于两条坐标轴对称。 $5x$ 在左右两侧成对抵消， $-2y$ 在上下两侧成对抵消，所以只需保留 $3+x^2+y^2$ 。

对称性要同时检查区域和函数。区域关于某条轴对称，只说明对应点都在；还要确认函数在这对点上恰好变号，积分才能抵消。若函数值保持不变，对称性通常带来的是“算一半再乘二”，不是积分为零。

质量、质心和转动惯量

若一块薄片占据区域 $D$ ，面密度为 $\rho(x,y)$ ，一小块面积携带的质量近似为 $\rho(x,y)\Delta A$ 。取极限以后，总质量是

M=\iint_D\rho(x,y)\,dA.

在极坐标中，这变成

M =\int_\alpha^\beta \int_{g(\theta)}^{h(\theta)} \rho(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,dr\,d\theta.

质心需要先算关于两条坐标轴的矩：

M_x=\iint_D y\rho\,dA, \qquad M_y=\iint_D x\rho\,dA,

\bar x=\frac{M_y}{M}, \qquad \bar y=\frac{M_x}{M}.

名字容易绕：关于 $x$ 轴的矩要乘点到 $x$ 轴的有向距离 $y$ ；关于 $y$ 轴的矩则乘 $x$ 。

例题：中心更密的半圆薄片

一块薄片占据单位上半圆，密度只与离原点的距离有关：

\rho(x,y)=1-\sqrt{x^2+y^2}.

求薄片的质量和质心。

上半圆对应 $0\le\theta\le\pi$ 、 $0\le r\le1$ ，密度变成 $\rho=1-r$ 。总质量为

若关心薄片绕原点转动的难易程度，极转动惯量是

I_O =\iint_D(x^2+y^2)\rho(x,y)\,dA =\iint_D r^2\rho\,dA.

这里要数清楚半径的来源： $r^2$ 来自到原点距离的平方，面积微元还会再带一个 $r$ 。因此径向部分通常含有 $r^3\rho$ ，不能把这两个角色混在一起。

极坐标并不总是更好

极坐标擅长的是“围绕原点组织”的问题。换坐标前可以问两个问题：边界会不会更短？被积函数会不会更简单？如果两边都没有改善，就没有必要硬换。

矩形区域最明显。单位正方形 $0\le x\le1$ 、 $0\le y\le1$ 用直角坐标只有四个常数边界；极坐标却要在 $\theta=\pi/4$ 拆开：

0\le\theta\le\frac{\pi}{4}, \qquad 0\le r\le\sec\theta,

\frac{\pi}{4}\le\theta\le\frac{\pi}{2}, \qquad 0\le r\le\csc\theta.

图形虽然是圆，也未必适合。一个远离原点的圆盘配上 $e^x$ ，换元后函数变成 $e^{r\cos\theta}$ ，角度积分未必好算。由水平线、竖直线和简单函数图像围成的区域也常适合继续用直角切片；硬换会引入 $\sec\theta$ 、 $\csc\theta$ 或多段角度区间。

换坐标不是奖励题目里出现圆，而是一次成本比较。区域明显变简单、函数也径向化时，极坐标往往赢得很彻底；若只简化其中一边，就要看看另一边付出的代价是否更大。

一张可靠的自检表

写完极坐标积分后，按下面几项核对，能挡住大多数错误。

$\theta$ 的范围是否真的把区域扫完，而且只扫一遍？
对一个区间内部的普通角度， $r$ 是否从进入区域的位置走到离开位置？
若一条射线与区域相交成两段，是否已经拆开？
所有 $x$ 、 $y$ 和 $x^2+y^2$ 是否都已改写成、？

一个很隐蔽的错误是把极坐标曲线的“作图区间”直接拿来做面积积分。曲线可能在这段区间内重复描画，面积也就被重复计算。先检查覆盖次数，再写角度限。

练习

练习 1：扇形面积

写出半径为 $5$ 、角度范围为 $\pi/6\le\theta\le2\pi/3$ 的扇形面积积分，并求面积。

练习 2：径向指数函数

计算 $\iint_D e^{x^2+y^2}\,dA$ ，其中 $D$ 是圆盘。

练习 3：把直角积分改成极坐标

计算

\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} (x^2+y^2)\,dy\,dx.

练习 4：上移的圆盘

求圆盘 $x^2+y^2\le4y$ 的面积。

练习 5：对称性判断

设 $D$ 是单位圆盘。判断下面两个积分是否为 $0$ ，并求出不为零的那个：

\iint_Dxy\,dA, \qquad \iint_D(x^2+y^2)\,dA.

练习 6：两条极坐标曲线之间

求圆 $r=2\cos\theta$ 内部、单位圆 $r=1$ 外部的公共区域面积。

练习 7：一片玫瑰花瓣

求玫瑰线 $r=2\cos(2\theta)$ 位于正 $x$ 轴方向的一片花瓣面积。

练习 8：什么时候别换极坐标

把第一象限内的单位正方形 $0\le x\le1$ 、 $0\le y\le1$ 写成极坐标区域，并说明为什么它不比直角坐标简单。

练习 9：质量和质心

单位上半圆上的面密度为 $\rho=1-r$ 。说明为什么质心横坐标为 $0$ ，并写出质心纵坐标的积分表达式。

从小面积走向小体积

到这里，二重积分的坐标变换已经有了一条清楚的主线：先选适合区域的网格，再找这个网格中真正的小面积，最后把所有小块累加。

下一章把平面区域换成空间实体。直角坐标里的小面积 $\Delta x\Delta y$ 会升级成小体积 $\Delta x\Delta y\Delta z$ ，二重求和也会升级成三重求和。新的难点不再只是“射线从哪里进、从哪里出”，而是固定两个变量后，一条空间线段从哪个表面进入、又从哪个表面离开。

换句话说，三重积分不是另一套陌生规则。它仍然沿用这一章最核心的动作：选对小块、写对边界、再让小块无限变细。

r=10

a

)

(0,a)

-

π

/

4

π / 4

4

\cos^{2}

(

2

θ

)

d

θ

=

\frac{π}{2}

.

A =\frac12 \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 4\cos^2(2\theta)\,d\theta =\frac{\pi}{2}.